深圳布吉街道布吉中學(xué)中考數(shù)學(xué)期末二次函數(shù)和幾何綜合匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．若一個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量在不同范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)表達(dá)式不同，我們稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．下面我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，探究分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)．列表：描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，觀察描出的這些點(diǎn)的分布，作出函數(shù)圖象；研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表格，回答下列問題：點(diǎn)，，，在函數(shù)圖象上，則______，______；填“”，“”或“”當(dāng)函數(shù)值時(shí)，求自變量x的值；在直線的右側(cè)的函數(shù)圖象上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，，且，求的值；若直線與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．2．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線交于點(diǎn)，試探究當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．某數(shù)學(xué)興趣小組在探究函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象和性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了以下探究過程：（1）列表（完成下列表格）．x…﹣3﹣2﹣1﹣0123…y…632236…（2）描點(diǎn)并在圖中畫出函數(shù)的大致圖象；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，完成以下問題：①觀察函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象，以下說法正確的有（填寫正確的序號(hào)）A．對(duì)稱軸是直線x＝1；B．函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象有兩個(gè)最低點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是（﹣1，2）、（1，2）；C．當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大；D．當(dāng)函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向下平移3個(gè)單位時(shí)，圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)；E．函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的圖象，可以看作是函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向右平移2個(gè)單位得到．②結(jié)合圖象探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)m滿足時(shí)，方程x2﹣2|x|+3＝m有四個(gè)解．③設(shè)函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象與其對(duì)稱軸相交于P點(diǎn)，當(dāng)直線y＝n和函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，且這兩個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)P所構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，求n的值．4．在正方形ABCD中，AB＝4cm，AC為對(duì)角線，AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，M是AB邊的中點(diǎn)，連接PM、PB，設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為xcm，PM＋PB長度為ycm.小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.下面是小東的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）通過取點(diǎn)、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如表：x/cm012345y/cm6.04.84.56.07.4（說明：補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù)）（2）建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象.（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：PM＋PB的長度最小值約為______cm.5．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，分別以AC，BC為邊向外側(cè)作正方形ACDE和正方形BCFG．（1）△ABC和△DCF面積的關(guān)系是______________；（請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫“相等”或“不等”）（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖2給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，且AC與BD的和為10，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外側(cè)作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI，正方形DALK，運(yùn)用（2）的結(jié)論，圖中陰影部分的面積和是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最大值，如果沒有，請(qǐng)說明理由．圖1圖2圖36．如圖，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求該拋物線L的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）拋物線與拋物線L關(guān)于直線對(duì)稱，P是拋物線L的B、M段上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線與點(diǎn)Q，點(diǎn)P、Q關(guān)于拋物線L的對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N．試探究是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形為正方形？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．7．綜合與探究．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣3x+4與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿OA以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作DP⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，連接BE．