2025年下學期高中空間向量與立體幾何試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知空間向量$\vec{a}=(1,2,-3)$，$\vec=(2,m,6)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則實數(shù)$m$的值為（）A.-4B.4C.-1D.1在空間直角坐標系中，點$P(1,-2,3)$關于$xOz$平面的對稱點坐標為（）A.$(1,2,3)$B.$(-1,-2,3)$C.$(1,-2,-3)$D.$(-1,2,-3)$若向量$\vec{a}=(2,-1,2)$，$\vec=(-4,2,x)$，且$\vec{a}\perp\vec$，則$|\vec{a}+\vec|$等于（）A.$\sqrt{5}$B.$3$C.$\sqrt{13}$D.$5$已知正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱長為1，$E$為$BB_1$的中點，則$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{B_1C}$的值為（）A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$-1$D.$1$設平面$\alpha$的法向量為$\vec{n}=(1,2,-2)$，平面$\beta$的法向量為$\vec{m}=(-2,-4,k)$，若$\alpha\parallel\beta$，則$k$的值為（）A.2B.-2C.4D.-4在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpBC$，$PA=AB=BC=1$，則直線$PC$與平面$PAB$所成角的正弦值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$已知$A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,1)$，則平面$ABC$的一個單位法向量為（）A.$(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$B.$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$C.$(-1,-1,-1)$D.$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0)$如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=AA_1=1$，則異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{\sqrt{6}}{6}$已知點$P$是平面$\alpha$外一點，$PA\perp\alpha$，垂足為$A$，$PB$是平面$\alpha$的一條斜線，$B$為斜足，若$PB=2PA$，則直線$PB$與平面$\alpha$所成角的大小為（）A.$30^\circ$B.$45^\circ$C.$60^\circ$D.$75^\circ$在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四邊形，$\overrightarrow{AB}=(2,-1,-4)$，$\overrightarrow{AD}=(4,2,0)$，$\overrightarrow{AP}=(-1,2,-1)$，則直線$PA$與底面$ABCD$所成角的余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{21}}{6}$B.$\frac{\sqrt{21}}{7}$C.$\frac{\sqrt{14}}{7}$D.$\frac{\sqrt{14}}{6}$已知平面$\alpha$與平面$\beta$的夾角為$60^\circ$，$m$，$n$分別是平面$\alpha$，$\beta$的法向量，則$\langle\vec{m},\vec{n}\rangle$的大小為（）A.$60^\circ$B.$120^\circ$C.$60^\circ$或$120^\circ$D.$30^\circ$或$150^\circ$如圖，在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M$，$N$分別是棱$C_1D_1$，$C_1C$的中點，則下列說法錯誤的是（）A.直線$AM$與$CC_1$垂直B.直線$AM$與$BN$平行C.直線$BN$與平面$ABCD$所成角的正切值為$\frac{1}{2}$D.平面$AMN$與平面$ABCD$的夾角為$45^\circ$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知空間向量$\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec=(-4,2,x)$，若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為鈍角，則$x$的取值范圍是________。在空間直角坐標系中，點$A(1,2,3)$到平面$2x+2y-z+1=0$的距離為________。如圖，在正三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AA_1=2$，$D$為$BC$的中點，則異面直線$AD$與$A_1C$之間的距離為________。已知三棱錐$S-ABC$的所有棱長均為2，則點$A$到平面$SBC$的距離為________；三棱錐$S-ABC$的外接球表面積為________。（本小題第一空2分，第二空3分）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）已知空間三點$A(0,2,3)$，$B(-2,1,6)$，$C(1,-1,5)$。（1）求以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）若向量$\vec{a}$分別與$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$垂直，且$|\vec{a}|=\sqrt{3}$，求$\vec{a}$的坐標。18.（12分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=AA_1=2$，$\angleACB=90^\circ$，$D$，$E$分別是棱$AA_1$，$CB_1$的中點。（1）求證：$DE\parallel$平面$ABC$；（2）求異面直線$DE$與$B_1C$所成角的余弦值。19.（12分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AD=2$，$AB=1$，$E$是$PD$的中點。（1）求證：$AE\perp$平面$PCD$；（2）求直線$AC$與平面$AEC$所成角的正弦值。20.（12分）如圖，在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，$M$是$BC$的中點。（1）求點$M$到平面$PBC$的距離；（2）求二面角$A-PB-C$的余弦值。21.（12分）如圖，在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱長為2，$E$，$F$分別是棱$A_1D_1$，$C_1D_1$的中點。（1）求證：平面$BEF\perp$平面$B_1BDD_1$；（2）求點$C$到平面$BEF$的距離。22.（12分）如圖，在四棱錐$S-ABCD$中，底面$ABCD