專題11圖形的位似變換與綜合與實踐測量與誤差（4個知識點8種題型2種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.位似圖形的概念（重點）知識點2.圖形的放大與縮小（重點）知識點3.平面直角坐標(biāo)系中圖形的位似變換知識點4.利用相似三角形解決測量問題（重點）【方法二】實例探索法題型1.利用位似圖形求圖形的面積、周長等。題型2.畫位似圖形題型3.確定位似中心題型4.平面直角坐標(biāo)系中的位似圖形題型5.利用相似三角形解決測量問題題型6.利用位似圖形解決實際問題題型7.位似與相似、函數(shù)的綜合運用題型8.規(guī)律探究題【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1.位似變換考法2.相似三角形的應(yīng)用【方法五】成果評定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)會用位似變換把一個圖形放大或縮小，了解平面直角坐標(biāo)系下位似變換圖形坐標(biāo)的特點。了解相似變換、位似變換，位似圖形及其有關(guān)概念。掌握常用的測量物體高度的方法，并會用這些方法測量物體的高度?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.位似圖形的概念（重點）1）兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。2）相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。4)、位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離比等于相似比。【例1】（2022秋·九年級單元測試）如圖，下面三組圖形中，位似圖形有（）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：三組圖形都是相似圖形，第一組和第三組圖形的對應(yīng)點連線所在的直線經(jīng)過同一點，第二組圖形的對應(yīng)點連線所在的直線不經(jīng)過同一點，第一組和第三組圖形是位似圖形，第二組不是位似圖形，故選：C．【點睛】本題考查了位似圖形，熟練掌握位似圖形必須同時滿足兩個條件：①兩個圖形是相似圖形；②兩個相似圖形每組對應(yīng)點連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，二者缺一不可．【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的定義判斷即可．故選：D．【點睛】本題主要考查了位似圖形的定義，熟練掌握位似圖形的定義是解本題的關(guān)鍵．知識點2.圖形的放大與縮小（重點）利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點并延長）；③根據(jù)相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點，得到圖形。【例2】（2021春·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如果一個圖形上各點的橫坐標(biāo)保持不變，而縱坐標(biāo)分別都變化為原來的，那么所得的圖形與原圖形相比()A．形狀不變，圖形縮小為原來的一半B．形狀不變，圖形放大為原來的2倍C．整個圖形被橫向壓縮為原來的一半D．整個圖形被縱向壓縮為原來的一半【答案】D【詳解】試題解析：∵一個圖形上各點的橫坐標(biāo)保持不變，而縱坐標(biāo)分別都變化為原來的，∴整個圖形被縱向壓縮為原來的一半故選D．考點：位似變換．知識點3.平面直角坐標(biāo)系中圖形的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點為位似中心，畫一個與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點的坐標(biāo)為(x，y)，則位似圖形上與它對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(kx，ky)或(kx，ky).【答案】D【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或解答．故選：D．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換位似變換，熟知位似變換規(guī)則是解答的關(guān)鍵．【答案】A【分析】根據(jù)面積比可得相似比為，然后可得答案．故選：A．【點睛】此題考查了位似圖形的性質(zhì)，此題比較簡單，注意在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或．知識點4.利用相似三角形解決測量問題（重點）（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度．（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達(dá)的兩點間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．（3）借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．【答案】B【分析】求出的長度，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可．【詳解】解：如圖，∵小明與大樹都與地面垂直，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，判斷出相似三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式是解題的關(guān)鍵．A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米【答案】B∴水面以上深度CD為3米．故選：B．【方法二】實例探索法題型1.利用位似圖形求圖形的面積、周長等。A．10 B．6 C．5 D．4【答案】B故選B．【點睛】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系，熟記相似圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．A．4 B．6 C．8 D．18【答案】D故選：D．【點睛】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系，熟記相似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)位似比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方，進(jìn)行求解即可．故選：A．【點睛】本題考查位似圖形，相似多邊形的性質(zhì)．熟練掌握位似比等于相似比，是解題的關(guān)鍵．

【答案】B正方形ODEF與正方形OABC的周長為，故選：B．【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或．題型2.畫位似圖形(2)見解析（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案；（3）利用位似圖形的性質(zhì)即可求解．

