廣東省2021中考數(shù)學(xué)試題典型例題分析作為一名長(zhǎng)期關(guān)注并研究中考數(shù)學(xué)的教育工作者，每年的中考試題都是我們洞察教學(xué)方向、把握學(xué)生能力培養(yǎng)重點(diǎn)的重要窗口。2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試題，在延續(xù)了近年來(lái)命題風(fēng)格的基礎(chǔ)上，更加注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用和實(shí)際問(wèn)題的解決能力。本文將選取幾道具有代表性的典型例題，進(jìn)行深度剖析，旨在為今后的數(shù)學(xué)教學(xué)與備考提供一些有益的參考。一、試題總體評(píng)價(jià)2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試題嚴(yán)格遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，在題型、題量、難度等方面保持了相對(duì)穩(wěn)定。試題覆蓋面廣，既注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，也突出了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生綜合運(yùn)用能力的檢驗(yàn)。與往年相比，試題更具開(kāi)放性和探究性，部分題目情境貼近生活，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題，體現(xiàn)了“從生活走向數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)走向社會(huì)”的理念。二、典型例題深度剖析（一）選擇題：概念辨析與基礎(chǔ)運(yùn)算并重例題1（類(lèi)似概念辨析題）下列說(shuō)法正確的是（）A.任何數(shù)都有平方根B.單項(xiàng)式的次數(shù)是指所有字母的指數(shù)和C.若，則D.平移不改變圖形的形狀和大小考查目標(biāo)：本題主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的準(zhǔn)確理解，涉及平方根、單項(xiàng)式次數(shù)、絕對(duì)值以及圖形變換等多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)。思路分析：對(duì)于這類(lèi)概念辨析題，解答的關(guān)鍵在于對(duì)每個(gè)選項(xiàng)所涉及的數(shù)學(xué)概念有清晰、準(zhǔn)確的把握，需要逐一進(jìn)行判斷。A選項(xiàng)，平方根的概念中明確指出，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，因此“任何數(shù)都有平方根”的說(shuō)法錯(cuò)誤。B選項(xiàng)，單項(xiàng)式的次數(shù)定義為所有字母的指數(shù)和，這是單項(xiàng)式次數(shù)的核心定義，該選項(xiàng)表述正確。C選項(xiàng)，絕對(duì)值的性質(zhì)是，若，則或，原選項(xiàng)忽略了另一種情況，所以錯(cuò)誤。D選項(xiàng)，平移的性質(zhì)是只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，該選項(xiàng)表述正確。經(jīng)過(guò)逐一分析，可知正確選項(xiàng)為B和D。題目點(diǎn)評(píng)與反思：此類(lèi)題目看似簡(jiǎn)單，但往往是學(xué)生失分的“重災(zāi)區(qū)”。它要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不能滿(mǎn)足于對(duì)概念的一知半解，必須摳準(zhǔn)定義中的關(guān)鍵詞句。在備考時(shí)，應(yīng)回歸教材，將相似、易混淆的概念進(jìn)行對(duì)比梳理，加深理解，避免因概念不清而導(dǎo)致判斷失誤。（二）填空題：考查知識(shí)遷移與簡(jiǎn)潔表達(dá)例題2（類(lèi)似幾何多結(jié)論判斷題）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，且AE=2，現(xiàn)將△ABE沿BE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，連接A'C，則A'C的長(zhǎng)度為_(kāi)_______。（*此處省略圖形，實(shí)際分析時(shí)需結(jié)合圖形*）考查目標(biāo)：本題主要考查矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換（折疊問(wèn)題）、勾股定理以及空間想象能力。要求學(xué)生能根據(jù)折疊的性質(zhì)找到等量關(guān)系，并運(yùn)用勾股定理求解線段長(zhǎng)度。思路分析：解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住“折疊前后圖形全等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等”這一核心性質(zhì)。首先，根據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)，AB=CD=4，AD=BC=6，∠A=∠D=90°。已知AE=2，則ED=AD-AE=6-2=4。將△ABE沿BE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，所以AE=A'E=2，AB=A'B=4，∠BA'E=∠A=90°。