專(zhuān)題04全等三角形熱考模型（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律倍長(zhǎng)中線模型掌握倍長(zhǎng)中線的方法，能利用該模型構(gòu)造全等三角形，解決線段和角的等量關(guān)系、線段的位置關(guān)系等問(wèn)題常作為幾何證明與計(jì)算的輔助手段，在中檔及較難題型中出現(xiàn)，用于轉(zhuǎn)化線段或角的關(guān)系截長(zhǎng)補(bǔ)短模型熟練運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的策略，構(gòu)造全等三角形，證明線段的和、差、倍、分關(guān)系高頻出現(xiàn)在幾何證明題中，尤其是涉及線段和差的問(wèn)題，是解決此類(lèi)問(wèn)題的核心模型之一一線三等角模型理解一線三等角模型的特征，能識(shí)別并利用該模型證明三角形全等，進(jìn)而求解線段長(zhǎng)度、角度大小等在三角形、四邊形的幾何題中較為常見(jiàn)，常結(jié)合全等三角形和相似三角形（后續(xù)學(xué)習(xí)）考查，是幾何圖形中的典型模型手拉手模型明確手拉手模型的構(gòu)成條件，能運(yùn)用該模型證明三角形全等，推導(dǎo)線段和角的關(guān)系，解決相關(guān)幾何問(wèn)題常以綜合題的形式出現(xiàn)，可與旋轉(zhuǎn)等圖形變換結(jié)合，考查學(xué)生對(duì)全等三角形的綜合運(yùn)用能力半角模型熟悉半角模型的結(jié)構(gòu)，能借助該模型構(gòu)造全等三角形，處理含有半角的線段和角的關(guān)系問(wèn)題多在較難的幾何綜合題中考查，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的圖形分析和模型應(yīng)用能力對(duì)角互補(bǔ)模型掌握對(duì)角互補(bǔ)模型的性質(zhì)，能利用該模型結(jié)合角平分線、全等三角形等知識(shí)，解決角度和線段的相關(guān)問(wèn)題常與圓（后續(xù)學(xué)習(xí)）、角平分線等知識(shí)結(jié)合，在幾何證明與計(jì)算中應(yīng)用，考查學(xué)生的知識(shí)綜合運(yùn)用能力婆羅摩笈多模型理解婆羅摩笈多模型的內(nèi)容，能運(yùn)用該模型解決與等腰直角三角形、中點(diǎn)相關(guān)的線段長(zhǎng)度、位置關(guān)系等問(wèn)題主要在涉及等腰直角三角形的幾何題中出現(xiàn)，是解決此類(lèi)特殊三角形問(wèn)題的重要模型與角平分線有關(guān)的熱考模型能靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）和判定（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上），結(jié)合全等三角形等知識(shí)，解決角和線段的相關(guān)問(wèn)題常與三角形、四邊形的知識(shí)結(jié)合，在幾何證明與計(jì)算中廣泛應(yīng)用，是角的相關(guān)問(wèn)題的核心考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)01倍長(zhǎng)中線模型1.倍長(zhǎng)中線模型條件在△ABC中，AD是△ABC的中線圖示輔助線作法延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AD=DE，連接CE結(jié)論【總結(jié)】1）口決：見(jiàn)中線（或中點(diǎn)），可倍長(zhǎng)，得全等，轉(zhuǎn)邊、角；2）倍長(zhǎng)中線后，具體連接哪兩點(diǎn)，可根據(jù)需要轉(zhuǎn)化的邊、角來(lái)判斷；3）倍長(zhǎng)中線后，將兩邊都連接可構(gòu)成平行四邊形，可將三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問(wèn)題，再借助平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)解題.2.倍長(zhǎng)類(lèi)中線模型條件：在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)作法：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)E，使FD=DE，連接CE知識(shí)點(diǎn)02截長(zhǎng)補(bǔ)短模型模型思路：證明一條線段等于兩條線段的和，通常采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”.“截長(zhǎng)法”的基本思路是在長(zhǎng)線段上截取一段，使之等于其中一短線段，然后證明剩下的線段等于另一短線段；“補(bǔ)短法”的基本思路是延長(zhǎng)短線段，使延長(zhǎng)的部分等于另一短線段，再證明延長(zhǎng)后的線段等于長(zhǎng)線段.截長(zhǎng)法補(bǔ)短法題目在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求證：AB=AC+CD圖示輔助線作法在AB上截取AE=AC，連接DE延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使CD=CE，連接DE延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使AB=AE，連接DE結(jié)論△DEB是等腰三角形△CDE是等腰三角形△CDE是等腰三角形【總結(jié)】1）“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種靠略，截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過(guò)延長(zhǎng)或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問(wèn)題.2）截長(zhǎng)或補(bǔ)短后，如果出現(xiàn)的全等三角形或特殊三角形能推動(dòng)證明，那么輔助線是成功的，否則，就應(yīng)該換一個(gè)截長(zhǎng)或補(bǔ)短的方式，甚至換一種解題思路.知識(shí)點(diǎn)03一線三等角模型一線三等角模型已知∠D=∠ACB=∠E，AC=BC圖示結(jié)論一線三垂直模型已知∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE圖示結(jié)論模型介紹：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形共用頂角頂點(diǎn)，分別連接對(duì)應(yīng)的兩底角頂點(diǎn)，從而可以得到一個(gè)經(jīng)典的全等模型.因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象可以看作兩雙手，通常稱(chēng)為“手拉手模型”.模型特點(diǎn)：共頂點(diǎn)，等頂角.條件如圖，直線AB的同一側(cè)作?ABC和?AMN都為等邊三角形（A、B、N三點(diǎn)共線），連接BM、CN，兩者相交于點(diǎn)E圖示結(jié)論1）?ABM≌?ACN2）BM=CN3）∠MEN=∠2=60°（拉手線的夾角等于頂角）4）?ANF≌?AMD5）?AFC≌?ADB6）連接DF，DF∥BN7）連接AE，AE平分∠BEN知識(shí)點(diǎn)05半角模型正方形內(nèi)含型半角鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形半角條件正方形ABCD，∠EAF=45°AB=AD，∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF圖示思路延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使DE=GB，連接AG延長(zhǎng)CD至點(diǎn)M，使BD=EC，連接AM結(jié)論3）EF=DE+BF3）EF=DE+BF知識(shí)點(diǎn)06對(duì)角互補(bǔ)模型模型1兩90°的等鄰邊對(duì)角互補(bǔ)模型1.