【點睛】本題考查了作圖位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或．也考查了位似的性質(zhì)．題型3.確定位似中心A．G點 B．F點 C．E點 D．D點【答案】B【分析】如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行，這個點叫做位似中心，據(jù)此解答即可．【詳解】由位似中心的定義可知，此位似中心可以是點F，故選：B【點睛】本題考查了位似中心，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握位似中心的定義．【答案】B【分析】找位似圖形的位似中心直接連接位似圖形的對應(yīng)點并延長，延長線的交點即所找位似中心，寫出坐標(biāo)即可．【詳解】作圖如下：延長線的交點為(7,0)，位似中心即為(7,0)．故選：B．【點睛】本題考查了找位似圖形的位似中心，理解位似中心的定義做出圖像是做出本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·山西太原·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形．位似中心是（）A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1）【答案】C【分析】連接兩組對應(yīng)點，對應(yīng)點的連線的交點即為位似中心．【詳解】解：如圖，點E即為位似中心，E（10，0），故選：C．【點睛】此題考查了位似中心的定義：位似圖形的對應(yīng)點的連線的交點即為位似中心，熟記定義是解題的關(guān)鍵．9．（2021春·湖北武漢·九年級華中科技大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圖中的兩個三角形是位似圖形，則它們的位似中心是（）A．點P B．點Q C．點R D．點S【答案】A【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點連線的交點，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：如圖所示：圖中的兩個三角形的位似中心是點P．故選：A．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型4.平面直角坐標(biāo)系中的位似圖形【分析】（1）根據(jù)題目中給出的平移方式，描點畫圖即可；（2）根據(jù)相似比找到對應(yīng)點和即可．【點睛】本題主要考查了圖形的平移變換，位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(1)在圖中畫出位似中心的位置，并寫出位似中心的坐標(biāo)；【答案】(1)見解析(2)，【分析】（1）連接、，兩線相交于點D，根據(jù)位似中心的概念、結(jié)合圖形解答即可；故答案為：，．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線所在直線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．題型5.利用相似三角形解決測量問題【答案】路燈的高度約為6.0m【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解這道題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題只要把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．13.為了測量校園水平地面上一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計如下圖所示的測量方案：把一面很小的鏡子水平放置在離B（樹底）8.4米的點E處，然后沿著直線BE后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE=3.2米，觀察者目高CD=1.6米，求樹AB的高度．【答案】樹AB的高度為4.2米分析：先過E作EF⊥BD于點E，再根據(jù)入射角等于反射角可知，∠1=∠2，故可得出∠DEC=∠AEB，由CD⊥BD，AB⊥BD可知∠CDE=∠ABE，進(jìn)而可得出△CDE∽△ABE，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出大樹AB的高度．【解析】過點E作EF⊥BD于點E，則∠1=∠2，∵∠DEF=∠BEF=90°，∴∠DEC=∠AEB，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDE=∠ABE=90°，∴△CDE∽△ABE，∴=，∵DE=3.2米，CD=1.6米，EB=8.4米，∴=，解得AB=4.2（米）．答：樹AB的高度為4.2米．點睛：此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出△CED∽△AEB，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出結(jié)論.題型6.利用位似圖形解決實際問題14．（2023秋·山西忻州·九年級校考期末）閱讀與思考下面是某興趣小組的一次實踐活動記錄：興趣小組札記【點睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．（2）按要求補全圖形即可．故答案為：2；【點睛】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解弦圖證明勾股定理．(1)①P、Q第一次相遇時，點P的坐標(biāo)為________；②求拋物線的解析式，并寫出頂點坐標(biāo)；(3)的值為或．由對稱性可知，停止運動時，的橫坐標(biāo)為9，方程無實數(shù)解，不可能在放大倍后的拋物線上；綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，動點問題，位似變換等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點坐標(biāo)和相關(guān)相等的長度．題型7.位似與相似、函數(shù)的綜合運用17.如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．點P從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA向點A勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點C勻速運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點隨之停止．（1）求經(jīng)過幾秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的25（2）經(jīng)過幾秒，△PCQ與△ABC相似？【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，△PCQ的面積等于△ABC面積的25，根據(jù)三角形的面積和已知列出方程，求出方程的解即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定得出兩種情況，再求出t【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，△PCQ的面積等于△ABC面積的2512?2x?