11信號分析與處理課堂用書測試信號處理技術(shù)（第3版）SignalAnalysisandProcessing

本科生課程課程代碼：課程學時：2實際信號的特點：時域：連續(xù)時間信號;持續(xù)時間較長且非周期頻域：頻譜是連續(xù)的數(shù)字處理設(shè)備（計算機）的特點：

存儲空間有限---只能存儲有限多的數(shù)據(jù)離散的時間點；有限長的時間范圍

表示空間有限---只能表示有限多的數(shù)值取值在一定精度內(nèi)；取值在一定范圍內(nèi)第6章離散信號傅里葉分析引言第6章離散信號傅里葉分析6.1

離散非周期信號的傅里葉變換（DTFT）6.2

離散周期信號的傅里葉級數(shù)（DFS）6.3

離散傅里葉變換（DFT）6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)6.5快速傅里葉變換（FFT）6.6IDFT的快速算法（IFFT）6.7FFT的軟件實現(xiàn)

6.8

離散傅里葉變換的應(yīng)用內(nèi)容提要36.1序列的傅里葉變換（DTFT）在第7章即將學習到，x(n)的z變換為1.定義如果X(z)在單位圓上是收斂的，則把在單位圓上的z變換定義為序列的傅里葉變換，表示為(6.1)相對應(yīng)序列的傅里葉反變換，由z反變換的圍線積分公式45若把積分圍線C取在單位圓上，則有(6.2)6.1序列的傅里葉變換（DTFT）6已知連續(xù)信號的傅里葉變換為2.物理意義

F(Ω)有頻譜密度的意義，是頻譜的概念；在公式（6.1）中，X(ejω)是序列的傅里葉變換，與F(Ω)在連續(xù)信號傅里葉變換的表達式中一樣起著相同的作用，所以看作是序列的頻譜。6.1序列的傅里葉變換（DTFT）7

f(t)和x(n)的兩個表達式都具有疊加重構(gòu)（綜合）時域信號即傅里葉反變換的作用，因此把式(6.2)稱為序列的傅里葉反變換。將式(6.1)和(6.2)重寫并表示為(6.3)(6.4)6.1序列的傅里葉變換（DTFT）8序列的頻譜是周期的連續(xù)頻譜。同時X(ejω)是ω的復函數(shù)，可進一步表示為(6.5)圖6.1序列及其幅度頻譜6.1序列的傅里葉變換（DTFT）3.特點9序列傅立葉變換存在的條件由于序列的傅里葉變換是單位圓上的z變換，序列的z變換在單位圓上必須收斂是序列傅里葉變換存在的條件，即

上式表明，序列傅里葉變換存在的條件是：序列必須絕對可和。(充分條件)6.1序列的傅里葉變換（DTFT）10例6.1求出下列序列的傅里葉變換。解:6.1序列的傅里葉變換（DTFT）116.1序列的傅里葉變換（DTFT）第6章：6.2,6.5，6.7,6.10（1,2,3,5,6）6.11,6.12（2,4,5）,6.13,6.166.17,6.18,6.19(1,3),6.21,6.236.24,6.26,6.27,6.29

6.1序列的傅里葉變換（DTFT）12第6章離散信號傅里葉分析6.1

離散非周期信號的傅里葉變換（DTFT）6.2

離散周期信號的傅里葉級數(shù)（DFS）6.3

離散傅里葉變換（DFT）6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)6.5快速傅里葉變換（FFT）6.6IDFT的快速算法（IFFT）6.7FFT的軟件實現(xiàn)

