黃廣中學2024-2025學年度第一學期期中考試

九年級數(shù)學試卷

試卷滿分120分考試時長120分鐘

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分,在每小題列出的選項中，選出符合題目

的一項）

I.若方程?2+21+2=°是一元二次方程，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.B.a>0C.a>0D.?<0

（2023沈陽中考改編）

2.二次函數(shù)），=—（x+l『+2圖象的頂點坐標是（）

A.（1,2）B.（-1,2）C.（2,-1）D.（1,-2）

3.若〃?，〃分別為一元二次方程丁+2工一5=0的兩個實數(shù)根，則2根〃一根一〃的值為（）

A.-12B.12C.-8D.8

（2023年湖北省襄陽市中考）

4.我國南宋數(shù)學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直出積八百六十四步，只云闊不及長一十

二步.問闊及長各幾步.”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是

幾步.設寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（）

A.2x+2（x+12）=864B.x2+（x+12）2=864

C.x（x-12）=864D.Mx+⑵=864

（2023年青海中考）

5.如圖，AB是00弦，C是0。上一點，OCLAB,垂足為。，若NA=20。，則/48C=

C

A.20°B.30°C.35°D.55°

（2024廣州中考）

6.下列圖案中，點。為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關(guān)

于點。對稱的是（)

D.

7.如圖，。。的直徑CO=20,A8是OO的弦,AB1CD,垂足為M,OM:MC=3:2,

C.16D.2回

8.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=+Z與），=丘十。（。。0）的圖象可能是（）

9.如圖，OO中，弦A3的長為4后，點C在OO上，OCLAB,ZA3C=300.00所在的

平面內(nèi)有一點P,若OP=5,則點P與。0的位置關(guān)系是（）

A.點。在。。上B.點”在GO內(nèi)C.點,”在co外D.無法f角定

10.如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a#0）的圖象與x軸交于點A（-1,0）,與y軸的交點B

在（0,-2）和（0,-1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=l.下列結(jié)論：①abc>0

12

②4a+2b+c>0③4ac-b2V8a④-Va<—⑤b>c.其中含圻有正確結(jié)論的選項是（）

33

A.①③B.①③④C.②④?D.①③④⑤

二、填空題（本大題共6小題，每題3分，共18分）

II.若點43,-2）與點B關(guān)于原點對稱，則點B的坐標為

（2022廣東中考）

19.在平面直角坐標系中，RtaABC的三個頂點分別是4（一3,2）,8（0,4）,C（0,2）

（1以點。為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)180。，畫出旋轉(zhuǎn)后對應的△A4G；平移VA8C,

若點4的對應點4的坐標為（0,-4）,畫出平移后對應的△4用G；

（2）若將繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到AA?與G，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標.

20.如圖，在平面內(nèi)，VA8C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。后得VAQE，ABA.AE＞連接0c.求證:

AAB8AADC.

21.成都市將在2022年舉辦第31屈世界大學生夏季運動會，成都大運會吉祥物是一只名叫“蓉

寶”的大熊貓.某工廠生產(chǎn)“蓉寶”大熊貓，以30元的單價對外批發(fā)進行銷售

（1）商場購進一批“蓉寶”的大熊貓，據(jù)市場分析，若每個“蓉寶”售價為60元，則每天可售

出40個.商場決定盡快減少庫存，商店經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果每個“蓉寶”降價1元，那么平均每

天可多售出8個，若商店想平均每天盈利2000元，銷售單價應定為多少元？

（2）商城銷售總利潤為卬,當銷售單價應定為多少元，銷售總利潤最大？

22.如圖，/W是。。的直徑，AC=BC^E是（用的中點，連接C石并延長到點憶1$EF=CE.連

接4尸交。。于點。，連接8。，BF.

（1）求證：直線8尸是。O的切線；

（2）若。8=2,求8。的長.

c

23.我們在八年級上冊曾經(jīng)探索：把一個直立的火柴盒放倒（如圖1）,通過對梯形A8CZ）面積的

不同方法計算，來驗證勾股定理.〃、尻c分別是RtAABE和的邊長，易知AD=?c，

這時我們把關(guān)于x的形如c/+及cx+〃=O的一元二次方程稱為“勾氏方程”.