（1）求直線AC的表達(dá)式；（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為何值時(shí)，EC＝ED？（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，△EBP的周長是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．8．如果拋物線C1：與拋物線C2：的開口方向相反，頂點(diǎn)相同，我們稱拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線．（1）求拋物線的“對(duì)頂”拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線的“對(duì)頂”拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使所得拋物線與原拋物線形成兩個(gè)交點(diǎn)M、N，記平移前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)四邊形AMBN是正方形時(shí)，求正方形AMBN的面積．（3）某同學(xué)在探究“對(duì)頂”拋物線時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，那么系數(shù)b與d，c與e之間的關(guān)系是確定的，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系．9．綜合與探究如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)Q是線段PD的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M是直線BC上一點(diǎn)，N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以P，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．10．已知函數(shù)，某興趣小組對(duì)其圖像與性質(zhì)進(jìn)行了探究，請(qǐng)補(bǔ)充完整探究過程．…－3－2－112345……－6－22－2－1－2…（1）請(qǐng)根據(jù)給定條件直接寫出的值；（2）如圖已經(jīng)畫出了該函數(shù)的部分圖像，請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，補(bǔ)充該函數(shù)圖像，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）若，結(jié)合圖像，直接寫出的取值范圍．二、中考幾何壓軸題11．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．12．愛好思考的小明在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線相互垂直的三角形“中垂三角形”，如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．（特例研究）（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4時(shí)，a=b=；（歸納證明）（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖2證明你的結(jié)論；（拓展證明）（3）如圖4，?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相較于點(diǎn)G，AD=3，AB=3，求AF的長．13．我們定義：連結(jié)凸四邊形一組對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做四邊形的“準(zhǔn)中位線”．（1）概念理解：如圖1，四邊形中，為的中點(diǎn)，，是邊上一點(diǎn)，滿足，試判斷是否為四邊形的準(zhǔn)中位線，并說明理由．（2）問題探究：如圖2，中，，，，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以每秒6個(gè)單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．為線段上任意一點(diǎn)，連接并延長，射線與點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的兩邊分別相交于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．問為何值時(shí)，為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．（3）應(yīng)用拓展：如圖3，為四邊形的準(zhǔn)中位線，，延長分別與，的延長線交于點(diǎn)，請(qǐng)找出圖中與相等的角并證明．14．定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．（問題理解）(1)如圖1，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD、CD．求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；（拓展探究）(2)如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請(qǐng)說明理由；（升華運(yùn)用）(3)如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點(diǎn)F．若CD＝6，DF＝2，求AF的長．15．等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC于F，將腰AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過C作CE垂直于直線BB′，垂足為E，連接CB′．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為_______；連接EF，則的值為________．（2）拓展探究：當(dāng)，且時(shí)，①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；②解決問題：當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．16．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們結(jié)合下述情境，提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是矩形．探究展示：“興趣小組”提出的問題是：“如圖2，連接CE．求證：AE⊥CE．”并展示了如下的證明方法：證明：如圖3，分別連接AC，BD，EF，AF．設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，且AC=BD．又∵四邊形BEDF是矩形，∴EF經(jīng)過點(diǎn)O，∴OE=OF=EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四邊形AECF是平行四邊形．（依據(jù)1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四邊形AECF是矩形．（依據(jù)2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述證明過程中“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是什么？拓展再探：（2）“創(chuàng)新小組”受到“興趣小組”的啟發(fā)，提出的問題是：“如圖4，分別延長AE，F(xiàn)B交于點(diǎn)P，求證：EB=PB．”請(qǐng)你幫助他們寫出該問題的證明過程．