2024-2025學(xué)年第二學(xué)期初三二模聯(lián)考

九年級數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，共25題，滿分120分.考試用時120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場和座位號填寫在答題卡上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目選項的答案信息點涂黑；如

需改動，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答無效.

4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，回收答題卡.

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求，請將答案填在答題卡上）

1.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.〃B.0.33333C.-D.兀

7

2.據(jù)《光明日報》2024年3月1，1日報道；截至2023年末，我國境內(nèi)有效發(fā)明專利量達(dá)到401.5萬件，高

價值發(fā)明專利占比超過四成，成為世界上首個境內(nèi)有效發(fā)明專利數(shù)量突破400萬件的國家，將4015000用

科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.4015xl07B.4.015xl06C.40.15xl05D.4.015xlO3

4.“愛護(hù)環(huán)境，人人有賁”.為減少塑料垃圾袋的使用，小明統(tǒng)計了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的數(shù)

量（單位：個）：2,2,3,3,3,4,4.則對這組數(shù)據(jù)說法錯誤的是（）

A.眾數(shù)是3B.中位數(shù)是3C.平均數(shù)是3D.方差是3

5.拋物線y=a?十刈+。中的y的部分對應(yīng)值如下表:

X???-3-20134???

y???70-8-9-50???

關(guān)于它的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（）

A.圖象開口向下B.對稱軸是直線x=1

2

C.當(dāng)“>3時，,隨X的增大而增大D.圖象與X軸的交點坐標(biāo)為（—2,0）和（2,0）

6.如圖，已知AB是肺的直徑，CD是弦，且CD團(tuán)AB,BC=3,AC=4,則sin回ABD的值是（）

7.如圖，將V43C繞頂點。逆時針旋轉(zhuǎn)角度a得到且點8剛好落在A8'上.若乙4=26。,

/BC4'=44。，則。等于（）

A.37°B.38°C.39°D.40°

8.如圖，過正五邊形A6C。&的頂點A作射線A”,若A尸〃CO,則的度數(shù)為（）

9.如圖，VA/C中，AB=AC=IO,BE-LAC于點、E，AE=2邪，。是線段3E上的一個動由、,

則CD+好8。的最小值是()

5

A.2岳B.5百

C.10D.475

10.在平面直角坐標(biāo)系中，點P(,r,y)經(jīng)過某種變換后得到點。(―)」l,x+l),我們把點P(—y—Lx+1)

叫作點P(x,y)的終結(jié)點，已知4的終結(jié)點為鳥，點鳥的終結(jié)點為鳥，點尸，的終結(jié)點為乙，……，這樣

依次得到點鳥，《，鳥，…，匕,若點片的坐標(biāo)是(2,1),則點6025的坐標(biāo)是()

A.(-2,3)B.(-4,-1)C.(0,-3)D.(2,1)

第二部分非選擇題(共90分)

二、填空題(本大題共10小題，每小題3分，滿分18分)

11.若二次根式J=有意義，則x的取值范圍是.

12,分解因式：2x2-4xy+2y2=.

13.圓錐的底面圓的半徑是3,其母線長是9,則圓錐側(cè)面展開圖的面積是.

14.若。2-3。+2=3，則3。2—9〃+2022的值是______.

15.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為AB上一點，且AE:碩=1:2,AC與力E相交于點尸，

S.REF=2，則S.ACO=------

16.如圖，在正方形紙片A8C。中，E是AB邊的中點，將正方形紙片沿EC折疊，點3落在點/)處，延

長CP交AO于點Q,連結(jié)AP并延長交CO于點尸.給出以下結(jié)論：①AAEP為等腰三角形;②尸為CO

（2）學(xué)校要從答題成績?yōu)锳等且表達(dá)能力較強(qiáng)的甲、乙、丙、丁四名學(xué)生.中，隨機(jī)抽出兩名學(xué)生去做“安

全知識宣傳員”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽出的兩名學(xué)生恰好有甲的概率.

