每天半小時(shí)天天“7+1”自主加餐練(十三)一、7道把關(guān)小題增分練1．若數(shù)據(jù)x1＋m，x2＋m，…，xn＋m的平均數(shù)是5，方差是4，數(shù)據(jù)3x1＋1,3x2＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)是10，標(biāo)準(zhǔn)差是s，則下列結(jié)論正確的是()A．m＝2，s＝6 B．m＝2，s＝36C．m＝4，s＝6 D．m＝4，s＝36解析：選A設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，標(biāo)準(zhǔn)差為σ，則eq\f(1,n)[(3x1＋1)＋(3x2＋1)＋…＋(3xn＋1)]＝eq\f(1,n)[3(x1＋x2＋…＋xn)]＋1＝3eq\x\to(x)＋1＝10，可得eq\x\to(x)＝3.由eq\f(1,n)[(x1＋m)＋(x2＋m)＋…＋(xn＋m)]＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＋m＝eq\x\to(x)＋m＝5，可得m＝2.由方差公式可得eq\f(1,n){[(x1＋m)－(eq\x\to(x)＋m)]2＋[(x2＋m)－(eq\x\to(x)＋m)]2＋…＋[(xn＋m)－(eq\x\to(x)＋m)]2}＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝σ2＝4，s2＝eq\f(1,n){[(3x1＋1)－(3eq\x\to(x)＋1)]2＋[(3x2＋1)－(3eq\x\to(x)＋1)]2＋…＋[(3xn＋1)－(3eq\x\to(x)＋1)]2}＝eq\f(9,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋9(x2－eq\x\to(x))2＋…＋9(xn－eq\x\to(x))2]＝9σ2＝36，解得s＝6.故選A．2．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，y＝f(x)＋ex是偶函數(shù)，y＝f(x)－3ex是奇函數(shù)，則f(x)的最小值為()A．e B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．2e解析：選B因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)＋ex為偶函數(shù)，所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex.①又因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)－3ex為奇函數(shù)，所以f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x.②聯(lián)立①②可得f(x)＝ex＋2e－x.由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2eq\r(ex·2e－x)＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝2e－x，即當(dāng)x＝eq\f(1,2)ln2時(shí)，等號成立．故函數(shù)f(x)的最小值為2eq\r(2).故選B．3．若橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，M為橢圓C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P是△MF1F2的內(nèi)心，連接MP并延長交F1F2于點(diǎn)Q，則eq\f(|PM|,|PQ|)＝()A．2 B．eq\f(1,2)C．4 D．eq\f(1,4)解析：選A如圖，連接PF1，PF2，設(shè)P到x軸的距離為dP，M到x軸的距離為dM，則eq\f(|MQ|,|PQ|)＝eq\f(dM,dP)＝eq\f(S△MF1F2,S△PF1F2).設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|r＝eq\f(1,2)·2c·r＝cr，S△MF1F2＝S△PF1F2＋S△MPF1＋S△MPF2＝cr＋eq\f(1,2)|MF1|r＋eq\f(1,2)|MF2|r＝cr＋eq\f(1,2)r(|MF1|＋|MF2|)＝cr＋eq\f(1,2)r·2a＝(c＋a)r.∴eq\f(|MQ|,|PQ|)＝eq\f(dM,dP)＝eq\f(S△MF1F2,S△PF1F2)＝eq\f(c＋ar,cr)＝eq\f(c＋a,c).不妨設(shè)|PQ|＝cm，則|MQ|＝(c＋a)m(m>0)，∴|PM|＝|MQ|－|PQ|＝am(m>0)．∵橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，∴eq\f(|PM|,|PQ|)＝eq\f(am,cm)＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,e)＝2，故選A．4．(多選)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足0<a<b<c，則下列說法正確的是()A．eq\f(1,c－a)>eq\f(1,b－a) B．eq\f(b,a)>eq\f(b＋c,a＋c)C．eq\f(1,ac－a)>eq\f(1,bc－a) D．a(chǎn)b＋c2>ac＋bc解析：選BCD因?yàn)?<a<b<c，所以c－a>b－a>0，則eq\f(1,c－a)<eq\f(1,b－a)，故A錯(cuò)誤；eq\f(b,a)>eq\f(b＋c,a＋c)?b(a＋c)>a(b＋c)?bc>ac?b>a，故B正確；eq\f(1,ac－a)>eq\f(1,bc－a)?eq\f(1,a)>eq\f(1,b)?b>a，故C正確；ab＋c2>ac＋bc?c(c－b)－a(c－b)>0?