接下來(lái)，需要確定點(diǎn)A'的位置，以便求出A'C的長(zhǎng)度。過(guò)點(diǎn)A'作BC的垂線，交BC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H（或直接作A'H垂直于AD于H，利用坐標(biāo)法或勾股定理在直角三角形中求解）。設(shè)A'H=x，A'G=4-x（因?yàn)榫匦蔚膶扐B=4）。在Rt△A'HE中，EH=AH-AE，而AH=BG，可通過(guò)設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解。或者，考慮以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解會(huì)更直觀。設(shè)B為(0,0)，則A(0,4)，E(2,4)。折疊后A'的坐標(biāo)可根據(jù)BE為對(duì)稱(chēng)軸求解，或利用向量知識(shí)。但對(duì)于初中生而言，更常用的是幾何構(gòu)造直角三角形。延長(zhǎng)EA'交BC于點(diǎn)F，易證△EFD∽△A'FB（或通過(guò)角度關(guān)系找到直角三角形），但可能稍顯復(fù)雜。更直接的方法是，在折疊后，在Rt△A'ED中（假設(shè)A'E垂直于ED，此處需根據(jù)圖形判斷A'的具體位置，若A'落在矩形內(nèi)部），ED=4，A'E=2，∠A'ED是否為直角？若BE的斜率確定，A'的位置隨之確定。（*此處為模擬分析，實(shí)際解題時(shí)需準(zhǔn)確畫(huà)出圖形輔助理解*）經(jīng)過(guò)計(jì)算（具體計(jì)算過(guò)程略，假設(shè)通過(guò)構(gòu)造直角三角形A'GC，其中GC=BC-BG，A'G=AB-A'H，利用勾股定理可求得），A'C的長(zhǎng)度為。題目點(diǎn)評(píng)與反思：填空題中的幾何計(jì)算題，不僅要求學(xué)生能熟練運(yùn)用幾何性質(zhì)，還要求計(jì)算準(zhǔn)確、表達(dá)簡(jiǎn)潔。折疊問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)，學(xué)生在解題時(shí)要善于利用折疊帶來(lái)的等線段和等角，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線（如作高、連線等），將所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，再運(yùn)用勾股定理或相似三角形的性質(zhì)求解。平時(shí)練習(xí)時(shí)，應(yīng)注重對(duì)圖形的觀察和分析能力的培養(yǎng)，提高空間想象能力。（三）解答題：強(qiáng)調(diào)綜合應(yīng)用與規(guī)范表述例題3（類(lèi)似函數(shù)與幾何綜合題）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)。（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）連接CD，過(guò)原點(diǎn)O作OE∥CD交拋物線于點(diǎn)E（點(diǎn)E在第一象限），求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，連接AE、BE，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積等于△ABE的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（*此處省略圖形，實(shí)際分析時(shí)需結(jié)合圖形*）考查目標(biāo)：本題是一道二次函數(shù)與幾何的綜合題，主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圖形面積的計(jì)算以及存在性問(wèn)題的探究。綜合性強(qiáng)，難度較大，能有效考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。思路分析：（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)：對(duì)于拋物線，求與x軸的交點(diǎn)A、B，令y=0，解方程即可；求與y軸的交點(diǎn)C，令x=0，求出y值即可。令y=0，得，解得x1=，x2=（假設(shè)具體數(shù)值）。因?yàn)辄c(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，所以A(,0)，B(,0)。令x=0，得y=，所以C(0,)。（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)：首先，要求出直線CD的解析式，因?yàn)镺E∥CD，所以直線OE的斜率與直線CD的斜率相等。已知點(diǎn)C(0,)和點(diǎn)D（拋物線頂點(diǎn)），拋物線的頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為對(duì)稱(chēng)軸x=-b/(2a)，代入可求得橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求得縱坐標(biāo)，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)D(m,n)，則直線CD的斜率kCD=(n-)/(m-0)。因?yàn)镺E∥CD，所以直線OE的斜率kOE=kCD。又因?yàn)橹本€OE過(guò)原點(diǎn)，所以其解析式為y=kOEx。點(diǎn)E是直線OE與拋物線的交點(diǎn)（第一象限），聯(lián)立方程組：y=kOExy=解此方程組，求得x的值，取第一象限的解，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)。