2025年下學(xué)期高中函數(shù)綜合應(yīng)用試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知函數(shù)$f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$，則其定義域?yàn)椋ǎ〢.$[-2,+\infty)$B.$(-2,1)\cup(1,+\infty)$C.$[-2,1)\cup(1,+\infty)$D.$(-2,+\infty)$函數(shù)$f(x)=2^x+x-5$的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A.$(0,1)$B.$(1,2)$C.$(2,3)$D.$(3,4)$已知函數(shù)$f(x)=\log_a(x+1)+2$（$a>0$且$a\neq1$）的圖像恒過定點(diǎn)$P$，則點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為（）A.$(0,2)$B.$(0,3)$C.$(1,2)$D.$(1,3)$若函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+3$在區(qū)間$(-\infty,2]$上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$[2,+\infty)$B.$(-\infty,2]$C.$[-2,+\infty)$D.$(-\infty,-2]$已知函數(shù)$f(x)$是定義在$R$上的奇函數(shù)，當(dāng)$x\geq0$時(shí)，$f(x)=x^2-2x$，則當(dāng)$x<0$時(shí)，$f(x)$的解析式為（）A.$f(x)=-x^2-2x$B.$f(x)=-x^2+2x$C.$f(x)=x^2+2x$D.$f(x)=x^2-2x$函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的最小正周期和最大值分別是（）A.$2\pi$，$\sqrt{2}$B.$\pi$，$\sqrt{2}$C.$2\pi$，2D.$\pi$，2已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，則其單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$B.$(-1,1)$C.$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$D.$(-\infty,+\infty)$若函數(shù)$f(x)=\lnx-ax$在區(qū)間$(1,e)$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-\infty,1]$B.$(-\infty,\frac{1}{e}]$C.$[1,+\infty)$D.$[\frac{1}{e},+\infty)$已知函數(shù)$f(x)=2^x$，$g(x)=\log_2x$，則函數(shù)$h(x)=f(g(x))$的圖像大致是（）A.B.C.D.（圖像選項(xiàng)略，實(shí)際試卷中應(yīng)配圖）已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+5$在區(qū)間$[0,m]$上的最大值為5，最小值為1，則實(shí)數(shù)$m$的取值范圍是（）A.$[2,4]$B.$[0,2]$C.$[2,+\infty)$D.$[0,4]$已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-\lnx$，則其在點(diǎn)$(1,f(1))$處的切線方程為（）A.$y=-x+\frac{3}{2}$B.$y=x-\frac{1}{2}$C.$y=-x+\frac{1}{2}$D.$y=x+\frac{1}{2}$已知定義在$R$上的函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+2)=-f(x)$，且當(dāng)$x\in[0,2)$時(shí)，$f(x)=x^2$，則$f(2025)$的值為（）A.0B.1C.4D.2025^2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-2x^2+3x-1$，則$f'(1)=$________。函數(shù)$f(x)=\log_2(x^2-4x+3)$的單調(diào)遞減區(qū)間是________。已知函數(shù)$f(x)=a^x$（$a>0$且$a\neq1$）在區(qū)間$[1,2]$上的最大值比最小值大$\frac{a}{2}$，則$a$的值為________。給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$是奇函數(shù)；②函數(shù)$f(x)=|x|$在區(qū)間$(-\infty,0)$上是減函數(shù)；③函數(shù)$f(x)=2^x$與$g(x)=\log_2x$互為反函數(shù)；④若函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+1)=f(1-x)$，則函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于直線$x=1$對(duì)稱。其中所有正確命題的序號(hào)是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+5$。（1）求函數(shù)$f(x)$的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\sin2x+\cos2x$。（1）求函數(shù)$f(x)$的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$。（1）求函數(shù)$f(x)$的定義域和導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和極值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$。（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(2,+\infty)$上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)$是定義在$R$上的偶函數(shù)，當(dāng)$x\geq0$時(shí)，$f(x)=2^x-4$。（1）求函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）若函數(shù)$g(x)=f(x)-k$有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)$k$的取值范圍。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量$x$（噸）與每噸產(chǎn)品的價(jià)格$p$（元/噸）之間的關(guān)系為$p=24200-\frac{1}{5}x^2$，且生產(chǎn)$x$噸的成本為$R=50000+200x$（元）。（1）求該工廠月利潤$L$（元）關(guān)于月產(chǎn)量$x$（噸）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少噸時(shí)，該工廠每月所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）C2.B3.B4.A5.A6.A7.C8.B9.A10.A11.B12.B二、填空題（每小題5分，共20分）414.