基礎(chǔ)類(lèi)型條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE【注意】已知角平分線、鄰邊相等（非對(duì)稱(chēng)）和對(duì)角互補(bǔ)中的兩個(gè)，可推導(dǎo)出第三個(gè).2.模型引申條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF模型2.含120°、60°的等鄰邊對(duì)角互補(bǔ)模型1.基礎(chǔ)類(lèi)型條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE.2.模型引申條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，【總結(jié)】對(duì)角互補(bǔ)模型:在四邊形中，①一組鄰邊相等;②另外一組鄰邊的頂點(diǎn)所在的對(duì)角線是這組鄰邊組成的角的平分線;③對(duì)角互補(bǔ).三者知二推一.知識(shí)點(diǎn)07婆羅摩笈多模型題目特征共直角頂點(diǎn)的正方形或等腰直角三角形，出現(xiàn)中點(diǎn).共直角頂點(diǎn)的正方形或等腰直角三角形，出現(xiàn)垂直.條件四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點(diǎn)共線，點(diǎn)I為DG中點(diǎn)四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點(diǎn)共線，CH⊥BE圖示輔助線作法延長(zhǎng)IC到點(diǎn)P，使PI=IC，連接PG分別過(guò)點(diǎn)D、G作DM⊥CI與點(diǎn)M，NG⊥CI于點(diǎn)N結(jié)論CH⊥BE(知中點(diǎn)得垂直)BE=2ICDI=IG(知垂直得中點(diǎn))BE=2IC知識(shí)點(diǎn)08與角平分線有關(guān)的熱考模型類(lèi)型描述圖示結(jié)論見(jiàn)角平分線，用性質(zhì)定理已知BD平分∠ABC，PE⊥BC作法：過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F角平分線+垂直→三線合一已知BD平分∠ABC，PE⊥BD作法：延長(zhǎng)PE，交AB于點(diǎn)F平行線+垂直→等腰△BD平分∠ABC，PE∥BCBE=PEDF平分∠BDE，DE∥BCBD=BF題型一中點(diǎn)處理方法解｜題｜技｜巧遇到中點(diǎn)的時(shí)候，通常會(huì)延長(zhǎng)過(guò)該中點(diǎn)的線段.倍長(zhǎng)中線指延長(zhǎng)一邊的中線至一點(diǎn)，使所延長(zhǎng)部分與該中線相等，并連接該點(diǎn)與這一條邊的一個(gè)頂點(diǎn)，得到兩個(gè)三角形全等.重難點(diǎn)一倍長(zhǎng)中線模型1．（2425八年級(jí)上·全國(guó)·期末）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC小明在組內(nèi)和同學(xué)們合作交流后，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDBA．SSS

B．AAS

C．SAS

D．HL（2）由“三角形的三邊關(guān)系”，可求得AD的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．[初步運(yùn)用]（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，AE=EF．若EF=3，2．（2526九年級(jí)上·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）問(wèn)題探究（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，連接BE、DE，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BE⊥AC，DE問(wèn)題解決（2）某校計(jì)劃修建校園科創(chuàng)角，其平面規(guī)劃示意圖如圖2所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，設(shè)計(jì)師計(jì)劃在BC邊上取點(diǎn)E，在AB邊上取其中點(diǎn)F，連接DE、EF、FD，使得∠DFE=90°，將△DEF區(qū)域規(guī)劃為研發(fā)區(qū)，為合理預(yù)算，需要知道BE、CE3．（2425七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，AD是邊BC上的中線，求2AD的取值范圍．小明的做法如下：如圖①，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，則△BDE（2）如圖②，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF【問(wèn)題解決】（3）如圖③，四邊形ABCD是某公園的一片玫瑰園，對(duì)角線AC是中間的一條通道，現(xiàn)正值玫瑰盛開(kāi)的旺季，為方便游客觀賞，要沿對(duì)角線BD鋪設(shè)一條小路，在兩條小路的交點(diǎn)處修建一座觀景塔E（觀景塔大小忽略不計(jì)），在邊BC的中點(diǎn)F處設(shè)置一個(gè)出入口，再沿EF鋪設(shè)一條小路將游客分流，采購(gòu)部需要知道BD與EF之間的數(shù)量關(guān)系購(gòu)買(mǎi)原材料．按照設(shè)計(jì)要求，∠CEF=∠ADB，∠BAC+∠重難點(diǎn)二倍長(zhǎng)類(lèi)中線模型4．（2223八年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖（1），已知CA=CB，CD=CE，且∠ACB=∠DCE，將△DCE(1)求證：△ACD(2)在△DCE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若ED、AB所在的直線交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2所示．求證：∠(3)在（2）的條件下，求證：AD⊥5．（2425八年級(jí)上·云南昆明·期末）綜合與實(shí)踐；【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師提出如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB=6,AC=4，求【探究方法】第一小組經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：①延長(zhǎng)AD到E，使得DE=②連接BE，易證△ACD≌△EBD，于是我們把AB，AC，2③利用三角形的三邊關(guān)系可得AE的取值范圍為AB-BE<【總結(jié)方法】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（1）如圖1，AC和BE的位置關(guān)系是______；AD的取值范圍是______．