§8.3圓的方程分值：90分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.(2024·北京)圓x2+y22x+6y=0的圓心到直線xy+2=0的距離為()A.2 B.2 C.3 D.322.圓心在y軸上，半徑為2，且過點(2，4)的圓的方程為()A.x2+(y1)2=1B.(x2)2+y2=4C.(x2)2+(y4)2=4D.x2+(y4)2=43.(2024·西安模擬)若過點P(0，1)可作圓x2+y22x4y+a=0的兩條切線，則a的取值范圍是()A.(3，+∞) B.(1，3)C.(3，5) D.(5，+∞)4.已知A(1，0)，B(1，0)，若點P滿足PA⊥PB，則點P到直線l：m(x3)+n(y1)=0的距離的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.45.(2024·南寧模擬)已知坐標(biāo)原點O在直線mx2y=2m+8上的射影為點P(x0，y0)，則x0，y0必然滿足的關(guān)系是()A.(x0+1B.(x0-1C.(x0+1D.(x0-16.已知m∈R，直線l1：mxym+3=0與直線l2：x+mym5=0相交于點P，則P到直線2x+y+7=0的距離的取值范圍是()A.[5，35] B.(5，35]C.[25，45] D.(25，45]二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.設(shè)圓C：(xk)2+(yk)2=4(k∈R)，則下列命題正確的是()A.任意k∈R，圓的面積都是4πB.存在k∈R，使得圓C過點(3，0)C.經(jīng)過點(2，2)的圓C有且只有一個D.不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上8.(2024·丹東模擬)已知曲線E：x2+y22|x|2|y|=0(x，y不同時為0)，則()A.曲線E圍成圖形的面積為8+4πB.曲線E的長度為42πC.曲線E上的點到原點的最小距離為2D.曲線E上任意兩點間最大距離為42三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知P(m，n)是圓C：x2+y28x6y+23=0上一點，則(m-1)10.已知圓C以C(1，1)為圓心，且與直線mxy2m=0(m∈R)相切，則滿足以上條件的圓C的半徑最大時，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.四、解答題(共27分)11.(13分)已知圓C的圓心在x軸上，并且過A(1，3)，B(3，3)兩點.(1)求圓C的方程；(6分)(2)若P為圓C上任意一點，定點M(8，0)，點Q滿足PM=3QM，求點Q的軌跡方程.(7分)12.(14分)已知圓C1經(jīng)過點A(1，3)和B(2，4)，圓心在直線2xy1=0上.(1)求圓C1的方程；(6分)(2)若M，N分別是圓C1和圓C2：(x+3)2+(y+4)2=9上的點，點P是直線x+y=0上的點，求|PM|+|PN|的最小值，以及此時點P的坐標(biāo).(8分)13題6分，14題5分，共11分13.(多選)已知圓C：x2+(y2)2=2，點P是圓C上的一個動點，點A(2，0)，則()A.2≤|AP|≤32 B.∠PAC的最大值為πC.△PAC面積的最大值為2 D.AC·AP的最大值為1214.(2024·佳木斯模擬)已知圓x2+y2=8上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標(biāo)原點，若∠AOB=120°，則|x1+y14|+|x2+y24|的最大值是()A.8 B.62 C.82 D.12答案精析1.D2.D3.C4.C[由PA⊥PB可得點P的軌跡為以線段AB為直徑的圓(去除點A和點B)，圓心坐標(biāo)為(0，0)，半徑為1，又直線l：m(x3)+n(y1)=0，其過定點(3，1)，故距離的最大值為3+1+1=3.5.B[直線l：mx2y=2m+8，即m(x2)2(y+4)=0恒過定點A(2，4)，由原點O在直線l上的射影為點P，得OP⊥l，則點P在以O(shè)A為直徑的圓上(去除點(2，0))，該圓圓心為(1，2)，半徑為r=12+(-2所以x0，y0必然滿足的關(guān)系是(x0-1)26.D[因為m·1+(1)·m=0，所以直線l1與l2始終垂直，又由條件可得直線l1恒過定點M(1，3)，直線l2恒過定點N(5，1)，所以兩直線的交點P在以線段MN為直徑的圓上，該圓的圓心坐標(biāo)為(3，2)，半徑為12|MN=12(5-1所以該圓的方程為(x3)2+(y2)2=5，圓上點(1，1)是過定點M(1，3)且斜率不存在的直線與過定點N(5，1)且斜率為0的直線的交點，故點P的軌跡不經(jīng)過點(1，1).