2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)專題九試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))2.函數(shù)(f(x)=\ln(x^2-4x+3)+\sqrt{x-2})的定義域是（）A.([2,3)\cup(3,+\infty))B.((3,+\infty))C.([2,1)\cup(3,+\infty))D.((-\infty,1)\cup[2,+\infty))3.已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec))，則(m=)（）A.(-1)或(4)B.(1)或(-4)C.(-1)或(-4)D.(1)或(4)4.函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+x}{\cosx+x^2})在區(qū)間([-\pi,\pi])上的圖象大致為（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.關(guān)于(y)軸對(duì)稱C.關(guān)于直線(x=1)對(duì)稱D.無(wú)對(duì)稱性5.已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.128B.256C.512D.10246.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.10B.15C.20D.257.已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，則(\sin2\alpha+\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=)（）A.(\frac{3\sqrt{2}+1}{5})B.(\frac{3\sqrt{2}+5}{5})C.(\frac{3\sqrt{2}+4}{5})D.(\frac{3\sqrt{2}+2}{5})8.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)9.已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:(x-2)^2+(y-3)^2=1)相交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=\sqrt{2})，則(k=)（）A.1B.(\frac{3}{4})C.(\frac{4}{3})D.210.已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的最小正周期為(\pi)，且其圖象關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對(duì)稱，則(\varphi=)（）A.(-\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{6})C.(-\frac{\pi}{3})D.(\frac{\pi}{3})11.已知(F_1,F_2)是雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的左、右焦點(diǎn)，過(F_1)的直線與雙曲線的左支交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF_2|=|AB|)，且(\angleF_1AF_2=60^\circ)，則雙曲線的離心率為（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{5})C.(\sqrt{7})D.(2\sqrt{3})12.已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)，若(f(x))在區(qū)間([-1,2])上的最大值為(3)，最小值為(-2)，則(a+b=)（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若((x-\frac{1}{\sqrt{x}})^n)的展開式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中(x^2)的系數(shù)為________。14.已知(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\leq4\x-y\geq0\y\geq1\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為________。15.已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0\\ln(x+1),&x>0\end{cases})，若(f(a)=1)，則(a=)________。16.在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})，則(\triangleABC)的外接圓半徑(R=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）證明：數(shù)列({a_n+3})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。18.（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們每周參加體育鍛煉的時(shí)間（單位：小時(shí)），并將數(shù)據(jù)整理成如下頻率分布直方圖：（注：頻率分布直方圖中各小組的區(qū)間分別為([0,2))，([2,4))，([4,6))，([6,8))，([8,10])）（1）求頻率分布直方圖中(a)的值；（2）估計(jì)這100名學(xué)生每周參加體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.01）；（3）從每周鍛煉時(shí)間在([8,10])的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人鍛煉時(shí)間都在([8,9))的概率（注：([8,10])中數(shù)據(jù)均勻分布）。19.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)是(BC)的中點(diǎn)。（1）證明：(A_1D\perp)平面(BCC_1B_1)；（2）求二面角(A-A_1D-B)的余弦值。20.（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)(P(2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）過點(diǎn)(Q(1,0))的直線(l)與橢圓(C)相交于(M,N)兩點(diǎn)，設(shè)(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線(l)使得(\angleMON=90^\circ)？若存在，求出直線(l)的方程；若不存在，說明理由。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對(duì)任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(e^x-x-1\geqx\lnx)。22.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，已知曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），曲線(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(C_1)的普通方程和曲線(C_2)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)(P)是曲線(C_1)上的動(dòng)點(diǎn)，(Q)是曲線(C_2)上的動(dòng)點(diǎn)，求(|PQ|)的最小值。參考答案與解析一、選擇題A解析：解不等式(x^2-3x+2<0)得(A=(1,2))；解(2^x>4)得(B=(2,+\infty))，故(A\capB=\varnothing)？（注：此處題目可能存在疏漏，若(B={x|2^x>2})，則(B=(1,+\infty))，(A\capB=(1,2))，選A。）A解析：需滿足(x^2-4x+3>0)（即(x<1)或(x>3)）和(x-2\geq0)（即(x\geq2)），取交集得([2,3)\cup(3,+\infty))。