（2）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，AD與CE相交于點(diǎn)F若EA=【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交AC于點(diǎn)F，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)6．（2425七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB=10，AC=6，D是BC的中點(diǎn)，求BC【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接CE．根據(jù)______，可以判定△ADB≌△EDC，得出AB=EC．這樣就能把線段AB、AC、2【模型構(gòu)建】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時(shí)，可以考慮作“輔助線”——把中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種作輔助線的方法稱(chēng)為“倍長(zhǎng)中線”法．【類(lèi)比應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，AB=6，AD=4，AC【拓展提升】（3）如圖3，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF題型二截長(zhǎng)補(bǔ)短模型解｜題｜技｜巧截長(zhǎng);在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條;；補(bǔ)短;將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段；或者將短線段直接延長(zhǎng)至等于長(zhǎng)線段.【小結(jié)】無(wú)論截長(zhǎng)還是補(bǔ)短都需要將幾條線段的和差問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問(wèn)題，一般情況要通過(guò)全等實(shí)現(xiàn).重難點(diǎn)一截長(zhǎng)法7．（2223八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）閱讀下面文字并填空：數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠李老師給出了如下簡(jiǎn)要分析：要證AB+BD=AC就是要證線段的和差問(wèn)題，李老師采用了‘截長(zhǎng)法’，如圖2，在AC上截取AE=AB，連接DE，只要證BD=__________即可，這就將證明線段和差問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線段相等問(wèn)題，只要證出△__________≌△__________，得出∠B=∠AED及BD請(qǐng)仿照上題方法解決以下問(wèn)題：變式應(yīng)用：如圖，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=DC，∠BAC=70°，∠BDC=110°，以A為頂點(diǎn)作一個(gè)35°角，角的兩邊分別交邊8．（2324八年級(jí)上·重慶江北·階段練習(xí)）閱讀下列材料，然后解決問(wèn)題：截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法在證明線段的和、差、倍、分等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長(zhǎng)，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．(1)如圖，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，探究AB、解決此問(wèn)題可以用如下方法：在AC上截AM=AB，易證△ABD≌△AMD，則BD=DM，∠B=∠AMD=2∠(2)問(wèn)題解決：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC，邊(3)問(wèn)題拓展：如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC，AD平分△ABC的外角∠BAE，DE⊥AC交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E重難點(diǎn)二補(bǔ)短法9．（2324八年級(jí)上·江西南昌·期中）綜合與實(shí)踐問(wèn)題提出如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，且∠ACB=2∠B，則AB方法運(yùn)用（1）我們可以通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形來(lái)解題．如圖2，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使得AE=AB，連接DE，……，請(qǐng)判斷AB，CD，（2）以上方法叫做“補(bǔ)短法”．我們還可以采用“截長(zhǎng)法”，即通過(guò)在AB上截取線段構(gòu)造全等三角形來(lái)解題．如圖3，在線段AB上截取AB，使得AF=①______，連接②______．請(qǐng)補(bǔ)全空格，并在圖3延伸探究（3）小明發(fā)現(xiàn)“補(bǔ)短法”或“截長(zhǎng)法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問(wèn)題．如圖4，在五邊形ABCDE中，EA=ED，AB+DC=BC，10．（2425八年級(jí)下·陜西榆林·期中）（1）【閱讀理解】如圖1，在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，∠思考：“角平分線＋對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．老師給出一個(gè)方法：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)N，使得BN=BC，連接DN，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；結(jié)合圖（2）【問(wèn)題解決】如圖2，在（1）的條件下，連接AC，當(dāng)∠DAC=60°，∠ABC=120°時(shí)，探究線段AB，題型三一線三等角模型解｜題｜技｜巧“一線三等角”在初中幾何中出現(xiàn)得比較多，是一種常見(jiàn)的全等模型，指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成全等圖形，這三個(gè)等角可以是直角也可以是銳角或鈍角，可以是在直線的同側(cè)，也可以是在直線的異側(cè).重難點(diǎn)一一線三垂直模型11．（2425八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，A、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，AB=(1)求證：BC=(2)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足__________時(shí)，BC12．