專題13.7證明十六大必考點

【蘇科版】

【考點1根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】.....................................................1

【考點2直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】............................................................3

【考點3與垂線有關(guān)的角度計算或證明】.........................................................4

【考點4利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】.....................................................6

【考點5平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】.........................................................7

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】..........................................9

【考點7平行線的運用（單一軸助線）】........................................................10

【考點8平行線的運用（多條輔助線）】........................................................12

【考點9平行線在折疊問題的運用】............................................................14

【考點10平行線在三角尺中的運用】............................................................15

【考點11平行線中的規(guī)律問題】.................................................................17

【考點12平行線中的轉(zhuǎn)角問題】................................................................19

【考點13與角平分線有關(guān)的三隹形內(nèi)角和問題】..................................................21

【考點14利用平行線的判定與性質(zhì)證明三角形中角度關(guān)系】.......................................23

【考點|5與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】....................................................24

【考點|6與折疊有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】......................................錯誤!未定義書簽。

【考點1根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例I】（2022?浙江臺州?七年級期末）如圖，已知：Z1=Z2,乙4=乙。.求證:Z.B=ZC.

0II(),

團(tuán)44=乙BED().

回NA=zD(已知)，

團(tuán)NBED=NO(等量代換).

0II().

團(tuán)zB=zC（）.

【變式1?1】（2022?黑龍江?遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級期末）如圖所示，ABWCD,直線￡尸分別交4從CD

于點G,H,HN是回。"G的平分線.

（1）如果GM是團(tuán)4GE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和MV的位置關(guān)系；

證明:血4B||C。,

WGE=（兩直線平行，同位角相等.）

團(tuán)G0是團(tuán)8GE的平分線，

0==^Z-BGE

（3HV是（3O，G的平分線

0==^DHG

盟MGEFNHG（等量代換）

團(tuán)GM和4N的位置關(guān)系是,（）.

⑵如果G例是0AGH的平分線，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必證明）

⑶如果GM是團(tuán)8G”的平分線，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與HW又有怎樣的

位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想不必證明.

【變式1-2]（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖已知：ABWCD,CDWEF,4E平分（3B4C,AC^CE,有以

下結(jié)論：①ABSER@201-04=90°；@203-02=180°；@03+^4=135°,其中，正確的結(jié)論有.（填序

號）

【變式1-3］（2022?廣東?廣州市第四中學(xué)七年級期末）如圖1,在四邊形A8CO中，AD||BC,04=0C.

⑴求證：0B=ED；

（2）如圖2,點E在線段A。上，點G在線段A。的延長線上，連接BG,財EB=2E）G,求證：BG是團(tuán)EBC的

平分線；

（3）如圖3,在⑵的條件下，點石在線段4。的延長線上，（3EOC的平分線?！ń籅G于點”，若的WE=66。，

求叵6”。的度數(shù).

【考點2直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】

【例2】（2022?河南洛陽?七年級期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板力8繞中點。上下轉(zhuǎn)動，立柱OC與

地面垂直，當(dāng)橫板的A端著地時，測得4。力。=28。，則在玩蹺蹺板時，小明坐在A點處，他上下最大可

以轉(zhuǎn)動的角度為（）

A.28°B.56°C.62°D.84°

【變式2-1］（2022?山東臨沂?七年級期末）如圖將木條小人與c釘在一起，乙1=75。，要使木條。與〃平

行，木條。順時針旋轉(zhuǎn)了35。，團(tuán)2是（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【變式2-2］（2022?云南昆明?七年級期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC,DF

在同一條直線上，現(xiàn)將三角板。E尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EE第一次與平行時，4CDF的度數(shù)是（

A

E

A.15°B.30°C.45°D.75°

【變式2-3］（2022?湖南永州?七年級期末）如圖，直線LII%，現(xiàn)將一個含30。角的直角三角板的銳角頂點B放

在直線％上，將三角板繞點B旋轉(zhuǎn)，使直角頂點C落在。與o之間的區(qū)域，邊AC與直角，1相交于點0,若N1=

35。，則圖中的乙2的值為（）

A.65°B.75°C.85°D.80°

【考點3與垂線有關(guān)的角度計算或證明】

【例3】（2022?湖南?測試?編輯教研五七年級期末）如圖，已知阻幡C,02=03,FGH4C「G,你能說明8。

與AC互相垂直嗎？

【變式3-1]（2022?安徽合肥?七年級期木）請補(bǔ)充完整下列推理過程及證明過程中的依據(jù).

