高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省邵陽市邵東市2024-2025學年高二上學期1月期末聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】由題意得，，即直線的斜率為，所以直線的傾斜角的正切值為，則直線的傾斜角為.故選：C.2.已知雙曲線：的離心率為，則的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據題意得，雙曲線：是焦點在軸的雙曲線，所以，，所以，解得，所以，所以焦點坐標為.故選：D.3.在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】關于平面對稱的點的特點是橫坐標與豎坐標不變，縱坐標相反，故點關于平面對稱的點的坐標是.故選：A.4.設數列滿足，則（）．A.4 B.4 C. D.【答案】D【解析】由，則，則，，則.故選：D.5.已知函數,則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,令,,,故選:A.6.設等差數列的前項和為，且公差不為0，若，，構成等比數列，，則（）A.7 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】設公差為，由題意可得，即，解得舍去，或，所以，可得.故選：C.7.若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離最小.設切點為，所以切線斜率為，由題知，解得或（舍），，此時點到直線距離.故選：D.8.已知雙曲線，是它的兩個焦點，為坐標原點，是雙曲線右支上一點，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設點坐標為，由題意可知，，，則，，，.在中，由余弦定理可得：，即，解得．因為，則．因為，所以，解得．又因為點P在雙曲線，所以，則.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知分別為直線方向向量（不重合），，分別為平面的法向量（不重合），則下列說法中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】若兩直線不重合，則其方向向量平行（垂直）是兩直線平行（垂直）的充要條件，故A、B正確；若兩平面不重合，則其法向量平行（垂直）是兩平面平行（垂直）的充要條件，故C正確，D錯誤.故選：ABC.10.已知拋物線的焦點到準線的距離為2，則（）A.焦點的坐標為B.過點恰有2條直線與拋物線有且只有一個公共點C.直線與拋物線相交所得弦長為8D.拋物線與圓交于兩點，則【答案】ACD【解析】由題可知拋物線方程為對于A，焦點的坐標為，故A正確.對于B，過點有拋物線的2條切線，還有，共3條直線與拋物線有且只有一個交點，故B錯誤.對于C，，弦長為，故C正確.對于D，，解得（舍去），交點，有，故D正確.故選：ACD.11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.有兩個極值點 B.有兩個零點C.若，則 D.若方程有兩個根，則【答案】AC【解析】對于選項A：由，得．令，得，兩邊取自然對數整理得，設，則，當時，單調遞減，且；當時，，單調遞增，且；可知函數有兩個變號零點，所以有兩個極值點，故A正確．對于選項B：由選項A可知，在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，所以可作出函數的大致圖象如圖所示，所以只有一個零點，故B錯誤；對于選項C：由選項B可知在0,1上單調遞增，當時，，所以，故C正確；選項D：根據選項B中函數的大致圖象可知，若方程有兩個根，則或，故D錯誤；故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與垂直，則實數__________.【答案】2【解析】直線的斜率，的斜率，，得．13.函數?的最小值為_____.【答案】【解析】的定義域為，，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，.14.已知數列的首項，且滿足對任意都成立，則能使成立的正整數的最小值為_______________.【答案】18【解析】由知：或.當時，數列是以1為首項，1為公差的等差數列，，則，解得；當時，數列是以1為首項，2為公比的等比數列，，則，解得：（舍）；若數列是等差與等比的交叉數列，又，；若要最小，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，此時，故最小值為18.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓過點，，且直線平分圓的周長.（1）求圓的方程；（2）過點的直線和圓交于，兩點，若，求直線的方程.解：（1）由，為線段的垂直平分線的方程.由，即圓心.又所以圓的標準方程為.（2）過點的直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線的距離為，由圓的弦長公式，可得弦長為，不符合題意；當直線的斜率存在時，過點的直線的斜率為，則直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離為，因為直線和圓交于，兩點.若，由圓的弦長公式，可得，解得或，所以直線的方程為或.16.如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，是的中點，在線段上，且.（1）求證：.（2）求平面與平面夾角的正弦值.（1）證明：連接，四邊形是正方形，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，.（2）解：由（1）知，，，，，兩兩垂直如圖，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系.不妨設，則，，，，平面，平面的一個法向量為，設，，，，設平面的法向量為，則，取，則，，平面的一個法向量，設平面與平面夾角為，則，平面與平面夾角的正弦值為.17.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，不等式恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）由題設當時，，所以，得，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）若，不等式恒成立，則，，當時，對于，f'x≥0，所以在上單調遞增，所以時，，即滿足題意；當時，若，則f'x<0，在上單調遞減，所以，與矛盾，不合題意.綜上所述，實數的取值范圍為.18.已知數列滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和；（3）設，記數列的前項和，求證：.解：（1）由題設，又，所以數列是首項為1，公差為3的等差數列，可得，故.（2）由（1）知，所以，則.（3）由（2）得，則，所以，兩式相減得：，即，所以，因為，所以.19.在平面直角坐標系中，為坐標原點，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于4．（1）求動點的軌跡方程；（2）過作互相垂直的兩條直線、，與動點的軌跡交于、，與動點的軌跡交于點、，、的中點分別為、；證明：直線恒過定點，并求出定點坐標；（3）在（2）的條件下，求四邊形面積的最小值．