（2425八年級(jí)上·云南·階段練習(xí)）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：【模型呈現(xiàn)】某興趣小組在從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個(gè)正方形）中提煉出兩個(gè)三角形全等模型圖（如圖2、圖3），即“一線三等角”模型和“K字”模型．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，一直線過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B分別作其垂線，垂足分別為E（2）如圖3，若改變直線的位置，其余條件與（1）相同，請(qǐng)寫(xiě)出EF，AE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題提出】（3）在（2）的條件下，若BF=4AE，EF=513．（2324八年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．(1)如圖1．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l(2)組員小明對(duì)圖2進(jìn)行了探究，若∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．他發(fā)現(xiàn)線段DE、BD、CE之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出段(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3，過(guò)△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG（正方形的4條邊都相等，4個(gè)角都是直角），AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I，若BH=3，CH=7重難點(diǎn)二一線三等角模型14．（2122八年級(jí)上·貴州銅仁·階段練習(xí)）（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BD⊥直線m，（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D,A15．（2324八年級(jí)上·湖南岳陽(yáng)·期末）“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，“一線三等角”指的是圖形中出現(xiàn)同一條直線上有3個(gè)相等的情況，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)“一線三等角”模型的出現(xiàn)，還經(jīng)常會(huì)伴隨著出現(xiàn)全等三角形．根據(jù)對(duì)材料的理解解決以下問(wèn)題∶(1)如圖1，∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=(2)如圖2，將（1）中條件改為∠ADC=∠CEB=∠ACB(3)如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，DE=DF，∠A=∠EDF=∠重難點(diǎn)三構(gòu)造一線三垂直模型16．（2425八年級(jí)上·四川成都·期中）（1）如圖1，△ABC與△CDE中，∠B=∠E（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=6，以AC為邊在△ABC（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，若△ACD面積為2117．（2324八年級(jí)上·廣東潮州·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，P為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），以AP(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，求點(diǎn)Q到直線AC的距離；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BQ，交直線AC于點(diǎn)M，求證：BM=(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接BQ，交直線AC于點(diǎn)M，若S△ABP=3S△18．（2223七年級(jí)下·廣東深圳·期末）【材料閱讀】小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB；△【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B擺放在線段DF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥①請(qǐng)?jiān)趫D1找出一對(duì)全等三角形，在橫線上填出推理所得結(jié)論；∵∠ABC∴∠ABM∵AM⊥DF，∴∠AMB=90°，∠∴∠ABM∴∠BAM∵∠∠AB=__________；②AM=2，CN=7，則MN【類(lèi)比】（2）如圖2，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B在線段DE上且頂點(diǎn)A在線段EF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥DE，垂足為點(diǎn)P，猜想AE，PE，【拓展】（3）如圖3，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)A在線段DE上且頂點(diǎn)B在線段EF上時(shí)，若AE=5，BE=1，連接CE，則△重難點(diǎn)四坐標(biāo)系中構(gòu)造一線三垂直模型類(lèi)型一兩點(diǎn)在軸上，“一點(diǎn)垂”19．（2425八年級(jí)上·青海西寧·期末）如圖，在直角平面坐標(biāo)系中，AB=BC，∠ABC=90°，A3,0，B20．（2425八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期末）【建立模型】（1）萌萌學(xué)完全等三角形的知識(shí)后，遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，∠ACB=90°，AC=BC，過(guò)點(diǎn)A、B作AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E．求證：【類(lèi)比遷移】（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)A0,3，點(diǎn)①如圖2，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②如圖3，若AB交x軸于點(diǎn)D，BC交y軸于點(diǎn)M，N是BC上一點(diǎn)，且BN=CM，連接DN．求證【拓展延伸】（3）如圖4，點(diǎn)A0,3，點(diǎn)C-1,0，若點(diǎn)A不動(dòng)，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以AC，OC為直角邊在第二、第三象限作等腰直角△ACE與等腰直角△OCF，其中∠ACE=∠OCF=90°，連接EF交x類(lèi)型二一點(diǎn)在軸上，“兩點(diǎn)垂”21．