2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）已知集合(A={x\midx^2-3x+2\leq0})，集合(B={x\midx\in\text{復(fù)雜系統(tǒng)中具有自組織特性的元素}})，則(A\capB)的含義是（）A.滿足不等式的實(shí)數(shù)解構(gòu)成的系統(tǒng)B.兼具確定性數(shù)學(xué)關(guān)系和自組織特性的元素集合C.復(fù)雜系統(tǒng)中所有元素的交集D.空集在非線性動(dòng)力學(xué)中，邏輯斯蒂映射(x_{n+1}=rx_n(1-x_n))（(r)為控制參數(shù)）的分岔現(xiàn)象體現(xiàn)了復(fù)雜系統(tǒng)的（）A.線性疊加性B.動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性C.對(duì)初始條件的敏感依賴性D.周期性某生態(tài)系統(tǒng)的種群數(shù)量變化模型為(\frac{dx}{dt}=x(1-x)-y)，(\frac{dy}{dt}=y(x-0.5))，其中(x)、(y)分別表示prey和predator的密度。該模型屬于（）A.線性系統(tǒng)B.混沌系統(tǒng)C.耦合動(dòng)力系統(tǒng)D.靜態(tài)平衡系統(tǒng)下列函數(shù)中，可用于描述復(fù)雜系統(tǒng)“涌現(xiàn)性”的是（）A.(f(x)=2x+1)（線性函數(shù)）B.(f(x,y)=x^2+y^2)（二次函數(shù)）C.(f(x)=\sin(x)+\cos(y))（三角函數(shù)疊加）D.(f(x_1,x_2,...,x_n)=\prod_{i=1}^nx_i)（多元素乘積）在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中，“小世界效應(yīng)”指的是（）A.網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)平均度數(shù)為常數(shù)B.任意兩節(jié)點(diǎn)間的最短路徑長(zhǎng)度隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模呈指數(shù)增長(zhǎng)C.網(wǎng)絡(luò)具有高聚類系數(shù)和短平均路徑長(zhǎng)度D.網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)規(guī)則網(wǎng)格特征已知某股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)符合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型，其Hurst指數(shù)(H=0.7)，則該系統(tǒng)的記憶性表現(xiàn)為（）A.完全隨機(jī)（無記憶）B.長(zhǎng)期記憶（趨勢(shì)延續(xù)）C.短期記憶（均值回復(fù)）D.周期性記憶下列關(guān)于分形幾何的說法中，錯(cuò)誤的是（）A.分形具有自相似性B.分形的豪斯多夫維數(shù)一定為整數(shù)C.科赫雪花的分形維數(shù)為(\log_34)D.分形可用于描述海岸線、云層等自然現(xiàn)象某城市交通流系統(tǒng)中，當(dāng)車流量達(dá)到臨界密度時(shí)出現(xiàn)擁堵相變，這一現(xiàn)象體現(xiàn)了復(fù)雜系統(tǒng)的（）A.自組織臨界性B.線性穩(wěn)定性C.能量守恒D.對(duì)稱性破缺用導(dǎo)數(shù)研究復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化時(shí)，若系統(tǒng)的雅可比矩陣特征值均為負(fù)數(shù)，則系統(tǒng)平衡點(diǎn)是（）A.不穩(wěn)定焦點(diǎn)B.穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)C.鞍點(diǎn)D.極限環(huán)在元胞自動(dòng)機(jī)模型中，“生命游戲”（GameofLife）的演化規(guī)則體現(xiàn)了復(fù)雜系統(tǒng)的（）A.確定性與隨機(jī)性的統(tǒng)一B.局部規(guī)則導(dǎo)致全局涌現(xiàn)C.能量守恒定律D.連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）復(fù)雜系統(tǒng)的三大核心特征是：、、__________。若某動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的相軌跡呈現(xiàn)“蝴蝶效應(yīng)”，則其對(duì)應(yīng)的微分方程一定具有__________特性。