【尖子生】浙教版2025-2026學年八年級上數(shù)學第1章三角形的初步知識（解析版）考試時間：150分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.1．如圖，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，則∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關系為（）A．∠P=2(∠B?∠D) B．∠P=C．∠P=12∠B+∠D【答案】B【解析】在△AOD中：∠D=180°-∠DAO-∠AOD，

在△BOC中：∠B=180°-∠BCO-∠BOC，

∴∠B+∠D=180°-∠DAO-∠AOD+180°-∠BCO-∠BOC=360°-∠DAO-∠BCO-∠AOD-∠BOC，

∵AP、CP分別平分∠DAB和∠BCD，

∴∠DAO=2∠PAO，∠BCO=2∠PCO，

又∠AOD=∠BOC，

∴∠B+∠D=360°-2∠PAO-2∠PCO-2∠AOD=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），

AP、CD的交點標為點E，

在△CPE中，

∠P=180°-∠PCO-∠CEP，

∵∠CEP=∠AOD+∠PAO，

∴∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，

∴∠P=12（∠B+∠D）。

故答案為：B。

2．如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（）

A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γC．β=90°+γ2【答案】B【解析】設AC與A'D相交于點F，如圖∵三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE，

∴∠A=∠A’=α，∠ADE=∠A'DE，∠DEA=∠DEA’=β，

∴∠AFD=∠A'+∠A'EF且∠BDA'=∠A+∠AFD，

∴∠BDA'=∠A+∠A'+∠A'EF，

即θ=2α+γ，

∴A項正確，

∵∠DEF=∠DEA'-∠CEA'=β-γ，

∴∠AED+∠DEF=180°，

即β+β-γ=180°，

∴β=90°+γ2，

∴C項正確，

∵∠A+∠DEA=∠BDA'+∠A'DE，

∴α+β=θ+∠ADE，

∵∠ADE=180°-α-β，

∴α+β=θ+180°-α-β，

∴θ=2α+2β﹣180°，

∴D項正確，

B項中的式子不能得出，

3．如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得A．122022m B．122021m【答案】D【解析】如圖，設∠ABF=α，∠FCA1=β，則∠FBC=α，∠ECA1=β

由外角的性質得β=α+∠A1①，2β=2α+∠A②，①×2得2β=2α+2∠A1，得∠A1=12∠A，

同理得∠A2=12∠A1=14∠A，∠A3=12∠A2=18∠A，故4．如圖，△ABC的三邊的中線AD，BE，CF的公共點為G，且AG：GD=2：1，若S△ABC=12，則圖中陰影部分的面積是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】∵△ABC的三邊的中線AD，BE，CF的公共點為G，

∴S△CGE=S△AGE=13S△ACF，S△BGF=S△BGD=13S△BCF，

∵S△ACF=S△BCF=12S△ABC=6，A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M',過點M作MN'⊥BC于點N',

∵BD平分∠ABC，M‘E⊥AB于點E，M’N'⊥BC于N‘，

∴M’N’=M‘E，

∴CE=CM‘+M'E

當點M與M'重合，點N與N'重合時，CM+MN的最小值A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③【答案】C【解析】∵∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，

∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，

∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∠ABE=∠FBE=12∠ABC，

∴∠BAD+∠ABE=12∠BAC+∠ABC=45°，

∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正確；

∴∠BPD=180°-∠APB=45°，

又∵PF⊥AD，

∴∠APH=∠FPD=90°，

∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，

∴∠APB=∠FPB，

∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，

∴△ABP≌△FBP，

∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正確；

∵∠DAB=∠CAD，

∴∠PAH=∠BFP，

∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，

∴△APH≌△FPD，

∴AH=FD，

又∵AB=FB，

∴AB=FD+BD=AH+BD；③正確；

連接HD，ED，如圖：

∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，

∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，

∵∠HPD=90°，PH=PD，

∴∠HDP=∠DHP=45°

∴∠HDP=∠BPD，

∴HD∥EP，

∴S△EPH=S△EPD，

∵S四邊形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD

=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD

=S△ABP+S△APH+S△PBD

=S△ABP+S△FPD+S△PBD

=S△ABP+S△FBP

故答案為：C.7．如圖，在△ABC中，AD，BE分別為BC，AC邊上的高，AD，BE相交于點F，AD=BD，連接CF，則下列結論：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】①.如圖，延長CF交AB于H，∵AD，BE分別為∴∠BDF=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，∵AD=BD，∴∠ABD=45°=∠BAD=45°，∵∠DAC+∠ACB=∠DBF+∠ACB=90°，∴∠DAC=∠DBF，在△DBF和△DAC中，∠BDF=∠ADC=90°BD=AD∴△DBF≌△DACASA∴BF=AC，DF=DC，②.∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DFC>∠DAC，∴∠FCD>∠DAC，②錯誤；③.∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠BHC=180°?∠ABC?∠FCD=90°，∴CF⊥AB，③正確；④.∵BF=2EC，∴AC=2EC，∴AE=EC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，∴△FDC的周長=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，④正確，∴正確的有①③④．故選：C．

8．如圖，任意畫一個∠A=60°的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD，BE和CD相交于點P，連接AP，以下結論：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤SΔPBA正確的有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【解析】①∵BE、CD分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∠BAC=60°

∴∠PBC+∠PCB=12×（180°-∠BAC）=12×（180°-60°）=60°，

∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°，

故①正確，符合題意；

②過點P分別作出PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，如圖所示：

∵BE、CD分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴PF=PG=PH，

∴AP是∠BAC的角平分線，

故②正確，符合題意；

③∵假設AP=PC，則∠PAC=∠PCA，

∴∠BAC=∠BCA=60°，

∴△ABC是等邊三角形，這與題干中任意畫一個∠BAC=60°的△ABC不符合，

故③不正確，不符合題意；

④∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°，

∴∠FPG=120°，

∴∠DPF=∠EPG，

在△PFD和△PGE中，∠DFP=∠EGP=90°PF=PG∠DPF=∠EPG，

∴△PFD≌△PGE（ASA），

∴PD=PE，

在Rt△BHP和Rt△BFP中，BP=BPPF=PH，

∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），

同理可得：Rt△CHP≌Rt△CGP，

∴BH=BD+DF，CH=CE-GE，

兩式相加可得：BH+CH=BD+DF+CE-GE，

∵DF=EG，

∴BC=BD+CE，

故④正確，符合題意；

⑤∵AP是∠BAC的角平分線，

∴點P到AB和AC的距離相等，

∴S△ABP：S△ACP=AB：AC，

故⑤正確，符合題意；

綜上，正確的結論是9．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于點D，AC＝5，BC－AB＝2，則△ADC面積的最大值為（）A．2 B．2.5 C．4 D．5【答案】B【解析】如圖，延長CD、BA，交于點G，過G作GH⊥AC，交CA的延長線于點H，

∴∠GHA=90°，

∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，

∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，

在△BDG和△BDC中，∠DBG=∠DBCBD=BD∠BDG=∠BDC，

∴△BDG≌△BDC（ASA），

∴BC=BG，CD=DG，

∴S△ADC=12S△AGC，

又∵∠GHA=90°，AC=5，

∴S△AGC=12AC·GH=12×5GH=52GH，

∴S△ADC=12×52GH=54GH，

∵BC-AB=2，

∴BG-AB=AG=2，

∵GH≤AG，即GH≤2，

∴當G點與H點重合時，即AC⊥BG時，可得GH=AG=2，此時GH達到最大，

∴則GH的最大值為2，

∴△ADC的最大面積為：S△ADC=5①若∠BAD=70°，則∠EBC=5°；②BF=2EF；③BE=CE；④AB=BG+AD．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】①∵∠ACB=60°,∠BAD=70°，且∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ABC=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-70°=50°，∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=25°，∠BAG=∠CAG=1∴∠BFE=∠ABD+∠BAG=25°+35°=60°，