6.8

離散傅里葉變換的應(yīng)用內(nèi)容提要1314傅里葉變換在時域和頻域中的對稱規(guī)律

時域上的非周期將產(chǎn)生頻譜的連續(xù)，或者說，頻域的連續(xù)導致時域的非周期。

總之，一個域中函數(shù)的連續(xù)對應(yīng)另一個域的非周期。如下圖6.3(a)所示：由前述，連續(xù)非周期信號的傅里葉變換（頻譜）Xa(Ω)是非周期的連續(xù)譜，時域上的非周期對應(yīng)頻域上的連續(xù)，或頻域上的連續(xù)對應(yīng)時域上的非周期，由此可以得到時、頻域的第一個對稱規(guī)律：6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)15非周期傅里葉變換（FT）周期傅里葉變換（FT）6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)16序列傅里葉變換（DTFT）離散傅里葉級數(shù)（DFS）6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)17各種信號傅里葉變換在時域、頻域上對稱性的規(guī)律可概括歸納為：上述規(guī)律是由傅里葉變換的對稱性（對偶性）所決定的。時域頻域連續(xù)非周期非周期連續(xù)連續(xù)周期非周期離散離散非周期周期連續(xù)離散周期周期離散6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)18如圖6.3(b)，一周期信號xp(t)，其頻譜是離散譜即Xp(kΩ1)?？梢詮牧硪粋€角度來理解：Xp(kΩ)正是對圖6.3(a)中的頻譜Xa(Ω)以采樣頻率Ω1進行抽樣，即頻域被離散化，則在時域上產(chǎn)生單周期信號xa(t)的周期延拓，延拓周期為T1=2πΩ1，形成周期延拓波形xp(t)。時、頻域的第二個對稱規(guī)律：

時域上的周期化將產(chǎn)生頻譜的離散化，或者說，頻域的離散化導致時域的周期化，總之，一個域的離散化對應(yīng)另一個域的周期化。離散抽樣——周期搬移6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)19對于連續(xù)周期函數(shù)xp(t)，有傅里葉級數(shù)變換對表示對xp(t)進行抽樣，變成了離散時間周期信號xps

(nT)或xp(n)（以抽樣序列xp(n)為例），周期序列在時域可用復指數(shù)序列形式的傅里葉級數(shù)來表示，將t=nT、代入上式中，得6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)20從而有記作由于復指數(shù)序列的周期性，顯然有6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)21由上述分析可知：1.周期離散信號在時、頻域上均為周期序列；2.離散周期信號可看做是對連續(xù)周期信號的抽樣結(jié)果；3.周期序列可以表示成一個有限項（N項）指數(shù)序列分量的疊加（即用任一個周期的序列情況，可以描述、代表所有其他周期序列的情況）6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)22習慣上表示為上式就是離散傅里葉級數(shù)（DFS）的定義式，是DFS反變換的概念。6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)23根據(jù)反變換的表達式來導出DFS正變換Xp(k)的解析表達式DFS的正變換和反變換都是有限項級數(shù)正變換中的1/N是人為加入的(推導可參考鄭君里等《信號與系統(tǒng)（第2版）》第9章的相關(guān)部分）DFS反變換6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)24傅里葉級數(shù)的正變換以符號DFS[·]表示，離散傅里葉級數(shù)的反變換，符號IDFS[·]表示，寫成(6.16)(6.17)6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)為表達簡潔,引入符號反變換正變換周期序列也稱為傅里葉變換的“核”，則DFS寫為6.2離散周期信號的傅里葉級數(shù)(DFS)25第6章離散信號傅里葉分析6.1

離散非周期信號的傅里葉變換（DTFT）6.2

離散周期信號的傅里葉級數(shù)（DFS）6.3

離散傅里葉變換（DFT）6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)6.5快速傅里葉變換（FFT）6.6IDFT的快速算法（IFFT）6.7FFT的軟件實現(xiàn)

6.8

離散傅里葉變換的應(yīng)用內(nèi)容提要2627DFT要解決兩個問題：一是離散與量化二是快速運算6.3離散傅里葉變換（DFT）28(1)把時域周期序列看作是有限長序列x(n)的周期延拓；(2)把頻域周期序列看作是有限長序列X(k)的周期延拓；(3)這樣我們只要把DFS的定義式兩邊（時域、頻域）各取主值區(qū)間,就得到關(guān)于有限長序列的時頻域的對應(yīng)變換對。這就是數(shù)字信號處理課程里最重要的變換——離散傅里葉變換(DFT)6.3離散傅里葉變換（DFT）DFT是重要的變換1.分析有限長序列的有用工具；2.在信號處理的理論研究上有重要意義；3.在運算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關(guān)都可以通過DFT在計算機上實現(xiàn)。6.3離散傅里葉變換（DFT）2930離散傅里葉變換DFT定義式對于一個周期為N的周期序列xp

(n)，把它的第一個周期的有限長序列定義為這一周期序列的主值序列，用x(n)表示6.3離散傅里葉變換（DFT）31周期序列Xp(k)、xp(n)換成主值序列X(k)、x(n)，這樣就得到了兩個有限長序列的變換對，并表示為(6.25)(6.26)式（6.25）稱為離散傅里葉正變換，以符號DFT[·]表示，式（6.26）是離散傅里葉反變換，以符號IDFT[·]表示正變換反變換6.3離散傅里葉變換（DFT）32DFT[·]，IDFT[·]可簡寫為:(6.29)(6.30)式中，X(k)與x(n)分別為N