解：（1）取點，則有，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，所以動點的軌跡為橢圓（左右頂點除外），所以，，所以，所以動點的軌跡方程為．（2）當垂直于軸時，的中點，直線為軸，與橢圓，無交點，不合題意，當直線不垂直于軸時，不妨設直線的方程為，，，由，得，所以△，所以，，所以，所以，因，以代替，得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，由橢圓的對稱性得，若存在這樣的定點必在軸上，令，則，所以，所以直線恒過定點，當時，，，所以直線恒過定點，綜上所述，直線恒過定點．（3）由（2）得，，所以，同理可得，所以四邊形的面積，令，則，所以，因為，所以，當，即時，，所以，所以四邊形面積最小值為．湖南省邵陽市邵東市2024-2025學年高二上學期1月期末聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】由題意得，，即直線的斜率為，所以直線的傾斜角的正切值為，則直線的傾斜角為.故選：C.2.已知雙曲線：的離心率為，則的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據題意得，雙曲線：是焦點在軸的雙曲線，所以，，所以，解得，所以，所以焦點坐標為.故選：D.3.在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】關于平面對稱的點的特點是橫坐標與豎坐標不變，縱坐標相反，故點關于平面對稱的點的坐標是.故選：A.4.設數列滿足，則（）．A.4 B.4 C. D.【答案】D【解析】由，則，則，，則.故選：D.5.已知函數,則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,令,,,故選:A.6.設等差數列的前項和為，且公差不為0，若，，構成等比數列，，則（）A.7 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】設公差為，由題意可得，即，解得舍去，或，所以，可得.故選：C.7.若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離最小.設切點為，所以切線斜率為，由題知，解得或（舍），，此時點到直線距離.故選：D.8.已知雙曲線，是它的兩個焦點，為坐標原點，是雙曲線右支上一點，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設點坐標為，由題意可知，，，則，，，.在中，由余弦定理可得：，即，解得．因為，則．因為，所以，解得．又因為點P在雙曲線，所以，則.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知分別為直線方向向量（不重合），，分別為平面的法向量（不重合），則下列說法中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】若兩直線不重合，則其方向向量平行（垂直）是兩直線平行（垂直）的充要條件，故A、B正確；若兩平面不重合，則其法向量平行（垂直）是兩平面平行（垂直）的充要條件，故C正確，D錯誤.故選：ABC.10.已知拋物線的焦點到準線的距離為2，則（）A.焦點的坐標為B.過點恰有2條直線與拋物線有且只有一個公共點C.直線與拋物線相交所得弦長為8D.拋物線與圓交于兩點，則【答案】ACD【解析】由題可知拋物線方程為對于A，焦點的坐標為，故A正確.對于B，過點有拋物線的2條切線，還有，共3條直線與拋物線有且只有一個交點，故B錯誤.對于C，，弦長為，故C正確.對于D，，解得（舍去），交點，有，故D正確.故選：ACD.11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.有兩個極值點 B.有兩個零點C.若，則 D.若方程有兩個根，則【答案】AC【解析】對于選項A：由，得．令，得，兩邊取自然對數整理得，設，則，當時，單調遞減，且；當時，，單調遞增，且；可知函數有兩個變號零點，所以有兩個極值點，故A正確．對于選項B：由選項A可知，在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，所以可作出函數的大致圖象如圖所示，所以只有一個零點，故B錯誤；對于選項C：由選項B可知在0,1上單調遞增，當時，，所以，故C正確；選項D：根據選項B中函數的大致圖象可知，若方程有兩個根，則或，故D錯誤；故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與垂直，則實數__________.【答案】2【解析】直線的斜率，的斜率，，得．13.函數?的最小值為_____.【答案】【解析】的定義域為，，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，.14.已知數列的首項，且滿足對任意都成立，則能使成立的正整數的最小值為_______________.【答案】18【解析】由知：或.當時，數列是以1為首項，1為公差的等差數列，，則，解得；當時，數列是以1為首項，2為公比的等比數列，，則，解得：（舍）；若數列是等差與等比的交叉數列，又，；若要最小，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，此時，故最小值為18.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓過點，，且直線平分圓的周長.（1）求圓的方程；（2）過點的直線和圓交于，兩點，若，求直線的方程.解：（1）由，為線段的垂直平分線的方程.由，即圓心.又所以圓的標準方程為.（2）過點的直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線的距離為，由圓的弦長公式，可得弦長為，不符合題意；當直線的斜率存在時，過點的直線的斜率為，則直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離為，因為直線和圓交于，兩點.若，由圓的弦長公式，可得，解得或，所以直線的方程為或.16.如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，是的中點，在線段上，且.（1）求證：.（2）求平面與平面夾角的正弦值.（1）證明：連接，四邊形是正方形，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，.（2）解：由（1）知，，，，，兩兩垂直如圖，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系.不妨設，則，，，，平面，平面的一個法向量為，設，，，，設平面的法向量為，則，取，則，，平面的一個法向量，設平面與平面夾角為，則，平面與平面夾角的正弦值為.17.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，不等式恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）由題設當時，，所以，得，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）若，不等式恒成立，則，，當時，對于，f'x≥0，所以在上單調