(8-x)=12×10×8×25，解得：x答：經(jīng)過4秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的25（2）設(shè)經(jīng)過t秒，△PCQ與△ABC相似，因為∠C＝∠C，所以分為兩種情況：①PCBC=CQAC，2t②PCAC=CQBC，2t答：經(jīng)過167秒或4013秒時，△PCQ與△【點評】本題考查了三角形的面積，直角三角形，相似三角形的判定等知識點，能得出關(guān)于x的方程是解（1）的關(guān)鍵，能求出符合的所有情況是解（2）的關(guān)鍵．題型8.規(guī)律探究題18.如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點D由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間t；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形BDE邊BE的高即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)分兩種情況說明即可．【解答】解：（1）分別過點D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足為F、G；如圖；∴DF∥AG，DFAG=BDAB∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴DF6=10-t10解得DF=3∵S△BDE=12BE?DF＝7.5∴35（10﹣t）?t＝15解得t＝5．答：t為5秒時，△BDE的面積為7.5（2）存在．理由如下：①當(dāng)BE＝DE時，△BDE∽△BCA，∴BEAB=BDBC即t②當(dāng)BD＝DE時，△BDE∽△BAC，BEBC=BDAB即t答：存在時間t為5013或8013秒時，使得△BDE與△【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是動點變化過程中形成不同的等腰三角形．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1.位似變換1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，∵點C的坐標(biāo)為（3，2），∴點F的坐標(biāo)為（3×2，2×2），即（6，4），故選：C．【點評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．2．（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，2），B（4，1），以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案．【解答】解：∵以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點A的坐標(biāo)為（2，2），∴點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故選：D．【點評】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．3．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點坐標(biāo)分別是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內(nèi)點B′的坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，可得四邊形OA′B′C′與四邊形OABC的位似比是2：1，進(jìn)而得出各對應(yīng)點位置，進(jìn)而得第一象限內(nèi)點B′的坐標(biāo)．【解答】解：∵四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，∴四邊形OA′B′C′與四邊形OABC的位似比是2：1，∵點B（2，3），∴第一象限內(nèi)點B′的坐標(biāo)為（4，6）．故答案為：（4，6）．【點評】本題考查作圖﹣位似變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．4．（2023?阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是．【分析】先利用位似的性質(zhì)得到△ABC∽△DEF，相似比為2：3，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問題．【解答】解：∵△ABC與△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，位似比為2：3，∴△ABC∽△DEF，相似比為2：3，∴△ABC與△DEF的面積之比為22：32＝4：9．故答案為：4：9．【點評】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．5．（2023?盤錦）如圖，△ABO的頂點坐標(biāo)是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點O為位似中心，將△ABO縮小為原來的，得到△A′B′O，則點A′的坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案．【解答】解：∵以原點O為位似中心，把△ABC縮小為原來的，可以得到△A'B'O，點A的坐標(biāo)為（2，6），∴點A'的坐標(biāo)是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（，2）或（﹣，﹣2）．故答案為：（，2）或（﹣，﹣2）．【點評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．考法2.相似三角形的應(yīng)用6．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解答】解：如圖：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解答．7．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，用一個卡鉗（AD＝BC，＝＝）測量某個零件的內(nèi)孔直徑AB，量得CD長度為6cm，則AB等于cm．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長．【解答】解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝6cm，∴AB＝6×3＝18（cm），故答案為：18．【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，求出AB的值是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為米．【分析】過點F作FG⊥CD，垂足為G，延長FG交AB于點H，根據(jù)題意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，從而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后證明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出BH的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：過點F作FG⊥CD，垂足為G，延長FG交AB于點H，由題意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度為18.2米，故答案為：18.2．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）《墨經(jīng)》最早述及的小孔成像，是世界上最早的關(guān)于光學(xué)問題的論述．如圖是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)注的尺寸，這支蠟燭在暗盒中所成的像的長是（