行的列矩陣，而W

nk

與W-nk分別為N×N的對稱方陣。6.3離散傅里葉變換（DFT）33其中N是序列的長度6.3離散傅里葉變換（DFT）34例6.3用矩陣形式求矩形序列x(n)=R4(n)的DFT，再由所得X(k)經(jīng)IDFT求x(n)，驗證所求結(jié)果的正確性。P1686.3離散傅里葉變換（DFT）35離散傅里葉變換DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系因序列為有限長，滿足絕對可和的條件，其z變換的收斂域為整個z平面，必定包含單位圓，則序列的傅里葉變換為設(shè)一有限長序列x(n)長度為N點，其z變換為6.3離散傅里葉變換（DFT）36現(xiàn)以為間隔，把單位圓（表示為ejω）均勻等分為N個點，則在第k個等分點或6.3離散傅里葉變換（DFT）37由上式可以得出：有限長序列的DFT就是序列在單位圓上的z變換（即序列傅里葉變換）在單位圓上以為間隔的抽樣值，參見下圖。6.3離散傅里葉變換（DFT）第6章離散信號傅里葉分析6.1

離散非周期信號的傅里葉變換（DTFT）6.2

離散周期信號的傅里葉級數(shù)（DFS）6.3

離散傅里葉變換（DFT）6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)6.5快速傅里葉變換（FFT）6.6IDFT的快速算法（IFFT）6.7FFT的軟件實現(xiàn)

6.8

離散傅里葉變換的應(yīng)用內(nèi)容提要38391．線性特性若:則：式中，a、b為任意常數(shù)。如果兩個序列的長度不相等，以最長的序列為基準，對短序列要補零，使序列長度相等，才能進行線性相加，經(jīng)過補零的序列頻譜會變密，但不影響問題的性質(zhì)。6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)402．時移特性1.將一有限長序列x(n)，進行周期延拓，周期為N，構(gòu)成周期序列xp(n)；2.然后對周期序列xp(n)作m位移位處理得移位序列xp(n-m)；3.再取其主值序列:xp(n-m)與矩形序列RN(n)相乘，得xp(n-m)RN(n)，就是所謂的圓周移位序列。(1)圓周移位6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)41有限長序列x(n)6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)42周期拓延移位處理6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)左移243取主值區(qū)間6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)44圓周位移的含義由于我們?nèi)≈髦敌蛄校粗挥^察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進來。如果把x(n)排列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當于x(n)在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列:。6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)456.4離散傅里葉變換的性質(zhì)序列的圓周位移46(2)時移定理若:則：時移定理表明：

序列在時域上圓周移位，頻域上將產(chǎn)生附加相移。6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)3．頻移特性若:則：并：上述特性表明：若序列在時域上乘以復指數(shù)序列，則在頻域上，X(k)將圓周移位l

位，這可以看作調(diào)制信號的頻譜搬移，又稱“調(diào)制定理”。476.4離散傅里葉變換的性質(zhì)484．圓周卷積特性若對N點的序列有X(k)＝DFT[x(n)]，H(k)＝DFT[h(n)]，Y(k)＝DFT[y(n)]，Y(k)=X(k)H(k)則(1)時域圓周卷積6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)若x(m)保持不移位，則hp(n-m)RN(m)是h(m)序列反褶后的圓周移位，故稱為圓周卷積（圓卷積符號以書上P172為準）即Y(k)=X(k)H(k)時域圓卷積DFT變換相乘4．圓周卷積特性6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)49(2)頻域圓卷積則：若:DFT圓卷積時域相乘6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)506.4離散傅里葉變換的性質(zhì)兩個序列的圓卷積515．實數(shù)序列奇偶性可知：X(k)的實部為k的偶函數(shù)，X(k)的虛部是k的奇函數(shù)。設(shè)x(n)為實序列，X(k)＝DFT[x(n)]，則6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)52設(shè)x(n)是實序列，其DFT可寫成X(k)的幅度和相位分別為6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)53從而有(6.44)(6.45)1.實數(shù)序列x(n)的離散傅里葉變換X(k)，在0至N的范圍內(nèi)，對于N/2點:|X(k)|呈半周期偶對稱分布，arg[X(k)]呈半周期奇對稱分布。2.但由于長度為N的X(k)有值區(qū)間是0～(N-1)，而在式(6.43)中增加了第N點的數(shù)值，因此所謂的對稱性并不是很嚴格。6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)546．帕斯瓦爾定理上式左端代表離散信號在時域中的能量，右端代表在頻域中的能量，表明變換過程中能量是守恒的。若:則：DFT的主要性質(zhì)的總結(jié)見附錄86.4離散傅里葉變換的性質(zhì)55第6章離散信號傅里葉分析6.1