$(-\infty,1)$15.$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$16.①②③④三、解答題（共70分）（本小題滿分10分）解：（1）函數(shù)$f(x)=x^2-4x+5$的對(duì)稱軸方程為$x=-\frac{2a}=-\frac{-4}{2\times1}=2$。（2分）將$x=2$代入函數(shù)解析式，得$f(2)=2^2-4\times2+5=4-8+5=1$，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,1)$。（4分）（2）因?yàn)楹瘮?shù)$f(x)$的對(duì)稱軸為$x=2$，且開口向上，所以在區(qū)間$[-1,2]$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$[2,3]$上單調(diào)遞增。（6分）當(dāng)$x=2$時(shí)，函數(shù)取得最小值$f(2)=1$；（7分）當(dāng)$x=-1$時(shí)，$f(-1)=(-1)^2-4\times(-1)+5=1+4+5=10$；當(dāng)$x=3$時(shí)，$f(3)=3^2-4\times3+5=9-12+5=2$。（8分）所以函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值為10，最小值為1。（10分）（本小題滿分12分）解：（1）$f(x)=\sin2x+\cos2x=\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})$。（3分）所以函數(shù)$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$。（5分）由$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{4}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\inZ$，得$-\frac{3\pi}{8}+k\pi\leqx\leq\frac{\pi}{8}+k\pi$，$k\inZ$。所以函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{3\pi}{8}+k\pi,\frac{\pi}{8}+k\pi]$，$k\inZ$。（8分）（2）因?yàn)?x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，所以$2x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$。（9分）當(dāng)$2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$，即$x=\frac{\pi}{8}$時(shí)，$f(x)$取得最大值$\sqrt{2}$；（10分）當(dāng)$2x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$，即$x=\frac{\pi}{2}$時(shí)，$f(x)$取得最小值$-1$。（12分）（本小題滿分12分）解：（1）函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$的定義域?yàn)?(0,+\infty)$。（2分）$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$。（5分）（2）令$f'(x)=0$，得$x=1$。（6分）當(dāng)$x\in(0,1)$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞減；（8分）當(dāng)$x\in(1,+\infty)$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞增。（10分）所以函數(shù)$f(x)$在$x=1$處取得極小值，極小值為$f(1)=\ln1+\frac{1}{1}=1$，無極大值。（12分）（本小題滿分12分）解：（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$，$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2$。（3分）因?yàn)?f'(x)\geq0$恒成立，所以函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增。（5分）（2）$f'(x)=3x^2-6ax+3$。（6分）因?yàn)楹瘮?shù)$f(x)$在區(qū)間$(2,+\infty)$上是增函數(shù)，所以$f'(x)\geq0$在區(qū)間$(2,+\infty)$上恒成立。（7分）即$3x^2-6ax+3\geq0$，化簡得$x^2-2ax+1\geq0$，$2a\leqx+\frac{1}{x}$在區(qū)間$(2,+\infty)$上恒成立。（9分）令$g(x)=x+\frac{1}{x}$，則$g'(x)=1-\frac{1}{x^2}$，當(dāng)$x\in(2,+\infty)$時(shí)，$g'(x)>0$，所以$g(x)$在$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增。（10分）所以$g(x)>g(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，所以$2a\leq\frac{5}{2}$，即$a\leq\frac{5}{4}$。（11分）所以實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是$(-\infty,\frac{5}{4}]$。（12分）（本小題滿分12分）解：（1）當(dāng)$x<0$時(shí)，$-x>0$，因?yàn)楹瘮?shù)$f(x)$是偶函數(shù)，所以$f(x)=f(-x)=2^{-x}-4$。（3分）所以函數(shù)$f(x)$的解析式為$f(x)=\begin{cases}2^x-4,&x\geq0\2^{-x}-4,&x<0\end{cases}$。（5分）（2）函數(shù)$g(x)=f(x)-k$有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程$f(x)=k$有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。（6分）當(dāng)$x\geq0$時(shí)，$f(x)=2^x-4$單調(diào)遞增，且$f(x)\geq-4$；（7分）當(dāng)$x<0$時(shí)，$f(x)=2^{-x}-4$單調(diào)遞減，且$f(x)>-4$。（8分）作出函數(shù)$f(x)$的圖像可知，當(dāng)$-4<k<0$時(shí)，方程$f(x)=k$有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。（11分）所以實(shí)數(shù)$k$的取值范圍是$(-4,0)$。（12分）（本小題滿分12分）解：（1）月利潤$L=$月收入$-$月成本，月收入為$px=(24200-\frac{1}{5}x^2)x=24200x-\frac{1}{5}x^3$。（2分）所以$L=24200x-\frac{1}{5}x^3-(50000+200x)=-\frac{1}{5}x^3+24000x-50000$，其中$x>0$。（5分）（2）$L'=-\frac{3}{5}x^2+24000$。（6分）令$L'=0$，得$-\frac{3}{5}x^2+2400