）【答案】B故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解小孔成像原理給我們帶來的已知條件，還有會用相似三角形對應(yīng)邊成比例．【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)計算即可得到答案．故選B．【點睛】本題考查的是位似圖形，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點坐標(biāo)的比等于或．【答案】D故選：D．【點睛】本題考查的是位似變換的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【答案】B故選B．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化—位似變換．根據(jù)題意求出位似比是解題關(guān)鍵．【答案】B故選：B．【點睛】本題考查了作圖位似變換，熟練掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖是趙師傅利用一塊三角形的白鐵皮剪成一塊正方形鐵皮備用．在△ABC中，BC＝120，高AD＝80，正方形EFGH的邊GH在邊BC上，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，則正方形EFGH的邊長為（

）A．36 B．42 C．48 D．54【答案】C【詳解】解：設(shè)正方形零件的邊長為x在正方形EFGH中，EF∥BC，EH∥AD∴∠AEF=∠ABC，∠EAF=∠BAC；∠BHE=∠BDA，∠B=∠B∴△AEF∽△ABC，△BEH∽△BAD解得：x＝48即：正方形零件的邊長為48；故選：C．【點睛】本題考查綜合考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用以及正方形的有關(guān)性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【答案】C故選：C．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握并運用“相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比”是解答此題的關(guān)鍵．【答案】A【詳解】解：點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為，故選：．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．【答案】C【分析】先求出兩個高腳杯液體的高度，再通過三角形相似，建立其對應(yīng)邊的比與對應(yīng)高的比相等的關(guān)系，即可求出AB．【詳解】解：由題可知，第一個高腳杯盛液體的高度為：157=8（cm），第二個高腳杯盛液體的高度為：117=4（cm），因為液面都是水平的，圖1和圖2中的高腳杯是同一個高腳杯，所以圖1和圖2中的兩個三角形相似，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，與圖形建立關(guān)聯(lián)，能靈活運用相似三角形的判定得到相似三角形，并能運用其性質(zhì)得到相應(yīng)線段之間的關(guān)系等，本題對學(xué)生的觀察分析的能力有一定的要求．【答案】D【分析】欲求投影圓的面積，可先求出其直徑，而直徑可通過構(gòu)造相似三角形，由相似三角形性質(zhì)求出．【詳解】解：構(gòu)造幾何模型如圖：故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．二、填空題【答案】故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．【答案】，【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和位似的性質(zhì)計算即可；點的坐標(biāo)為：，．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·安徽蚌埠·九年級校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且位似比為．點A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點坐標(biāo)為．【答案】（3，2）【詳解】解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且位似比為，而BE=EF=6，∴BC=2，OB=3，∴C（3，2）．故答案為：（3，2）．【點睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．【答案】6【分析】根據(jù)周長之比等于位似比計算即可．故答案為：6．【點睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的周長之比等于位似比是解題的關(guān)鍵．【點睛】本題考查了位似變換的性質(zhì)，掌握位似比等于相似比，其對應(yīng)的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵，注意在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)比等于．【答案】2.7故答案為：2.7【點睛】本題考查了相似三角形應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．17．（2022秋·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB表示一個窗戶的高，AM和BN表示射入室內(nèi)的光線，窗戶的下端到地面的距離BC＝1m．已知某一時刻BC在地面的影長CN＝1.5m，AC在地面的影長CM＝4.5m，則窗戶的高度為m．【答案】2【分析】陽光可認(rèn)為是一束平行光，由光的直線傳播特性可知透過窗戶后的光線與仍然平行，由此可得出一對相似三角形，由相似三角形性質(zhì)可進(jìn)一步求出的長，即窗戶的高度．答：窗戶的高度是．故答案為：2．【點睛】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．18．（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖，小明在A時測得垂直于地面的樹的影長為4米，B時又測得該樹的影長為12米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為米．【答案】答：樹的高度為米．故