（3）探究點(diǎn)P的存在性：△PAB的面積等于△ABE的面積，且AB為公共底邊。根據(jù)三角形面積公式，若兩個(gè)三角形同底且面積相等，則它們的高相等。因此，點(diǎn)P到AB的距離（即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值）應(yīng)等于點(diǎn)E到AB的距離（即點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，因?yàn)镋在第一象限，縱坐標(biāo)為正）。設(shè)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為h，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為h或-h。令拋物線的y值等于h和-h，分別解方程，求出對(duì)應(yīng)的x值。需要注意的是，點(diǎn)P不能與點(diǎn)E重合（若E是其中一個(gè)解），且要判斷解的合理性。求出所有符合條件的x值后，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。題目點(diǎn)評(píng)與反思：函數(shù)與幾何綜合題是中考數(shù)學(xué)的壓軸題之一，具有較強(qiáng)的綜合性和區(qū)分度。這類(lèi)題目往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交匯，要求學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)、清晰的思路和較強(qiáng)的計(jì)算能力。在解題過(guò)程中，要注意以下幾點(diǎn)：一是規(guī)范書(shū)寫(xiě)解題步驟，每一步推理都要有依據(jù)；二是注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，通過(guò)畫(huà)圖幫助理解題意，找到解題突破口；三是對(duì)于存在性問(wèn)題，要先假設(shè)存在，再進(jìn)行推理驗(yàn)證，若能求出符合條件的解，則存在，否則不存在。平時(shí)訓(xùn)練時(shí)，要敢于挑戰(zhàn)，善于總結(jié)解題規(guī)律和方法，積累解題經(jīng)驗(yàn)。三、備考啟示與建議通過(guò)對(duì)2021年廣東省中考數(shù)學(xué)典型例題的分析，我們可以得到以下幾點(diǎn)備考啟示：1.夯實(shí)基礎(chǔ)，回歸教材：無(wú)論是選擇題中的概念辨析，還是填空題、解答題中的基本運(yùn)算和推理，都離不開(kāi)扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)。中考命題源于教材，又高于教材。因此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要以教材為根本，將教材中的定義、公理、定理、公式、法則等熟記于心，并理解其內(nèi)涵與外延，做到靈活運(yùn)用。2.重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透與運(yùn)用：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。如上述例題中涉及到的數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想（折疊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題）、方程思想（求點(diǎn)的坐標(biāo)、求線段長(zhǎng)度）、分類(lèi)討論思想（絕對(duì)值問(wèn)題、存在性問(wèn)題）等，在解題中起到了關(guān)鍵作用。在平時(shí)學(xué)習(xí)中，要有意識(shí)地運(yùn)用這些思想方法去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)思維能力。3.加強(qiáng)規(guī)范訓(xùn)練，提升解題素養(yǎng)：從解答題的要求可以看出，中考對(duì)解題過(guò)程的規(guī)范性要求很高。許多學(xué)生雖然思路正確，但因步驟不完整、書(shū)寫(xiě)不規(guī)范、計(jì)算粗心等原因?qū)е率Х?，非常可惜。因此，在平時(shí)練習(xí)時(shí)，要嚴(yán)格要求自己，規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式，做到步驟清晰、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、計(jì)算準(zhǔn)確。同時(shí)，要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，如認(rèn)真審題、仔細(xì)檢查等。4.關(guān)注實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)建模能力：中考命題越來(lái)越注重?cái)?shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系。在復(fù)習(xí)中，要關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和建模能力。5.強(qiáng)化專(zhuān)題訓(xùn)練，突破重點(diǎn)難點(diǎn)：針對(duì)中考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，如函數(shù)綜合題、幾何證明與計(jì)算