如圖，已知OG〃B4EF1BC,乙1二42.試證明：AD1BC.

解：因為。G〃B4（已知），

所以N2=NB4D（）.

因為△1=Z2（已知）,

所以（等量代換），

所以EF〃（）.

所以NEFB=（兩直線平行，同位角相等）

因為1BC（已知），

所以NEFB=90。（）.

所以44/5F=90。（等量代換），

所以（垂直的定義）.

【變式3-2]（2022?江蘇鹽城?七年級期末）如圖，ABLAC,垂足為力，41=30。，ZF=60°.

（1）AD與BC平行嗎？為什么？

（2）根據(jù)題中的條件，能判斷力8與。。平行嗎？如果能，請說明理由：如果不能，添加一個條件，使它們

平行（不必說明理由）.

【變式3-3]（2022?全國?七年級）己知：直線MN、PQ被A3所截，且MN3PQ,點C是線段從8上一定點,

點D是射線4N上一動點，連接CD.

⑴在圖1中過點C作CE3CD,與射線BQ交于七點.

①依題意補(bǔ)全圖形：

②求證：（L4DC+0BEC=9O°；

⑵如圖2所示，點F是射線BQ上一動點,連接CF,^DCF=a,分別作回NDC與回C/Q的角平分線交于點G,

請用含有a的代數(shù)式來表示回。GF,并說明理由.

【考點4利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】

【例4】（2022?福建福州?七年級期末）如圖，在A/IBC中，點Z）,E分別在AB,AC上，點凡G在BC上,

EF與DG交于點O,Z1+Z2=180°,Z-B=Z3.

⑴判斷QE與BC的位置關(guān)系，并證明；

（2）若4IE。+AEFC=118°,求乙4的度數(shù).

【變式4-1]（2022?河南溪河?七年級期末）已知:如圖,0A=a4DE,0C=0E.

（1）若OEDC=3E1C,求阿。的度數(shù);

⑵判斷BE與CD的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

【變式4-2］（2022?廣東湛江?七年級期末）如圖所示，已知射線C訓(xùn)04乙C=Z.OAB=110%E、F在CB上,

且滿足，尸。3=/力。8,OE平分乙COF,根據(jù)上述條件，解答下列問題：

（1）證明：OCHAB；

⑵求NE08的度數(shù)；

⑶若平行移動A8,那么ZOBCOFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個比值；若變化，請說明理由.

【變式4-3］（2022?北京密云?七年級期末）已知：點C是助08的04邊上一點（點C不與點。重合），

點D是MO8內(nèi)部一點，射線C。不與。8相交.

⑴如圖1,MO8=90。，回。CO=120。，過點0作射線0E,使得。6/CD.（其中點后在財08內(nèi)部）.

①依據(jù)題意，補(bǔ)全圖1;

②直接寫出（38。月的度數(shù).

（2）如圖2,點尸是射線08上一點，且點尸不與點O重合，當(dāng)乙1。8二履0。＜。4180。）時，過點尸作射線

尸凡使得尸"〃CO（其中點〃在0/10/的外部），用含a的代數(shù)式表示00（7。與團(tuán)"”的數(shù)量關(guān)系，井證明.

【考點5平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】

【例5】（2022?湖北武漢?七年級期末）如圖線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB團(tuán)直線CD,光線EF經(jīng)

過鏡子AB反射到鏡子CD,最后反射到光線GH.光線反射時，01=1212,團(tuán)3=團(tuán)4,卜列結(jié)論：①直線EF平行于

直線GH；②團(tuán)FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；③團(tuán)BFE的角平分線所在的直線垂直于回4的角平

分線所在的直線；④當(dāng)CD繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90時，直線EF與直線GH不一定平行，其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③

【變式5-1］（2022?江蘇宿遷?七年級期末）實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和

被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MN,NP,一束光線力B射在其中一

塊MN上，經(jīng)另外一塊NP反射，兩束光線會平行嗎？若不平行，請說明理由，若平行，請給予證明

【變式5-2］（2022?浙江杭州,七年級期末）（1）若組成41和匕2的兩條邊互相平行，且41是N2的2倍小15。,

求/I的度數(shù).

