2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽代數(shù)技巧試卷一、選擇題（每題5分，共30分）已知函數(shù)(f(x)=\frac{\ln(x^2-ax+3)}{x-1})的定義域?yàn)?(-\infty,1)\cup(2,+\infty))，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.([2,3))B.((2,3])C.([1,3))D.((1,3])設(shè)等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，且(a_7+a_8+a_9=k)，則(k)的值為（）A.256B.512C.1024D.2048已知復(fù)數(shù)(z)滿足(|z+2i|=|z-2|)，且(\arg(z-1)=\frac{\pi}{4})，則(z)的虛部為（）A.(\frac{1}{2})B.1C.(\frac{3}{2})D.2設(shè)(x,y>0)，且(x+2y=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值為（）A.(3+2\sqrt{2})B.(4+2\sqrt{2})C.(5+2\sqrt{2})D.(6+2\sqrt{2})已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+3})，則(a_{2025})的值為（）A.(\frac{1}{3^{2025}-1})B.(\frac{1}{3^{2025}+1})C.(\frac{1}{2\times3^{2025}-1})D.(\frac{1}{2\times3^{2025}+1})設(shè)向量(\vec{a},\vec)滿足(|\vec{a}|=2)，(|\vec|=1)，且(\vec{a}\cdot\vec=1)，則(|\vec{a}+t\vec|)的最小值為（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{5})C.2D.3二、填空題（每題5分，共30分）若關(guān)于(x)的方程(2^x+2^{-x}=a)有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是________。已知數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(S_n=2a_n-n)，則(S_5=)________。設(shè)(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，且當(dāng)(x\geq0)時(shí)，(f(x)=x^2-2x)，則不等式(f(x-1)>0)的解集為_(kāi)_______。已知復(fù)數(shù)(z_1=1+i)，(z_2=2-3i)，則(|z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}|)的值為_(kāi)_______。設(shè)(x,y,z>0)，且(x+y+z=1)，則(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x})的最小值為_(kāi)_______。已知函數(shù)(f(x)=\log_a(x^2-ax+3))在區(qū)間([1,2])上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是________。三、解答題（共4題，每題15分，共60分）13.已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)，且曲線(y=f(x))在點(diǎn)((1,f(1)))處的切線方程為(y=-3x+1)。（1）求(a,b)的值；（2）求函數(shù)(f(x))的極值。解析：（1）由題意知(f'(x)=3x^2-6x+a)，切線斜率(k=f'(1)=3-6+a=-3)，解得(a=0)。又(f(1)=1-3+0+b=-3\times1+1=-2)，解得(b=0)。（2）由（1）得(f(x)=x^3-3x^2)，(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))。令(f'(x)=0)，得(x=0)或(x=2)。當(dāng)(x<0)時(shí)，(f'(x)>0)；當(dāng)(0<x<2)時(shí)，(f'(x)<0)；當(dāng)(x>2)時(shí)，(f'(x)>0)。故(f(x))在(x=0)處取得極大值(f(0)=0)，在(x=2)處取得極小值(f(2)=-4)。14.已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=2)，(a_{n+1}=2a_n+3\times2^n)。（1）證明：數(shù)列(\left{\frac{a_n}{2^n}\right})是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。解析：（1）由(a_{n+1}=2a_n+3\times2^n)兩邊同除以(2^{n+1})，得(\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{3}{2})。