（3）“智慧小組”提出的問題是：若∠BAP=30°，AE=，求正方形ABCD的面積．請(qǐng)你解決“智慧小組”提出的問題．17．在與中，且，點(diǎn)D始終在線段AB上（不與A、B重合）．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若度，的度數(shù)______，______；（2）類比探究：如圖2，若度，試求的度數(shù)和的值；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，M為DE的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，BM的最小值為多少？直接寫出答案．18．在矩形ABCD中，（k為常數(shù)），點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，D重合），將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與射線CB交于點(diǎn)E，連接AE．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，將點(diǎn)P移動(dòng)到對(duì)角線交點(diǎn)處，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，則=，∠AEP=；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，∠AEP的大小（填“改變”或“不變”）；（2）類比探究：如圖2，若k≠1時(shí)，當(dāng)k的值確定時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦EP的大小是否會(huì)隨著點(diǎn)P的移動(dòng)而發(fā)生變化，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：當(dāng)k≠1時(shí)，如圖2，連接PC，若PC⊥BD，，PC=2，求AP的長．19．如圖：兩個(gè)菱形與菱形的邊在同一條直線上，邊長分別為a和b，點(diǎn)C在上，點(diǎn)M為的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：如圖①，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是______________．（2）拓展探究：如圖②，，將圖①中的菱形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②位置，其他條件不變，連接，①猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②求出線段與所成的最小夾角．（3）解決問題：如圖③，若將題目中的菱形改為矩形，且，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系．20．類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，的延長線交射線于點(diǎn)．若，求的值．（1）嘗試探究在圖1中，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則和的數(shù)量關(guān)系是_________，和的數(shù)量關(guān)系是_________，的值是_________．（2）類比延伸如圖2，在原題的條件下，若，則的值是_________（用含有的代數(shù)式表示），試寫出解答過程．（3）拓展遷移如圖3，梯形中，，點(diǎn)是的延長線上的一點(diǎn)，和相交于點(diǎn)．若，，，則的值是________（用含、的代數(shù)式表示）．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、二次函數(shù)壓軸題1．A解析：（1）見解析；（2）①，；②x=3或x=-1；③2；④【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像的畫法，從左至右依次連接個(gè)點(diǎn)，即可解決；（2）①根據(jù)A點(diǎn)與B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，判斷兩點(diǎn)所在的函數(shù)圖像，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決即可；根據(jù)C點(diǎn)與D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，判斷兩點(diǎn)所在的函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)圖像解決即可.②當(dāng)時(shí)，判斷其所在的函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)解析式計(jì)算解決即可.③由圖可知時(shí)，所以兩點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性解決即可.④結(jié)合函數(shù)圖像，與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可知必須與兩函數(shù)圖像分別相交才可以，據(jù)此解決即可；【詳解】解：如圖所示：，，A與B在上，y隨x的增大而增大，；，，C與D在上，觀察圖象可得；②當(dāng)時(shí)，，不符合；當(dāng)時(shí)，，或；，在的右側(cè)，時(shí)，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，；④由圖象可知，當(dāng)與分段函數(shù)分別相交時(shí)才會(huì)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，觀察函數(shù)圖像y＞0，且y＜2，故a的取值范圍為.2．C解析：（1）（2）當(dāng)，四邊形是平行四邊形（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式列方程即可；（2）根據(jù)平行四邊形的判定，用含未知數(shù)的值表示QM的長度，從而可求解;（3）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為,分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：，當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：，可解出的值.【詳解】（1）令，則，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）；令，則解得，點(diǎn)A為（-1,0）；點(diǎn)B為（4,0）∴（2）如圖1所示：點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn),設(shè)直線BD的解析式為，將代入得：解得∴直線BD的解析式為：∵∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，則∴解得（不合題意，舍去）∴當(dāng)，四邊形是平行四邊形（3）存在，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∵是以BD為直角邊的直角三角形∴當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：即解得（不合題意，舍去）∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：即解得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和拋物線的綜合問題，解題的關(guān)鍵在于拿出函數(shù)解析式，會(huì)用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出關(guān)鍵的點(diǎn)的坐標(biāo)和線段的長度.3．