2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)泛函分析技術(shù)試卷一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共30分）1.距離空間的基本概念設(shè)(X)為非空集合，若對(duì)任意(x,y\inX)，存在實(shí)數(shù)(d(x,y))滿足：（1）非負(fù)性：(d(x,y)\geq0)，且(d(x,y)=0\iffx=y)；（2）對(duì)稱性：(d(x,y)=d(y,x))；（3）三角不等式：(d(x,z)\leqd(x,y)+d(y,z))（(\forallz\inX)），則稱((X,d))為距離空間，(d(x,y))為(x,y)的距離。下列關(guān)于距離空間的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.歐氏空間(\mathbb{R}^n)在距離(d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2})下構(gòu)成距離空間B.閉區(qū)間([a,b])上全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合(C[a,b])，在距離(d(f,g)=\max_{x\in[a,b]}|f(x)-g(x)|)下是完備的距離空間C.距離空間中的收斂列必為柯西列，但柯西列不一定收斂D.設(shè)(A)是距離空間((X,d))的子集，若(A)的閉包包含(X)的所有點(diǎn)，則(A)是(X)的緊子集2.線性賦范空間的性質(zhì)設(shè)((X,|\cdot|))為線性賦范空間，(x,y\inX)，(\lambda\in\mathbb{R})，則下列性質(zhì)不成立的是（）A.(|x|=0\iffx=\theta)（(\theta)為零元）B.(|\lambdax|=|\lambda||x|)C.(|x+y|\leq|x|+|y|)D.若(|x_n-x|\to0)且(|y_n-y|\to0)，則(|x_n+y_n-x-y|\to0)，但(|\lambdax_n-\lambdax|)未必收斂于03.有界線性算子的范數(shù)設(shè)(X,Y)為線性賦范空間，(T:X\toY)為線性算子，定義算子范數(shù)(|T|=\sup_{|x|=1}|Tx|)。若(T)為有界線性算子，則下列等式成立的是（）A.(|T|=\inf{M>0\mid|Tx|\leqM|x|,\forallx\inX})B.(|T|=\max_{|x|\leq1}|Tx|)C.若(X)為有限維空間，則(T)必為有界算子D.設(shè)(T_1,T_2:X\toY)均為有界線性算子，則(|T_1+T_2|\geq|T_1|+|T_2|)4.Hilbert空間的內(nèi)積性質(zhì)設(shè)(H)為Hilbert空間，(\langle\cdot,\cdot\rangle)為內(nèi)積，(x,y,z\inH)，(\lambda\in\mathbb{C})，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.(\langlex,y+z\rangle=\langlex,y\rangle+\langlex,z\rangle)B.(\langle\lambdax,y\rangle=\lambda\langlex,y\rangle)C.(\langlex,y\rangle=\overline{\langley,x\rangle})（共軛對(duì)稱性）D.對(duì)任意(x\inH)，(|x|=\sqrt{\langlex,x\rangle})，且滿足平行四邊形法則：(|x+y|^2+|x-y|^2=2|x|^2+2|y|^2)5.正交投影定理設(shè)(H)為Hilbert空間，(M)為(H)的非空閉凸子集，則對(duì)任意(x\inH)，存在唯一的(y\inM)，使得(|x-y|=\inf_{z\inM}|x-z|)。這一結(jié)論稱為正交投影定理。下列關(guān)于正交投影的說(shuō)法正確的是（）A.若(M)是(H)的閉線性子空間，則(y)滿足(\langlex-y,z\rangle=0)對(duì)所有(z\inM)成立B.正交投影算子(P:H\toM)滿足(|Px|\leq|x|)，且(P^2=P)（冪等性）C.若(M_1,M_2)是(H)的兩個(gè)正交閉線性子空間，則(M_1+M_2)也是閉線性子空間D.以上說(shuō)法均正確6.共鳴定理的應(yīng)用共鳴定理（一致有界原理）指出：設(shè)(X)是Banach空間，(Y)是線性賦范空間，({T_\alpha}{\alpha\in\Lambda}\subseteq\mathcal{B}(X,Y))（(\mathcal{B}(X,Y))表示有界線性算子空間），若對(duì)任意(x\inX)，(\sup{\alpha\in\Lambda}|T_\alphax|<\infty)，則(\sup_{\alpha\in\Lambda}|T_\alpha|<\infty)。下列命題中，不能直接由共鳴定理推出的是（）A.有限維線性賦范空間上的線性算子必連續(xù)B.Fourier級(jí)數(shù)的發(fā)散性：存在(f\inC[0,2\pi])，其Fourier級(jí)數(shù)在某些點(diǎn)發(fā)散C.數(shù)值方法的穩(wěn)定性：若線性方程組(A_nx_n=b_n)的解(x_n)對(duì)(b_n)的擾動(dòng)一致有界，則({A_n^{-1}})一致有界D.閉圖像定理：設(shè)(X,Y)為Banach空間，(T:X\toY)為線性算子，若(T)的圖像(G(T)={(x,Tx)\midx\inX})是(X\timesY)中的閉集，則(T)有界二、填空題（每題5分，共30分）1.