請解決下列問題：

（1）方程f+2x+l=0（填“是”或“不是”）“勾氏方程”；

（2）求證：關(guān)于x的“勾氏方程”以2+及5+〃=0必有實數(shù)根；

（3）如圖2,。。的半徑為10,AB、。是位于圓心O異側(cè)的兩條平行弦，

AB=2m,CD=2njn^n.若關(guān)于x的方程相f+]0&1+〃=。是，，勾氏方程，，，連接人。,

求/84。的度數(shù).

24.已知拋物線產(chǎn)加+—一3（。。0）與/軸交于點A（-l,0）,點8（3,0）,與〉，軸交于點C.

(2)若點P在拋物線的對稱軸上，點。在x軸上，是否存在以B,C,P,。為頂點的四邊形為

平行四邊形，若存在，請直接寫出點。的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到一個新的拋物線，問在)，軸正半釉

上是否存在一點F,使得當經(jīng)過點尸的任意一條直線與新拋物線交于5,7兩點時，總有一二+上

FS2FT2

為定值？若存在，求出點〃坐標及定值，若不存在，請說明理由.

25.如圖1,在RtZ\48C中，NA=90°,A8=AC,點。，￡1分別在邊ABAC上，AD=AE，

連接。C,點Af,P，N分別為DE,DC,BC中點.

圖I圖2

(1)觀察猜想：圖1中，線段RW與PN的數(shù)量關(guān)系是_____,位置關(guān)系是_______；

(2)探究證明：把VA4E1繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2位置，連接MV,BD,CE,判斷

二PWV的形狀，并說明理莊；

(3)拓展延伸：把VAOE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,AB=10,請直接寫出,PMN

面積的最大值.

黃廣中學2024-2025學年度第一學期期中考試

九年級數(shù)學試卷

試卷滿分120分考試時長120分鐘

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分,在每小題列出的選項中，選出符合題目

的一項）

I.若方程?2+21+2=°是一元二次方程，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.B.a>0C.?>0D.a<Q

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且整理

后未知數(shù)的最高次數(shù)都是2,象這樣的方程叫做一元二次方程.對于一元二次方程

以2+瓜+。=05n0）,其中。是二次項系數(shù)，〃是一次項系數(shù)，。是常數(shù)項.根據(jù)二次項系數(shù)

不為零列式求解即可.

【詳解】解：丁方程欠2+2x+2=0是一元二次方程，

4。0.

故選A.

（2023沈陽中考改編）

2.二次函數(shù)），=一（工+1『+2圖象的頂點坐標是（）

A.（1,2）B.（—1,2）C.（2,-1）D.（1,—2）

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對于二次函數(shù)j=4（x-/zy+Z（aH0）,其頂點坐標

為（〃,攵），據(jù)此可得答案.

【詳解】解：二次函數(shù)y=-（x+l『+2圖象的頂點坐標是（一1,2）,

故選：B.

3.若〃?，〃分別為一元二次方程寸+21一5=0的兩個實數(shù)根，則2，加一機一〃的值為（）

A.-12B.12C.-8D.8

【答案】c

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程

加+法+。=0(々。0),若孫超是該方程的兩個實數(shù)根，則X+W=-，c

,x}x2=-,據(jù)此可

得桃+〃=-2,〃7〃=一5,再利用整體代入法求解即可.

【詳解】解：???〃，，〃分別為一元二次方程W+2x—5=0的兩個實數(shù)根，

ni+n=—2,mn——5，

/.2tnn—m—n=2nm—(m+〃)=—5x2—(—2)=-8,

故選：C.

(2023年湖北省襄陽市中考)

4.我國南宋數(shù)學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直印積八百六十四步，只云闊不及長一十

二步.問闊及長各幾步.”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是

幾步.設寬為工步，根據(jù)題意列方程正確的是()

A.2x4-2(x4-12)=864B.x2+(x+12)2=864

C.x(x-12)=864D.Mx+⑵=864

【答案】D

【解析】

【分析】設寬為x步，則長為(x+12)步，根據(jù)題意列方程即可.

【詳解】解：設寬為x步，則長為(x+12)步,

由題意得：x(x+12)=864,

故選：D.

【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，正確理解題意是關(guān)鍵.

(2023年青海中考)

5.如圖，是。。的弦，C是。。上一點，OC1AB,垂足為。，若乙4=20。，則=

A.20°B.30°C.35°D.55°

【答案】C

【解析】

【分析】由題意易得NAOC=70。，則有NA5c=35。，然后問題可求解..

