2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與社會(huì)網(wǎng)絡(luò)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）某社交平臺(tái)用戶關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，若用戶A與B、C、D直接相連，用戶B與C、E相連，用戶C與D、F相連，則用戶A的網(wǎng)絡(luò)中心度（連接數(shù)）為（）A.2B.3C.4D.5在加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)間連邊權(quán)重表示互動(dòng)頻率，若矩陣[\begin{pmatrix}0&2&5\2&0&3\5&3&0\end{pmatrix}]表示三個(gè)用戶的互動(dòng)矩陣，則用戶1與用戶3的互動(dòng)強(qiáng)度是（）A.2B.3C.5D.8某網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣滿足(A^2[i][j]=3)，則表示（）A.節(jié)點(diǎn)i與j直接相連B.節(jié)點(diǎn)i與j有3條直接路徑C.節(jié)點(diǎn)i與j有3條長(zhǎng)度為2的路徑D.節(jié)點(diǎn)i的度數(shù)為3社交網(wǎng)絡(luò)中"小世界效應(yīng)"指的是（）A.網(wǎng)絡(luò)直徑隨節(jié)點(diǎn)數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng)B.任意兩節(jié)點(diǎn)平均距離約為6C.所有節(jié)點(diǎn)度數(shù)相同D.網(wǎng)絡(luò)中存在明顯的層級(jí)結(jié)構(gòu)在無向圖G中，若節(jié)點(diǎn)數(shù)n=10，邊數(shù)m=15，則該圖的平均度數(shù)為（）A.1.5B.3C.5D.15以下哪種算法可用于檢測(cè)社交網(wǎng)絡(luò)中的社區(qū)結(jié)構(gòu)（）A.Dijkstra算法B.PageRank算法C.層次聚類算法D.傅里葉變換設(shè)某網(wǎng)絡(luò)服從冪律分布(P(k)=ck^{-3})，則度數(shù)為10的節(jié)點(diǎn)數(shù)量約是度數(shù)為20節(jié)點(diǎn)的（）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍在有向網(wǎng)絡(luò)中，若節(jié)點(diǎn)A指向B，B指向C，C指向A，則該結(jié)構(gòu)稱為（）A.三角閉包B.強(qiáng)連通分量C.反饋回路D.橋接節(jié)點(diǎn)某學(xué)習(xí)小組6名同學(xué)的合作關(guān)系構(gòu)成完全圖，則該圖的邊數(shù)為（）A.6B.12C.15D.30網(wǎng)絡(luò)傳播模型中，SIR模型不包含以下哪個(gè)狀態(tài)（）A.易感態(tài)（Susceptible）B.感染態(tài)（Infected）C.恢復(fù)態(tài)（Recovered）D.免疫態(tài)（Immune）二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）當(dāng)社交網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)用戶的共同好友數(shù)越多時(shí)，他們建立連接的概率越大，這種現(xiàn)象在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中稱為__________。某網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣為[\begin{pmatrix}0&1&0\1&0&1\0&1&0\end{pmatrix}]，則其特征值為__________。設(shè)某微博話題的傳播函數(shù)為(N(t)=\frac{1000}{1+e^{-0.5t}})，則當(dāng)(t\to+\infty)時(shí)，累計(jì)傳播人數(shù)趨近于__________。在網(wǎng)絡(luò)分析中，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間所有路徑中的最短距離稱為__________。若某社交平臺(tái)每日新增用戶數(shù)服從泊松分布(P(\lambda=50))，則該分布的方差為__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）某班級(jí)40名同學(xué)的社交關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，有15人形成密集團(tuán)體，8人形成學(xué)習(xí)小組，其中3人同時(shí)屬于兩個(gè)群體。用集合運(yùn)算計(jì)算：（1）至少屬于一個(gè)群體的人數(shù)；（2）兩個(gè)群體的對(duì)稱差集人數(shù)。