離散非周期信號的傅里葉變換（DTFT）6.2

離散周期信號的傅里葉級數(shù)（DFS）6.3

離散傅里葉變換（DFT）6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)6.5快速傅里葉變換（FFT）6.6IDFT的快速算法（IFFT）6.7FFT的軟件實現(xiàn)

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離散傅里葉變換的應(yīng)用內(nèi)容提要5657計算DFT的計算量：每算一個X(k)，需要N次復數(shù)乘法，N-1次加法。因此，N點DFT需要N*N次復數(shù)乘法，N(N-1)次復數(shù)加法。盡管預先算好并保存旋轉(zhuǎn)因子可以節(jié)省部分運算，但按定義求DFT的運算量仍然很大。計算DFT的快速算法--FFT6.5快速傅里葉變換(FFT)58DFT直接運算的問題和改進思路1．DFT直接運算的工作量直接對DFT進行計算的基本問題是運算量大，很難實現(xiàn)信號的實時處理，如某序列x(n)，N＝4，

，則序列x(n)的DFT為6.5快速傅里葉變換(FFT)59若要求X(k)的N=4個值，復數(shù)乘的次數(shù)：N2=42=16，復數(shù)加的次數(shù)：N×(N-1)＝12，這樣簡單的DFT計算，其計算量已經(jīng)不小。如果N=210=1024，則復數(shù)乘的次數(shù)：N2=1,048,576，復數(shù)加次數(shù)：≈N2=1,048,576，難以實現(xiàn)信號的實時處理，因此必須改進DFT的算法。6.5快速傅里葉變換(FFT)602．改進思路DFT的定義式為(1)的周期性(2)的對稱性6.5快速傅里葉變換(FFT)61將上述(1)、(2)中的結(jié)果，代入矩陣W，可簡化為(1)矩陣W中，許多元素是相等的，可明顯減少計算量。(2)由于運算量正比于N2，因此可以把大點數(shù)（大N）DFT的計算化為小點數(shù)（如N/2），又可進一步地把DFT計算量大幅度減下來。6.5快速傅里葉變換(FFT)62綜合應(yīng)用上述的改進思路，實現(xiàn)傅里葉變換的快速計算的算法，就是快速傅里葉變換，F(xiàn)FT（FastFourierTransform）。特別說明：FFT是DFT的快速算法，不是新的變換方法。其算法基礎(chǔ)是W的兩個性質(zhì)：1.W具有周期性2.W具有對稱性6.5快速傅里葉變換(FFT)63基2按時間抽取的FFT算法（時析型）1．算法原理

