2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽拓?fù)涑醪皆嚲硪弧⑦x擇題（每題5分，共30分）拓?fù)鋱D形識(shí)別：下列圖形中，與正方體表面展開圖拓?fù)涞葍r(jià)的是（）A.正六邊形網(wǎng)格B.圓柱側(cè)面展開圖C.三棱錐表面展開圖D.五邊形數(shù)論與拓?fù)浣Y(jié)合：將正整數(shù)1~100按“除以3的余數(shù)”分類，以下說(shuō)法正確的是（）A.余數(shù)為0的數(shù)構(gòu)成的集合與余數(shù)為1的集合拓?fù)洳坏葍r(jià)B.三類集合的元素個(gè)數(shù)相同C.每個(gè)集合中任意兩個(gè)數(shù)的差都是3的倍數(shù)D.對(duì)每個(gè)集合中的數(shù)進(jìn)行平方后，余數(shù)不變代數(shù)拓?fù)涑醪剑汉瘮?shù)$f(x)=(x-1)^2(x-2)$的圖像在平面直角坐標(biāo)系中與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4幾何拓?fù)湫再|(zhì)：下列圖形中，不具有“任意兩點(diǎn)間距離存在最大值”性質(zhì)的是（）A.正方形B.圓C.雙曲線D.三角形邏輯推理與拓?fù)洌河眉t、藍(lán)兩種顏色給正方體的6個(gè)面染色，若兩個(gè)正方體經(jīng)旋轉(zhuǎn)后顏色分布相同視為同一種染色方案，則不同的染色方案有（）A.10種B.12種C.14種D.16種組合拓?fù)鋯栴}：在平面上畫5條直線，最多能將平面分成的區(qū)域數(shù)是（）A.15B.16C.17D.18二、填空題（每題6分，共36分）數(shù)論基礎(chǔ)：若正整數(shù)$n$滿足$n+1$是素?cái)?shù)，$n-1$是完全平方數(shù)，則$n$的最小值為________。代數(shù)式變形：已知$a+b=3$，$ab=1$，則$a^3+b^3$的值為________。幾何計(jì)算：在半徑為5的圓中，弦AB的長(zhǎng)為8，則圓心到弦AB的距離為________。拓?fù)溆?jì)數(shù)：將一個(gè)圓分成6個(gè)扇形區(qū)域，用4種顏色染色，要求相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的染色方案數(shù)為________（旋轉(zhuǎn)后相同的方案視為同一種）。函數(shù)最值：二次函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$在區(qū)間$[0,5]$上的最大值為________。邏輯推理：現(xiàn)有5個(gè)小球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)白球，從中任取2個(gè)，至少有1個(gè)紅球的概率為________。三、解答題（共84分）13.（14分）代數(shù)綜合題已知關(guān)于$x$的方程$x^2-(k+2)x+2k=0$有兩個(gè)實(shí)數(shù)根$x_1$、$x_2$，且滿足$x_1^2+x_2^2=10$。（1）求$k$的值；（2）若將方程的根表示在數(shù)軸上，求這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。解答思路：（1）由韋達(dá)定理得$x_1+x_2=k+2$，$x_1x_2=2k$，代入$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，得$(k+2)^2-4k=10$，化簡(jiǎn)得$k^2+4=10$，解得$k=\pm\sqrt{6}$。（2）當(dāng)$k=\sqrt{6}$時(shí)，方程為$x^2-(\sqrt{6}+2)x+2\sqrt{6}=0$，兩根為$x_1=2$，$x_2=\sqrt{6}$，距離為$|\sqrt{6}-2|$；當(dāng)$k=-\sqrt{6}$時(shí)，同理得距離為$|2+\sqrt{6}|$。14.（14分）幾何證明題如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleBAC=120^\circ$，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，以D為圓心、DB為半徑作圓，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F。