21.如圖，小紅同學(xué)為了測量小河對岸某塔的高度，他在與塔底8同一水平線上的點。處測得塔

的頂端A的仰角為45。，接著他沿著坡度i=l：6的斜坡CE向上行走10米到達(dá)點D處（點A、B、C、

D、E、尸在同一平面內(nèi)）,此時測得塔的頂端A的仰角為31得（參考數(shù)據(jù):sin31°M）.52,cos31Ko.86,

tan31°?0.6(),百h1.73，＞/2?1.41)

（1）求點。到尸。的距離；

（2）求塔AB的高度.（結(jié)果精確到01米）

22.如圖，N8AC=90。，以A8為直徑O19交的斜邊8c于點。，連接。。.點E在AC上,

ED=EA.

（I）求作滿足條件的點￡并求證：OE是。O的切線.（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

（2）請在（1）的條件下，延長DE交44的延長線于點F,若AB=6,AC=3,求。歹的長.

23.如圖，一次函數(shù)+b與反比例函數(shù)%="交于A，B兩點,與兩坐標(biāo)軸分別交于C,D兩點,

x

其中4坐標(biāo)為（1,4）,且滿足CD=3AC.

(2)反比例函數(shù)圖象上是否存在一點P,使得3s若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由;

24.綜合與實踐

問題情境：四邊形A8CO是邊長為5菱形，連接80.將△5CD繞點“按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到ABEF，

點C，。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別為E,F.旋轉(zhuǎn)角為。(0°＜。＜360°).

圖I

(I)觀察思考:如圖1,連接AC,當(dāng)點廠第一次落在對角線AC上時，a=

(2)探究證明:如圖2,當(dāng)a〉180。，旦族〃8。時，EF與AD交于點G.試判斷四邊形8/)Gb的

形狀，并說明理由.

3

(3)拓展延伸：如圖3,連接CE.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)族與菱形A8CO的一邊平行時，且tan/D43=-

4

請宜.接寫出線段CE的長.

25.已知二次函數(shù)y二廠一mx-(/〃為常數(shù)).

(I)當(dāng)〃z=2時.求函數(shù)頂點坐標(biāo);

(2)若點P(〃+l,y)和Q(2〃-l,%)都在該二次函數(shù)的圖象上，且不論〃取何值總有M與乃成立，求〃?

的值;

(3)已知點M(-3/)，N(3,4)若二次函數(shù)圖象與線段腦V只有一個交點，請求出機(jī)的取值范圍.

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期初三二模聯(lián)考

九年級數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，共25題，滿分120分.考試用時120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場和座位號填寫在答題卡上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目選項的答案信息點涂黑；如

需改動，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答無效.

4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，回收答題卡.

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求，請將答案填在答題卡上）

I.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A74B.0.33333C.；D.兀

【答案】D

【解析】

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，?定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)

與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).

【詳解】A.JJ=2,屬于有理數(shù)，不符合題意；

B.0.33333,屬于有理數(shù)，不符合題意；

C.屬于有理數(shù)，不符合題意；

D.兀是無理數(shù)，符合題意；

故選：D.

【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：兀，2兀等；開方開不盡的數(shù):

以及像0.1010010001…,等有這樣規(guī)律的數(shù).

2.據(jù)《光明日報》2024年3月14日報道：截至2023年末，我國境內(nèi)有效發(fā)明專利量達(dá)到401.5萬件，高

價值發(fā)明專利占比超過四成，成為世界上首個境內(nèi)有效發(fā)明專利數(shù)量突破400萬件的國家，將4015000用

科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.4015xl07B.4.015xl06C.40.15xl05D.4.015x10'

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為4X10〃，其中1＜忖＜10,〃可以用整數(shù)位

數(shù)減去1來確定.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意。的形式，以及指數(shù)〃的確定方法.

科學(xué)記數(shù)法表示形式為4X10〃的形式，其中1＜忖V10,口為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成

。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，〃是正數(shù)；

當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，〃是負(fù)數(shù).

【詳解】解：4015000用科學(xué)記數(shù)法表示為4.015x1（）6.

故選:B.

3.下列幾何體中，主視圖和左視圖都是矩形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】主視圖、左視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形.依此即可求解.

【詳解】A.主視圖為圓形，左視圖為圓，故選項錯誤；

B.主視圖為三角形，左視圖為三角形，故選項錯誤；

C.主視圖為矩形，左視圖為矩形，故選項正確；

D.主視圖為矩形，左視圖為圓形，故選項錯誤.

故答案選：C.