（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB,亦與上拉桿CF形成的NF=145。，主柱4。

垂直「地面，通過調(diào)整CF和后拉桿8C的位置來調(diào)整籃筐的高度.當(dāng)乙。。8=25。時，點，，》8在同一直

線上，求4”的度數(shù).

【變式5-3］（2022?湖南?師大附中梅溪湖中學(xué)七年級期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線（AB@CD）如

圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線自PA逆時針旋轉(zhuǎn)至PB便立即回轉(zhuǎn)，燈Q射線自QD

逆時針旋轉(zhuǎn)至OC便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時開啟不停交叉照射巡視.設(shè)燈P轉(zhuǎn)動的速度是10度/秒,

燈Q轉(zhuǎn)動的速度是4度/秒，湖面上點M是音樂噴泉的中心.

（1）若把燈P自力轉(zhuǎn)至P8,或者燈Q自Q。轉(zhuǎn)至QC稱為照射一次，請求出P、Q兩燈照射一次各需要的

時間；

（2）12秒時，兩光束恰好在M點匯聚,求團(tuán)PMQ；

（3）在兩燈同時開啟后的35秒內(nèi)，請問開啟多長時間后，兩燈的光束互相垂直？

（備用圖）

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】

【例6】（2022?河北唐山?七年級期末）己知三角形A3C,￡州力。交直線48于點區(qū)DFII4B交直線AC于點。.

圖1備用圖

（1）如圖1,若點、F在邊BC上,直接寫出乙與NEFO的數(shù)量關(guān)系；

⑵若點尸在邊BC的延長線上，（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，又有怎樣的

數(shù)量關(guān)系，請在備用圖中畫出圖形并說明理由.

【變式6-1］（2022?湖北襄陽?七年級期末）如圖，已知4MII8N,，是射線AM上一動點（不與點4重合），

BC,8。分別平分M8。與團(tuán)尸BN,分別交射線AM于點C,D.

（1）若41=50°,求乙C3D的度數(shù)；

⑵在點。的運動過程中，回8%與國3D4的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請

求出團(tuán)8四與班OA的數(shù)量關(guān)系；

⑶當(dāng)點P運動到使時，探究團(tuán)48c與團(tuán)￡WN的數(shù)最關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【變式6-2］（2022?安徽合肥?七年級期末）已知：直線A8IIC0,經(jīng)過直線4?上的定點P的直線EF交CO于點

。，點M,N為直線。。上的兩點，且點M在點。右側(cè)，點N的左側(cè)時，連接PM,PN,滿足4MPN=4MNP.

⑵如圖2,射線PQ為乙MPE的角平分線，用等式表示乙NPQ與ZP0M之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【變式6-3］（2022?湖北孝感?七年級期末）在三角形ABC中，點。在線段AC上，DEIIBC交A8于點E,

點F在線段4B上（點尸不與點4E,B重合），連接。F,過點。作?G1FD交射線CB于點G.

圖1

⑴如圖1,點尸在線段8E上，

①用等式表示因后。尸與回BGf的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖，求證：Z-ABC+/-BFG-/-EDF=90°；

⑵當(dāng)點尸在線段AE上時，依題意，在圖2中補(bǔ)全圖形，請直接用等式表示團(tuán)?。┦c團(tuán)8G戶的數(shù)量關(guān)系，不

需證明.

【考點7平行線的運用（單一輔助線）】

【例7】（2022?四川德陽?七年級期末）己知：AB||CD,點P、0分別在AB、CO上，在兩直線間取一點￡

⑴如圖1,求證：LE=LAPELCQEX

⑵將線段EQ沿。C平移至/G,ZCGF的平分線和NAPE的平分線交于直線A8、CO內(nèi)部一點依

①如圖2,若乙<=9。。，求N”的度數(shù)；

②如圖3,若點/在直線48、CZ）內(nèi)部，且77平分NBPE,連接若4/一=m。，zF=n°,請直接

寫出，〃與〃的數(shù)量關(guān)系，不必證明.

