第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（提高卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（2022·廣東·深圳中學(xué)高二期中）已知函數(shù)滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A由可知，，而，所以，解得，即，所以，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．故選：A．2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A，令，則或（舍），因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，故即，故選：A.3．（2022·北京市第十二中學(xué)高二階段練習(xí)）定義：如果函數(shù)在上存在滿足，則稱函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”，已知函數(shù)是區(qū)間上“雙中值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C是上“雙中值函數(shù)”，所以，故在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，對(duì)稱軸為，則滿足解得：故選：C4．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，所以不等式等價(jià)于，解得或，所以不等式的解集為.故選：D5．（2022·河南洛陽(yáng)·高二階段練習(xí)（理））若曲線與曲線：=有公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．+ B．- C．+ D．【答案】C設(shè)在曲線上的切點(diǎn)為，則切線斜率為，在曲線上的切點(diǎn)為，切線斜率為，所以切線方程分別為、，即、，有，整理得，設(shè)，則，令，令，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上，如圖，由圖可知，即k的最大值為.故選：C.6．（2022·廣西河池·高二階段練習(xí)（理））一般地，對(duì)于一元三次函數(shù)，若，則為三次函數(shù)的對(duì)稱中心，已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為（），且有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A由函數(shù)求導(dǎo)得：，則，由解得，則有，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，由三次函數(shù)圖象與性質(zhì)知，，于是得，解得，綜上得：，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.7．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知，若不等式恒成立，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B解：因?yàn)?，不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，令，則不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，令，則，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，故在上單調(diào)遞增，所以存在滿足，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，與題意矛盾，綜上可得；故選：B8．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學(xué)松山分校高二期中）若關(guān)于x的不等式（其中），有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D由不等式（），令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，且當(dāng)時(shí)，恒有，函數(shù)，表示恒過(guò)定點(diǎn)，斜率為的直線，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象和直線，如圖，因不等式（）有且只有兩個(gè)整數(shù)解，觀察圖象知，-1和0是不等式解集中的兩個(gè)整數(shù)，于是得g(?1)>f(?1)g(?2)≤f(?2)，即2a>?3e所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2022·山東淄博·高二期中）（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．若時(shí)，，則t的最小值為2D．當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根【答案】BD，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)有極小值，有極大值，當(dāng)趨近負(fù)無(wú)窮大時(shí)，趨近正無(wú)窮大，當(dāng)趨近正無(wú)窮大時(shí)，趨近于零，故作函數(shù)草圖如下，由圖可知，選項(xiàng)BD正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，t的最大值為2．故選：BD．10．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知，若不等式在上恒成立，則a的值可以為（

）A． B． C．1 D．【答案】AD設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，∴，∴．又在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)恒成立，即恒成立．令，當(dāng)時(shí)，，故，∴，解得或，所以a的值可以為，，故選：AD.11．（2022·遼寧·遼師大附中高二階段練習(xí)）我們常用以下方法求形如的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：先兩邊同取自然對(duì)數(shù)得：，再兩邊同時(shí)求導(dǎo)得到：，于是得到：，運(yùn)用此方法能使函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間可以是（

）A．（，4） B．（1，3） C．（，） D．（，1）【答案】CD由題意可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，即，解得，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，由此可得到選項(xiàng)中的CD符合題意，故選：CD12．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，方程有且只有2個(gè)不同實(shí)根C．的值域?yàn)镈．若對(duì)于任意的，都有成立，則【答案】BD對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)遞增，故可作出函數(shù)的圖象如圖示：由此可知，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，解得，即此時(shí)有一解；當(dāng)時(shí)，，故是的一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，令，，即，即，此時(shí)無(wú)解；故綜合上述，當(dāng)時(shí)，方程有且只有2個(gè)不同實(shí)根，B正確；由函數(shù)的圖象可知，其值域?yàn)镽,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,對(duì)于任意的，都有成立,則當(dāng)時(shí)，，即恒成立，即，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故；當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，令，注意到當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，，故，不符合題意當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故遞減，則，即恒成立，綜合上述，可知當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，都有成立，故D正確，故選：BD三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））已知對(duì)任意不相等的正數(shù)都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】由，不妨設(shè)，由可得，即，根據(jù)單調(diào)性的定義可得在為增函數(shù)，所以在恒成立，所以在恒成立，所以，.故答案為：.14．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，定義域?yàn)椋覞M足，則不等式恒成立時(shí)m的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋傻?，設(shè)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又由，所以，且，則，解得，即m的取值范圍為.故答案為：.15．（2022·天津·崇化中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，，，，使不等式成立，則的取值范圍是______.【答案】因?yàn)閷?duì)，，使不等式成立，所以，當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，即.故答案為：.16．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，…），當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)___________；若對(duì)）成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)___________.【答案】

由題意當(dāng)時(shí)，，，則，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.因?yàn)椋?，即，則，令，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，得，即，記，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值是，故，即實(shí)數(shù)a的最大值是.故答案為：；.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）17．（2022·山西太原·三模（文））已知函數(shù)(1)若在時(shí)取得極小值，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若過(guò)點(diǎn)可以作出函數(shù)的兩條切線，求證：【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(1)解：∴，∴當(dāng)時(shí)，令，得∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得極小值，∴(2)證明：設(shè)切點(diǎn)為，∴切線為，又切線過(guò)點(diǎn)，∴∴，(*)設(shè)則∴在單詞遞減，在單調(diào)遞增.∵過(guò)點(diǎn)可作的兩條切線，∴方程(*)有兩解∴，由，得∴，即.18．（2022·江西·南城縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的極小值為，當(dāng)時(shí)，有極大值．(1)求函數(shù)；(2)存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1);(2).(1)∵，由，得且，解得，，又，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，滿足題意,∴；(2)存在，使得，等價(jià)于，∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減，在上遞增，又，，∴在上的最小值為，∴，解得或，所以的取值范圍是．19．（2022·山東師范大學(xué)附中高三期中）設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)任意正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，試判斷與的大小關(guān)系并證明【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為，(2)，證明見(jiàn)解析(1)時(shí)，，，令得；令得或故的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為，(2)結(jié)論：，證明如下：設(shè)，由均為正數(shù)且得設(shè)，則①當(dāng)時(shí)，由得即故單調(diào)遞減，從而而，此時(shí)成立②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故的最小值為此時(shí)只需證，化簡(jiǎn)后即證設(shè)，故單調(diào)遞增，從而有，即證綜上：不等式得證．20．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室三模（理））已知函數(shù)．(1)若在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)或(2)(1)解：，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以此時(shí)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減．要使在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，則必有，解得．綜上，當(dāng)或時(shí)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．(2)因?yàn)?，所以?duì)任意的，恒成立，等價(jià)于在上恒成立．令，則只需即可，則，再令，則，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以有唯一的零點(diǎn)，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，即．所以，則有．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．21．（2022·陜西·西安市閻良區(qū)關(guān)山中學(xué)高二期中（理））已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(2)證明：對(duì)任意的，．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(1)要證函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，只需證方程只有一個(gè)根，即證只有一個(gè)根，即只有一個(gè)根．令，，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，方程只有一個(gè)根，即函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(2)由（1）知：恒成立，即恒成立（在時(shí)等號(hào)成立）．，，即，，，，…，，，，即．22．（2022·山東威?！と＃┮阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，從下面兩個(gè)結(jié)論中選一個(gè)證明．①；②．【答案】(1