【點睛】本題考查三視圖，正確得出各幾何體從正面、左面看，所得到的圖形是解題關(guān)鍵.

4.“愛護(hù)環(huán)境，人人有資”.為減少塑料垃圾袋的使用，小明統(tǒng)計了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的數(shù)

量（單位：個）：2,2,3,3,3,4,4.則對這組數(shù)據(jù)說法錯誤的是（）

A.眾數(shù)是3B.中位數(shù)是3C.平均數(shù)是3D.方差是3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義和計算公式，分別進(jìn)行計算即可得出正確答案.

【詳解】解：A：3出現(xiàn)了三次，故眾數(shù)為3,故本選項不符合題意；

B、將數(shù)據(jù)排列后為2,2,3,3,3,4,4,因此中位數(shù)是第4個數(shù)為3,故本選項不符合題意；

C、平均數(shù)為（2+2+3+3+3+4+4%7=3,故本選項不符合題意；

D、§2二2x（2-3）“+3x（33：「+2x（4-3）-J,故本選項符合題意.

77

故選：D.

【點睛】此題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及方差，一般地設(shè)〃個數(shù)據(jù)，,，々，…玉的平均數(shù)為亍，

則方差S2=1[（X]—元）2十（為一目2十…十（/一元）2],中位數(shù)是將一-組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小〉重新

n

排列后，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

5.拋物線y=ax2+bx+c中的芭V的部分對應(yīng)值如下表：

X???-3-20134???

y???70-8-9-50???

關(guān)于它的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（）

A.圖象開口向下B.對稱軸是直線x=1

2

C.當(dāng)x>3時，y隨x的增大而增大D.圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（一2,0）和（2,0）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，理解表格信息，掌握對稱軸，增減性是解題的關(guān)鍵.

-2+4

根據(jù)表格信息可得對稱軸直線為x=-----=1,工從-3到1,逐漸增大，得知逐漸減小，x從1到4,

2

逐漸增大，得知逐漸增大，圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（-2,0）,（4,0）,由此即可求解.

【詳解】解：當(dāng)工=-2時，y=0,當(dāng)x=4時，y=0,

-2+4

「?對稱軸直線為X=-----=1,故B選項錯誤，不符合題意;

2

，頂點坐標(biāo)為(1,-9),

???”從-3到1,逐漸增大，y得知逐漸減小，”從1到4,逐漸增大，》得知逐漸增大，

???拋物線圖象開口向上，故A選項錯誤，不符合題意；

當(dāng)x>3時，y隨X的增大而增大?故C選項正確，符合題意；

圖象與X軸的交點坐標(biāo)為(-2,0),(4,0),故D選項錯誤，不符合題意.

故選：C.

6.如圖，已知AB是吃的直徑，CD是弦，且CDELAB,BC=3,AC=4,則sin(3ABD的值是()

【答案】D

【解析】

【分析】由垂徑定理和圓周角定理可證NABD-NABC,再根據(jù)勾股定理求得AB-5,即可求sin/ABD的

值.

【詳解】：AB是。0的直徑，CD1AB,

???弧AC二弧AD,

AZABD=ZABC.

根據(jù)勾股定理求得AB=5,

4

/.sinZABD=sinZABC=—.

5

故選D.

【點睛】此題綜合考杳了垂徑定理以及圓周角定理的推論，熟悉銳角三角函數(shù)的概念.

7.如圖，將VABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)角度a得到二4'*C,且點8剛好落在A&上.若乙4=26。,

/BC4'=44。，則a等于()

A

B

CA

A.37°B.38°C.39°D.40°

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NA=NA=26。，ZABC==8,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

得出N?=,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出NC88'=N4'+N8c4'=26o+440=70c,最后三角

形內(nèi)角和定理得出NBC?=180,—70°一70。=40。，即可得出答案.

【詳解】解：???V45C繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到￡/TEC，且點B剛好落A后上，

.?./4=/4=26。,/ABC=/R,..

???NB'=NCBB',

NCBB'=NA'+ZBCAr=26°+44。=70°,

JNB'=70。,

???N3C3'=180。-70°-70°=40°,

???a=40。，

故選：D.

【點睛】本題主要考杳了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等

邊對等角.

