2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與軟體力學(xué)數(shù)學(xué)模型試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知向量$\vec{F}=(3,4)$表示作用在物體上的力，位移向量$\vec{s}=(12,5)$，則該力對(duì)物體做的功為（）A.36B.20C.56D.63一彈簧在彈性限度內(nèi)，彈力$F$與伸長(zhǎng)量$x$的關(guān)系為$F=kx$，其中$k=200\\text{N/m}$。若將彈簧從原長(zhǎng)拉長(zhǎng)$0.1\\text{m}$，則彈力所做的功為（）A.1JB.2JC.10JD.20J物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)為$x=A\sin(\omegat+\varphi)$，其中$A=0.5\\text{m}$，$\omega=2\pi\\text{rad/s}$，則該物體的最大速度為（）A.$0.5\pi\\text{m/s}$B.$\pi\\text{m/s}$C.$2\pi\\text{m/s}$D.$4\pi\\text{m/s}$質(zhì)量為$m=2\\text{kg}$的物體在水平面上運(yùn)動(dòng)，其速度-時(shí)間圖像如圖所示，則在$0-4\\text{s}$內(nèi)合外力對(duì)物體做的功為（）A.-16JB.-8JC.8JD.16J已知某流體的流速場(chǎng)為$\vec{v}=(x^2,xy)$，則在點(diǎn)$(1,2)$處的散度$\nabla\cdot\vec{v}$為（）A.2B.3C.4D.5一質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其位置坐標(biāo)滿(mǎn)足$x=2t$，$y=t^2-1$（$t$為時(shí)間），則$t=2\\text{s}$時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度大小為（）A.1m/s2B.2m/s2C.$\sqrt{5}\\text{m/s}^2$D.5m/s2質(zhì)量為$m$的物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為$v$，若將物體的質(zhì)量增加到$2m$，則通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為（）A.$\frac{v}{2}$B.$v$C.$\sqrt{2}v$D.$2v$兩個(gè)物體發(fā)生彈性碰撞，質(zhì)量分別為$m_1=1\\text{kg}$，$m_2=2\\text{kg}$，碰撞前$m_1$的速度為$3\\text{m/s}$，$m_2$靜止，則碰撞后$m_1$的速度為（）A.-1m/sB.0m/sC.1m/sD.2m/s彈簧振子的周期$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，若彈簧的勁度系數(shù)$k$增大為原來(lái)的4倍，物體質(zhì)量$m$減小為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，則周期變?yōu)樵瓉?lái)的（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.$\sqrt{2}$倍D.4倍黏性流體在半徑為$R$的圓管中流動(dòng)，流速分布為$v(r)=v_0\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)$，則管內(nèi)的平均流速為（）A.$\frac{v_0}{4}$B.$\frac{v_0}{2}$C.$v_0$D.$2v_0$已知函數(shù)$f(x,y)=x^3-3xy^2$，則該函數(shù)在點(diǎn)$(1,1)$處的梯度$\nablaf$為（）A.$(-3,6)$B.$(-3,-6)$C.$(3,6)$D.$(3,-6)$一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為$L$，質(zhì)量為$m$，繞通過(guò)一端的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（）A.$\frac{mL^2}{12}$B.$\frac{mL^2}{6}$C.$\frac{mL^2}{3}$D.$mL^2$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）質(zhì)量為$2\\text{kg}$的物體在水平拉力$F=10\\text{N}$作用下從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，動(dòng)摩擦因數(shù)$\mu=0.2$，則物體運(yùn)動(dòng)$5\\text{m}$時(shí)的動(dòng)能為_(kāi)_____J。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方程為$x=0.4\sin(5t+\frac{\pi}{3})$（SI單位），則該振動(dòng)的初相位為_(kāi)_____，加速度的最大值為_(kāi)_____m/s2。流體在水平管道中流動(dòng)，已知截面$A_1$處的流速$v_1=2\\text{m/s}$，壓強(qiáng)$p_1=10^5\\text{Pa}$，截面$A_2$處的流速$v_2=4\\text{m/s}$，則$A_2$處的壓強(qiáng)$p_2=$______Pa（流體密度$\rho=1000\\text{kg/m}^3$，不計(jì)能量損失）。