令(b_n=\frac{a_n}{2^n})，則(b_{n+1}-b_n=\frac{3}{2})，且(b_1=\frac{a_1}{2^1}=1)，故({b_n})是以1為首項(xiàng)，(\frac{3}{2})為公差的等差數(shù)列。（2）由（1）得(b_n=1+(n-1)\times\frac{3}{2}=\frac{3n-1}{2})，則(a_n=b_n\times2^n=(3n-1)\times2^{n-1})。(S_n=2\times2^0+5\times2^1+8\times2^2+\cdots+(3n-1)\times2^{n-1})，(2S_n=2\times2^1+5\times2^2+\cdots+(3n-4)\times2^{n-1}+(3n-1)\times2^n)，兩式相減得：(-S_n=2+3(2^1+2^2+\cdots+2^{n-1})-(3n-1)\times2^n)(=2+3(2^n-2)-(3n-1)\times2^n)(=(4-3n)\times2^n-4)，故(S_n=(3n-4)\times2^n+4)。15.已知復(fù)數(shù)(z_1=m+2i)，(z_2=1-ni)（(m,n\in\mathbb{R})），且(|z_1|=|z_2|)，(z_1\cdot\overline{z_2}=3+i)。（1）求(m,n)的值；（2）若復(fù)數(shù)(z=z_1+z_2)，求(|z|)及(\argz)。解析：（1）由(|z_1|=|z_2|)得(m^2+4=1+n^2)，即(m^2-n^2=-3)①。(z_1\cdot\overline{z_2}=(m+2i)(1+ni)=m-2n+(mn+2)i=3+i)，則(\begin{cases}m-2n=3\mn+2=1\end{cases})，解得(\begin{cases}m=1\n=-1\end{cases})（驗(yàn)證滿足①）。（2）(z=z_1+z_2=(1+2i)+(1+i)=2+3i)，(|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13})，(\argz=\arctan\frac{3}{2})。16.已知不等式(x^2-ax+3>0)對(duì)任意(x\in[1,2])恒成立，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解析：分離參數(shù)得(a<x+\frac{3}{x})對(duì)(x\in[1,2])恒成立。令(g(x)=x+\frac{3}{x})，則(g'(x)=1-\frac{3}{x^2})。當(dāng)(x\in[1,\sqrt{3}))時(shí)，(g'(x)<0)；當(dāng)(x\in(\sqrt{3},2])時(shí)，(g'(x)>0)。故(g(x))在(x=\sqrt{3})處取得最小值(g(\sqrt{3})=2\sqrt{3})，因此(a<2\sqrt{3})，即(a)的取值范圍為((-\infty,2\sqrt{3}))。四、附加題（共2題，每題20分，共40分）17.已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{4}{a_n}))，證明：(a_n<2)對(duì)任意(n\in\mathbb{N}^*)成立，并求(\lim_{n\to\infty}a_n)。解析：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明(a_n<2)：①(n=1)時(shí)，(a_1=1<2)，成立；②假設(shè)(n=k)時(shí)(a_k<2)，則(a_{k+1}=\frac{1}{2}(a_k+\frac{4}{a_k})\geq\frac{1}{2}\times2\sqrt{a_k\cdot\frac{4}{a_k}}=2)（基本不等式），但等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(a_k=2)，與假設(shè)矛盾，故(a_{k+1}>2)？（注：此處需修正，應(yīng)為(a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n+\frac{4}{a_n})-2=\frac{(a_n-2)^2}{2a_n}>0)，故({a_n})遞增且(a_n<2)，極限為2。）18.設(shè)(x,y,z\geq0)，且(x+y+z=1)，求(u=x^2+y^2+z^2+2xyz)的最大值。解析：不妨設(shè)(z\leqy\leqx)，則(x\geq\frac{1}{3})，令(y=z=t)，則(x=1-2t)，(t\in[0,\frac{1}{3}])，(u=(1-2t)^2+2t^2+2(1-2t)t^2=1-4t+6t^2-4t^3)，求導(dǎo)得(u'=-4+12t-12t^2=-4(3t^2-3t+1))，在(t\in[0,\frac{1}{3}])時(shí)(u'<0)，故(u)遞減，當(dāng)(t=0)時(shí)，(u=1)，即最大值為1（當(dāng)(x=1,y=z=0)時(shí)取等）。參考答案一、選擇題A2.B3.C4.A5.C6.A二、填空題((2,+\infty))