8.如圖，過正五邊形A8CDE的頂點A作射線AF,若A/〃CD,則的度數(shù)為()

A.36°B.45°C.54°D.72°

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和定理，過點？作EG|AF,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理,

求出NAERNCOE的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???正五邊形/WCOf,

（5-2）x180°

???ZAED=ZCDE=——2--------=108°，

5

過點E作EGAF,

丁AF//CD.

^EG//AF//CD,

???ZAEG=ZEAF，ZCDE+/DEG=180。,

???/DEG=180°-l08°=72°，

???ZE4F=ZAEG=ZAED-ZDEG=108°-72°=36°；

故選A.

9.如圖，VA8c中，AB=AC=\0,8E_LAC于點石，AB=2小，O是線段8七上的一個動點,

則CD+且3。的最小值是（）

5

B.5百

C.10D.475

【答案】D

【解析】

【分析】過點。作DFA.AB于點八過點C作CG±AB于點G,由勾股定理可求心46，根據(jù)AAS可

證△4￡4/Z\AGC,得CG二BE=4布,易證ABO尸s/\8人E,得出處二空，得出。尸二蟲.^。，求

ABAE5

C。+好8。最小值，即求OF+CQ的最小值，由垂線段最短求解即可.

5

【詳解】解：過點D作D匕LAB于點F,過點C作CG_L4B于點G

又BE工AC于點、E

???/A￡8=90。，NDFB=90。,NAGC=90°

又/48E為公共角

:.bBDFs^BAE

.BDDF

''~AB~~AE

又AZ?=1O,AE=2y/5

若BD

：.CD+曲BD=DF+CD

5

VDF+CD式G

-9-CD+—BD>CG

5

即CO+立8。的最小值為CG的長

5

在RdABE中

BE7AB2—AE2=J102T2扃=475

VAB=AC=10,ZAEB=90°,ZAGC=90°

又/A為公共角

^AEB^AAGC(AAS)

:?CG=BE=4小

???CD-^—BD的最小值為475

5

故選；D

【點睛】本題主要考杳最短路徑中的垂線段最短問題，解決本題借助了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰二

角形的性質(zhì)，相似三角形以及勾股定理求邊長，綜合性較強(qiáng)，難度較大.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，點P(x,y)經(jīng)過某種變換后得到點P(—y—l,x+I),我們把點產(chǎn)(-y—Lx+1)

叫作點尸(x,y)的終結(jié)點，已知〃的終結(jié)點為鳥，點鳥的終結(jié)點為8,點鳥的終結(jié)點為鳥，……，這樣

依次得到點<，P?，R，鳥，…，P"，若點<的坐標(biāo)是(2,1),則點425的坐標(biāo)是()

A.(-2,3)B.(-4,-1)C.(0,-3)D.(2,1)

【答案】D

【解析】

【分析】本題為新定義問題，根據(jù)新定義進(jìn)行計算，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律是解題關(guān)鍵.根據(jù)“終結(jié)點”的定義求

出￡(-2,3),6(-4,-1),巴(0,-3),6(2,1),…；即可發(fā)現(xiàn)點的坐標(biāo)每4個一個循環(huán)，據(jù)此即可求

解.

【詳解】解：???點4(2,1)的終結(jié)點為以，點g的終結(jié)點為勺，點6的終結(jié)點為鳥，……，

???￡(—1—1,2+1),即6(—2,3)；

,g(—3—1,—2+1),即￡(-4,-1)：

同理可得4(0,-3),月(2,1),-；

工點的坐標(biāo)每4個一個循環(huán)，

,/2025+4=5g..l,

???P2O25的坐標(biāo)與P、的坐標(biāo)相同，即(2,1).

故選：D

第二部分非選擇題（共90分）

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，滿分18分）

1L若二次根式JT工有意義，則X的取值范圍是.

【答案】x<3

【解析】

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二

次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式，得到答案.

【詳解】解：由題意得：3-x",

解得：x<3,

故答案為：x<3.

12.分解因式：2x2-4xy+2y2=.

【答案】2（x-y）2

【解析】

【分析】先提取2,再根據(jù)完全平方公式即可求解.

【詳解】2x?-4^+2）/=2（犬-2冷,+y2）=2（x—y）2

故答案為：2（x-y）2.