“基2”－－序列x(n)，設(shè)：N=2M

（M為整數(shù)），如果N不是2的冪次，應(yīng)在序列后面補零到2M

，這是“基2”的意思。隨后按照n

的奇偶性以及時間的先后抽取序列值，把序列分成奇數(shù)序號與偶數(shù)序號兩組序列之和（大點數(shù)化為小點數(shù)），這也就是所謂的“按時間抽取”的基本含意。6.5快速傅里葉變換(FFT)64（N一定是偶數(shù)）（新序列個數(shù)N/2）6.5快速傅里葉變換(FFT)65注意Y(k)與Z(k)的周期是N/2!!!6.5快速傅里葉變換(FFT)66于是，N點X(k)可用N/2點的Y(k)和Z(k)來計算：6.5快速傅里葉變換(FFT)0123456702461357先按奇偶序分組;再求4點DFT8點DFT4點DFT8點FFT原理示意6.5快速傅里葉變換(FFT)67680123456702461357042615378-DFT4-DFT2-DFT042615371-DFT6.5快速傅里葉變換(FFT)8點FFT原理示意690123456702461357042615378-DFT4-DFT2-DFT042615371-DFT04261537不必算啦X(k)x(n)8點FFT原理示意6.5快速傅里葉變換(FFT)70FFT的蝶形運算單元可以共享一個蝶形單元只需一次復數(shù)乘法和兩次復數(shù)加法6.5快速傅里葉變換(FFT)71FFT算法流程說明輸入序列x(n)的排列次序不符合自然順序。此現(xiàn)象是由于按n的奇偶分組進行DFT運算而造成的，這種排列方式稱為“碼位倒讀”的順序。碼位倒讀所謂“倒讀”，是指按二進制表示的數(shù)字首尾位置顛倒，重新按十進制讀數(shù)。原位計算6.5快速傅里葉變換(FFT)序列輸入的自然順序十進制數(shù)二進制碼碼位倒置結(jié)果（二進制碼）亂序十進制數(shù)序列亂序的輸入順序x(0)00000000x(0)x(1)10011004x(4)x(2)20100102x(2)x(3)30111106x(6)x(4)41000011x(1)x(5)51011015x(5)x(6)61100113x(3)x(7)71111117x(7)6.5快速傅里葉變換(FFT)碼位倒讀示例(N=8)72碼位倒讀示例（N=8）(精簡版）6.5快速傅里葉變換(FFT)7374FFT算法流程說明☆輸入序列x(n)按碼位倒讀順序排列，輸出序列X(k)按自然順序排列?！钊坑嬎惴纸鉃镸級，或稱為M次迭代?！蠲考壎及琋/2個蝶形單元。參見P177圖6.96.5快速傅里葉變換(FFT)75☆每級的若干蝶形單元組成“群”。第1級群數(shù)為N/2，第2級群數(shù)為N/4，……第i級群數(shù)為N/2i，最后一級的群數(shù)為1。☆每個蝶形單元都包含乘Wnk與-Wnk的運算（可簡化為乘Wnk與加、減法各一次）。☆同一級中，各個群的W分布規(guī)律完全相同6.5快速傅里葉變換(FFT)FFT算法流程說明FFT算法的復雜度76設(shè)預先計算好一個蝶形單元的計算需要2次復數(shù)加法和1次復數(shù)乘法對任一次迭代：共有N/2個蝶形單元，因此需N次復數(shù)加法和N/2次復數(shù)乘法

M次迭代的總計算量為復數(shù)加法次數(shù)復數(shù)乘法次數(shù)算法復雜度IDFT同樣可用FFT實現(xiàn)，算法復雜度相同。6.5快速傅里葉變換(FFT)76運算量比較

FFT和DFT運算時間的量級對比，參看下表MN

＝2

MDFT(復乘N

2)FFT(復乘(N/2)·lbN）改善比（DFT/FFT）664409619221.31010241,058,57651202048由上表數(shù)據(jù)可以看出：運算級數(shù)越多，數(shù)據(jù)量越大，效果越明顯。6.5快速傅里葉變換(FFT)FFT算法的復雜度77FFT提高DFT運算速度的原因重點！運算量比較FFTDFT6.5快速傅里葉變換(FFT)786.5快速傅里葉變換(FFT)79第6章離散信號傅里葉分析6.1

離散非周期信號的傅里葉變換（DTFT）6.2

離散周期信號的傅里葉級數(shù)（DFS）6.3

離散傅里葉變換（DFT）6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)6.5快速傅里葉變換（FFT）6.6IDFT的快速算法（IFFT）6.7FFT的軟件實現(xiàn)

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離散傅里葉變換的應(yīng)用內(nèi)容提要80所謂IFFT（快速傅里葉反變換）是對IDFT（傅里葉反變換）進行快速運算。為了搞清楚IFFT，先對DFT與IDFT兩者的定義式作一比較，差異有以下三點：（1）IDFT表達式比DFT中多了一項；（2）矩陣W，兩式相差一個正、負號，是一對共軛復數(shù)，即：

（3）x(n)和X(k)，即:6.6IDFT的快速算法（IFFT）81快速傅里葉反變換

從數(shù)學運算的角度，只需對FFT的蝶形運算針對上述差異作適當修正即可作為IFFT算法，其蝶形圖除字符根據(jù)上面的對應(yīng)關(guān)系作改動外，其余與FFT的完全一樣，如圖所示。

