2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與數(shù)字貨幣模型試卷一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共30分）數(shù)字貨幣價(jià)格波動(dòng)模型中，某加密貨幣的價(jià)格變化規(guī)律滿足函數(shù)(f(t)=100e^{0.02t}+50\sin(\pit/12))，其中(t)為時(shí)間（單位：小時(shí)）。以下說(shuō)法正確的是（）A.該函數(shù)的長(zhǎng)期增長(zhǎng)趨勢(shì)由指數(shù)項(xiàng)(100e^{0.02t})決定B.價(jià)格的周期性波動(dòng)周期為6小時(shí)C.當(dāng)(t=0)時(shí)，價(jià)格的瞬時(shí)增長(zhǎng)率為0.02D.函數(shù)(f(t))在區(qū)間([0,24])內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)區(qū)塊鏈哈希值計(jì)算中，某區(qū)塊的哈希值通過(guò)函數(shù)(H(x)=x^3-6x^2+9x+1)模擬，其中(x)為區(qū)塊數(shù)據(jù)的特征值。若(H(x)=1)，則(x)的所有可能取值構(gòu)成的集合是（）A.({0,3})B.({0,3,3})C.({0,1,3})D.({1,3})去中心化金融（DeFi）流動(dòng)性挖礦中，用戶存入(x)單位數(shù)字貨幣的年化收益(R(x))滿足(R(x)=\sqrt{x}-0.01x)（單位：%）。為使收益最大化，應(yīng)存入的數(shù)字貨幣數(shù)量為（）A.2500B.5000C.10000D.20000穩(wěn)定幣匯率錨定機(jī)制中，某穩(wěn)定幣與美元的兌換比例(y)由線性回歸模型(y=0.98+0.02x)決定，其中(x)為市場(chǎng)波動(dòng)率指數(shù)（取值范圍([0,10])）。當(dāng)(x=5)時(shí)，該穩(wěn)定幣的匯率預(yù)測(cè)值為（）A.0.98B.1.00C.1.08D.1.18NFT（非同質(zhì)化代幣）定價(jià)模型中，某數(shù)字藝術(shù)品的價(jià)格(P(t))隨時(shí)間(t)（天）的變化滿足(P(t)=P_0\cdot2^{t/30})，其中(P_0)為初始價(jià)格。若該藝術(shù)品價(jià)格在30天后翻倍，則90天后的價(jià)格是初始價(jià)格的（）A.4倍B.6倍C.8倍D.16倍區(qū)塊鏈共識(shí)機(jī)制中，節(jié)點(diǎn)通過(guò)解決哈希碰撞問(wèn)題競(jìng)爭(zhēng)記賬權(quán)，成功概率(p)與算力(s)成正比，與全網(wǎng)總算力(S)成反比，即(p=k\cdot\frac{s}{S})（(k)為常數(shù)）。若某節(jié)點(diǎn)算力為全網(wǎng)總算力的5%，則其連續(xù)2次競(jìng)爭(zhēng)成功的概率為（）A.0.0025%B.0.25%C.2.5%D.5%二、多項(xiàng)選擇題（每題6分，共24分，每題有多個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，選錯(cuò)得0分）數(shù)字貨幣交易中的K線圖分析常涉及函數(shù)的單調(diào)性與極值。已知某貨幣的價(jià)格函數(shù)(f(t)=t^3-6t^2+9t+1)（(t\in[0,5])，單位：天），以下結(jié)論正確的有（）A.(t=1)時(shí)函數(shù)取得極大值B.(t=3)時(shí)函數(shù)取得極小值C.函數(shù)在區(qū)間([1,3])上單調(diào)遞減D.函數(shù)的最大值為(f(5)=21)智能合約自動(dòng)執(zhí)行中，某借貸合約的還款金額(A)由公式(A=P(1+r)^n)計(jì)算，其中(P)為本金，(r)為日利率，(n)為借款天數(shù)。若(P=1000)單位，(r=0.001)，則以下說(shuō)法正確的有（）A.