【點睛】此題主要考查因式分解?，解題的關(guān)鍵是熟知因式分解的方法.

13.圓錐的底面圓的半徑是3,其母線長是9,則圓錐側(cè)面展開圖的面枳是.

【答案】277r

【解析】

【分析】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的面積，先根據(jù)題意求出圓錐底面周長，進(jìn)而根據(jù)S硝形=g/R計算

即可求解，掌握扇形面積計算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得，圓錐底面周長為。=2兀乂3=6兀，

，扇形的面積S=—x6兀x9=27兀，

2

故答案為：277t.

14.若。2—34+2=3，則3。2—9。+2022的值是.

【答案】2025

【解析】

【分析】本題主要考管代數(shù)式的整體代入求值，解題的關(guān)鍵在于將已知條件中的儲-3〃視為整體，直接

代人所求代數(shù)式中.先將3/—9a+2022變形為3（/-3。）+2022,再由已知條件/_3。+2=3通過整

體代入的方式求解即可.

【詳解】解：由/一3。+2=3，

整理得：a2~3a=\.

將3/—9a+2022變形為3（c/-3a）+2022,

???3（/-3。）+2022=3x1+2022=2025；

故答案為：2025.

15,如圖，在平行四邊形A3CO中，E為AB上一點,且AE:包=1:2,4C與DE相交于點尸，

S、AEF=2,PIOSACD=--------

【解析】

【分析】本題考查r平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出入"〃CD,

AE_AE(AE^EF_AE

AB=CD,則二CDFs二AEF,進(jìn)而得出乙旺=(CD>=-,根據(jù)

五一6一屋S.CDF~9'~DF~'CD3

sEF1

同高三角形面積比等于底的比，得出方"=京=二，即可求解?

SDF3

【詳解】解：：AE:EB=1:2,

???AE.AB=\;3,

???西邊形ABCD平行四邊形，

/.AB//CD,AB=CD,

,AEAE1

??_-_-__-―,

CDAB3

???AB〃CD,

：,jCDFsqEF,

.SAEF/AZ嚇二1EFJ-J

9SCDr~\CD)~9'~DF~'CD~3

.SAEF二EF」

'SmDF3'

/S,AEF=2,

,,S.ADF=6,S.co尸=18,

==6+18=24.

??^.ACDS..DF+S.CDF

故答案為:24.

16.如圖，在正方形紙片ABC。中，E是邊的中點，將正方形紙片沿EC折疊，點3落在點尸處，延

長CP交AOF點Q，連結(jié)AP并延長交CQ于點F.給出以下結(jié)論：①AAEP為等腰三角形;②F為CD

的中點；@4P:PF=2:3；?cosZDCg=-.其中正確結(jié)論是.（填序號）

4

【答案】①?③

【解析】

【分析】設(shè)正方形的邊長為2。，Z\=Z2=a,根據(jù)折疊的性質(zhì)得出E4=砂，根據(jù)中點的性質(zhì)得出

BP

AE=EB,即可判斷①,證明四邊形AECF是平行四邊形，即可判斷②,求得tanN4=——=2,設(shè)AP=X,

AP

則3P=2x,勾股定理得出AP=2y5〃，進(jìn)而判斷③，進(jìn)而求得AQ,DQ,勾股定理求得CQ,進(jìn)而

5

根據(jù)余弦的定義，即可判斷④，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

???￡為A3的中點,

:,AE=EB

設(shè)正方形的邊長為2a,

則AE=EB=a

???折疊，

AZ1=Z2,BP±EC,EP=EB=a

；?EA=EP

???△AEP是等腰三角形，故①正確；

設(shè)4=/2=。，

???ZAEP=\S00-2a

???N3=N4=a

：.N2=N3

???AF//EC

又「AE//FC

:.四邊形AECF是平行四邊形，

CF-AE-a，

：.CF=FD=a,即/是CO的中點，故②正確;