質(zhì)量為$m=0.5\\text{kg}$的小球，用長(zhǎng)$l=0.4\\text{m}$的細(xì)線(xiàn)懸掛于天花板上，將小球拉至與豎直方向成$60^\circ$角的位置由靜止釋放，則小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為_(kāi)_____m/s，細(xì)線(xiàn)的拉力大小為_(kāi)_____N。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）質(zhì)量為$m=2\\text{kg}$的物體放在水平面上，受到與水平方向成$37^\circ$角的拉力$F=10\\text{N}$作用，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)$\mu=0.2$。求：（1）物體的加速度大??；（2）若拉力作用$5\\text{s}$后撤去，物體還能滑行多遠(yuǎn)？（$\sin37^\circ=0.6$，$\cos37^\circ=0.8$，$g=10\\text{m/s}^2$）（12分）一物體沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其速度-時(shí)間關(guān)系為$v(t)=t^2-4t+3$（SI單位）。求：（1）物體在$t=0$到$t=3\\text{s}$內(nèi)的位移；（2）物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（3）物體加速度為零時(shí)的速度。（12分）如圖所示，質(zhì)量為$m=1\\text{kg}$的小球從光滑軌道的$A$點(diǎn)由靜止釋放，已知$OA=1\\text{m}$，$OB=2\\text{m}$，求：（1）小球到達(dá)$B$點(diǎn)時(shí)的速度大??；（2）小球在$B$點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小；（3）若小球從$A$點(diǎn)以初速度$v_0$水平拋出，恰好落在$B$點(diǎn)，求$v_0$的大小。（$g=10\\text{m/s}^2$）（12分）黏性流體在半徑為$R$的圓形管道中做層流運(yùn)動(dòng)，流速分布為$v(r)=v_0\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)$，其中$v_0$為管道中心的最大流速。（1）證明通過(guò)管道的體積流量$Q=\frac{\piR^2v_0}{2}$；（2）若管道半徑$R=0.01\\text{m}$，$v_0=1\\text{m/s}$，流體黏度$\eta=0.1\\text{Pa}\cdot\text{s}$，求單位長(zhǎng)度管道兩端的壓強(qiáng)差。（12分）一質(zhì)量為$m=0.5\\text{kg}$的物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖所示。（1）寫(xiě)出該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移方程；（2）計(jì)算物體在$t=1\\text{s}$時(shí)的回復(fù)力大??；（3）求物體在一個(gè)周期內(nèi)的路程。（12分）在光滑水平面上，質(zhì)量為$m_1=2\\text{kg}$的物體以$v_1=3\\text{m/s}$的速度向右運(yùn)動(dòng)，與靜止的質(zhì)量為$m_2=1\\text{kg}$的物體發(fā)生碰撞，碰撞后$m_2$的速度為$v_2'=4\\text{m/s}$。（1）求碰撞后$m_1$的速度；（2）判斷碰撞是否為彈性碰撞；（3）若碰撞時(shí)間為$\Deltat=0.01\\text{s}$，求碰撞過(guò)程中兩物體間的平均作用力大小。四、建模題（本大題共1小題，共20分）（20分）實(shí)際問(wèn)題：在化工生產(chǎn)中，常常需要將液體從低處輸送到高處。現(xiàn)有一工廠(chǎng)需要將密度$\rho=1000\\text{kg/m}^3$的液體從地面儲(chǔ)液罐輸送到高度$H=10\\text{m}$的反應(yīng)釜中，采用直徑$d=0.1\\text{m}$的圓形管道，已知液體的流量$Q=0.01\\text{m}^3/\text{s}$，管道總長(zhǎng)度$L=50\\text{m}$，液體的黏度$\eta=0.001\\text{Pa}\cdot\text{s}$。（1）建立物理模型：將該實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為力學(xué)模型，明確已知條件和待求量；（2）數(shù)學(xué)建模：推導(dǎo)計(jì)算所需功率的公式（需考慮重力做功和黏性阻力做功）；（3）參數(shù)計(jì)算：計(jì)算液體在管道中的平均流速、雷諾數(shù)（判斷流態(tài)）、黏性阻力引起的壓強(qiáng)損失以及所需的總功率；（4）結(jié)果分析：若要降低輸送功率，可以采取哪些措施？并說(shuō)明理由。（重力加速度$g=9.8\\text{m/s}^2$，臨界雷諾數(shù)$Re_c=2000$）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）C2.A3.B4.A5.C6.B7.B8.A9.B10.B11.D12.C二、填空題（每小題5分，共20分）3014.