（2425八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）課間，頑皮的小剛拿著老師的等腰直角三角尺放在黑板上畫(huà)好了的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（如圖），已知直角頂點(diǎn)H的坐標(biāo)為0,1，另一個(gè)頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為6,6，則頂點(diǎn)K的坐標(biāo)為．22．（2425八年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(2,0)，B(a,b)（a>2，b>2），類(lèi)型三無(wú)點(diǎn)在軸上，“一平兩垂”23．（2425八年級(jí)上·福建寧德·期中）如圖，△ABC頂點(diǎn)在同一平面直角坐標(biāo)系下，A點(diǎn)的坐標(biāo)為3,4，B點(diǎn)的坐標(biāo)為5,9，AB=BC，AB24．（2021八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）我們?cè)诘谑隆度热切巍分袑W(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，在一些探究題中經(jīng)常用以上知識(shí)轉(zhuǎn)化角和邊，進(jìn)而解決問(wèn)題．例如：我們?cè)诮鉀Q：“如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，線段DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)積累經(jīng)驗(yàn)：（1）請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；類(lèi)比應(yīng)用：（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為1,0拓展提升：（3）如圖3，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,1，點(diǎn)C類(lèi)型四頂點(diǎn)不確定，分類(lèi)討論25．（2425八年級(jí)上·河南省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖，A-2,0，B0,-4，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，AB為腰作等腰直角△ABC26．（2425八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A-2，0，B1，-1，連接AB，現(xiàn)將線段AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)題型四手拉手模型解｜題｜技｜巧重難點(diǎn)一等腰三角形手拉手模型27．（2324八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱(chēng)為“手拉手”圖形．(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC、DE分別是底邊．求證：(2)解決問(wèn)題：如圖2，若△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，AM為△DAE中DE邊上的高，連接BE(3)嘗試探究：如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)P，BE與AC交于點(diǎn)N，連接PN，∠APB=∠NPC，AM:PM28．（2324七年級(jí)下·山東泰安·期末）綜合實(shí)踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過(guò)研討給出定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱(chēng)此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱(chēng)為“手拉手模型”，如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC【深入研究】如圖3，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，BE、CD交于點(diǎn)Q．求∠【拓展延伸】如圖4，在兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接重難點(diǎn)二等腰直角三角形手拉手模型29．（2425八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）我們把有公共頂點(diǎn)且形狀相同的兩個(gè)三角形組成的圖形稱(chēng)為“手拉手”圖形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)對(duì)“手拉手”圖形進(jìn)行了探究．(1)初步探究：如圖1，△AOB與△COD的頂點(diǎn)O重合，∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，連接AD(2)大膽猜想：如圖2，在（1）的條件下，連接AC?BD，他們猜想△AOC的面積與△(3)拓展延伸：如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)∠ACO=90°時(shí)，延長(zhǎng)CO交BD于點(diǎn)G，CG=8，△BCO的面積為30．（2425八年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）綜合與實(shí)踐某學(xué)校的數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型，兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，會(huì)形成一組全等的三角形，具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱(chēng)為“手拉手”圖形．(1)[材料理解]如圖①，分別以△ABC的邊AB，AC為邊向外作等腰直角△ABD和△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，AC=AE，AB(2)[深入探究]如圖②，連接DE，若AC=12，AB=14，D(3)[實(shí)際應(yīng)用]如圖③，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B、E的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AC=AE，AB=50重難點(diǎn)三等邊三角形手拉手模型31．（2021八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，已知點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于G，BE交AD于(1)求證：△ACD(2)求∠AOB(3)求證：△CFG32．（2023八年級(jí)上·山東濱州·競(jìng)賽）如圖1，A，B，C三點(diǎn)共線，分別以AB，AC為邊在BC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形AEC，則有BE=(1)如圖2，若A，B，C三點(diǎn)不共線，其余條件不變，上面的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖3，若把圖2中“等邊三角形ABD和等邊三角形AEC”，改為“以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形AEC”，其余條件不變，則∠BOD=______°；若DC=6，則(3)在圖2中，若把“等邊三角形ABD和等邊三角形AEC”，改為其他的特殊三角形，其余條件不變，BE，DC要想依然相等，兩個(gè)特殊三角形至少需要滿(mǎn)足什么條件？