?；BPLEC,AF//EC

工BPLAF

在RJADF中，AF=\lAD2+DF2=J（2a）2+a2

八BC2a、

*.*tanoc=tanN1=----=—=2

BEa

BP-

:.tanN4=----=2

AP

設(shè)4P=.r,則8P=2x,

*'?AB=\[5x=2a

.AD2亞D匚u2卡3后

??AP=------a?rr=\Jja---------a=------a，

555

/.AP:PF=2:3,故③正確；

連接EQ，如圖所示，

???ZQAE=90°,ZQPE=/EPC=NEBC=90°,AE=EP

乂EQ=EQ

???^AEQ^PEQ

??.AQ=PQ

丈：EA=EP

???EQ1AP

：.ZAQE+ZAEQ=90°

又:ZAE2+Z4=90o

：,ZAQE=Z4=a

*.*tanct=2

3

QD=2a--a-a

2

5

在RjQOC中,QC=y]QD2+DC2—a

2

cosZ.DCQ==-|—=-,故④不正確

QC-a5

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查了正方形與折疊問題，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握

以上知識是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共9小題，滿72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

3x-2<x,?

17.解不等式組：-2x+lx+1

-----<----.

52

【答案】-3<A<1.

【解析】

【分析】分別解不等式，找出解集的公共部分即可.

【詳解】解不等式①得爛1,

解不等式②得心>-3,

???不等式組的解集是：-3<爛1.

【點睛】考查解?元一次不等式組，比較容易，分別解不等式，找出解集的公共部分即可.

18.己知：如圖，AB//ED,點F、點、C在AD上,AB=DE,AF=DC.求證：BC二EF.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】由已知A/三。?？梢缘贸鯝C=DF.又因為48二則我們可以運用SAS來

判定△/18cg根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出BC=EF.

【詳解】證明：?：AB//ED,

JZA=ZD,

又??FF=OC,

：.AC=DF,

AB=DE

在448。與4。￡77中《44二/。,

AC=DF

:?△ABC/ADEF.

:,BC=EF.

【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、

HL.注意：A4A、SS4不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一

角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

19,已知P=^——一—(a^±b}.

a2-b2a+bK)

(I)化簡P：

(2)若點(a,3在一次函數(shù)y=x-g的圖象上，求”的值.

【答案】(1)—

a-b

(2)3

3

【解析】

【分析】本題考查了分式的化簡求值以及一次函數(shù)的性質(zhì)；

(I)根據(jù)分式的減法進(jìn)行計算即可求解；

(2)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出匕=4-6,代入(1)中的化簡結(jié)果，即可求解.

【小問1詳解】

_2aa-b

解，(〃—〃)(“+〃)(〃一人)(〃+〃)

_a+b

(a-b)[a+b)

----1--?

a-b

【小問2詳解】

「點(。⑼在一次函數(shù)y=x-G的圖像上

:.b=a-6，

,p=1=1=G

a—btz—^6?—y/3^3

20.為提高學(xué)生的安全意識，某學(xué)校組織學(xué)生參加了“安全知識答題”活動.該校隨機(jī)抽取部分學(xué)生答題

成績進(jìn)行統(tǒng)計，將成績分為四個等級：4（優(yōu)秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根據(jù)結(jié)果繪制

成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

（I）將條形統(tǒng)計圖補充完整，在扇形統(tǒng)計圖中，C等所在扇形圓心角度數(shù)為：

（2）學(xué)校要從答題成績?yōu)锳等且表達(dá)能力較強(qiáng)的甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中，隨機(jī)抽出兩名學(xué)生去做“安

全知識宣傳員”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽出的兩名學(xué)生恰好有甲的概率.

【答案】（1）見解析，108。

⑵I

【解析】

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖.

（I）用8等級的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比可得抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)乘級為A的占比求出

乘級為A的人數(shù)，即可補全統(tǒng)計圖；用360。乘以C等級的學(xué)生所占的百分比，即可求出。筆級所在扇形

的圓心角的度數(shù)；

（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽出的兩名學(xué)生恰好有甲的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出

答案.