【詳解】解：???OC_LA4,ZA=20°,

???ZAOC=90°-ZA=70°,

???NA8C」NAOC=35。，

2

故選：C.

【點睛】本題主要考查圓周用定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

（2024廣州中考）

6.下列圖案中，點。為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關(guān)

于點O對稱的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了圖形關(guān)于某點對稱，掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.根據(jù)對應點連線

是否過點。判斷即可.

【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個三角形關(guān)于點。對稱的是C,

故選：C.

7.如圖，00的直徑CZ）=20,A8是OO的弦，AB1CD,垂足為M,QM:MC=3:2,

則AB的長為（）

D.2兩

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，連接04,由圓性質(zhì)可得。4,OC的長，進而

求出OM的長，再由勾股定理求出AM的長，則由垂徑定理可得A3的長.

【詳解】解：如圖所示，連接0A,

的直徑CO=20,

.\OA=OC=-CD=]0,

2

?；OM:MC=3:2,

OM=6，

???ABLCD,

/.AB=2AM,NOMA=90。，

在RtZ\Q4M中，由勾股定理得AM=而不二Z加k=8,

/.AB=16,

故選：c.

8.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)），=以2+&與）,=履+〃（。工0）的圖象可能是（）

【解析】

【分析】對比各個選項中二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的規(guī)律，可分別得到各個函數(shù)系數(shù)的取值范圍;

通過函數(shù)系數(shù)對比，即可■得到答案.

【詳解】解：A選項中，>=+Z開口朝上，與），軸交點在原點下方，.二a>。，k<0,

而〉=丘+a函數(shù)y隨x增大而增大，與y軸交點在原點下方，，攵>0,?<0?

???A選項不符合題意；

B選項中，y=a（2+〃開口朝上，與y軸交點在原點上方，，?！?,々>0,

而），二丘+。函數(shù)），隨工增大而減少，與），軸交點在原點上方，JA<0,a>0,

，B選項不符合題意；

C選項中，），=&「+%開口朝下，與）,軸交點在原點下方，???〃<（）,k<0,

而y二丘+。函數(shù)），隨*增大而減少，與），軸交點在原點上方，???4<（）,a>0,

???C選項不符合題意;

D選項中，y=ar2+k開口朝下，與）,軸交點在原點上方，，。＜0,左＞0,

而）,二丘+。函數(shù)），隨工增大而增大，與y軸交點在原點下方，???k＞0,a＜0,

??.D選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)圖

象的性質(zhì)，從而完成求解.

（2024廣州中考）

9.如圖，。0中，弦A3的長為4后，點C在上，OCA.AB,NA3C=30°.0。所在的

平面內(nèi)有一點P,若OP=5,則點P與。0的位置關(guān)系是（）

A.點p在O。上B.點〃在。。內(nèi)C.點./＞在。。外D.無法魂定

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理.，點與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握圓的相關(guān)

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.由垂徑定理可得AO=2G，由圓周角定理可得NAOC=60。，再結(jié)合特殊角的

正弦值，求出的半徑，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，令OC與A3的交點為。，

?.OC為半徑，為弦，且OC_LAB,

AD=-AB=2^,

2

ZABC=30°

:.ZAOC=2ZABC=60°,

在AAOO中，ZA7X7=90°,ZAOD=60。，AD=2^，

sinZ.AOD=---

OA

nA_AD_273_

.?嬴麗一方一，即0O的半徑為4,

2

???QP=5>4,

二點2在CO外,

故選：C.

10.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/))的圖象與x軸交于點A(-1,0),與y軸的交點B

在(0,-2)和(0,-I)之間(不包括這兩點)，對稱軸為直線x=l.下列結(jié)論：①abc>0

12

②4a+2b+c>0③4ac-b2<8a④一<a<—⑤b>c.其中含所有正確結(jié)論的選項是(

33

A.①③B.①③④C.②④@D.①③④⑤

【答案】D

【解析】

【詳解】解：①???函數(shù)開口方向向上,

AaX)：

丁對稱軸在y軸右側(cè)，

?'?a、b異號，

???拋物線與y軸交點在y軸負半軸,

.,.c<0,

AabcX),

故①正確；

②???圖象與X軸交于點A(-1,0),對稱軸為直線x=l,

???圖象與x軸的另一個交點為(3,0),

???當x=2時，y<0,

4a+2b+c<0,

故②錯誤；

③???圖象與x釉交于點A(-1,0),

，當x=-l時，y=(-l)2f/4-Z?x(-l)+(?=0,

Aa-b+c=0,即a=b-c,c=b-a,

:對稱軸為直線x=l,

:.----=1,即b=-2a,

2a

/.c=b-a=(-2a)-a=-3a,

.*.4ac-b2=4*a*(-3a)-(-2a)2=-16a2<0.