圖6.14IFFT的蝶形圖

WN-n

x(n)=x1(n)+WN-n

x2(n)

x(n+N/2)=x1(n)-WN-n

x2(n)n=0,1,…,(N/2)-1+1-16.6IDFT的快速算法（IFFT）82第6章離散信號傅里葉分析6.1

離散非周期信號的傅里葉變換（DTFT）6.2

離散周期信號的傅里葉級數(shù)（DFS）6.3

離散傅里葉變換（DFT）6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)6.5快速傅里葉變換（FFT）6.6IDFT的快速算法（IFFT）6.7FFT的軟件實現(xiàn)

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離散傅里葉變換的應(yīng)用內(nèi)容提要831．FFT算法的程序設(shè)計A和B是蝶形單元的輸出，C和D是輸入。FFT運算的基本單元是“蝶形單元”，其蝶形運算式為為簡便，把所有蝶形單元的運算統(tǒng)一表示為6.7FFT的軟件實現(xiàn)

84

根據(jù)算法原理和上面的說明，就可以用C語言編制出一個基2按時間抽取的FFT算法程序，結(jié)構(gòu)上分為幾個部分：

首先是碼位的倒置;然后根據(jù)計算的點數(shù)確定蝶形運算的級數(shù);接著是逐級進行蝶形運算，完成FFT的運算。

另外程序還可以通過一個控制量來選擇確定是進行FFT或是IFFT計算。856.7FFT的軟件實現(xiàn)

intBitReverse(intsrc,intsize)//src是待倒讀的數(shù)，size是數(shù)二進制位數(shù){

inttmp=src; intdes=0; for(inti=size-1;i>=0;i--) { des=((tmp&0x1)<<i)|des; tmp=tmp>>1; } returndes;}碼位倒讀算法流程取出tmp的最后一位，放到des的指定位上。866.7FFT的軟件實現(xiàn)

MATLAB提供了fft,ifft,fft2,ifft2,fftn,ifftn,fftshift,ifftshift等函數(shù)，實現(xiàn)快速傅里葉變換。

fft2,ifft2,fftn,ifftn

是對離散數(shù)據(jù)分別進行二維和多(n)維快速傅里葉正、反變換；

fftshift（Y）用于把傅里葉變換的結(jié)果Y（頻域的數(shù)據(jù)）中的直流分量（頻率為0處的值）移到中間位置；

ifftshift（x）則是時域中與fftshift作類似的操作；

fft,ifft是對離散數(shù)據(jù)分別進行一維快速傅里葉正、反變換。MATLAB中用于FFT的函數(shù)用法簡介6.7FFT的軟件實現(xiàn)

87（1）Y=fft(X)

。X可以指向量，矩陣或多維數(shù)組，如果X是向量，是對X進行快速傅里葉變換；如果是矩陣，則計算矩陣每一列的傅里葉變換；如果是多維數(shù)組，是對第一個非單元素的維進行計算。（2）Y=fft(X,n)

。用參數(shù)n使X的長度是2的冪，如果X的長度不是2的冪，長度值小于n時，則用0補足，尺度大于n時，則序列的尾部被截斷。（3）Y=fft(X,[],dim)

。[]表示缺省，當X是矩陣時，參數(shù)dim用來指定傅里葉變換的實施方向，1指明變換按列進行，2表示按行進行。缺省時，默認按列進行。函數(shù)fft調(diào)用的格式有以下三種：函數(shù)ifft

的用法則和

fft

的相同。

6.7FFT的軟件實現(xiàn)

88第6章離散信號傅里葉分析6.1

離散非周期信號的傅里葉變換（DTFT）6.2

離散周期信號的傅里葉級數(shù)（DFS）6.3

離散傅里葉變換（DFT）6.4離散傅里葉變換的性質(zhì)6.5快速傅里葉變換（FFT）6.6IDFT的快速算法（IFFT）6.7FFT的軟件實現(xiàn)

6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用內(nèi)容提要896.8離散傅里葉變換的應(yīng)用FFT實現(xiàn)快速卷積1．用FFT計算線卷積的基本原理和方法將進行卷積的兩序列的長度（即兩序列的點數(shù)，分別為N1和N2）均加長至N≥N1+N2–1，然后再進行圓卷積，則其圓卷積的結(jié)果與線卷積的結(jié)果相同。（證明見P184-185）根據(jù)上述原理，可以得出用FFT求解兩序列線卷積的原理框圖。90圖6.17應(yīng)用FFT計算線卷積6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用91“分段快速卷積”的方法--（“重疊相加法”）一個序列較短，一個序列相對較長，如果短序列補零多，會導致無謂計算量的增加。這時可采用：(1)把序列分成若干小段，每小段分別與短序列作卷積運算；(2)把所有的分段卷積結(jié)果相疊加，就是線卷積的最后結(jié)果。926.8離散傅里葉變換的應(yīng)用設(shè)x(n)為無限長序列，h(n)的長度為M，將x(n)進行分段，它們的線卷積可表示為