【小問1詳解】

解：由統(tǒng)計圖可得，這次抽樣調(diào)查共抽取：16?32%=50（人），

等級為A：50x24%=12（人），

學(xué)生答題成績條形統(tǒng)計圖補充如下：

人數(shù)

故答案為：108°：

【小問2詳解】

解：樹狀圖如下所示:

開始

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

由上可得，一共存在12種等可能性，其中抽出的兩名學(xué)生恰好有甲的可能性有6種,

二.抽出的兩名學(xué)生恰好有甲的概率為H

122

21.如圖，小紅同學(xué)為了測量小河對岸某塔43的高度，他在與塔底8同一水平線8尸上的點。處測得塔

的頂端人的仰角為45。，接著他沿著坡度i=6的斜坡CE向上行走10米到達(dá)點。處（點4、B、C、

D、E、尸在同一平面內(nèi)），此時測得塔的頂端4的仰角為31°.（參考數(shù)據(jù)：sin3—.52,cos31°M）.86,

lan31°?0.60,6^1.73，&=1.41)

（I）求點。到戶。的距離；

（2）求塔A8的高度.（結(jié)果精確到01米）

【答案】（1）點。到尸。的距離為5米

（2）塔A區(qū)的高度約為25.5米

【辭析】

【分析】本題主要考查解直角三角形，含30。的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握斜坡的坡度即

是正切值，利用銳角三角函數(shù)列方程求解.

(I)過點。作。G_LC/于點G,利用坡度i=進(jìn)行求解即可；

(2)過點。作力于點以設(shè)A3=x,求出CG=56，利用兩個直角三角形的銳角三角函數(shù)進(jìn)

行求解.

【小問1詳解】

解：過點。作。G_LC/于點G.

DG1百

??^―--^―

CG"73"T

/.tanZDCG二立，即ZDCG=30°，

3

???CD=10米，

DG」CO=5米，

2

答：點。到尸。的距離為5米；

【小問2詳解】

解：過點。作于點兒則四邊形以汨〃是矩形.

設(shè)=則4”=4B-BH=（工一5）米,

在Rt4CA中,

?「ZAC。=45。，

AB=BC=x,

在Rt二COG中，CG=#>DG=5場米,

。/7=BG=CG+4C=(x+5網(wǎng)米,

在Rt_A"D中，

Af-J

lanZADH=tan31°=——，

DH

x-5

?0.60.

x+5x/3

解得xu25+86225.5米,

2

答:塔A8的高度約為25.5米.

22.如圖，NB4C=9（）。，以A8為直徑的8交RtZXABC的斜邊BC于點。，連接00.點足在AC上,

ED=EA.

（I）求作滿足條件的點石，并求證：OE＞是0。的切線.（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

（2）請在（1）的條件下，延長DE交84的延長線于點凡若A8=6，4C=3,求力/的長.

【答案】（1）見解析（2）4

【解析】

【分析】本題主要考查作圖一復(fù)雜作圖，切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形,

相似三角形的判定和性質(zhì)等知識.

（I）連接A。，作4）的垂直平分線即可；根據(jù)題意證出"E4名"無。（SSS）,利用全等三角形的性

質(zhì)求出NZODE'=NXME'=90，再結(jié)合切線的判定即可證出結(jié)論;

（2）過點。作于點〃，根據(jù)題意得到tanZ?=tan/AOH=-,得到求出

2

DH=—,O〃=2的值，再證出a/O/XDOH.利用相似二角形的性質(zhì)計算求解即可.

555

【小問1詳解】

解：如圖，點E即為所求;

??Jv?-?-torrx-\

在△OE4和sQED中，

OE=OE

EA=ED

OA=OD

OEA^OED(SSS),

;./ODE="OAE=9U，

」.DE是OO的切線.

【小問2詳解】

解；過點。作Q611AB于點”.

?.45是直徑，「.NA￡)3=9()，

;.NADH+/HDB-94，

?.?/8+/〃。8=90，

；.ZADH=/B，

n/4r\riAC31

lanB=lan/A。//=---=—=—,

AB62

AH_DH

-----------------------

DHBH2

...BH=4AH,

：.AH=-,DH=—,

55

69

OH=OA-AH=3--=-,

55

???/ODF=/DHO=9U，ZFOD=ZDOH,

；4FO*一DOH，

DF_OP

DF_3

：=

'12~9f

~55

:.DF=4

23.如圖，一次函數(shù),+〃與反比例函數(shù)為=4■交于A，B兩點,與兩坐標(biāo)軸分別交于C,。兩點,

x

其中A的坐標(biāo)為(1,4),且滿足CO=3AC.