B解析：（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）①B、D、E；②2＜m＜3；③n＝2或6．【分析】（1）把x＝﹣，0，分別代入函數(shù)表達(dá)式即可求解；（2）描點(diǎn)確定函數(shù)圖象；（3）①結(jié)合圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)即可求解；②根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可解答；③如圖，當(dāng)直線y＝n處于直線m或m′的位置時(shí)，由此即可求解．【詳解】（1）把x＝﹣，0，分別代入函數(shù)表達(dá)式得：y＝，3，；故答案為，3，；（2）描點(diǎn)確定函數(shù)圖象如下：（3）①A．對(duì)稱軸是直線x＝0，故錯(cuò)誤；B．函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象有兩個(gè)最低點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是（﹣1，2）、（1，2），故正確；C．當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，函數(shù)在y軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，故錯(cuò)誤；D．當(dāng)函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向下平移3個(gè)單位時(shí)，圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，正確；E．函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的圖象，可以看作是函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向右平移2個(gè)單位得到，正確；故答案為：B、D、E；②從圖象看，2＜m＜3時(shí)，方程x2﹣2|x|+3＝m有四個(gè)解；③如圖，當(dāng)直線y＝n處于直線m或m′的位置時(shí)，點(diǎn)P和圖象上的點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，即n＝2或6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想是解決問題的關(guān)鍵．4．H解析：（1）5.0；（2）見解析；（3）x＝2時(shí)，函數(shù)有最小值y＝4.5【分析】（1）通過作輔助線，應(yīng)用三角函數(shù)可求得HM+HN的值即為x=2時(shí)，y的值；（2）可在網(wǎng)格圖中直接畫出函數(shù)圖象；（3）由函數(shù)圖象可知函數(shù)的最小值．【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)，AH=3，作HN⊥AB于點(diǎn)N．∵在正方形ABCD中，AB=4cm，AC為對(duì)角線，AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，M是AB邊的中點(diǎn)，∴∠HAN=45°，∴AN=HN=AH?sin45°=3，∴HM，HB，∴HM+HN==≈≈2.125+2.834≈5.0．故答案為：5.0；（2）（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值y=4.5．故答案為：4.5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．B解析：（1）相等；（2）成立，理由見解析；（3）陰影部分的面積和有最大值,最大值為25【解析】解：（1）相等；（2）成立；理由如下：如圖，延長BC到點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AP⊥BP于點(diǎn)P；過點(diǎn)D作DQ⊥FC于點(diǎn)Q．∴∠APC=∠DQC=90°．∵四邊形ACDE、四邊形BCFG均為正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ．∴△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．又∵S△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，∴S△ABC=S△DFC.（3）圖中陰影部分的面積和有最大值理由：由（2）的結(jié)論可知：設(shè)AC=m,則BD=10-m,∵AC⊥BD.∴.∴∴陰影部分的面積和有最大值,最大值為256．D解析：（1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）存在，．【分析】（1）將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法可求出拋物線L的表達(dá)式，再由拋物線對(duì)稱軸公式可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意可求得拋物線的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則可由已知分別表示出點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)，利用正方形的性質(zhì)則可列出方程，求解后即可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【詳解】解：（1）將代入得：，解得，∴該拋物線L的表達(dá)式為：；∵拋物線的頂點(diǎn)為D，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）存在；如圖所示：∵拋物線與拋物線L關(guān)于直線對(duì)稱，，∴，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入得，∴拋物線的表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∵PQ∥y軸，則Q的橫坐標(biāo)為m，∵點(diǎn)P、Q關(guān)于拋物線L的對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N．∴M、N的橫坐標(biāo)為5－m．∴PM＝5－m－m＝5－2m．∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，∴PQ＝（）－（）＝，當(dāng)PM＝PQ時(shí)，四邊形為正方形，∴解得，∵P是拋物線L的B、M段上的一點(diǎn)，∴m＜5－m，解得m＜．∴．∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．A解析：（1）直線AC的表達(dá)式為y＝x+4；（2）運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0或（4﹣）秒時(shí)，EC＝ED；（3）【分析】（1）由拋物線的解析式中x，y分別為0，求出A，C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式；（2）設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，然后用t表示線段OP，CE，AP，DE的長度，利用已知列出方程即可求解；（3）利用等量代換求出△EBP的周長為AB+BE，由于AB為定值，BE最小時(shí)，△EBP的周長最小，根據(jù)垂線段最短，確定點(diǎn)E的位置，解直角三角形求出OP，點(diǎn)P坐標(biāo)可求．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2﹣3x+4與x軸分別交于A，B，交y軸于點(diǎn)C，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4．∴C（0，4）．當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣3x+4＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），B（1，0）．