(c－a)(c－b)>0，故D正確．故選B、C、D．5．(多選)隨著時(shí)代與科技的發(fā)展，信號處理以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、量子力學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域．而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)，f(x)＝eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))eq\f(sin[2i－1x],2i－1)的圖象就可以近似的模擬某種信號的波形，則下列說法正確的是()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱C．函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且最小正周期為πD．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最大值為4解析：選ABD函數(shù)f(x)＝eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))eq\f(sin[2i－1x],2i－1)＝sinx＋eq\f(sin3x,3)＋eq\f(sin5x,5)＋eq\f(sin7x,7)，定義域?yàn)镽.f(π＋x)＝sin(π＋x)＋eq\f(sin3π＋3x,3)＋eq\f(sin5π＋5x,5)＋eq\f(sin7π＋7x,7)＝－sinx－eq\f(sin3x,3)－eq\f(sin5x,5)－eq\f(sin7x,7)＝sin(－x)＋eq\f(sin－3x,3)＋eq\f(sin－5x,5)＋eq\f(sin－7x,7)＝f(－x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱，故A正確．f(－x)＝sin(－x)＋eq\f(sin－3x,3)＋eq\f(sin－5x,5)＋eq\f(sin－7x,7)＝－sinx－eq\f(sin3x,3)－eq\f(sin5x,5)－eq\f(sin7x,7)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，故B正確．由題知f(x＋π)＝－f(x)≠f(x)，故C錯(cuò)誤．由題可知f′(x)＝cosx＋cos3x＋cos5x＋cos7x≤4，故D正確．故選A、B、D．6．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝x3－xf′(2)，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為________________．解析：對函數(shù)f(x)＝x3－xf′(2)，求導(dǎo)可得f′(x)＝3x2－f′(2)，得f′(2)＝3×22－f′(2)，即f′(2)＝6.所以切線的斜率k＝f′(2)＝6，又f(2)＝23－2×f′(2)＝8－12＝－4，由點(diǎn)斜式可得切線方程為y＋4＝6(x－2)，即6x－y－16＝0.答案：6x－y－16＝07．長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1h，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為________．解析：令A(yù)1＝“玩手機(jī)時(shí)間超過1h的學(xué)生”，A2＝“玩手機(jī)時(shí)間不超過1h的學(xué)生”，B＝“任意調(diào)查一人，此人近視”，則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.8，P(B|A1)＝0.5，P(B)＝0.4.依題意，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.2×0.5＋0.8×P(B|A2)＝0.4，解得P(B|A2)＝eq\f(3,8).所以該名學(xué)生近視的概率為eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)二、一道?？即箢}循環(huán)練(今日練點(diǎn)：概率與統(tǒng)計(jì))8．某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)選擇一家餐廳用餐．如果第一天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6，如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.(1)計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率；(2)王同學(xué)某次在A餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點(diǎn)心，n種中式點(diǎn)心，王同學(xué)從這些點(diǎn)心中選擇三種點(diǎn)心，記選擇西式點(diǎn)心的種數(shù)為X，求n的值使得P(X＝1)取得最大值．解：(1)設(shè)A1＝“第1天去A餐廳用餐”，B1＝“第1天去B餐廳用餐”，A2＝“第2天去A餐廳用餐”，根據(jù)題意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.所以王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為0.7.(2)由題意，X的可能取值有0,1,2,3，由超幾何分布可知P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(