V8a>0,

.*.4ac-b2<8a,

故③正確；

④;圖象與y軸的交點B在(0,-2)和(0,-1)之間，

-2<c<-I,

-2<-3a<-1,

.21

??一>a>—，

33

故④正確；

.\b-c>0,即b>c,

故⑤正確.

故選：D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握圖像與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合來進行

判斷是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每題3分，共18分)

II.若點人（3,-2）與點8關(guān)于原點對稱，則點B的坐標為.

【答案】（-3,2）

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于原點的對稱點，橫、縱坐標都變成相反數(shù)解答.

【詳解】解：???點43,-2）與點B關(guān)于原點對稱，

???點4的坐標為（一3,2）

故答案為：（一3,2）.

【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，掌握“關(guān)于原點的對稱點，橫、縱坐標都變成相

反數(shù)”是關(guān)鍵.

（2022廣東中考）

12.若X=1是方程犬2+Q=0的根，則。二.

【答案】1

【解析】

【分析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義，把ml代入方程得到〃的值.

【詳解】把ml代入方程》2一2犬+4=0,得1-2+〃=0,

解得el,

故答案為：1.

【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元二次方

程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

（2024年廣州市白云區(qū)一模）

13.若點A（-l,y）,Bp.y2J,C（2,%）在拋物線y=（工一2丫+A上，則X，為，的大

小關(guān)系為（用“>”連接）

【答案】%>%>為

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式.也

考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線)，=(x-2『+k的開口向上，對稱軸為直線x=2,然后根據(jù)三

個點離對稱軸的遠近判斷函數(shù)值的大小.

【詳解】解：y=(x—2y+A中，。=1>0,

???拋物線開口向上，對稱軸為直線x=2,

??,點A(-l,y)離直線x=2的距離最遠，。(2,)，3)在直線1二2上，

???y>y2>%?

故答案為：

14.如圖，/XOAB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)42°得至必。。。，點。恰好落在A8上，且乙400=108°,

則N8度數(shù)是.

【答案】450

【解析】

【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知NAOD=N8OC=42。，結(jié)合NAOC=108?？赏瞥鯪8OD=24。，從而

乙4。8=66。.又A0=DO,由等腰三角形性質(zhì)可得乙4=69。，最后利用三角形內(nèi)角和公式可得N8

的度數(shù).

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，ZAOD=ZBOC=42°,

又丁/40。=108。.

:.NB0D=108°-ZAOD-ZBOC=\08o-42°-42o=24°,

???ZAOB=ZA0D+Z5OD=42O+24O=66°,

?：AO=DO,

VZA=ZAD0=(180°-42°)+2=69。，

:.ZB=180°-ZA-ZAOB=180o-69o-66o=45°,

故答案為：45°.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和公式，證明4人。。為

等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在▲ABC中，AB=AC,ZB=30°,以點A為圓心，以3cm為半徑作。A,當AB=cm

時，BC與。A相切.

【答案】6.

【解析】

【詳解】試題分析：如圖，過點A作AD_LBC于點D.TAB;AC,ZB=30°,AAD=yAB,即

AB=2AD.又TBC與。A相切，...AD就是圓A的半徑，，AD=3cm,則AB=2AD=6cm.故答

案為6.

考點：切線的判定.

16.在矩形A3CO中，A8=6,3C=8,點M是平面內(nèi)一動點，且滿足80=4,N為MD的

中點，點M運動過程中線段CN長度的取值范圍是.

【答案】3UCN7

【解

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，圓外一點到圓上點的距離的最值，把求CN

的最值轉(zhuǎn)化為求石M的最值是關(guān)鍵；確定點M的運動路徑；延長。。到E使CE=OC=6,

連接EB,砂交于點RG；利用三角形中位線定理及圓的基本性質(zhì)即可求得線段CN

長度的取值范圍.