當(dāng)滿(mǎn)足該條件時(shí)，∠BOD會(huì)變化嗎？若變化，設(shè)∠ABD=重難點(diǎn)四【跨章節(jié)】構(gòu)造手拉手模型33．（2425八年級(jí)上·浙江杭州·期中）定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，那么稱(chēng)此圖形為“手拉手全等模型”．例如，如圖①，△ABC與△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC(1)如圖②，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=(2)如圖③若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE上的高，連接BE，求∠(3)如圖④，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC34．（2122八年級(jí)上·貴州遵義·期末）央視科教頻道播放的《被數(shù)學(xué)選中的人》節(jié)目中說(shuō)到，“數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科最主要的特征是抽象與推理”．幾何學(xué)習(xí)尤其需要我們從復(fù)雜的問(wèn)題中進(jìn)行抽象，形成一些基本幾何模型，用類(lèi)比等方法，進(jìn)行再探究、推理，以解決新的問(wèn)題．(1)【模型探究】如圖1，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，連接BE，CD證明：∵∠BAC∴∠BAC即∠2=∠3．在△ABE和△ACD∴△ABE≌△ACD（(2)【模型指引】如圖2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，以B為端點(diǎn)引一條與腰AC相交的射線，在射線上取點(diǎn)D，使∠ADB=∠ACB，求∠BDC(3)【拓展延伸】如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC為任意角度，若射線BD不與腰AC相交，而是從端點(diǎn)B向右下方延伸．仍在射線上取點(diǎn)D，使∠ADB=∠ACB35．（2324七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．通過(guò)查詢(xún)資料，他們得知這種模型稱(chēng)為“手拉手模型”，興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)觀察猜想如圖1，在△ABC中，分別以AB，AC為邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，連接BE，CD，則BE(2)類(lèi)比探究如圖2，在△ABC中，分別以AB，AC為邊作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，點(diǎn)D，E，C在同一直線上，AM為△ACE中(3)解決問(wèn)題運(yùn)用（1）（2）中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)D，C的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ACB=45°，∠DAB=90°，AB=AD，AC=1536．（2425八年級(jí)上·湖南岳陽(yáng)·期中）【綜合實(shí)踐】如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱(chēng)此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱(chēng)為“手拉手模型”．【問(wèn)題初探】（1）△ABC和△DBE是兩個(gè)都含有45°角的大小不同的直角三角板，當(dāng)兩個(gè)三角板如圖1所示的位置擺放時(shí)，D、B，C在同一直線上，連接AD【類(lèi)比探究】（2）△ABC和△DBE是兩個(gè)都含有45°角的大小不同的直角三角板，當(dāng)三角板ABC保持不動(dòng)時(shí)，將三角板DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，判斷AD與【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°,AB=AD,BC=34CD，連接AC，BD重難點(diǎn)五【跨章節(jié)】正方形手拉手模型37．（2025九年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3．E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d38．（2425九年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期中）已知正方形ABCD和正方形CEFG．(1)如圖1，當(dāng)正方形CEFG在正方形ABCD在外部時(shí)，連接BG，DE．求證：△BCG(2)如圖2，將（1）中正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)G落在DE上．①若AB=10，EF=②如圖3，AC與BD交于點(diǎn)O，連接OG．判斷線段OG與AB的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．題型五半角模型解｜題｜技｜巧1)“半角”模型的核心識(shí)別條件是“共端點(diǎn)的等線段”和“共頂點(diǎn)的倍、半角”，也可以拓展到鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形中.2)“半角”模型結(jié)論在證明過(guò)程中有兩次重要全等:一次是旋轉(zhuǎn)型全等:一次是對(duì)稱(chēng)型全等.只有將兩次全等證明完畢，才能繼續(xù)向下推進(jìn).重難點(diǎn)一90°半角模型39．（2025·山東東營(yíng)·中考真題）【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以四邊形為背景，探究非動(dòng)點(diǎn)的幾何問(wèn)題．若四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD，BC上，且∠MAN=45°，我們稱(chēng)之為“半角模型”，在解決“半角模型(1)【初步嘗試】如圖1，將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE，連接MN．用等式寫(xiě)出線段DM，BN，MN的數(shù)量關(guān)系(2)【類(lèi)比探究】小明改變點(diǎn)的位置后，進(jìn)一步探究：如圖2，點(diǎn)M，N分別在正方形ABCD的邊CD，BC的延長(zhǎng)線上，∠MAN=45°，連接MN，用等式寫(xiě)出線段MN，DM，(3)【拓展延伸】其他小組提出新的探究方向：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，點(diǎn)N，M分別在邊BC，CD上，40．