【變式7-1］（2022?廣東梅州?八年級期末）已知：財。8=a（0°<a<90o）,一塊三角板CQE中，^CED

=90。，0CD￡=3O%將三角板CO￡如圖所示放置，使頂點。落在04邊上，經(jīng)過點O作直線交

04邊于點用，且點M在點D的左側(cè).

圖2

（1）如圖1,若CE^OA,EF^MN,?NDE=45°,求a的度數(shù)；

⑵若團(tuán)A/OC的平分線。尸交08邊于點立如圖2,當(dāng)?！?04,且。=60。時，證明：CEI30A.

【變式7?2】（2022?陜西西安?八年級期末）在綜合與實踐課上，同學(xué)們以“一個含30。的直角三角尺和兩條

平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動如圖1，已知兩直線a，b,月⑷歷和直角三角形ABC.4B&4=90°,LBAC=30°.

(1)在圖1中，01=46°,求團(tuán)2的度數(shù);

⑵如圖2,創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移,并把團(tuán)2的位置改變，發(fā)現(xiàn)42-41=120。，說明理由;

⑶競賽小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3,當(dāng)AC平分（384M時，此時

發(fā)現(xiàn)（31與國2又存在新的數(shù)最關(guān)系，請寫出團(tuán)1與團(tuán)2的數(shù)量關(guān)系尹證明.

【變式7-3］（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖1,點A在直線MN上，點8在直線ST上，點C在MN,

ST之間，且滿足（WAC+MCB+@S4C=360°.

（1）證明：MNIIST；

⑵如圖2,若財C8=60。，40|￡從點￡在線段4c上，連接A￡,且團(tuán)。4￡=2回。47',試判斷團(tuán)C4E與mCAN

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶如圖3,若勖C8=45。，點E在線段8C上，連接A￡,若團(tuán)M4E=4回CBT,直接寫出回CA氏用C4N的值.

【考點8平行線的運用（多條輔助線）】

【例8】（2022?云南普洱?七年級期末）已知三角板48C中，084。=60。，05=30°,0C=9O°,長方形DEFG

中，DE//GF.如圖（1）,若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊G尸上，BC與。后相交于點M,AB^DE

于點N.

⑴請你直接寫出：0CAF=。，^EMC=

⑵若將一角板ABC按圖（2）所示方式擺放（/IB與。石不垂直），請你猜想I3EMC與團(tuán)C人尸的數(shù)量關(guān)系？并

說明理由.

⑶請你總結(jié)（1）,（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究WiAG與配加。的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

【變式8-1］（2022?湖北武漢?七年級期末）直線A8IICE,8E-EC是一條折線段，3P平分乙ABE.

圖1

(1)如圖1,若BPIICE,求證：Z.BEC+Z-DCE=180°；

（2）CQ平分NOCE,直線BP,CQ交于點F.

①如圖2,寫出48EC和NBFC的數(shù)最關(guān)系，并證明；

②當(dāng)點￡在直線4從CO之間時，若乙3￡C=40。，直接寫出乙BFC的大小.

【變式8-2］（2022?廣東?新豐縣教育局教研室七年級期末）細(xì)觀察，找規(guī)律.

（1）下列各圖中的與N4平行.

①圖①中的+乙5度.

②圖②中的匕4+4+乙小=度?

③圖③中的乙4+乙42+乙43+=度.

④圖④中的4Th+4力2+，力3+乙44+乙生=度.

⑤第⑩個圖中的+上力2+乙的+…+441=度.

⑥）第71個圖中的乙41+乙4?+乙%+…+乙*+1=度.

（2）下列各圖4s8〃C0.

①圖甲中乙8、乙C、NBEC的數(shù)量關(guān)系是

②圖乙中乙E,乙G,乙F,4c的數(shù)量關(guān)系是.

③圖丙中乙8,乙E,匕F,4乙H,乙M,乙。的數(shù)量關(guān)系是.