【詳解】解：???8W=4，

?..M在以8為圓心4為半徑的圓上運動；

???西邊形A3C。為矩形，

???DC=AB=6i

延長。。到E,使CE=DC=6,連接目W,EB,EB交0B于點、F、G；

〈N為MD的中點，

：,CN=-EM；

2

當M與尸重合時，￡例最小，且最小值為耳'長；當M與G重合時，EM最大,且最大值為EG

長；

VBC1DE,BC=8,CE=6,

工EB=y）62+82=10；

???EF=EB-BF=10-4=6,EG=EB+BF=10+4=14,

???。村的最小值為!石尸=3,CN的最大值為《EG=7,

22

則線段C7V長度的取值范圍是3#CN7.

故答案為：3#CN7.

三、解答題（本大題共9小題，共72分.）

17.解方程：2x(x-3)=x—3.

【答案】玉=5'42=3

【解析】

【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

先移項，再用因式分解法求解即可.

【詳解】解：2x(x-3)=x-3

2x(x-3)-(x-3)=0

(2x-l)(x-3)=0

2x-\=0或x-3=0

2

18.已知拋物線)，=/+41+4一］.若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求k的取值范圍.

【答案】k<5

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)與坐標軸交點問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線與x軸有兩個交點

判別式大于0.

根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點，判別式人于。列不等式求解即可得到答案.

【詳解】解：???拋物線y=/+4x+左-1與x軸有兩個交點，

AA=42-4(A:-l)>0,

解得：k<5.

19.在平面直角坐標系中，RLAABC的三個頂點分別是4(-3,2),8(0,4),C(0,2)

（1y^VABC以點。為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)180。，畫出旋轉(zhuǎn)后對應的△44G;平移VA8C,

若點A的對應點4的坐標為（0,-4）,畫出平移后對應的“BG；

（2）若將△A4G繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△Az2G，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標.

【答案】（1）見詳解（2）

【解析】

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換作圖，也考查了平移變換作圖，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的定

義作出變換后的對應點是解題的關(guān)健，

（1）利用中心對稱的點的坐標特征得到A、用、G，再順次連接即可：利用點A與點4的坐

標特征得到平移的方式是先向右平移3個單位，再向下平移6個單位，據(jù)此作出另外兩個點的對

應點，順次連接即可；

（2）連接AA2、名與、CC?交于一點，這點即為旋轉(zhuǎn)中心，即可解答；

【小問1詳解】

解：???4（0,0）,與（3,-2）,

.0+330+(-2)_

??------=—.------------=-I

222

.二旋轉(zhuǎn)中心坐標為（"l，-1.

20.如圖，在平面內(nèi)，VAKC繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。后得VADE，AB±AE-連接DC.求證:

△AB8AADC.

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得二A。，

ZBAD=ZCAE=60°,求出AEAD=ADAC=ABAC=30°,然后根據(jù)SAS即可證明

【詳解】證明：???由旋轉(zhuǎn)可得

AAB=AD.zlDAE=ZBAC,

???旋轉(zhuǎn)角為60。,

：.ZBAD=^CAE=60°.

*：ABLAE^

???ZBA￡=90°,

???ZE4D=30°,

???ADAC=900-ZDAE-4BAC=30°，

???/DAC=/BAC.

AB=AD

在VA3C和.ADC中，NBAC=NZMC,

AC=AC

???/ABC^ADC(SAS).

21.成都市將在2022年舉辦第31屆世界大學生夏季運動會，成都大運會吉祥物是一只名叫“蓉

寶”的大熊貓.某工廠生產(chǎn)“蓉寶”大熊貓，以30元的單價對外批發(fā)進行銷售

（1）商場購進一批“蓉寶”的大熊貓，據(jù)市場分析，若每個“蓉寶”售價為60元，則每天可售

出40個.商場決定盡快減少庫存，商店經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果每個“蓉寶”降價I元，那么平均每

天可多伐出8個，若商店想平均每天盈利2000元，銷售單價應定為多少元？

（2）商城銷售總利潤為卬，當銷售單價應定為多少元，銷售總利潤最大？

【答案】（1）銷售單價應定為40元

（2）當銷售單價應定為47.5元，銷售總利潤最大

【解析】

【分析】本題主要考查了?元二次方程的實際應用，二次函數(shù)的實際應用：

（1）設每個“蓉寶”降價x元，根據(jù)利潤=（實際小價-洗價）*銷售量列出方程求解即可；

（2）設每個“蓉寶”降價x無，根據(jù)利潤=（實際售價一進價）x銷售量列出卬關(guān)于X的二次函

數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

解：設每個“蓉寶”降價x元，

由題意得,（60-30-力（40+8x）=2（XX）,

整理得：X2-25X+100=0，

解得20或x=5,

???商場決定盡快減少庫存，

x=20,

60-x=40,

答：銷售單價應定為40元；

【小問2詳解】

解：設每個“蓉寶”降價x元，

由題意得w=（60-30-x）（40+8x）

=（30—x）（40+8”