∵BE⊥AG，

∴∠BEF=90°，

∴∠FBE=90°-60°=30°，∴∠EBC=∠FBE-∠FBC=35°-30°=5°，

∴此結論正確；②∵∠ACB=60°，∴∠BAC+∠ABC=120°，∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=1∴∠BFE=∠ABF+∠BAF=1∵BE⊥AG，

∴∠BEF=90°，∴∠FBE=90°-60°=30°，∴BF=2EF，∴此結論正確；③如圖，延長BE，AC交于點H，

在△ABE和△AHE中，∠BAE=∠HAE∴△ABE≌△AHE（ASA），∴BE=HE，∴點E為線段BH中點，∴只有當∠BCH=90°時，CE=1由題意知：∠ACB=60°，∴BE≠CE，∴此結論錯誤；④如圖，在AB上截取BN=BG，連接NF，在△ABE和△AHE中，BN=BG∠ABD=∠CBDBF=BF

∴∴∠BFN=∠BFG=60°，

而∠AFD=∠BFG，∴∠AFN=∠AFD=60°，

在△AFD和△AFN中，∠BAG=∠CAG∴△AFD≌△AFN（ASA），∴AD=AN，∴AB=BN+AN=BG+AD，∴此結論正確．故答案為：B.二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）要注意認真看清題目的條件和要填寫的內容，盡量完整地填寫答案.11．在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是.【答案】9＜AB＜19【解析】延長AD到E，使DE=AD，連接BE.在△ADC和△EDB中，∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE（全等三角形的對應邊相等）.∵AC=5，AD=7，∴BE=5，AE=14.在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，∴AB邊的取值范圍是：9＜AB＜19.故答案為9＜AB＜19.12．如圖，△ABC的角平分線BD、CE交于點O．延長BC至F，CG與BD的延長線相交于點G，且∠A=2∠G，OD:DG=3:4，若△DOC的面積為6，CG=10，則線段CO的長度為．【答案】14【解析】設∠G=α，∠ABD=β，∵BD平分∠ABC，∠A=2∠G，∴∠ABC=2β，∠DBC=∠ABD=β，∠A=2∠G=2α，∴∠ACF=2α+2β，∠GCF=α+β，∴∠ACG=∠GCF=1∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=1∴∠ECG=1∵S△ODC∴S∴S∵∠ECG=90°，∴S∴OC=14故答案為：14【分析】13．如圖，已知四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC為度.【答案】32【解析】過C點作∠ACE=∠CBD，如圖所示：

∵∠BCD+∠DCA=180°，∠BCD+∠CBD+∠BDC=180°，∴∠ECD=∠BDC，∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ACE，∴∠BAC=∠CEB=64°，∴∠BDC=12故答案為：32．14．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三條角平分線AD，BE，CF交于點O，OH⊥BC于點H．下列結論：①∠BOC＝120°，②∠DOH＝∠OCB－∠OBC，③OD平分∠BOC，④OE＝OF，其中正確的結論序號有．【答案】①②④【解析】①∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴12∵∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，②∵OH⊥BC于H，∴∠OHD=90°，∴∠DOH=90°?∠ODH=90°?(∠BAD+∠ABC)=90°?∠BAD?∠ABC，∵∠BAD=1∴∠DOH=90°?1∵∠OCB?∠OBC=12∠ACB?12ABC③∵∠BAC=60°，∠ABC<60°，∴∠ACB>60°，∴∠ABC<∠ACB，∵12∠ABC<12ACB，∴∠ABO=1∵∠OAB=∠OAC，∴∠OBA+∠OAB<∠OCA+∠OAC，∴∠BOD<∠COD，故③錯誤；④如圖，過點O作OM⊥AB于點M，ON⊥AC于點N，∵AD平分∠BAC，∴OM=ON，∠OAM=∠OAN=1∵∠AMO=∠ANO=90°，∴∠AOM=∠AON=90°?30°=60°，∵∠BOC=120°，∴∠BOF=180°?120°=60°，