設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，∴解得：∴直線AC的表達(dá)式為y＝x+4．（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，∴OP＝t．∴P（﹣t，0）．∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA＝OC＝4．∴Rt△AOC為等腰直角三角形．∴∠CAO＝∠ACO＝45°，AC＝OA＝4．∵DP⊥x軸，在Rt△APE中，∠CAP＝45°，∴AP＝PE＝4﹣t，AE＝AP＝（4﹣t）．∴EC＝AC﹣AE＝t．∵E，P的橫坐標(biāo)相同，∴E（﹣t，﹣t+4），D（﹣t，﹣t2+3t+4）．∴DE＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t．∵EC＝DE，∴﹣t2+4t＝t．解得：t＝0或t＝4﹣．∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0或（4﹣）秒時(shí)，EC＝ED．（3）存在．P的坐標(biāo)為（﹣，0）．在Rt△AEP中，∠OAC＝45°，∴AP＝EP．∴△AEB的周長為EP+BP+BE＝AP+BP+BE＝AB+BE．∵AB＝5，∴當(dāng)BE最小時(shí)，△AEB的周長最?。?dāng)BE⊥AC時(shí)，BE最?。赗t△AEB中，∵∠AEB＝90°，∠BAC＝45°，AB＝5，BE⊥AC，∴PB＝AB＝．∴OP＝PB﹣OB＝．∴P（﹣，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．C解析：（1）；（2）2；（3）【分析】（1）先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)正方形AMBN的對(duì)角線長為2k，得出B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），再用點(diǎn)M（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，建立方程求出k的值，即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)拋物線C1，C2的頂點(diǎn)相同，得出b，d的關(guān)系式，再由兩拋物線的頂點(diǎn)在x軸，求出c，e的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）解：（1）∵y＝x2?4x＋7＝（x?2）2＋3，∴頂點(diǎn)為（2，3），∴其“對(duì)頂”拋物線的解析式為y＝?（x?2）2＋3，即y＝?x2＋4x?1；（2）如圖，由（1）知，A（2，3），設(shè)正方形AMBN的對(duì)角線長為2k，則點(diǎn)B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），∵M(jìn)（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，∴3＋k＝（2＋k?2）2＋3，解得k＝1或k＝0（舍）；∴正方形AMBN的面積為×(2k)2＝2；（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為（，），拋物線C2：y＝?ax2＋dx＋e的頂點(diǎn)為（，），∵拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線，∴，∴，∵拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，正方形的性質(zhì)，理解新定義式解本題的關(guān)鍵．9．B解析：（1）；（2）P（2，1）；（3），，，【分析】（1）求出點(diǎn)B，帶入求解即可；（2）設(shè)，，，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)分類討論即可；【詳解】（1）令，解得：，∴，令，則，∴，把，代入中，∴，∴，，∴；（2）設(shè)，，，∵Q為PD中點(diǎn)，∴，∴，∴，（舍），∴；（3）①如圖，由題意可得：為菱形的邊，為菱形的對(duì)角線，由（2）可得：，，設(shè)，，由可得：整理得：解得：檢驗(yàn)：不合題意舍去，取如圖，為菱形的邊，同理可得：或②如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由，，可得：重合，重合時(shí)，四邊形為菱形，綜上：，，，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，結(jié)合菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和一元二次方程的求解是解題的關(guān)鍵．10．（1），，；（2）見詳解；（3）x的取值范圍是：3≤x＜0或1≤x≤2．【分析】（1）先將（-1，2）和（1，-2）代入函數(shù)y=a（x-1）2++1中，列方程組解出可得a和b的值，寫出函數(shù)解析式，計(jì)算當(dāng)x=4時(shí)m的值即可；（2）描點(diǎn)并連線畫圖，根據(jù)圖象寫出一條性質(zhì)即可；（3）畫y=x-3的圖象，根據(jù)圖象可得結(jié)論．【詳解】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函數(shù)y=a（x-1）2++1中得：，解得：，∴y=（a≠0），當(dāng)x=4時(shí)，m=；（2）如圖所示，性質(zhì)：當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小（答案不唯一）；（3）∵a（x1）2+≥x4，∴a（x1）2++1≥x3，如圖所示，由圖象得：x的取值范圍是：3≤x＜0或1≤x≤2．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，描點(diǎn)，畫函數(shù)圖象，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析．二、中考幾何壓軸題11．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得解析：（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出位置關(guān)系；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出結(jié)論；（3）方法1：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，進(jìn)而求出，，即可得出最大，最后用面積公式即可得出結(jié)論．方法2：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，而最大是，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大時(shí)，的面積最大，且在頂點(diǎn)上面，最大，連接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大時(shí)，面積最大，點(diǎn)在的延長線上，，，．【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用；解（1）的關(guān)鍵是判斷出，，解（2）的關(guān)鍵是判斷出，解（3）的關(guān)鍵是判斷出最大時(shí)，的面積最大．12．（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問題．（2）結(jié)論a2+b2=解析：（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問題．（2）結(jié)論a2+b2=5c2．設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題．（3）取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn)，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結(jié)論列出方程即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖中，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，MN=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，