快速卷積法（圓卷積）求解各段卷積，可以在各段的尾部補M–1個零。6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用93946.8離散傅里葉變換的應(yīng)用圖6.18

重疊相加法分段卷積6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用95離散時間序列的相關(guān)運算若x(n)和y(n)是兩個實能量序列，則它們的互相關(guān)函數(shù)Rxy(m)定義為：而：并有：若x(n)和y(n)是兩個實功率序列，則：6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用96若同是周期為N的序列，有以上定義都明確指明針對的是實信號，為了便于分析運算，可表示為復信號的形式，只需將各式中的x(t)、y(t)、x(n)、y(n)等實函數(shù)的表示形式，表示成x*(t)、y*(t)、x*(n)、y*(n)等即可，可以證得若y(n)=x(n)，則相應(yīng)的相關(guān)函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)。兩實數(shù)序列的相關(guān)同卷積之間的關(guān)系為976.8離散傅里葉變換的應(yīng)用連續(xù)時間信號的數(shù)字譜分析1．時域的有限化和離散化連續(xù)時間信號要應(yīng)用FFT進行分析和處理，必須在時、頻域?qū)?shù)進行：(1)有限化；(2)離散化處理。時域的有限化，就是對信號的延續(xù)時間沿時間軸進行截斷。時域的離散化，就是對連續(xù)信號進行抽樣。6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用98圖6.21

連續(xù)信號時域的有限化和離散化T1是代表信號截斷時間長度，不是周期6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用99有限化和離散化處理后原連續(xù)信號的頻譜應(yīng)近似表示為2．頻域的有限化和離散化與時域類似，應(yīng)對xs(t)的頻譜Xs(Ω)進行有限化和離散化處理。6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用100圖6.22時域離散化后的xs

(t)的頻譜Xs(Ω)頻域的有限化，在頻率軸上取一個周期的頻率區(qū)間，通常取所謂的“主值區(qū)間”，即[0,Ωs]。頻域的離散化（頻域抽樣）就是對一個周期內(nèi)的頻譜進行抽樣。6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用101用來表示非周期信號頻譜離散化后的頻譜。其結(jié)果分別如下圖和下面所推得的公式圖6.23信號xs(t)頻譜上一個周期上的有限化和離散化Ω1：代表離散頻率間隔，不是基頻Ω1=2π/T1T1是信號截斷的時間長度6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用102T是時域間隔，等于T1/NP191-1926.8離散傅里葉變換的應(yīng)用103該公式表示用離散有限頻譜的IDFT變換逼近連續(xù)信號的方法數(shù)字譜實質(zhì)是對信號的波形與頻譜在有限化基礎(chǔ)上，進行抽樣；采樣越密，結(jié)果與原信號越接近，近似度越好但是誤差總是存在將稱為連續(xù)信號的零階近似，同理可得:6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用1043.誤差分析

對連續(xù)非周期信號的數(shù)字譜分析的實質(zhì)是：用有限長抽樣序列的DFT(離散譜）來近似連續(xù)信號的頻譜（連續(xù)譜）近似結(jié)果的主要誤差混疊效應(yīng)（混疊誤差）----抽樣（抽樣頻率）柵欄效應(yīng)

----抽樣觀察效果（頻譜分辨率）頻譜泄露（截斷誤差）----有限化（截斷長度和窗口）6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用105（1）混疊誤差要減少或避免混疊誤差，應(yīng)提高抽樣頻率，以設(shè)法滿足抽樣定理，或者采用抗混疊濾波這樣的信號預處理措施。抽樣頻率再高總是有限的，除帶限信號外，如果信號的最高頻率

m→

，則實際器件無法滿足抽樣定理，即

s<2

m

，抽樣過程如果不滿足抽樣定理，就會產(chǎn)生頻譜的混疊，即混疊誤差。工程實現(xiàn)：估計信號的最高頻率

m選取

（？成倍）

3…5倍混疊誤差產(chǎn)生的原因：信號的離散化是通過抽樣實現(xiàn)的。6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用106把能夠感受的頻譜最小間隔值，稱為頻譜分辨力，一般表示為[F]。N=T/dt=T.fs