【變式8-3］（2022?北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)分校七年級期末）已知，如圖1,射線PE分別與直線A8,

相交于E、F兩點,胡F。的平分線與直線A8相交于點M,射線PM交CO于點M設(shè)回PFM=a。，0EMF

=E°,且，80-2。+|4-40|=0

AGE.A￡

（l）a=___，B=____:直線48與。。的位置關(guān)系是____；

（2）如圖2,若點G、”分別在射線M4和線段M尸上，且圖WGH=［3PNF,試找出回產(chǎn)MN與回G”產(chǎn)之間存在的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶若將圖中的射線PM繞著端點尸逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3）,分別與AB、CD相交于點M/和點N/寸，作

助M18的角平分線Ml。與射線FM相交于點Q,問在旋轉(zhuǎn)的過程中等的值是否改變？若不變，請求出其

值；若變化，請說明理由.

【考點9平行線在折疊問題的運用】

【例9】（2022?山東濰坊?七年級期末）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若起AD//BC,則翻折角乙1

與/2一定滿足的關(guān)系是（）

A.Z1=242B.41+乙2=90。C.Z1-Z2=30°D.241一342=30°

【變式9-1］（2022?山東?滕州市龍泉街道滕東中學(xué)七年級期末）如圖，四邊形A3CO中，點M、N分別在

AB.BC上,將團(tuán)8WN沿MN翻折，得團(tuán)FMN,若FNWC,則（38=（）

D

\iiir，

A.60°B.70°C.80°D.90°

【變式9-2]（2022?全國?七年級單元測試）如圖，在三角形ABC中，團(tuán)ACB=90°,將三角形ABC向下翻折,

使點A與點C重合，折痕為DE.試說明：DE0BC.

【變式9-3]（2022?江蘇?常州市第二十四中學(xué)七年級期末）在中，（3BAC=90。，點。是BC上一點,

將的和沿A。翻折后得到（MED,邊AE交BC于點、F.

⑴如圖①，當(dāng)AHaBC時\寫出圖中所有與（3B相等的角：；所有與（3C相等的角：.

（2）若團(tuán)。一姐=50°,0fiAD=x0（O<^45）.

①求mB的度數(shù)；

②是否存在這樣的x的值，使得回DE/中有兩個角相等.若存在，并求4的值；若不存在，請說明理由.

【考點10平行線在三角尺中的運用】

【例10】（2022?浙江寧波?七年級期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，"邊重合，^BAC=45°,

^DAC=30。.接著如圖2保持三角板88c不動，將三角板4co繞著點C按順時針以每秒15。的速度旋轉(zhuǎn)90。后

停止.在此旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間t=秒時，三角板AC。'有一條邊與三角板48c的一條邊

恰好平行.

【變式10-1]（2022?河北?青縣教育局教研室七年級期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點。與點E重

合，8C邊與EF邊都在直線2上，若直線且MN經(jīng)過點D,則NCDN=

【變式10-2]（2022?四川達(dá)州?八年級期末）一副三角板IDE和ABC按如圖1所示放置，點8在斜邊AD

上，其中團(tuán)E=I3BAC=90。，0D=45°,0C=3O°.現(xiàn)將三角板AQE固定不動，三角板ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)

a（0。<a<180。），使兩塊三角板至少有一組邊互相平行，如圖2,當(dāng)團(tuán)BAZ）=15。時，BCIIDE,則1384。其

他所有可能符合條件的度數(shù)為.

【變式10-3】（2022?江蘇蘇州?七年級期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，石在AC

上，ZC=^DAE=90°,48二60。，40=45。.小明將△4QF從圖中位置開始，繞點力按每秒6。的速度順

時針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第秒時，邊48與邊OE平行.

【考點n平行線中的規(guī)律問題】

【例11】（2022?山東泰安?期末）如圖，4BIICD,點E為兩直線之間的一點

圖1圖2圖3圖4

（1）如圖1,若乙BAE=35°,乙DCE=20°,則乙4EC=；

（2）如圖2,試說明，LBAE+^AEC+^ECD=360°；

⑶①如圖3,若的平分線與NDCE的平分線相交于點R判斷/NEC與乙4FC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖4,若設(shè)/E=m,/-BAF=^FAE,^DCF=^FCE,請直接用含機(jī)、〃的代數(shù)式表示NF的度數(shù).

【變式11-1】（2022?山東煙臺?七年級期末）問題情境：

如圖1,A的CO,團(tuán)辦8=130。，0PCD=12O°.求（MPC的度數(shù).小明的思路是：過夕作。國4B,通過平行

線性質(zhì)，可得lMPC=a4PE+團(tuán)CP￡=50°+60°=110°.