∴PN=PM=2，PB=PA=4，

∴AN=BM=，∴b=AC=2AN=4，a=BC=4，∴，故答案為：；（2）結(jié)論a2+b2=5c2．證明：如圖中，連接MN．∵AM、BN是中線，

∴MN∥AB，MN=AB，∴△MPN∽△APB，∴，設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，

∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2．（3）解：如圖中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥BF，∴，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，

∴AG=FG，取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn)，

同理可證△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=2BF=CF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四邊形CEPF是平行四邊形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×，∴AF=4．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用新的結(jié)論解決問題，屬于中考?jí)狠S題．13．（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．【分析】（1）證明，可得，又點(diǎn)F為CD中點(diǎn),即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．則M、N一定是中點(diǎn)，再分兩種情況討論：和，根解析：（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．【分析】（1）證明，可得，又點(diǎn)F為CD中點(diǎn),即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．則M、N一定是中點(diǎn)，再分兩種情況討論：和，根據(jù)平行線分線段成比例列方程即可求解；（3）連接，取的中點(diǎn)，連接，得兩條中位線，根據(jù)中位線定理，得平行，可找到相等角和線段，從而可得是等腰三角形，進(jìn)而可得．【詳解】解：（1）是四邊形的準(zhǔn)中位線，理由如下：∵，∴．又∵，，∴，∴，∴．又∵為中點(diǎn)，∴為四邊形的準(zhǔn)中位線．（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線時(shí)．①如圖，當(dāng)時(shí)，則需滿足且為中點(diǎn)．∴，解得：；②如圖，當(dāng)時(shí)，則需滿足且為中點(diǎn)．∴，解得：，．綜上：當(dāng)或或時(shí)，為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．（3）．證明如下：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，．，分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴．∵分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴．∵，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題圍繞線段的中點(diǎn)考查了等腰三角形判定及性質(zhì)、平行線分線段成比例、三角形中位線等知識(shí)點(diǎn)，考查范圍廣，綜合性強(qiáng)．解（2）的關(guān)鍵是由準(zhǔn)中位線圖形特征得出四邊形有一組對(duì)邊平行，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造出和中位線定理相關(guān)的圖形．14．(1)見解析；(2)AC平分∠BCD，理由見解析；(3)AF＝4．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的解析：(1)見解析；(2)AC平分∠BCD，理由見解析；(3)AF＝4．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF垂直CD的延長線于點(diǎn)F，證△ABE≌△ADF，得到AE=AF，根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；

（3）連接AC，先證∠EAD=∠BCD，推出∠FCA=∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求出AF的長．【詳解】(1)證明：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°.∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠CBD∴弧AD＝弧CD∴AD＝CD∴四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形(2)AC平分∠BCD，理由如下：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F則∠AEB＝∠AFD＝90°∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形∴∠ADC+∠B＝180°又∵∠ADC+∠ADF＝180°∴∠B＝∠ADF在△AFD與△AEB中∴≌∴∴點(diǎn)A一定在∠BCD的平分線上即AC平分∠BCD.(3)連接AC同(2)理得∠EAD＝∠BCD由(2)知AC平分∠BCD所以∠FCA＝∠BCD同理∠FAD＝∠EAD∴∠FCA＝∠FAD.又∵∠F＝∠F∴△FAD∽△FCA∴即∴AF＝4【點(diǎn)睛】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過自主學(xué)習(xí)來進(jìn)行探究，運(yùn)用等．15．（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個(gè)結(jié)論成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直解析：（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個(gè)結(jié)論成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；②當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，分兩種情況討論，利用三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC，∴∠ABC=∠ACB=30°，BF=FC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，∴∠ABB′=∠AB′B==70°，∵AC=AB′，∠B′AC=120°-40°=80°，∴∠AB′C==50°，∴∠CB′E=180°-70°-50°=60°，連接EF，∵BF=FC，則EF為直角三角形BEC斜邊上的中線，∴EF=BF=FC，在Rt△ABF中，，∴；（2）①兩個(gè)結(jié)論成立，理由如下：連接EF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，等腰△ABB′中，∠BAB′=α，則∠AB′B==90°?