不等式、推理與證明第七章第1講不等式的性質(zhì)與一元二次不等式【考綱導學】1．了解現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式(組)的實際背景．2．會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型．3．通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系．4．會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷1>

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判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集________________________________________________ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集________________________________________________{x|x>x2或x<x1}

R

{x|x1<x<x2}

?

?

【答案】B

2．設集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，則M∩N等于(

)A．(0,4]

B．[0,4)C．[－1,0)

D．(－1,0]【答案】B

【解析】因為M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，所以M∩N＝[0,4)．【答案】A

4．已知不等式x2－2x＋k2－1>0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是________________．5．(教材習題改編)若關于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是________________．1．在應用傳遞性時，注意等號是否傳遞下去，如a≤b，b<c?a<c.在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號”．例如當c≠0時，有a>b?ac2>bc2；若無c≠0這個條件，a>b?ac2>bc2就是錯誤結論(當c＝0時，取“＝”)．2．對于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時不要忘記討論a＝0時的情形；當Δ<0時，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別．3．含參數(shù)的不等式要注意選好分類標準，避免盲目討論．【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×課堂考點突破2比較大小及不等式的性質(zhì)的應用

(1)已知實數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關系是(

)A．c≥b>a

B．a(chǎn)>c≥bC．c>b>a

D．a(chǎn)>c>b【答案】(1)A

(2)C

【規(guī)律方法】(1)比較大小常用的方法：①作差法；②作商法；③函數(shù)的單調(diào)性法．(2)判斷多個不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性質(zhì)，逐個驗證；二是用特殊值法排除．【答案】(1)B

(2)D一元二次不等式的求解

(1)求不等式－2x2＋x＋3<0的解集；(2)解關于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0.(2)由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，所以x1＝a，x2＝1.①當a>1時，x2－(a＋1)x＋a<0的解集為{x|1<x<a}；②當a＝1時，x2－(a＋1)x＋a<0的解集為?；③當a<1時，x2－(a＋1)x＋a<0的解集為{x|a<x<1}．【規(guī)律方法】含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對參數(shù)進行分類討論．(1)若二次項系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對參數(shù)進行分類討論．若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號進行分類討論；(2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應先考慮二次項系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；(3)對方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集．【跟蹤訓練】2．解關于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．一元二次不等式恒成立問題【考向分析】一元二次不等式與其對應的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系．在解決具體的數(shù)學問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉換．對于一元二次不等式恒成立問題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數(shù)的取值范圍．常見的考向：(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍；(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])確定參數(shù)范圍；(3)形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍．形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍

已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在實數(shù)m對所有的實數(shù)x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【解析】要使不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1的圖象全部在x軸下方．當m＝0時，f(x)＝1－2x＜0，不滿足題意；形如f(x)≥0(x∈[a，b])確定參數(shù)范圍

設函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍．形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍

對任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍．【規(guī)律方法】一元二次不等式恒成立問題的三大破解方法：課后感悟提升32種方法——比較大小的方法作差比較法與作商比較法是判定兩個數(shù)或式大小的兩種基本方法，其中變形是關鍵．2種思想——分類討論和轉化思想(1)分類討論思想：含有參數(shù)的一元二次不等式一般需要分類討論．在判斷方程根的情況時，判別式是分類的標準；需要表示不等式的解集時，根的大小是分類的標準．(2)轉化思想：不等式在指定范圍的恒成立問題，一般轉化為求函數(shù)的最值或值域問題．3個注意點——解含參數(shù)不等式應注意的問題(1)二次項系數(shù)中含有參數(shù)時，參數(shù)的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項系數(shù)為零的情況．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能分解因式，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏．(3)不同參數(shù)范圍的解集切莫取并集，應分類表述．【答案】B

2．(2016年新課標Ⅰ)若a>b>1,0<c<1，則(

)A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)bc<bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac<logbc【答案】C