用DFT來近似數(shù)字譜分析，是用頻譜的抽樣值逼近連續(xù)頻譜值，只能觀察到頻譜的一部分{有限(N)個頻譜值}，而其它頻率點{每一個間隔中的頻譜}都觀察不到了；這就相當于透過柵欄觀賞風景，此種現(xiàn)象被稱為柵欄效應(yīng)。如果信號中的頻率分量與頻率取樣點不重合，則只能按四舍五入的原則，取相鄰的頻率取樣點譜線值代替。

（2）柵欄效應(yīng)6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用107若抽樣周期為T，抽樣點數(shù)為N，則有

[F]=1/(NT)

NT實際就是信號在時域上的截斷長度T1

，分辨力[F]與T1成反比，因此為了減小柵欄效應(yīng)，應(yīng)當增加T1，可用兩種方法來實現(xiàn)：（A）通過加長數(shù)據(jù)的截斷長度，即增加數(shù)據(jù)點數(shù)N；

（B）在所截斷得到的數(shù)據(jù)末端補零，增加T1。頻譜分辨力[F]反映了譜分析算法能將信號中兩個靠得很近的譜保持分開的能力。1086.8離散傅里葉變換的應(yīng)用（3）截斷誤差（頻譜泄漏）

當運用計算機進行測試信號處理時，不可能對無限長的信號進行測量和運算，而是取其有限的時間片段進行分析，這個信號截取過程成為信號的截斷。這種處理相當于用一個矩形（窗）信號乘待分析的連續(xù)時間信號。信號被截斷后的頻譜為：

6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用109設(shè)則有：6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用110下面就從數(shù)學角度來看這種截斷處理帶來的誤差情況與矩形窗函數(shù)w(t)相乘，得截斷信號:xT(t)=y(t)=x(t)w(t)

設(shè)有余弦信號x(t),用矩形窗函數(shù)w(t)與其相乘，得到截斷信號:xT(t)=y(t)=x(t)w(t)將截斷信號譜XT(ω)與原始信號譜X(ω)相比較可知，它已不是原來的兩條譜線，兩根沖激譜線變成了以±Ω0

為中心的Sa（Ω）形的連續(xù)譜，相當于頻譜從Ω0

處“泄漏”到其它頻率處.即：原來集中在±Ω0處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏。πδ(

+

0)πδ(Ω-Ω0)X

a(Ω)-

00

0

W(

)-2/T102/T1

主瓣旁瓣Y(

)

00

0

1116.8離散傅里葉變換的應(yīng)用從原理上看：要減少截斷誤差，應(yīng)使主瓣和/或旁瓣縮小，從而使實際頻譜接近原頻譜。從能量守恒的角度分析：旁瓣減小，則主瓣增大；或旁瓣增大，則主瓣縮小，因此，一般寧可以增大主瓣為代價，縮小旁瓣，使能量集中于主瓣。這種方法的實質(zhì)是：因為旁瓣是高頻分量，縮小旁瓣，就是設(shè)法減小高頻分量，適當加大低頻分量。減小頻譜泄漏的方法一般有兩種：（1）增加截斷長度T1（2）改變窗口形狀選擇合適窗口的準則？6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用112常選用的窗函數(shù)1）矩形窗2）三角窗6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用1133）漢寧窗常用窗函數(shù)不管采用哪種窗函數(shù)，頻譜泄漏只能減弱，不能消除，抑制旁瓣和減小主瓣也不可能同時兼顧，應(yīng)根據(jù)實際需要進行綜合考慮。6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用114頻譜泄漏與柵欄效應(yīng)的關(guān)系頻譜的離散取樣造成了柵欄效應(yīng)，譜峰越尖銳，產(chǎn)生誤差的可能性就越大。例如，余弦信號的頻譜為線譜。當信號頻率與頻譜離散取樣點不等時，柵欄效應(yīng)的誤差為無窮大。實際應(yīng)用中，由于信號截斷的原因，產(chǎn)生了能量泄漏，即使信號頻率與頻譜離散取樣點不相等，也能得到該頻率分量的一個近似值。從這個意義上來說，能量泄漏誤差不完全是有害的。如果沒有信號時域截斷產(chǎn)生的頻譜能量泄漏誤差，頻譜離散取樣造成的柵欄效應(yīng)誤差將是不能接受的。6.8離散傅里葉變換的應(yīng)用115連續(xù)周期信號是非時限信