圓心(3，2)到直線2x+y+7=0的距離d=|2×3+2+7|所以圓上的點到直線2x+y+7=0的距離的最大值和最小值分別為45和25又點(1，1)到直線2x+y+7=0的距離為25，所以P到直線2x+y+7=0的距離的取值范圍是(25，45].7.AD[由于對任意k∈R，圓的半徑都是2，故面積都是4π，A正確；由于(3k)2+(0k)2=2k26k+9=2k-322+92≥92>4，故圓C必定不過點對k=22和k=2+2，均有(2k)2=2，故(2k)2+(2k)2=4，即圓C經(jīng)過點(2，2)，C圓心C(k，k)始終在直線y=x上，D正確.]8.ABD[當(dāng)x≥0，y≥0，且x，y不同時為0時，曲線E：(x1)2+(y1)2=2；當(dāng)x≥0，y<0時，曲線E：(x1)2+(y+1)2=2；當(dāng)x<0，y≥0時，曲線E：(x+1)2+(y1)2=2；當(dāng)x<0，y<0時，曲線E：(x+1)2+(y+1)2=2.畫出曲線E的圖形，如圖所示.對于A，曲線E圍成的圖形可分割為一個邊長為22的正方形和四個半徑為2的半圓，故面積為22×22+2π×(2)2=8+4π對于B，曲線E由四個半徑為2的半圓組成，故周長為2×2π×2=42π，故B正確；對于C，曲線E上的點到原點的最小距離為2，故C錯誤；對于D，當(dāng)曲線E上任意兩點的連線過圓心及原點時，距離最大，最大為42，故D正確.9.22解析(m-1)2+n2表示圓上的點P(m，n)由x2+y28x6y+23=0可化為(x4)2+(y3)2=2，則圓心為(4，3)，半徑為2，點(1，0)到圓心的距離為(1-4)所以點P(m，n)到點(1，0)的距離的最小值為322=22即(m-1)210.(x1)2+(y1)2=2解析直線mxy2m=0可化為m(x2)y=0，所以x-2=0,-所以直線過定點A(2，0)，當(dāng)CA與直線mxy2m=0垂直時，圓C的半徑最大，半徑為(2-1)2所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2+(y1)2=2.11.解(1)由題意可知，線段AB的中點為(2，3)，kAB=0，所以線段AB的垂直平分線方程為x=2，它與x軸的交點為圓心C(2，0)，又半徑r=|AC|=10所以圓C的方程為(x2)2+y2=10.(2)設(shè)P(x0，y0)，Q(x，y)，由PM=3QM得(8x0，y0)=3(8x，y)，所以x又點P在圓C上，故(x02)2+y02所以(3x18)2+(3y)2=10，化簡得點Q的軌跡方程為(x6)2+y2=10912.解(1)由題意知線段AB的中點坐標(biāo)為3kAB=4-32-1=1∴線段AB的垂直平分線方程為y72=即y=5x，聯(lián)立y=5-x即圓C1的圓心為C1(2，3)，半徑r=|AC1|=1，其方程為(x2)2+(y3)2=1.(2)注意到點C1(2，3)和點C2(3，4)在直線x+y=0的兩側(cè)，直線x+y=0與兩圓分別相離，如圖所示.∴|PM|+|PN|≥|PC1|1+|PC2|3≥|C1C2|4=744，當(dāng)且僅當(dāng)M，N，P，C1，C2五點共線且M，N在C1，C2之間時等號成立，則|PM|+|PN|的最小值為744，此時點P為直線C1C2與x+y=0的交點，過C1，C2的直線方程為7x5y+1=0，聯(lián)立x解得x∴點P的坐標(biāo)為-113.ACD[圓C的圓心為C(0，2)，半徑r=2圓心C(0，2)到A(2，0)的距離d=22∴22r≤|AP|≤22+r，即2≤|AP|≤32，故A根據(jù)題意，如圖，當(dāng)CP⊥AP時，∠PAC取得最大值，此時△APC為直角三角形，由于|AC|=2|CP|=22∴∠PAC=π故∠PAC的最大值為π6，故由于|AC|=2|CP|=22∴當(dāng)AC⊥CP時，△PAC的面積最大，即△PAC面積的最大值為12×22×2=2如圖，當(dāng)AC與AP同向共線時，AC·AP|AC|=22，|AP|=3∴AC·AP=12，故D正確.]14.D[由圓x2+y2=8上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，得|OA|=|OB|=22設(shè)弦AB的中點為E，則OE⊥AB，由∠AOB=120°，得∠ABO=∠BAO=30°，所以|OE|=12|OA|=所以點E的軌跡是以2為