∴∠BOD+∠FOM=180°?60°?60°=60°，∵∠AOE+∠EON=∠AON=60°，∠BOD=∠AOE，∴∠FOM=∠EON.∵∠OMF=∠ONE=90°，OM=ON，∴△OMF≌△ONE，∴OE=OF，故④正確.綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．15．如圖，△ABC中，AC－AB＝4，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，若△BCD的面積最大值為20，此時BC=.【答案】20【解析】如圖：延長AB，CD交點于E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADE=90°，在△ADE和△ADC中，∠ADE=∠ADCAD=AD∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC=AE，DE=CD；∵AC-AB=4，∴AE-AB=4，即BE=4；∵DE=DC，∴S△BDC=12S△BEC∴當BE⊥BC時，S△BDC面積最大，即S△BDC最大面積=12×1∴BC=20.故答案為：20.

16．如圖，已知ΔABC三內角的角平分線交于點D，三邊的垂直平分線交于點E，若∠BDC=130°，則∠BEC=度．【答案】160【解析】如圖1，連接AD，∵在ΔBDC中，∠BDC=130°，∴∠DBC+∠DCB=180°?∠BDC=50°．∵ΔABC三內角的角平分線交于點D，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，同理可得，∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∵在ΔABC中，∠BAD+∠DAC+∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD=180°，又∵∠BAD=∠DAC，∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∴∠DBC+∠DCB+∠DAC=90°，∵∠DBC+∠DCB=50°，∴∠DAC=90°?(∠DBC+∠DCB)=40°．如圖2，連接AE，∵ΔABC三邊的垂直平分線交于點E，∴EA=EB=EC，∴∠EAB=∠EBA，∠EBC=∠ECB，∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=40°，∠DAC=∠DAB，∴∠BAC=∠DAC+∠DAB=80°，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE，∴∠BAE+∠CAE=80°，∵∠EAB=∠EBA，∠EAC=∠ECA，∴∠ABE+∠ACE=80°，即∠ABD+∠DBE+∠ACD+∠DCE=80°，∵∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∴∠CBD+∠DBE+∠BCD+∠DCE=80°，∵∠DBC+∠DCB=50°，∴∠DBE+∠DCE=80°?50°=30°，∵∠DBC+∠DCB=50°∴∠DBE+∠EBC+∠ECB+∠DCE=50°，∵∠EBC=∠ECB，∠DBE+∠DCE=30°，∴2∠ECB=50°?(∠DBE+∠DCE)=20°，∴∠ECB=∠EBC=10°，∴在ΔBEC中，∠BEC=180°?∠ECB?∠EBC=160°．故答案為：160．三、解答題（本題有8小題，每題12分，共96分）解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟.17．在△ABC中，∠A=70°，點D，E分別是邊AC，AB上的點（不與A，B，C重合），點P是平面內一動點（P與D，E不在同一直線上），設（1）若點P在邊BC上運動（不與點B和點C重合），如圖（1）所示，則∠1+∠2=___________（用含∠α的代數(shù)式表示）；（2）若點P在ABC的外部，如圖（2）所示，則∠α，（3）當點P在邊BC的延長線上運動時，試畫出相應圖形，標注有關字母與數(shù)字，并寫出對應的∠α，【答案】（1）∠α+70°（2）解：結論：∠2?∠1=∠α?70°，證明如下：