問題解決：

（1）如圖2,A83CQ,直線/分別與A8、CO交于點M、N,點。在直線/上運動，當(dāng)點尸在線段MN上運

動時（不與點M、N重合），^PAB=a,回產(chǎn)CO=B，判斷財產(chǎn)C、a、B之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（2）在（1）的條件下，如果點P在線段MN或NM的延長線上運動時.請直接寫出財PC、a、B之間的數(shù)

量關(guān)系；

（3）如圖3,AB^CD,點P是48、CO之間的一點（點夕在點A、C右側(cè)），連接玄、PC,（28AP和團(tuán)。CP

的平分線交于點Q.若0Ape=116。，請結(jié)合（2）中的規(guī)律，求ELAQC的度數(shù).

圖1圖3

【變式11-2】(2022?四川?樹德中學(xué)七年級期末)(1)如圖①，已知力8IICD,圖中N1,乙2,43之間有什

么關(guān)系？

(2)如圖②，已知A8IICD,圖中乙1,乙2,乙3,Z4之間有什么關(guān)系？

(3)如圖③，已知ABIICD,請直接寫出圖中41,42,匕3,Z4,45之間的關(guān)系

(4)通過以上3個問題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

【變式11-3】(2022?北京市第一零一中學(xué)溫泉校區(qū)七年級期末)喜歡思考的小澤同學(xué)，設(shè)計了一種折疊紙

條的游戲.如圖1,紙條的一組對邊PN團(tuán)QM(紙條的長度視為可延伸)，在PN,QM上分別找一點A,B,

使得回ABM=a.如圖2,將紙條作第一次折疊，使與BA在同一條直線上，折痕記為

解決下面的問題:

(1)聰明的小白想計算當(dāng)a=90。時，的度數(shù)，于是他將圖2轉(zhuǎn)化為下面的幾何問題，請幫他補(bǔ)全

問題并求解：如圖3,PN13QM,A,B分別在PN,QM上，且13ABM=90°,由折疊：8%平分,,

求叫/?1"的度數(shù).

M'

伯3

（2）聰穎的小桐提出了一個問題：按圖2折疊后，不展開紙條，再沿ARi折著紙條（如圖4）,是否有可

能使〃團(tuán)BRi?如果能，請直接寫出此時a的度數(shù)；如果不能，請說明理由.

（3）笑笑看完此題后提出了一個問題：當(dāng)0。=40。時，將圖2汜為第一次折疊；將紙條展開，作第二次折

疊，使與BR】在同一條直線上，折痕記為BRz（如圖5）；將紙條展開，作第三次折疊，使8M'與BR2

在同一條直線上，折痕記為BR3；...以此類推.

①第二次折疊時，M&N'=（用a的式子表示）；

②第n次折疊時，?BRW=（用a和n的式子表示）.

圖」酈

【考點12平行線中的轉(zhuǎn)角問題】

【例12】（2022?黑龍江?綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校七年級期末）將兩個等邊三角形（每個內(nèi)角都等于60。）如圖1

疊放在一起，現(xiàn)將團(tuán)CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（旋轉(zhuǎn)用0。＜。＜360。，請?zhí)骄肯铝袉栴}：

⑴如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足0°VaW60。時，請寫出圓8CD與的關(guān)系，并說明理由；

⑵如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足60。120。時，請寫出13BCE與（MC。的關(guān)系，并說明理由;

⑶當(dāng)。石〃8c時請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

【變式12-1】（2022?福建泉州?七年級期末）現(xiàn)有一-塊含30。角的直角三角板力08,其直角頂點0在直線2上,

將三角板A08繞著點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)42的度數(shù)（0?！匆?〈360。）.

請你解決下列問題：

⑴當(dāng)42的度數(shù)為多少時，ABWI（不必說理）；

⑵如右圖，作力C1Z于點C,8。，2于點。，試探究：圖中提供的字母或數(shù)字能表示的所有角：不包含該圖

中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，試寫出所有相等的角，并說明理由；若不存在，請舉例說明.