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在CD、BC上，且∠MAN=45°，我們把這種模型稱(chēng)為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△AEB，連接AM、AN(1)求證：△AEB(2)如圖，已知△ADM旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，如果正方形的邊長(zhǎng)是4，求41．（2324九年級(jí)上·海南?？凇て谀┤鐖D，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在CD,BC上，連接AM,AN,MN且(1)補(bǔ)全圖形：將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△(2)直接寫(xiě)出線段DM,BN(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，寫(xiě)出證明過(guò)程；(4)如果正方形的邊長(zhǎng)是4，求△CNM重難點(diǎn)二120°半角模型42．（2122七年級(jí)下·廣東湛江·期末）半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等．通過(guò)翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)成全等或相似三角形，弱化條件，變更載體，而構(gòu)建模型，可把握問(wèn)題的本質(zhì)．(1)問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且(2)探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是(3)結(jié)論應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇與指揮中心O之間的夾角∠EOF(4)能力提高：如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M、N在邊BC上，且∠MAN=45°，若43．（2223八年級(jí)上·江西宜春·期中）問(wèn)題背景：“半角模型”問(wèn)題．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊44．（2425七年級(jí)下·四川成都·期中）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，即可得出像上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱(chēng)為半角模型．拓展:如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠題型六對(duì)角互補(bǔ)模型解｜題｜技｜巧對(duì)角互補(bǔ)模型:在四邊形中，①一組鄰邊相等;②另外一組鄰邊的頂點(diǎn)所在的對(duì)角線是這組鄰邊組成的角的平分線;③對(duì)角互補(bǔ).三者知二推一.45．（2425八年級(jí)下·內(nèi)蒙古通遼·期末）問(wèn)題背景：“對(duì)角互補(bǔ)”是經(jīng)典的四邊形模型，在四邊形對(duì)角互補(bǔ)的基礎(chǔ)上，它的另一個(gè)條件是一條對(duì)角線是一個(gè)內(nèi)角的平分線或一組鄰邊相等．方法是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等，如果問(wèn)題中有“45°，60°”角度出現(xiàn)，一般會(huì)和等腰直角三角形、正方形、等邊三角形等特殊圖形結(jié)合起來(lái)考查．(1)【問(wèn)題解決】如圖①，∠AOB=∠CPD=90°，PD=PC，小明同學(xué)從P點(diǎn)分別向OA，OB作垂線PE，(2)【問(wèn)題探究】如圖②，若∠AOB=120°，∠CPD=60°，PD=PC，(3)【拓展延伸】如圖③，點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，∠CPD=90°，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，連接OP，且OP=246．（2324九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）問(wèn)題背景：“對(duì)角互補(bǔ)”是經(jīng)典的四邊形模型，解決相應(yīng)問(wèn)題，通常會(huì)涉及到旋轉(zhuǎn)構(gòu)造、全等三角形的證明等綜合性較高的幾何知識(shí)．如果問(wèn)題中有“45°，60°”角度出現(xiàn)，一般會(huì)和等腰直角三角形、正方形、等邊三角形等特殊圖形結(jié)合起來(lái)考察．(1)【問(wèn)題解決】如圖①，∠AOB=∠CPD=90°，OP平分∠AOB，小明同學(xué)從P點(diǎn)分別向OA，OB作垂線PE，PF，由此得到正方形OFPE，與(2)【問(wèn)題探究】如圖②，若∠AOB=120°，∠CPD=60°，OP平分∠AOB，OD(3)【拓展延伸】如圖③，點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，∠CPD=90°，∠PCD=30°，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，連接OP，且OP=題型七婆羅摩笈多模型重難點(diǎn)一已知垂直47．（廣東省肇慶市20232024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖，△ABC中，以AB、AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH⊥BC于H交FG于點(diǎn)P48．（2425八年級(jí)上·重慶綦江·期末）通過(guò)對(duì)如圖數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：(1)如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△(2)如圖2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)(3)如圖2，∠ADC=∠EDF=90°，AD=DC，DE=DF，連接AC，EF，△AFD的面積為S重難點(diǎn)二已知中點(diǎn)49．（2122八年級(jí)上·湖北鄂州·期中）婆羅摩笈多（Brahmagupta）約公元598年生，約660年卒，在數(shù)學(xué)、天文學(xué)方面有所成就．婆羅摩笈多是印度印多爾北部烏賈因地方人，原籍可能為巴基斯坦的信德．婆羅摩笈多的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．例如下列模型就被稱(chēng)為“婆羅摩笈多模型”：如圖1，2，3，△ABC中，分別以AB，AC為邊作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，則有下列結(jié)論：①圖1中S△ABC＝S△ADE；②如圖2中，若AM是邊BC上的中線，則ED＝2AM；