α，等腰△AB′C中，∠CAB′=α?120°，則∠AB′C==150°?α，∴；∵AB=AC，AF⊥BC．∴∠FAC=60°，Rt△CEB′中，=sin60°=，Rt△CFA中，=sin60°=，∴，∵∠FCE=∠ACB′=30°+∠ACE，∴△CEF~△CB′A∴；②當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，分以下兩種情況討論，（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E在FA的延長線上時(shí)，如圖，由①可知，∠B'=60°，∵CE⊥BB'，而BC=2EF=2BF，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB+B'E=，∴；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E在AF的延長線上時(shí)，如圖，同理可得，∠CB'E=60°，BC=2EF=2BF，∵CE⊥BB'，∴∠CEB'=∠CEB=90°，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB-B'E=，∴；綜上，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．16．（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（2）見解析；（3）4【分析】（1）借助問題情景即可得出結(jié)論；（2）連接CE，先根據(jù)已證結(jié)論及正方形的性解析：（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（2）見解析；（3）4【分析】（1）借助問題情景即可得出結(jié)論；（2）連接CE，先根據(jù)已證結(jié)論及正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠1=∠4，再由矩形性質(zhì)證得∠PBA=∠EBC，得出△PBA≌△EBC，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)B作BM⊥AP，垂足為M．結(jié)合（2）所得結(jié)論利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得BM=PM=ME，設(shè)BM=ME=x，則AM=x+-1．則根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形求出x=1，再由直角三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．（2）證明：連接CE，由題意得，∠CEA=90°，∴∠1+∠2=180°-∠AEC=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC．∴∠3+∠4=180°-∠ABC=90°．∵∠2=∠3．∴∠1=∠4．∵四邊形EBFD是矩形，∴∠EBF=90°．∴∠PBE=180°-∠EBF=90°．∴∠PBE=∠ABC．∴∠PBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．即∠PBA=∠EBC．∴△PBA≌△EBC．∴PB=EB．（3）解：過點(diǎn)B作BM⊥AP，垂足為M．由（2）可知，PB=BE，∠PBE=90°．∴BM=PM=ME．設(shè)BM=ME=x，則AM=x+-1．∵在Rt△ABM中，∠BAM=30°．∴AB=2BM，tan∠BAM=，解得x=1．∴AB=2，∴S正方形ABCD=2×2=4．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握特殊四邊形、全等三角形及三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．17．（1）90度；1；（2）的度數(shù)為90度，的值為；（3）BM的最小值為1．【分析】（1）度，利用SAS證明，即可得出，的值為1；（2）度，證明，即可得出，；（3）當(dāng)CD最小時(shí)，即CD垂直于AB解析：（1）90度；1；（2）的度數(shù)為90度，的值為；（3）BM的最小值為1．【分析】（1）度，利用SAS證明，即可得出，的值為1；（2）度，證明，即可得出，；（3）當(dāng)CD最小時(shí)，即CD垂直于AB時(shí)，CD最小，此時(shí)DE最小，而BM是直角三角形DBE斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【詳解】（1）①∵∴∴∵，∴∴，∴∴，∴，的值為1；（2）在中，，令，則，同理令，∴，∴①∵即∴②有①②得∴，∴（3）在中，，∴，當(dāng)CD最小時(shí)，即CD垂直于AB時(shí)，CD最小，此時(shí)DE最小，而，∴，而BM是直角三角形DBE斜邊上的中線，∴【點(diǎn)睛】本題涉及全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、特殊的三角函數(shù)值和直角三角形的性質(zhì)．是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，要熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)．18．（1）1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變，理由見解析；（3）．【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分解析：（1）1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變，理由見解析；（3）．【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．證△PAM≌△PEN，可得∠AEP的大小不變；(2)類似（1），過點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．證△PAM∽△PEN，可得∠AEP的大小不變；(3)利用（2）的結(jié)論，證BE=EC．再證△ABE∽△BCD，利用比例式求出k，再利用三角函數(shù)求出AP的長．【詳解】解：（1）如圖，∵k=1，∴在矩形ABCD是正方形，∵點(diǎn)P移動(dòng)到對(duì)角線交點(diǎn)處，∴PA=PE，∠AEP=45°，故，如圖，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠MBN=90°，PN=PM，∴四邊形PMBN是正方形，∴∠MPN=90°，∵∠APE=90°，∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，∴∠APM=∠EPN．又∵∠PMA=∠PNB，∴△PAM≌△PEN，∴PA=PE，∴∠AEP=45°，故，∠AEP的大小不變；故答案為：1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變．理由如下：過點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠MBN=∠BAD=∠BCD=90°，∴四邊形PMBN是矩形，∴∠MPN=90°，PN=BM，又∵∠APE=90°，∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，∴∠APM=∠EPN．又∵∠PMA=∠PNB，∴△PAM∽△PEN，∴=．在Rt△PBM和Rt△BAD中，tan∠ABD=．在Rt△APE中，tan∠AEP=．∵k為定值，∴∠AEP的大小不變．（3）∵PC⊥BD，∠BCD=90°，∴∠PBC＋∠PCB=∠PBC＋∠BDC=∠BPE＋∠EPC=90°．∵AE∥PC，∴∠AEB=∠PCB，∠AEP=∠EPC．∵tan∠AEP=k，tan∠ABD=k，∴∠AEP=∠ABD．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∴∠AEB=∠PCB=∠BDC=∠AEP=∠EPC，∠PBC=∠BPE，∴BE=PE=EC．∵∠AEB=∠BDC，∠ABE=∠BCD，∴△ABE∽△BCD，∴，即，∴BC2=2AB2，∴，k=．