【變式12-2】（2022?河南?漂河市邸城區(qū)邸城初級中學(xué)七年級期末）如圖1,已知PQIIMN,點4,8分別

在MN,PQ上，月/BAN=45。，射線繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至4N便立即逆時針回轉(zhuǎn)（速度是//秒），射線

BP繞點8順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即逆時針回轉(zhuǎn)（速度是"/秒）、且。、。滿足|。一3|+的一1）2=0,

圖1

⑴a=,b=；

（2）如圖2,兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為，秒（￡<60）,兩條旋轉(zhuǎn)射線交于點C,過C作CD1AC^PQ

于點。，求乙B4C與NBCD的數(shù)量關(guān)系；

（3）若射線8P先旋轉(zhuǎn)20秒,射線AM才開始旋轉(zhuǎn),設(shè)射線4M旋轉(zhuǎn)時間為f秒（t<160）,若旋轉(zhuǎn)中4MliBP,

求f的值.

【變式12-3]（2022?浙江湖州?七年級期末）如圖1,己知直線力訓(xùn)。。，4cMN=60。，射線ME從3。出發(fā),

繞點M以每秒a度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)MC后立即以相同的速度返回，到達(dá)MD后繼續(xù)改變方向，

繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線Nr從從4出發(fā)，繞點N以每秒b度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)NB后停止運動,

此時ME也同時停止運動.其中a,b滿足方程組｛穿｝.

(1)求a,b的值;

⑵若Nr先運動30秒，然后ME一起運動，設(shè)ME運動的時間為t,當(dāng)運動過程中MEIIN/時，求t的值；

(3)如圖2,若ME與NF同時開始轉(zhuǎn)動，在ME第一次到達(dá)MC之前,ME與NF交于點P,過點P作PQ1ME于

點、P，交直線48于點Q,則在運動過程中，若設(shè)4NME的度數(shù)為血，請求出4NPQ的度數(shù)(結(jié)果用含m的代

數(shù)式表示).

【考點13與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】

【例13】(2022?江蘇?漣水縣麻垛中學(xué)七年級階段練習(xí))【認(rèn)識概念】

如圖1,在AA8C中，若班4￡)=團(tuán)DAE=(3EAC,MAD,AE叫做0BAC的“三分線”.其中，A。是“近A8三分

線”，AE是“遠(yuǎn)三分線

【理解應(yīng)用】

⑴在8c中，41=60。，48=70。，若財?shù)娜志€AO與回8的角平分線交于點P,則財戶5=

(2)如圖2,在AABC■中，R。、CO分別是0A5C的近三分線和0ACB近AC三分線，若BOSCO,求助的

度數(shù)；

A

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在ZkABC中，80、C0分別是0ABe的遠(yuǎn)BC三分線和MCB遠(yuǎn)8C三分線，且zA=m。，直線尸Q

過點O分別交AC、BC于點P、0,請直接寫出團(tuán)1-團(tuán)2的度數(shù)[用含〃?的代數(shù)式表示）.

【變式13-1]（2022?江蘇揚州?七色級期末）如圖：PC、P6是蜘CB、財3。的平線，a4=405,0BPC=.

【變式13-2】（2022?全國?八年級專題練習(xí)）（1）如圖1,財=70。，BP、CP分別平分（MBC和04。，則團(tuán)P

的度數(shù)是,

（2）如圖2,財=70。，BP、CP分別平分團(tuán)EBC和回R7O,則團(tuán)尸的度數(shù)是.

(3)如圖3,04=70°,BP、CP分別平分由WC和MCQ,求團(tuán)P的度數(shù).

【變式13-3】（2022?廣東韶關(guān)實驗中學(xué)七年級期中）如圖，4施C￡）,點E是回上一點，連給CR

（1）如圖1,若CE平分0ACQ,過點E作EM上CE交CD于點M,試說明M=2（3CM￡；

⑵如圖2,若4尸平分團(tuán)。8,C/平分團(tuán)。CE,且回尸=70。，求財CE的度數(shù).

⑶如圖3,過點E作EMHCE交團(tuán)。CE的平分線于點M,M廂CM交AB于點、N,CH^AB,垂足為，.若（MC，

=hECH請宜接寫出（WNB與0A之間的數(shù)量關(guān)系.