③如圖3中，若AM⊥BC，則MA的延長(zhǎng)線平分ED于點(diǎn)N．（1）上述三個(gè)結(jié)論中請(qǐng)你選擇一個(gè)感興趣的結(jié)論進(jìn)行證明，寫(xiě)出證明過(guò)程；（2）能力拓展：將上述圖形中的某一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)到如圖4所示的位置：△ABC與△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，若F為BD的中點(diǎn)，連接AF，求證：2AF＝CE．50．（2526八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·開(kāi)學(xué)考試）【背景問(wèn)題】老師提出了如下問(wèn)題：如圖①，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AB=3,AD=2，若小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE．由已知和作圖能得到△EDB（1）請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考，直接寫(xiě)出AC可能的長(zhǎng)=__________（寫(xiě)一個(gè)即可）；【感悟方法】題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中．（2）如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F,AC=BF【深入探究】（3）如圖③，在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE，且∠ACB=∠DCE=90°題型八與角平分線有關(guān)的熱考模型解｜題｜技｜巧遇到角平分線問(wèn)題時(shí)，牢記以下做輔助線的口訣:1）圖中有角平分線，可向兩邊做垂直；2）圖中有角平分線，對(duì)折一看關(guān)系現(xiàn)；3）角平分線加垂線，三線合一試試看；4）角平分線平行線，可得等腰三角形.重難點(diǎn)一角平分線+垂一邊51．（2021八年級(jí)上·湖北孝感·期末）如圖，∠D=∠C=90°，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，AE平分∠DAB52．（2425八年級(jí)下·甘肅臨夏·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD=40°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，交(1)求證：DE平分∠ADC(2)若AB=6，AD=5，重難點(diǎn)二角平分線+分垂線53．（2425八年級(jí)下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE是∠ABC的角平分線，(1)求證：BE=2(2)連接AD，若AB=4，S△BDC54．（2023·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考下面是小明的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)解決圖形與幾何中的問(wèn)題在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中常常會(huì)遇到一些問(wèn)題無(wú)法直接解答，需要作輔助線構(gòu)造全等三角形才能得到解決，比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過(guò)延長(zhǎng)垂線段與三角形的一邊相交，構(gòu)造全等三角形，再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決此問(wèn)題．例：如圖1，D是△ABC內(nèi)的點(diǎn)，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，連接BD．若該問(wèn)題的解答過(guò)程如下：解：如圖2，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E．∵AD平分∠BAC，∴∠∵AD⊥CD，∴在△ADE和△ADC∴△ADE∴S△ADE=S△任務(wù)：(1)上述解答過(guò)程中的“依據(jù)*”是指；(2)請(qǐng)將上述解答過(guò)程的剩余部分補(bǔ)充完整；(3)如圖3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

重難點(diǎn)三角平分線+截線55．（2425七年級(jí)下·河南鄭州·期末）（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖1，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A與∠C互補(bǔ)，∠A=90°，則DA（2）性質(zhì)探究如圖2，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A與∠C互補(bǔ)，∠A≠90°，則（1）中DA（3）問(wèn)題拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，AD=256．（2223八年級(jí)上·湖北孝感·期中）如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD

(1)求證：CD=(2)若∠B=75°，求重難點(diǎn)四角平分線+平行線57．（2122八年級(jí)上·貴州遵義·期末）如圖：∠AOB=30°，點(diǎn)P是∠AOB角平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC平行OA交OB于點(diǎn)C，PD⊥OA(1)求證：△OPC(2)求PD的長(zhǎng)．58．（2425八年級(jí)上·遼寧遼陽(yáng)·期中）如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC，分別交AB和AC(1)求證：△BEO(2)若AB=5，AC=4，求期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：30分鐘）1．（2425七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）一線三垂直模型是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的幾何模型，這個(gè)模型的關(guān)鍵是抓住“同一直線”和“三個(gè)垂直”的特點(diǎn)，通常需要構(gòu)造三垂直證明三角形全等從而探究出線段的長(zhǎng)度，位置關(guān)系等問(wèn)題．(1)如圖1，BD⊥DE于點(diǎn)D，BA⊥AC，CE⊥DE于點(diǎn)(2)如圖2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，連接BC，DE過(guò)點(diǎn)A作直線AF⊥BC于點(diǎn)F交DE于點(diǎn)(3)如圖3，∠CAE=∠BAD=90°，且AC=AE，AB=AD，連接BC，DE記△ABC的面積為S1，△ABD的面積為S2，①求S3②如圖3，∠ACB，∠CAB的平分線CM，AN交于點(diǎn)O，若BC=8，△ABC的周長(zhǎng)為2．（2425七年級(jí)上·山東泰安·期末）【問(wèn)題初探】（1）在數(shù)學(xué)課上，張老師給出如下問(wèn)題：如圖1，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，求證：CD=CE．如圖2，小穎同學(xué)嘗試構(gòu)造“手拉手”模型，給出一種解題思路：過(guò)C請(qǐng)你參考小穎的解題思路寫(xiě)出證明過(guò)程．【類(lèi)比分析】（2）張老師將圖1進(jìn)行變換并提出了下面問(wèn)題，請(qǐng)你解答：如圖3，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分【學(xué)以致用