求證：$AE=AF$。證明提示：連接AD，由等腰三角形三線合一性質(zhì)得$AD\perpBC$，且$\angleBAD=60^\circ$。設(shè)$AB=AC=2a$，則$AD=a$，$BD=\sqrt{3}a$。圓D的半徑為$\sqrt{3}a$，在$\triangleADE$中，由余弦定理得$DE^2=AD^2+AE^2-2AD\cdotAE\cos60^\circ$，代入解得$AE=a$，同理$AF=a$，故$AE=AF$。15.（14分）數(shù)論與拓?fù)渚C合題定義“拓?fù)鋽?shù)”：對(duì)于正整數(shù)$n$，若其所有正因數(shù)構(gòu)成的集合在“整除關(guān)系”下形成的鏈狀結(jié)構(gòu)（即任意兩個(gè)因數(shù)存在整除關(guān)系），則稱$n$為拓?fù)鋽?shù)。（1）判斷12是否為拓?fù)鋽?shù)，并說(shuō)明理由；（2）求1~100中所有拓?fù)鋽?shù)的個(gè)數(shù)。解答要點(diǎn)：（1）12的因數(shù)為1,2,3,4,6,12，其中2和3不存在整除關(guān)系，故12不是拓?fù)鋽?shù)；（2）拓?fù)鋽?shù)的因數(shù)需構(gòu)成全序集，即$n$的質(zhì)因數(shù)分解式中只能有一個(gè)質(zhì)因數(shù)（如$p^k$），或?yàn)?。1~100中這樣的數(shù)包括1，所有素?cái)?shù)冪（如$2^k,3^k,5^k,7^k$等），共33個(gè)。16.（14分）函數(shù)與圖像分析題已知函數(shù)$f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$（$x\neq1$）。（1）判斷函數(shù)圖像是否關(guān)于某點(diǎn)中心對(duì)稱，并說(shuō)明理由；（2）若直線$y=kx+3$與$f(x)$的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，求$k$的取值范圍。分析過程：（1）化簡(jiǎn)$f(x)=2+\frac{3}{x-1}$，圖像由$y=\frac{3}{x}$向右平移1個(gè)單位、向上平移2個(gè)單位得到，故對(duì)稱中心為$(1,2)$；（2）聯(lián)立方程$\frac{2x+1}{x-1}=kx+3$，整理得$kx^2+(2-k)x-4=0$，由判別式$\Delta=(2-k)^2+16k>0$且$k\neq0$，解得$k>2$或$k<-6$。17.（14分）組合拓?fù)鋺?yīng)用題某快遞公司要在一個(gè)城市的6個(gè)區(qū)域（A,B,C,D,E,F）設(shè)立中轉(zhuǎn)站，要求任意兩個(gè)中轉(zhuǎn)站之間的路線滿足：①若A與B有路線，B與C有路線，則A與C必須有路線；②任意兩個(gè)區(qū)域之間的路線不形成“三角形”（即不存在三個(gè)區(qū)域兩兩有路線）。（1）最多能設(shè)立多少條路線？（2）畫出滿足條件的路線圖，并說(shuō)明其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特點(diǎn)。參考答案：（1）最多6條路線；（2）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為“樹狀圖”或“六邊形鏈”，即任意區(qū)域最多與兩個(gè)區(qū)域直接相連，形成線性結(jié)構(gòu)。18.（14分）邏輯推理與極端原理有100名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)均為整數(shù)且滿分為150分。已知：①至少有3名學(xué)生的成績(jī)相同；②任意20名學(xué)生中，至少有2人成績(jī)相同。求成績(jī)的最低分可能的最大值。解題步驟：假設(shè)成績(jī)最低分的最大值為$m$，則成績(jī)分布在$[m,150]$，共$151-m$種可能。由條件①，根據(jù)抽屜原理，$100\leq3(151-m)-2$；由條件②，$151-m\leq19$。聯(lián)立解得$m\leq132$，驗(yàn)證得最低分最大值為132。四、附加題（20分）在三維空間中，用平面切割一個(gè)正方體，截面圖形可能是哪些多邊形？請(qǐng)列舉所有可能的情況，并畫出其中3種非三角形、非四邊形的截面圖形示意圖。參考答案：可能的截面多邊形：三角形、四邊形、五邊形、