借款10天后的還款金額約為1010.05單位B.還款金額(A)與借款天數(shù)(n)成指數(shù)關(guān)系C.若日利率提高10%，則還款金額變?yōu)?P(1+0.0011)^n)D.借款1年（按365天計(jì)算）的還款金額超過(guò)本金的1.4倍加密貨幣投資組合中，投資者配置兩種貨幣(A)和(B)，權(quán)重分別為(w)和(1-w)（(0\leqw\leq1)），組合收益率的方差(\sigma^2=w^2\sigma_A^2+(1-w)^2\sigma_B^2+2w(1-w)\rho\sigma_A\sigma_B)，其中(\sigma_A,\sigma_B)為單資產(chǎn)波動(dòng)率，(\rho)為相關(guān)系數(shù)。若(\sigma_A=0.2)，(\sigma_B=0.3)，(\rho=-0.5)，則以下結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)(w=0)時(shí)，組合方差為0.09B.當(dāng)(w=1)時(shí)，組合方差為0.04C.組合方差存在最小值D.最小方差組合的權(quán)重(w>0.5)央行數(shù)字貨幣（CBDC）推廣模型中，某地區(qū)的用戶滲透率(y)（%）與推廣時(shí)間(t)（月）的關(guān)系滿足邏輯斯蒂方程(\frac{dy}{dt}=ky(1-\frac{y}{M}))，其中(k>0)為增長(zhǎng)率，(M)為飽和滲透率。以下說(shuō)法正確的有（）A.該方程的解為(y=\frac{M}{1+Ce^{-kt}})（(C)為常數(shù)）B.當(dāng)(y=M/2)時(shí)，滲透率增長(zhǎng)速度最快C.若(M=80)，則滲透率最終會(huì)穩(wěn)定在80%D.若(k)增大，達(dá)到飽和滲透率的時(shí)間會(huì)縮短三、填空題（每題5分，共30分）區(qū)塊鏈區(qū)塊結(jié)構(gòu)中，每個(gè)區(qū)塊包含前一區(qū)塊的哈希值，形成鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)。若初始區(qū)塊（創(chuàng)世區(qū)塊）的哈希值為(H_0)，后續(xù)每個(gè)區(qū)塊的哈希值(H_n=H_{n-1}+2n)，則第5個(gè)區(qū)塊的哈希值(H_5=H_0+)________。數(shù)字貨幣錢(qián)包私鑰生成中，某算法通過(guò)對(duì)隨機(jī)數(shù)(x)進(jìn)行SHA-256哈希運(yùn)算生成私鑰，若(x)在([0,100])上均勻分布，則(x)落在區(qū)間([30,70])內(nèi)的概率為_(kāi)_______。跨鏈交易手續(xù)費(fèi)模型中，手續(xù)費(fèi)(F)（單位：Gas）與交易金額(m)（單位：ETH）的關(guān)系為(F=5+0.01m^2)。當(dāng)交易金額為10ETH時(shí)，手續(xù)費(fèi)對(duì)交易金額的瞬時(shí)變化率為_(kāi)_______Gas/ETH。加密貨幣挖礦能耗模型中，某礦機(jī)的日耗電量(E)（度）與算力(s)（TH/s）的關(guān)系為(E=0.5s+20)。若算力從10TH/s提升至20TH/s，則日耗電量增加________度。去中心化交易所（DEX）訂單簿深度中，買(mǎi)單深度(D)與價(jià)格(p)（USDT）的關(guān)系滿足(D(p)=1000-50p)（單位：BTC）。當(dāng)價(jià)格從10USDT上漲至20USDT時(shí)，買(mǎi)單深度減少________BTC。Web3社交平臺(tái)代幣分發(fā)中，用戶獲得的代幣數(shù)量(T)與邀請(qǐng)人數(shù)(n)滿足(T=n(n+1)/2)。若某用戶獲得105個(gè)代幣，則其邀請(qǐng)人數(shù)為_(kāi)_______。四、解答題（共66分）（12分）數(shù)字貨幣定投策略某投資者每月1日固定投入1000元購(gòu)買(mǎi)某加密貨幣，假設(shè)每月購(gòu)買(mǎi)價(jià)格(p_n)（元/單位）構(gòu)成等差數(shù)列，其中(p_1=2000)元/單位，公差(d=-100)元/單位（即價(jià)格每月下降100元）。