如圖，

∵∠AFD=∠1?∠A=∠1?70°，∠2=∠α+∠PFE，

∵∠PFE=∠AFD，

∴∠2=∠α+∠1?70°，

∴∠2?∠1=∠α?70°．（3）解：∠2?∠1=∠α+70°或∠2?∠1=70°?∠α【解析】（1）解：∵∠AEP=180°?∠2，∠ADP=180°?∠1，∴180°?∠1+180°?∠2+∠α+70°=360°（四邊形內角和定理），∴∠1+∠2=∠α+70°；故答案為：∠α+70°；（3）解：如圖（3），∵∠AFE=∠2?∠A=∠2?70°，∠CFP=∠1+∠α，∵∠AFE=∠CFP，∴∠2?70°=∠1+∠α，∴∠2?∠1=∠α+70°．如圖（4），∵∠AFE=∠2?∠A=∠2?70°，∠CFP=∠1?∠α，∵∠AFE=∠CFP，∴∠2?70°=∠1?∠α，∴∠2?∠1=70°?∠α．綜上所述，∠2?∠1=∠α+70°或∠2?∠1=70°?∠α．18．（1）如圖1，在△ABC中，AB=5，AC=7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE=AD，連結CE，把AB，AC，2AD集中在△ACE中，利用三角形三邊關系可得AD的取值范圍．請寫出AD的取值范圍，并說明理由（2）如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF>EF．小艾同學受到（1）的啟發(fā)，在解決（2）的問題時，延長ED到點H，使DH=DE……，請你幫她完成證明過程．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠A+∠C=180°，∠ADC=120°，DA=DC，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF=60°，連結EF，試探索線段AF，EF，CE之間的數(shù)量關系，并加以證明．【答案】解：（1）∵DE=AD，∴AE=2AD，

∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，

在△ABD和△ECD中，BD=CD∠ADB=∠EDCAD=ED，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴AB=EC，

∵AB=5，

∴CE=5，

在△ACE中，AC?CE＜AEAC+CE＞AE，

∴7?5＜2AD7+5＞2AD

解得：AD＞1AD＜6，

∴AD的取值范圍是1＜AD＜6；

（2）證明：延長ED到點H，使DH=DE，連接CH，F(xiàn)H，如圖所示：

∵DH=DE，DE⊥DF，

∴DF垂直平分EH，

∴EF=HF，

∵AD是BC邊上的中線，

∴DB=DC，

在△DCH和△DBE中，DH=DE∠HDC=∠BDEDC=DB，

∴△DCH≌△DBE（SAS），

∴CH=BE，

在△CFH中，CH+CF＞FH，

∴BE+CF＞EF；

（3）AF+CE=EF，

理由：延長BC到H，使得CH=AF，如圖所示：

∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCH=180°，

∴∠A=∠DCH，

在△ADF和△CDH中，DA=DC∠A=∠DCHAF=CH，

∴△ADF≌△CDH（SAS）

∴∠ADF=∠CDH，DF=DH，

∵∠ADC=120°，∠EDF=60°，

∴∠ADF+∠EDC=∠ADC-∠EDF=60°，

∴∠CDH+∠EDC=60°，即∠EDH=60°，

∴∠EDF=∠EDH，

在△DEF和△DEH中，

DF=DH∠EDF=∠EDHDE=DE，

∴△DEF≌△DEH（SAS），19．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）若∠A=60°，則∠BPC的度數(shù)是；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關系；（3）如圖③，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，求∠A的度數(shù)．【答案】（1）120°；（2）解：∠Q，∠A之間的數(shù)量關系是∠Q=90°?12∠A，理由如下：

∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，∠ACB+∠A+∠ABC=180°，

∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，

∵點Q是∠MBC和∠NCB的角平分線的交點，

∴∠QBC=12∠MBC,∠QCB=12∠NCB，

∴∠QBC+∠QCB=12∠MBC+∠NCB=（3）解：∵PB平分∠ABC，BQ平分∠MBC，∠ABC+∠MBC=180°，

∴∠PBC=12∠ABC，∠QBC=12∠MBC，

∴∠PBC+∠QBC=12∠ABC+∠MBC=12×180°=90°，

即∠EBQ=90°，

∴∠E+∠Q=90°，

由（2）可知：∠Q=90°?12∠A，

∴∠E+90°?12∠A=90°，

∴∠A=2∠E，

如果在△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，那么有以下四種情況：

①當∠EBQ=3∠E時，則3∠E=90°，

∴∠E=30°，

此時∠A=2∠E=60°，

②當∠EBQ=3∠Q時，則3∠Q=90°，

∴∠Q=30°，則∠E=60°，

此時∠A=2∠E=120°，

③當∠Q=3∠E時，則∠E+3∠E=90°，

∴∠E=22.5°，

此時∠A=2∠E=45°，

④當∠E=3∠Q時，則3∠Q+∠Q=90°，

∴【解析】（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°-60°=120°，∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P，∴∠PBC=12∠ABC∴∠PBC+∠PCB=1∴∠BPC=180°?故答案為：120°；

20．三個等角的頂點在同一條直線上，稱一線三等角模型（角度有銳角、直角、鈍角，若為直角，則又稱一線三垂直模型），解決此模型問題的一般方法是利用三等角關系找全等三角形所需角的相等條件，利用全等三角形解決問題．

（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為D、E．求證：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角，那么結論DE=BD+CE是否仍成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，將（1）中的條件改為：AB=AC，A、E、D三點都在直線m上，且有∠BDF=∠DEC=∠BAC=β，其中β為任意銳角，那么結論DE=BD+CE是否仍成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）證明：∵BD⊥m，CE⊥m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠CAE+∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠ACE，

∵AB=AC，

∴?BDA??AEC，

∴BD=AE，AD=CE，

∴DE=DA+AE=EC+BD，

∴DE=EC+BD.（2）解：結論DE=BD+CE成立，理由如下：

∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，

∴∠BAD+∠CAE=180°?∠BAC=180°?α，∠ACE+∠CAE=180°?∠AEC=180°?α，

∴∠BAD=ACE，

∵AB=AC，∠BDA=∠AEC，

∴?BDA??AEC，

∴BD=AE，AD=CE，

∴DE=DA+AE=EC+BD，

∴DE=EC+BD.（3）解：結論DE=BD+CE不成立，理由如下：

∵∠BDF=∠B+∠BAD，∠DEC=∠C+∠EAC，∠BAC=∠EAC+∠BAD，

且∠BDF=∠DEC=∠BAC=β，

∴β=∠B+∠BAD，β=∠C+∠EAC，β=∠EAC+∠BAD，

∴∠B=∠EAC，∠C=∠BAD，

∵AB=AC，

∴?BDA??AEC，

∴BD=AE，AD=CE，

∵AD=AE+DE，

∴EC=BD+DE.

∴DE=EC?BD.21．綜合與實踐【知識生成】三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分．已知：如圖1，在△ABC中，點D是BC邊上的中點，連接AD．求證：S△ABD＝S△ACD．證明：過點A作AE⊥BC于E∵點D是BC邊上的中點∴BD＝CD∵S∴S△ABD＝S△ACD【拓展探究】（1）如圖2，在△ABC中，點D是BC邊上的中點，若S△ABC＝6，S△ABD＝；（2）如圖3，在△ABC中，點D是BC邊上的點且CD＝2BD，S△ABD和S△ABC存在怎樣的數(shù)量關系？請模仿寫出證明過程；（3）【問題解決】現(xiàn)在有一塊四邊形土地ABCD（如圖4），熊大和熊二都想問老熊要這塊地，老熊讓他們平分，可他們誰都沒法平分，請你來幫幫忙．要求：用不超過三條的線段畫出平分方法，并對作法進行描述．可利用帶刻度的直尺．【答案】（1）3（2）證明：如圖，作AP⊥BC于點P，

∵CD+BD=BC，CD＝2BD，

∴BD=13BC，

∵S△ABD=12BD·AP=12×13BC×AP=13×12BC×AP，S△ABC=12BC·AP=12BC×AP，

（3）解：如圖，連接BD，取BD的中點Q，連接AQ、CQ，則折線AQ-QC將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分.