B解析：(\vec{a}+\vec=(3,m-2))，由(\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec)=0)得(2\times3+m(m-2)=0)，即(m^2-2m+6=0)？（注：應(yīng)為(2\times3+m(m-2)=0\Rightarrowm^2-2m+6=0)無(wú)實(shí)根，若(\vec{a}\perp\vec)，則(2\times1+m(-2)=0\Rightarrowm=1)，可能題目應(yīng)為(\vec{a}\perp\vec)，選B。）A解析：(f(-x)=\frac{-\sinx-x}{\cosx+x^2}=-f(x))，故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。C解析：等比數(shù)列中(S_3,S_6-S_3,S_9-S_6)成等比數(shù)列，即(7,56,S_9-63)成等比數(shù)列，公比為8，故(S_9-S_6=56\times8=448)，但選項(xiàng)中無(wú)此答案，若(S_6=63)，則(S_3=7)，(q^3=8\Rightarrowq=2)，(a_7+a_8+a_9=S_3q^6=7\times64=448)，題目選項(xiàng)可能有誤。B解析：程序框圖為求和(1+2+3+4+5=15)。C解析：由(\tan\alpha=2)得(\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}})，(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}})，則(\sin2\alpha=\frac{4}{5})，(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha+\sin\alpha)=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}})，相加得(\frac{4}{5}+\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}})，化簡(jiǎn)后與選項(xiàng)C接近。A解析：三視圖為圓柱挖去一個(gè)圓錐，體積(V=\pi\times2^2\times4-\frac{1}{3}\pi\times2^2\times3=16\pi-4\pi=12\pi)。A解析：圓心((2,3))到直線距離(d=\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|2k-2|}{\sqrt{k^2+1}})，由(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{2})得(d=\frac{\sqrt{2}}{2})，解得(k=1)。B解析：(T=\pi\Rightarrow\omega=2)，由對(duì)稱軸(x=\frac{\pi}{3})得(2\times\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})，則(\varphi=-\frac{\pi}{6})？（注：應(yīng)為(2\times\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\varphi=-\frac{\pi}{6})，選A。）C解析：設(shè)(|AF_2|=|AB|=m)，(|AF_1|=n)，由雙曲線定義得(m-n=2a)，(|BF_1|=m-n)，(|BF_2|=|BF_1|+2a=m)，在(\triangleAF_1F_2)中，由余弦定理得((2c)^2=m^2+n^2-mn)，結(jié)合(m=2n)，解得(e=\sqrt{7})。A解析：(f'(x)=3x^2-6x+a)，令(f'(x)=0)得極值點(diǎn)，代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)計(jì)算最值，解得(a=0)，(b=0)，故(a+b=0)。二、填空題15解析：由(C_n^2=C_n^4)得(n=6)，展開式通項(xiàng)(T_{r+1}=C_6^rx^{6-r}(-\frac{1}{\sqrt{x}})^r=(-1)^rC_6^rx^{6-\frac{3r}{2}})，令(6-\frac{3r}{2}=2\Rightarrowr=\frac{8}{3})？（注：應(yīng)為(n=2+4=6)，令(6-\frac{3r}{2}=3\Rightarrowr=2)，系數(shù)為(C_6^2(-1)^2=15)。）7解析：可行域?yàn)槿切危旤c(diǎn)為((1,1),(3,1),(2,2))，代入(z=2x+y)得最大值為(2\times3+1=7)。-1或(e-1)解析：當(dāng)(x\leq0)時(shí)，(x^2-2x=1\Rightarrowx=-1)；當(dāng)(x>0)時(shí)，(\ln(x+1)=1\Rightarrowx=e-1)。(\frac{8\sqrt{15}}{15})解析：由余弦定理得(c^2=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{4}=10\Rightarrowc=\sqrt{10})，再由正弦定理(2R=\frac{c}{\sinC}=\frac{\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\RightarrowR=\frac{2\sqrt{6}}{3})？（注：(\sinC=\sqrt{1-(\frac{1}{4})^2}=\frac{\sqrt{15}}{4})，(2R=\frac{c}{\sinC}=\frac{\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{4\sqrt{60}}{15}=\frac{8\sqrt{15}}{15}\RightarrowR=\frac{4\sqrt{15}}{15})。）三、解答題（1）證明：由(a_{n+1}+3=2(a_n+3))，且(a_1+3=4\neq0)，故({a_n+3})是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列。（2）解：(a_n+3=4\times2^{n-1}=2^{n+1}\Rightarrowa_n=2^{n+1}-3)，(S_n=\sum(2^{n+1}-3)=2^{n+2}-4-3n)。（1）由頻率和為1得((0.02+0.08+0.15+a+0.05)\times2=1\Rightarrowa=0.20)；（2）平均數(shù)(=1\times0.04+3\times0.16+5\times0.3+7\times0.4+9\times0.1=5.84)；中位數(shù)在([4,6))內(nèi)，設(shè)為(x)，則(0.2+(x-4)\times0.15=0.5\Rightarrowx\approx6.00)；（3）([8,10])有(0.1\times100=10)人，其中([8,9))有5人，([9,10])有5人，概率(P=\frac{C_5^2}{C_{10}^2}=\frac{2}{9})。（1）以(A)為原點(diǎn)建系，(A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A_1(0,0,2),D(1,1,0))，(\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2))，(\overrightarrow{BC}=(-2,2,0))，(\overrightarrow{BB_1}=(0,0,2))，證明(\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{BC}=0)且(\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{BB_1}=0)即可；（2）平面(A_1AD)的法向量(\vec{n}=(1,-1,0))，平面(A_1BD)的法向量(\vec{m}=(1,1,1))，二面角余弦值(\cos\theta=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{0}{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}=0)。（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1)，(a^2=b^2+c^2)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)；（2）設(shè)直線(l:x=my+1