（1）求第6個(gè)月的購(gòu)買(mǎi)價(jià)格(p_6)；（2）若不考慮交易手續(xù)費(fèi)，求前6個(gè)月的平均持倉(cāng)成本（總投入金額/總購(gòu)買(mǎi)數(shù)量）。（14分）區(qū)塊鏈共識(shí)算法效率分析在權(quán)益證明（PoS）機(jī)制中，節(jié)點(diǎn)的記賬成功率(P)與質(zhì)押代幣數(shù)量(s)（單位：枚）的關(guān)系為(P(s)=1-e^{-0.001s})。（1）當(dāng)質(zhì)押數(shù)量為1000枚時(shí)，求成功率(P(1000))（精確到0.01）；（2）若要使成功率達(dá)到95%，求至少需要質(zhì)押的代幣數(shù)量（精確到整數(shù)）。（15分）穩(wěn)定幣套利模型某穩(wěn)定幣在A、B兩個(gè)交易所的價(jià)格分別為(P_A=1.02)USDT和(P_B=0.98)USDT，交易手續(xù)費(fèi)率均為0.1%（買(mǎi)入和賣(mài)出均需支付）。某套利者計(jì)劃投入10000USDT進(jìn)行跨交易所套利。（1）若在B交易所買(mǎi)入穩(wěn)定幣，再在A交易所賣(mài)出，求凈收益（精確到0.01USDT）；（2）若要使凈收益為正，兩交易所的價(jià)格差至少需達(dá)到多少（精確到0.001USDT）？（15分）NFT市場(chǎng)供需均衡分析某NFT系列的供給函數(shù)為(Q_S=20p-100)（(p\geq5)，單位：個(gè)），需求函數(shù)為(Q_D=500-10p)（單位：個(gè)），其中(p)為NFT單價(jià)（ETH）。（1）求市場(chǎng)均衡價(jià)格(p^*)和均衡交易量(Q^*)；（2）若平臺(tái)對(duì)每個(gè)NFT交易征收0.5ETH的交易稅（由賣(mài)方承擔(dān)），求新的均衡價(jià)格和交易量。（10分）央行數(shù)字貨幣（CBDC）經(jīng)濟(jì)影響模型某經(jīng)濟(jì)模型中，CBDC的使用率(r)（%）與GDP增長(zhǎng)率(g)（%）的關(guān)系為(g=0.05r+0.001r^2)。若使用率從20%提升至30%，求GDP增長(zhǎng)率的變化量。五、建模與探究題（20分）數(shù)字貨幣價(jià)格預(yù)測(cè)與風(fēng)險(xiǎn)控制某團(tuán)隊(duì)計(jì)劃構(gòu)建加密貨幣價(jià)格預(yù)測(cè)模型，收集到該貨幣2025年1-6月的價(jià)格數(shù)據(jù)（單位：USDT）如下表：月份(t)123456價(jià)格(p(t))100120150130160190（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立價(jià)格(p(t))關(guān)于時(shí)間(t)的線性回歸方程(p(t)=at+b)（保留兩位小數(shù)）；（2）利用回歸方程預(yù)測(cè)7月份的價(jià)格，并計(jì)算該模型的決定系數(shù)(R^2)（保留三位小數(shù)），判斷擬合效果；（3）若該貨幣價(jià)格波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差為(\sigma=15)USDT，在95%置信水平下（(Z_{\alpha/2}=1.96)），預(yù)測(cè)7月份價(jià)格的置信區(qū)間。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（略）試卷設(shè)計(jì)說(shuō)明：知識(shí)覆蓋：整合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)、概率、線性回歸等高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，結(jié)合數(shù)字貨幣、區(qū)塊鏈、DeFi、NFT等