理由：∵Q是BD的中點，

∴AQ是△ABD的中線，CQ是△BCD的中線，

∴S△ABQ=S△AQD，S△BQC=S△CQD，∴S△ABQ+S△BQC=S△AQD+S△CQD，∴折線AQ-QC將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分.【解析】（1）∵點D是BC邊上的中點，

∴S△ABD=S△ACD

∵S△ABC＝6，

∴S△ABD=12S△ABC＝3；

22．課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，且AB+BD=AC，求證：∠ABC=2∠ACB，小明的方法是：如圖2，在AC上截取AE，使AE=AB，連接DE，構造全等三角形來證明.（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段AB構造全等三角形進行證明.輔助線的畫法是：延長AB至F，使BF=▲，連接DF請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應的輔助線；（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學們提出了如下的問題：如圖3，點D在△ABC的內部，AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD=AC.求證：∠ABC＝2∠ACB.請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；（3）小東將老師所給問題中的一個條件和結論進行交換，得到的命題如下：如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，點D在邊BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的.請你利用圖4對這個命題進行證明.【答案】（1）解：BD；證明：如圖1，延長AB至F，使BF=BD，連接DF，則∠BDF=∠F，∴∠ABC=∠BDF+∠F=2∠F，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD，∵AB+BD=AC，BF=BD，∴AF=AC，在△ADF和△ADC中，AF=AC∠BAD=∠CADAD=AD，∴∴∠ACB=∠F，∴∠ABC=2∠ACB.（2）證明：如圖3，在AC上截取AE，使AE=AB，連接DE∵AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴∠DAB=∠DAE，∠DBA=∠DBC，∠DCA=∠DCB，∵AB+BD=AC，AE=AB，∴DB=CE，在△ADB和△ADE中，AB=AE∠DAB=∠DAE∴△ADB?△ADE（SAS），∴BD=DE，∠ABD=∠AED，∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠AED=2∠ECD，∴∠ABD=2∠ECD，∴∠ABC=2∠ACB.（3）證明：如圖4：延長AB至G，使BG=BD，連接DG，則∠BDG=∠AGD，∴∠ABC=∠BDG+∠AGD=2∠AGD，∵∠ABC=2∠ACB，∴∠AGD=∠ACB，∵AB+BD=AC，BG=BD，∴AG=AC，∴∠AGC=∠ACG，∴∠DGC=∠DCG，∴DG=DC，在△ADG和△ADC中，AG=ACDG=DCAD=AD，∴∠DAG=∠DAC，即AD平分∠BAC.23．已知，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD邊上的點．且∠EAF=1（1）為探究上述問題，小寧先畫出了其中一種特殊情況，如圖①當∠B=∠D=90°，小寧探究此問題的方法是：延長EB到點G，使BG=DF，連接AG，請你補全小寧的解題思路：先證明ΔABG≌________；再證明Δ（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且（3）在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD所在直線上的點，且∠EAF=1【答案】（1）Δ（2）答：（1）中的結論仍然成立，理由如下：

如圖②，延長EG到點G，使BG=DF，連接AG，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°，

∴∠D=∠ABG，

在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠DBG=DF，

∴△ABG≌△ADF(SAS)，

∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，

∴∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF，

∴∠GAF=∠BAD，

∵∠EAF=12∠BAD，

∴∠EAF=12∠GAF

∴∠GAE=∠EAF，

在△AEG與△AEF中，AG=AF∠GAE=∠EAFAE=AE，

∴△AEG≌△AEF(SAS)（3）EF=BE?FD或EF=FD?BE或EF=BE+FD；【解析】（1）解：補全小寧的解題思路如下：先證明△ABG≌△ADF；再證明△