【考點14利用平行線的判定與性質(zhì)證明三角形中角度關(guān)系】

【例14】（2022?安徽合肥?七年級期末）已知：三角形力BC和同一平面內(nèi)的點D.

⑴如圖①，點。在邊上，DE118A交AC于點、E,DF||AC交于點尸若"OF=85。，則NA的度數(shù)為；

（2）如圖②，點。在BC的延長線CM上，DFIICA交8/延長線于點F,OE在4FOM內(nèi)部，若乙EDF=MAC,

試說明DE||/M：

⑶如圖③，點。是三角形力8c外部的一個動點，過點。畫118A交直線AC于點E,畫。r||CA交直線48于

點F，請用等式直接表示乙EDF與N8AC之間的關(guān)系.

【變式14-1]（2022?山東煙臺?期末）如圖，點。、E、尸分別在三角形ABC的三條邊上，點G在。尸上，

若算+團(tuán)2=180。，03=05,QE與BC所在的直線存在什么位置關(guān)系？請詳細(xì)說明理由.

【變式14-2]（2022?吉林?前郭縣一中七年級期末）兩個三角形力BC和2EC中,乙4cB=乙CDE=90°,U=

60°,Z.DCE=ZF=45°.

⑴當(dāng)ABIIDC時，如圖①,求心DCB的度數(shù).

⑵當(dāng)CD與CB重合時，如圖②，判斷DE與4c的位置關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖③,當(dāng)ABIIEC時,求NDCB的度數(shù)?

【變式14-3】(2022?廣東?佛山市順德區(qū)勒流育賢實驗學(xué)校七年級期末)知識延展：三角形的一邊和另一邊

的反向延長線組成的角叫三角形的外角，如財C。是三角形的外角.容易說明，三角形的一個外角等于與它

不相鄰的兩個內(nèi)角和，如圖可得：M。。=團(tuán)4十國&

請你用所學(xué)的知識和延展知識解決如下問題：

⑴如圖，(284。的平分線AE與姐CO的平分線CE交于點￡人加CO,(MDC=40%M8c=30。，求MEC的

大?。?/p>

⑵如圖，團(tuán)8AQ的平分線4￡與勖。。的平分線C￡交于點E,^ADC=m\西4C=〃。，求助石。的大??；

(3)如圖，卻%。的平分線AE與回8C。的平分線CE交于點￡,則1MEC、MOC、M8C之間是否存在某種等

量關(guān)系？若存在，請你得出結(jié)論，說明理由；若不存在，請說明理由.

【考點15與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】

【例15](2022?遼寧盤錦,七年級期末)(1)問題情境：如圖1,AB||CD,乙PMB=140°,乙PND=120°,

求/MPN的度數(shù);

(2)問題遷移：在(1)的條件下，如圖2,4AMp的角平分線與ZCNP的角平分線交于點八則iMFN的度

數(shù)為多少？請說明理由；

（3）問題拓展：如圖3,AB||CD,點、P在射線0M上移動時（點尸與點O,M,。三點不重合），記NPHB=a,

乙PCD=0,請直接寫出乙APC與a,0之間的數(shù)量關(guān)系.

【變式15-1]（2022?山東德州?七年級期中）如圖所示，DEWBC,Zl=Z.3,CDLAB.

（1）求證：FGLAB.

（2）若/3=45°,求乙4DE的度數(shù).

【變式15-2】（2022?江蘇南通?七年級期末）在△ABC中，CO平分乙4cB交A8于點。，點E是射線A8上

的動點（不與點。重合），過點E作EFIIBC交直線CQ于點F,乙8EF的角平分線所在的直線與射線C。交

于點G.

⑴如圖1,點E在線段A。上運動.

①若=60°,乙ACB=30°,則/EGC=°；

②若4/1=80。，求乙EGC的度數(shù)；

（2）若點E在射線08上運動時，探究乙EGC與乙4之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出答案.

【變式15-3】（2022?江蘇宿遷?七年級期末）如圖，在/MBC中，點。在AB上，過點。作。EIIBC,交AC于

射線0M上運動，連接48.

尸

線,

平分

M角的

乙4B

”和

是ZB

C分別

,B

知4C

1,已

如圖

(1)

試求

變化，

不發(fā)生