（12分）已知無向圖G的鄰接矩陣：[A=\begin{pmatrix}0&1&1&0\1&0&1&1\1&1&0&1\0&1&1&0\end{pmatrix}]（1）畫出該圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；（2）計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的度數(shù)；（3）求節(jié)點(diǎn)1到節(jié)點(diǎn)4的所有路徑。（12分）某短視頻平臺(tái)的信息傳播模型為(\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K})(1-\frac{N}{M}))，其中N(t)為t時(shí)刻的傳播人數(shù)，r=0.2，K=1000，M=5000。（1）求該微分方程的平衡點(diǎn)；（2）分析各平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性；（3）當(dāng)初始人數(shù)N(0)=200時(shí)，傳播最終會(huì)達(dá)到什么規(guī)模？（12分）在社交網(wǎng)絡(luò)影響力分析中，定義節(jié)點(diǎn)影響力(I(v)=\alpha\sum_{u\inN(v)}I(u)+\beta)，其中N(v)是節(jié)點(diǎn)v的鄰居集。（1）寫出3個(gè)節(jié)點(diǎn)的影響力方程組；（2）當(dāng)α=0.5，β=1時(shí)，求解各節(jié)點(diǎn)影響力值；（3）分析α取值對(duì)影響力計(jì)算結(jié)果的影響。（12分）某科研合作網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度數(shù)分布如下表：|度數(shù)k|1|2|3|4|5|||||||||節(jié)點(diǎn)數(shù)n_k|10|15|8|5|2|（1）計(jì)算該網(wǎng)絡(luò)的平均度數(shù)；（2）繪制度數(shù)分布直方圖；（3）判斷該網(wǎng)絡(luò)更接近隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)還是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，并說明理由。（12分）在疫情傳播網(wǎng)絡(luò)中，設(shè)感染概率p=0.3，現(xiàn)有如下接觸網(wǎng)絡(luò)：1-2-3-4-5（線性鏈）。（1）若節(jié)點(diǎn)1為初始感染者，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)最終被感染的概率；（2）若切斷節(jié)點(diǎn)2-3的連接，感染概率如何變化？（3）建立SIR模型，寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.C3.C4.B5.BC7.C8.C9.C10.D二、填空題三角閉包效應(yīng)2,0,-21000測(cè)地距離50三、解答題解：設(shè)密集團(tuán)體為集合A，學(xué)習(xí)小組為集合B（1）由容斥原理：(|A\cupB|=|A|+|B|-|A\capB|=15+8-3=20)（5分）（2）對(duì)稱差集(|A\DeltaB|=|A\cupB|-|A\capB|=20-3=17)（5分）解：（1）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如下：1-2-4|/|3/（4分）（2）度數(shù)序列：d(1)=2,d(2)=3,d(3)=3,d(4)=2（4分）（3）路徑：1-2-4,1-3-4,1-2-3-4,1-3-2-4（4分）解：（1）令(\frac{dN}{dt}=0)，得平衡點(diǎn)N=0,1000,5000（4分）（2）穩(wěn)定性分析：N=0不穩(wěn)定，N=1000穩(wěn)定，N=5000不穩(wěn)定（4分）（3）當(dāng)N(0)=200時(shí)，最終達(dá)到穩(wěn)定平衡點(diǎn)1000人（4分）解：（1）設(shè)節(jié)點(diǎn)為1,2,3，則(I_1=0.5(I_2+I_3)+1)(I_2=0.5(I_1+I_3)+1)(I_3=0.5(I_1+I_2)+1)（4分）（2）解得I1=I2=I3=4（4分）（3）α∈[0,1)時(shí)收斂，α越大影響力傳播越顯著（4分）解：（1）平均度數(shù)(\langlek\rangle=\frac{\sumkn_k}{\sumn_k}=\frac{1×10+2×15+3×8+4×5+5×2}{40}=2.6)（4分）（2）直方圖（略）（4分）（3）更接近隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，因度數(shù)分布近似正態(tài)而非冪律（4分）解：（1）感染概率：P1=1,P2=0.3,P3=0.09,P4=0.027,P5=0.0081（5分）（2）切斷后P4=P5=0（3分）（3）SIR模型：(\frac{dS}{dt}=-\betaSI),(\frac{dI}{dt}=\betaSI-\