$\frac{\pi}{3}$，1015.9600016.2，15三、解答題（共70分）（10分）解：（1）對(duì)物體受力分析，由牛頓第二定律得：水平方向：$F\cos37^\circ-f=ma$（1分）豎直方向：$N+F\sin37^\circ=mg$（1分）摩擦力：$f=\muN$（1分）聯(lián)立解得：$a=2.4\\text{m/s}^2$（2分）（2）5s末物體的速度：$v=at=12\\text{m/s}$（1分）撤去拉力后，加速度大?。?a'=\mug=2\\text{m/s}^2$（2分）滑行距離：$s=\frac{v^2}{2a'}=36\\text{m}$（2分）（12分）解：（1）位移：$x=\int_0^3v(t)dt=\int_0^3(t^2-4t+3)dt$（2分）$=\left[\frac{t^3}{3}-2t^2+3t\right]_0^3=0$（2分）（2）平均速度：$\bar{v}=\frac{x}{t}=0$（3分）（3）加速度：$a(t)=v'(t)=2t-4$（2分）加速度為零時(shí)：$2t-4=0$，$t=2\\text{s}$（2分）此時(shí)速度：$v(2)=4-8+3=-1\\text{m/s}$（1分）（12分）解：（1）由機(jī)械能守恒定律：$mg(OB-OA)=\frac{1}{2}mv_B^2$（2分）解得：$v_B=\sqrt{2g(OB-OA)}=2\sqrt{5}\\text{m/s}\approx4.47\\text{m/s}$（2分）（2）在B點(diǎn)：$N-mg=m\frac{v_B^2}{OB}$（2分）解得：$N=30\\text{N}$（1分）由牛頓第三定律，對(duì)軌道的壓力大小為30N（1分）（3）平拋運(yùn)動(dòng)：水平方向：$OA=v_0t$（1分）豎直方向：$OB=\frac{1}{2}gt^2$（1分）解得：$t=\sqrt{\frac{2OB}{g}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\\text{s}$（1分）$v_0=\frac{OA}{t}=\frac{\sqrt{10}}{2}\\text{m/s}\approx1.58\\text{m/s}$（2分）（12分）解：（1）在半徑$r$處取寬度為$dr$的圓環(huán)面積：$dA=2\pirdr$（2分）通過(guò)該面積的流量：$dQ=v(r)dA=2\pirv_0\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)dr$（2分）積分得：$Q=\int_0^R2\pirv_0\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)dr=\frac{\piR^2v_0}{2}$（2分）（2）由泊肅葉定律：$Q=\frac{\piR^4\Deltap}{8\etaL}$（2分）單位長(zhǎng)度壓強(qiáng)差：$\frac{\Deltap}{L}=\frac{8\etaQ}{\piR^4}$（2分）代入數(shù)據(jù)得：$\frac{\Deltap}{L}=4000\\text{Pa/m}$（2分）（12分）解：（1）由圖像可知：$A=0.2\\text{m}$，$T=4\\text{s}$（2分）$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}\\text{rad/s}$，初相位$\varphi=0$（2分）位移方程：$x=0.2\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$（m）（1分）（2）加速度：$a=-\omega^2x$（1分）$t=1\\text{s}$時(shí)，$x=0.2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.2\\text{m}$（1分）回復(fù)力：$F=ma=-m\omega^2x=-0.5\times\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\times0.2\approx-0.123\\text{N}$（2分）大小為0.123N（1分）（3）一個(gè)周期內(nèi)路程：$s=4A=0.8\\text{m}$（2分）（12分）解：（1）由動(dòng)量守恒定律：$m_1v_1=m_1v_1'+m_2v_2'$（2分）解得：$v_1'=\frac{m_1v_1-m_2v_2'}{m_1}=\frac{2\times3-1\times4}{2}=1\\text{m/s}$（2分）（2）碰撞前動(dòng)能：$E_k=\frac{1}{2}m_1v_1^2=9\\text{J}$（1分）碰撞后動(dòng)能：$E_k'=\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2=1+8=9\\text{J}$（2分）$E_k=E_k'$，所以是彈性碰撞（1分）（3）對(duì)$m_2$，由動(dòng)量定理：$F\Deltat=m_2v_2'$（2分）解得：$F=\frac{m_2v_2'}{\Deltat}=400\\text{N}$（2分）四、建模題（20分）解：（1）物理模型：將液體輸送過(guò)程視為黏性流體在水平管道中的流動(dòng)，需考慮重力勢(shì)能的增加和克服黏性阻力做功。（2分）已知：$\rho=1000\\text{kg/m}^3$，$H=10\\text{m}$，$d=0.1\\text{m}$，$Q=0.01\\text{m}^3/\text{s}$，$L=50\\text{m}$，$\eta=0.001\\text{Pa}\cdot\text{s}$待求：輸送功率$P$（2分）（2）數(shù)學(xué)建模：功率$P=P_1+P