網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中，度分布符合冪律分布(P(k)\proptok^{-\gamma})的網(wǎng)絡(luò)被稱為__________網(wǎng)絡(luò)，其對(duì)隨機(jī)攻擊的抗性__________（填“強(qiáng)”或“弱”）。設(shè)某系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為(\lambda_1=0.5)，(\lambda_2=-1)，則該系統(tǒng)是否為混沌系統(tǒng)？（填“是”或“否”），判斷依據(jù)是。用數(shù)學(xué)歸納法證明“n個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全圖的邊數(shù)為(\frac{n(n-1)}{2})”時(shí)，第一步需驗(yàn)證__________，第二步需假設(shè)__________并推導(dǎo)__________。三、解答題（本大題共4小題，共70分）（15分）已知某傳染病傳播模型為(SIR)模型：[\frac{dS}{dt}=-\betaSI,\quad\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI,\quad\frac{dR}{dt}=\gammaI]其中(S)、(I)、(R)分別表示易感者、感染者、康復(fù)者的比例，(\beta=0.3)，(\gamma=0.1)。（1）求模型的基本再生數(shù)(R_0)；（2）若初始條件為(S(0)=0.99)，(I(0)=0.01)，(R(0)=0)，用歐拉法計(jì)算(t=1)時(shí)的(I(1))（取步長(zhǎng)(\Deltat=0.5)）；（3）分析當(dāng)(R_0>1)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（20分）復(fù)雜系統(tǒng)中的“羊群效應(yīng)”可簡(jiǎn)化為如下模型：N個(gè)決策者依次選擇行動(dòng)A或B，每個(gè)決策者以概率(p)獨(dú)立判斷正確選項(xiàng)，以概率(1-p)模仿前一位決策者的選擇。（1）設(shè)(p=0.6)，求第2位決策者選擇正確的概率；（2）當(dāng)N→∞時(shí)，系統(tǒng)陷入“信息級(jí)聯(lián)”（所有決策者選擇相同行動(dòng)）的概率為多少？（3）用貝葉斯公式解釋為何群體決策可能偏離最優(yōu)解。（15分）考慮一個(gè)由3個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)間連接矩陣為：[A=\begin{pmatrix}0&1&1\1&0&1\1&1&0\end{pmatrix}]（1）計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度中心性和介數(shù)中心性；（2）若節(jié)點(diǎn)2失效，求網(wǎng)絡(luò)的連通性變化；（3）該網(wǎng)絡(luò)是否具有小世界特性？說明理由。（20分）分形幾何與混沌系統(tǒng)綜合題（1）繪制科赫雪花的前3次迭代圖形，并計(jì)算其面積與周長(zhǎng)的變化趨勢(shì)；（2）已知Logistic映射(x_{n+1}=4x_n(1-x_n))在(x_0=0.1)和(x_0=0.100001)時(shí)的軌道差異，解釋混沌系統(tǒng)的“蝴蝶效應(yīng)”；（3）舉例說明分形和混沌在金融市場(chǎng)分析中的應(yīng)用。四、建模與分析題（本大題共1小題，共50分）城市交通流系統(tǒng)是典型的復(fù)雜系統(tǒng)，其擁堵現(xiàn)象具有突發(fā)性和非線性特征。（1）請(qǐng)基于流體力學(xué)理論，建立交通流的宏觀連續(xù)模型（LWR模型），寫出基本方程并解釋各參數(shù)的物理意義；（2）若車流密度(\rho)與速度(v)的關(guān)系為(v(\rho)=v_m(1-\frac{\rho}{\rho_j}))（Greenshields模型），推導(dǎo)流量(q(\rho))的表達(dá)式，并求出最大流量對(duì)應(yīng)的臨界密度；（3）用相圖分析法討論當(dāng)上游車流密度超過臨界值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)何種非線性現(xiàn)象；（4）結(jié)合復(fù)雜系統(tǒng)理論，提出2條緩解交通擁堵的策略，并說明其數(shù)學(xué)依據(jù)。五、開放探究題（本大題共1小題，共30分）人工智能生成內(nèi)容（AIGC）的創(chuàng)作過程可視為一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，涉及數(shù)據(jù)輸入、模型訓(xùn)練、輸出反饋等多個(gè)環(huán)節(jié)。（1）請(qǐng)用系統(tǒng)論的觀點(diǎn)，繪制AIGC系統(tǒng)的層級(jí)結(jié)構(gòu)示意圖，并標(biāo)注各層的核心要素；（2）分析該系統(tǒng)中可能