⑴求必，為的表達(dá)式;

(2)反比例函數(shù)圖象上是否存在一點P,使得3s△POD=S△八若存在，請求出點。的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由;

4

【答案】（1）x=x+3,>2=一

X

⑵存在，”[不125"]或125）

~5~3^

【解析】

【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造相似三角形;

(I)過點A作A”〃y軸，交*軸于點"，證明求出0c的長，進(jìn)而得到C點坐標(biāo),

待定系數(shù)法求解析式即可;

(2)聯(lián)立解析式，求出3點坐標(biāo)，分割法求出V403的面積，利用S尸。/)=3。。?卜/，求出點，的縱

坐標(biāo)，進(jìn)而求出點P的坐標(biāo)即可.

【小問1詳解】

DOCS.DHA,

CDCO

ADAH

A的坐標(biāo)為(1,4),CD=3AC,

tCDCO3

/.AH=4,OH=1,-----=------=—

ADAH4

/.OC=3,

/.C(0,3),

把4(1,4)代入乃=與，得:網(wǎng)=4；

4

二.%二.，

x

把A(l,4),C'((),3),代入y=占工+。,

b=3

得：L「

4=勺+/?

b=3

解得：＜「

k、=1

二.另=x+3；

【小問2詳解】

解：存在；理由如下:

???弘=工+3,...當(dāng)y=。時，x+3=0

.,?。（一3,0）,

/.OD=3,

4

聯(lián)立y=x+3,%=一

x

x=\

解得：〈

y=4

B（-4,-1）,

S.AOB~S.BOC+\/4OC=~x3xl-F—x3x4=

.*.3S=3xlx3-|?|15

WD=一，

2

J

545

當(dāng)％=Q時，丁=4，

12

,,=-；

24.綜合與實踐

問題情境:四邊形A3CO是邊長為5的菱形，連接BD.將△BCD繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到4BEF,

點C，。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別為E,F.旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<360。).

(I)觀察思考:如圖1,連接AC,當(dāng)點尸第一次落在對角線AC上時，a=

(2)探究證明:如圖2,當(dāng)a>180。，且瓦'〃8。時，瓦'與AO交于點G.試判斷四邊形BOG廠的

形狀，并說明理由.

3

(3)拓展延伸：如圖3,連接CE.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)石廠與菱形ABCO的一邊平行時，.且tan/D48=—

4

請直接寫出線段CE的長.

【答案】(1)60°

(2)四邊形8/X才'是菱形，理由見解析

(3)CE的長為3加或10或，

【解析】

【分析】(1)連接。尸，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出產(chǎn)。=所，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出8。=斯，進(jìn)而可得.DM

是等邊三角形，即可求解;

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出NAO8=NCDB,由旋轉(zhuǎn)可得NBFE=NBDC,BF=BD，則

NBFE=ZADB,進(jìn)而證明A￡>〃8F，即可得證

(3)①當(dāng)政〃區(qū)。時，如圖所示，設(shè)CEB”交于點G,過點。作。H_LA3于點，，勾股定理求得03

的長，進(jìn)而求得8G的長，勾股定理即可求解；②當(dāng)瓦“45時，證明巴伐C三點共線，即可求解.③當(dāng)

EG3

E9〃3C,且七廠在8C上方時，過點E作EG_L3C于點G,得到lanNDABu」/；：,設(shè)EG=36,

BG4

BG=4m,利用勾股定理求出EG=3,BG=4,進(jìn)而求解即可.

【小問1詳解】

解：如圖所示，連接。歹,

D

E

圖I

???西邊形A9C力是菱形，

???AC垂直平分￡>8，

:,FD=FB，

???將△3CO繞點3按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到ABEF，

:.BD=BF，

:?BD=BF=DF,

**?/羽尸是等邊三角形，

/.ZDBF=60°,即a=60。,

故答案為：60°.

小問2詳解】

四邊形AOGb是菱形，

證明：???四邊形A8CQ是菱形，

???AD//BC,

???ZADB=ZCDB,

由旋轉(zhuǎn)可得力C,BF=BD,

；,/BFE=ZADB，

,:EF〃B。、

???ZBFE+ZFBD=\S00,

???NADB+ZFBD=180°,

???AD//BF>

???川邊形BDFG是平行四邊形,

?:BF=BD,

???西邊形加山G是菱形;

【小問3詳解】

①當(dāng)EF〃8C