1200-40x+240x-8x2

=-8X2+2(X)X+1200

=-8（12.5『+2450,

V-8<0,

,當x=12.5時，w有最大值,最大值為2450,

?'?60-JV=47.5,

???當銷售單價應定為47.5元，銷售總利潤最大.

22.如圖，48是。O的直徑，AC=BC，E是的中點，連接CE并延長到點尸，1$EF=CE.連

接Ar交。。于點。，連接80,AF.

（1）求證：直線8戶是。。的切線：

（2）若OB=2,求B。的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）8。=勺5.

5

【解析】

【分析】（1）連接OC由已知可得N8OG90。，根據(jù)SAS證明根據(jù)全等三角

形的對應角相等可得N。以三NCO￡=90。，繼而可證明直線//是。。的切線；

（2）由（I）的全等可知4F=OC=2,利用勾股定理求出AF的長，然后由SAABF=

-ABBF=-AFBD,即可求出芷.

225

【詳解】解：（1）連接OC,

TAB是。。的直徑，AC=BC

ZBOC=90°,

???E是。8的中點,

：?OE=BE,

在△OCE和△8FE中，

OE=BE

,ZOEC=ZBEF,

CE=EF

:.△OCE92BFE(SAS),

???NOBF=NCOE=90。,

???直線B產(chǎn)是(DO的切線；

(2)VOB=OC=2,由(1)得：△OCEWABFE,

：.BF=OC=2,

???AF=yjAB2+BF2=A/42+22=26，

/.SAARF=—=—AFBD,

22

即4x2=275BD,

.Rn_475

??tsiJ-?

【點睛】本題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的不同表示

方法，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.

23.我們在八年級上冊曾經(jīng)探索：把一個直立的火柴盒放倒（如圖1）,通過對梯形A8CZ）面積的

不同方法計算，來驗證勾股定理.〃、氏c?分別是RtzMBE和R3CQE的邊長，易知AD=瓜,，

這時我們把關(guān)于工的形如方?+&cx+〃=0的一元二次方程稱為“勾氏方程”.

請解決下列問題:

(1)方程f+2x+l=0(填“是”或“不是")"勾氏方程"：

(2)求證：關(guān)于x的“勾氏方程”辦2+拒5+〃=0必有實數(shù)根；

(3)如圖2,的半徑為10,A3、CO是位于圓心O異側(cè)的兩條平行弦，

AB=2m,CD=2njnwn.若關(guān)于x的方程初￡+10五工+〃=0是“勾氏方程"，連接AZZ

求一84。的度數(shù).

【答案】(1)是(2)見解析

(3)45°

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“勾氏方程”的定義即可判斷：

(2)利用勾股定理以及“勾氏方程”的定義即可解決問題：

(3)如圖，連接O。，。3,作OE_LCO于E,作E。延長線交A8于尸，利用勾股定理求

出OE=〃?，OF=n,在利用全等三角形的判斷與性質(zhì)推導出NQO3=90。即可解決問題.

【小問1詳解】

解：X2+2X+1=0”勾氏方程”，理由如下：

,?*x2+2x+1=0中'a=1,、色c=2,b=l，

c—>/2?

*，?a2+b2=c2，a,b,c能構(gòu)成直角三角形，

???方程V+2x+l=0是“勾氏方程”；

【小問2詳解】

解：:關(guān)于X的方程ad+y2M+b=0是“勾氏方程”，

???ab,。構(gòu)成直角三角形：c是斜邊，

，c2=a2+b2，

A=2c2-4ab,

22

???A=2(/+b-2ab)=2(a-b)>0,

???關(guān)于X的“勾氏方程”"?+&5+〃=0必有實數(shù)根.

【小問3詳解】

解：連接OO,。3,作Q￡_LCO于￡作E。的延長線交A3于F,如下圖:

???關(guān)于x的方程加2+10缶+〃=0是“勾氏方程”，

???"?，〃，10構(gòu)成直角三角形，10是斜邊，

222

???ni+n=lO

VAB//CD,OE工CD,

：.OFA-AB,DE=^-CD=n,

2

AZOED=ZOFB=90°,BF=^AB=m,

2

DE2+OE2=OD\OF2+BF2=OB2，即〃？+。七2=i。?，OF2+/K2=10,

又nr+n2=IO2?

OE=m,OF=n，

:.DE=OF,OE=BF,

???OED^-BFO(SSS),

???/EOD=/OBF,

???/OBF+/BOF=9G0,

，/EOD+/BOF=90。，

???NDOB=90。，

???ZBAD=-ZDOB=45°.

2

【點睛】本題考查了勾股定理、一元二次方程根的判別式、全等三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定

理等知識，解題關(guān)鍵是挖掘新定義中最本質(zhì)的關(guān)系：勾氏方程也3+〃=。滿足

a2+b2=c2^利用這個關(guān)系即可轉(zhuǎn)化邊并證明邊相等.

24.已知拋物線），=加+公一3（〃工0）與x軸交于點A（-1,O）,點8（3,0）,與y軸交于點C.

（2）若點P在拋物線的對稱軸上，點。在4軸上，是否存在以&C,P,Q為頂點的四邊形為

平行四邊形，若存在，請直接寫出點。的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到一個新的拋物線，問在），軸正半軸

上是否存在一點凡使得當經(jīng)過點尸的任意一條直線與新拋物線交于5,7兩點時,總有志+講

為定值？若存在，求出點尸坐標及定值，若不存在，請說明理由.

【答案】（I）y=x2—2x—3

(2)存在,。點的坐標為(2,0),(4,0),(-2,0)

（3）存在,定點尸［。,萬＞有7+萬y的值為4

【解析】

【分析】（1）把4—1,0）,點93,0）代入），二奴2+加-3,得出關(guān)于。、h二元一次方程組,

解方程組求出〃、人的值，即可得答案;

(2)根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸為直線x=l,點P坐標為(l,s),點。坐標為Q(，,0),根據(jù)

平行四邊形對角線中點的坐標相同，分3C、BP、8。為對角線三種情況，列方程組求出$、f的

值即可得答案；

(3)根據(jù)平移規(guī)律得出新的拋物線解析式為)，=/,設sr的解析式為)，="+〃，S(x，y),

T(x2,y2),則口0,力，聯(lián)立拋物線與直線ST的解析式得d—乙=o,利用一元二次方程根

與系數(shù)的關(guān)系用人、b、/、聲分別表示反2和42,代入工+工，根據(jù)』+上為

FSFTFSFT

定值得出8值及定值即可.

【小問1詳解】

解：???A(T0),8(3,0)在拋物線》=加+旅一3(。。0)上，

,a—b—3=0

??4+3Z?-3=0,

解得：上a=C\，

[b=-2

???拋物線的表達式為：y=x2-2x-3.

【小問2詳解】

解：由題意知，拋物線的對稱軸為直線工二-二匕=1,氐3,0),。(0,-3),

2x1

設點尸坐標為(1,s),點Q坐標為QQO),

3+0=l+r

①當AC為對角線時，

。-3=s+0

5=-3

解得：'

t=2

???2(2,0)：

s=-3

解得：＜

r=4

???2(4,0)；

解得：Q(—2,0),

綜上所述，存在點Q,以8,C,P,。為頂點的四邊形為平行四邊形，。點的坐標為(2,0)或(4,0)

或(-2,0).

【小問3詳解】

當拋物線產(chǎn)/-法-3向左平移1個單位，向上平移4個單位后，得到新的拋物線

y=(x+l)2-2(x+l)-3+4,即y=F

設S7的解析式為丁=履+〃，點S坐標為($，x),點/坐標為*2,%)，則產(chǎn)(0/)，

kx+b

聯(lián)立新拋物線與直線ST的解析式得：j,79

=廠

x2-Ax-Z?=0?

X]+x2=Z:,=-b,

FS2=片+(y-b)2=片+公。=(i+/：時,

同理，口2=0+&2月，

11111111(內(nèi)+M)2一2玉&1(k2+2by

22LM2J1+'從1

'FSFT1+公"2X2J-k2

???一」+』為定值，

FS?FT2

，1+/=r+2〃，

解得：b=L

2

當人=■!■時,

2

fM11

???定點即5'壽+喬的值為4?

【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖像的平移、

求一次函數(shù)解析式、