距離空間的完備化設(shè)((X,d))為距離空間，若對(duì)(X)中任意柯西列都收斂，則稱(X)是完備的。有理數(shù)集(\mathbb{Q})在歐氏距離下是不完備的，其完備化空間為_(kāi)_________。2.線性泛函的延拓設(shè)(X)為線性賦范空間，(f:X\to\mathbb{R})為線性泛函，若存在常數(shù)(M>0)，使得(|f(x)|\leqM|x|)對(duì)所有(x\inX)成立，則(f)是有界線性泛函。Hahn-Banach定理指出：定義在(X)的子空間(M)上的有界線性泛函，可延拓到整個(gè)空間(X)上，且保持范數(shù)不變。設(shè)(X=\mathbb{R}^2)，(M={(x,0)\midx\in\mathbb{R}})，(f:M\to\mathbb{R})定義為(f(x,0)=x)，則(f)在(X)上的延拓泛函(\tilde{f}(x,y))的一般形式為_(kāi)_________，其范數(shù)(|\tilde{f}|=)__________。3.自伴算子的性質(zhì)設(shè)(H)為Hilbert空間，(T:H\toH)為有界線性算子，若對(duì)任意(x,y\inH)，(\langleTx,y\rangle=\langlex,Ty\rangle)，則(T)是自伴算子。有限維Hilbert空間上的自伴算子，在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為_(kāi)_________矩陣。4.緊算子的判定設(shè)(X,Y)為Banach空間，(T:X\toY)為線性算子，若(T)將(X)中的單位球映射為(Y)中的相對(duì)緊集，則(T)是緊算子。若(X)是有限維空間，則任意線性算子(T:X\toY)必為緊算子，這是因?yàn)開(kāi)_________。5.譜理論初步設(shè)(X)為復(fù)Banach空間，(T\in\mathcal{B}(X))（(\mathcal{B}(X))表示(X)到自身的有界線性算子空間），(\lambda\in\mathbb{C})，若(\lambdaI-T)是可逆算子（即存在有界逆算子），則(\lambda)是(T)的正則值，否則(\lambda)屬于(T)的譜集(\sigma(T))。設(shè)(T)是有限維空間上的線性算子，則(\sigma(T))等于(T)的__________集。6.弱收斂與強(qiáng)收斂設(shè)(X)為Banach空間，({x_n}\subseteqX)，(x\inX)。若(|x_n-x|\to0)，則稱({x_n})強(qiáng)收斂于(x)；若對(duì)任意(f\inX^)（(X^)為對(duì)偶空間），(f(x_n)\tof(x))，則稱({x_n})弱收斂于(x)。在有限維空間中，弱收斂與強(qiáng)收斂的關(guān)系是__________；在無(wú)限維空間中，這一關(guān)系__________（填“成立”或“不成立”）。三、計(jì)算題（每題10分，共40分）1.距離空間中的收斂性設(shè)(X=C[0,1])（([0,1])上全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合），定義距離(d_1(f,g)=\int_0^1|f(x)-g(x)|dx)，(d_2(f,g)=\max_{x\in[0,1]}|f(x)-g(x)|)。（1）證明：((X,d_1))和((X,d_2))均為距離空間；（2）設(shè)(f_n(x)=x^n)（(n=1,2,\cdots)），判斷({f_n})在((X,d_1))和((X,d_2))中是否收斂，若收斂，求出極限函數(shù)。2.線性泛函的范數(shù)計(jì)算設(shè)(X=\mathbb{R}^3)，范數(shù)(|x|=\max{|x_1|,|x_2|,|x_3|})（(x=(x_1,x_2,x_3)\inX)），定義線性泛函(f(x)=x_1+2x_2+3x_3)。求(f)的范數(shù)(|f|)。3.正交投影的計(jì)算設(shè)(H=\mathbb{R}^3)（內(nèi)積(\langlex,y\rangle=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)），(M)是由向量(\alpha_1=(1,0,0))，(\alpha_2=(0,1,0))張成的子空間（即(xy)平面），(x=(1,1,1)\inH)。求(x)在(M)上的正交投影(Px)，并計(jì)算距離(|x-Px|)。4.緊算子的構(gòu)造設(shè)(H=l^2)（全體平方可和數(shù)列構(gòu)成的Hilbert空間，內(nèi)積(\langlex,y\rangle=\sum_{n=1}^\inftyx_ny_n)），定義算子(T:H\toH)為(T(x_1,x_2,x_3,\cdots)=(\frac{x_1}{1},\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{3},\cdots))。證明：(T)是緊算子。四、證明題（每題15分，共30分）1.完備距離空間的閉子集是完備的設(shè)((X,d))是完備距離空間，(F\subseteqX)是閉子集。證明：子空間((F,d))是完備的。2.Riesz表示定理的應(yīng)用設(shè)(H)是Hilbert空間，(f:H\to\mathbb{R})是有界線性泛函。證明：存在唯一的(y\inH)，使得對(duì)任意(x\inH)，(f(x)=\langlex,y\rangle)，且(|f|=|y|)。（注：此結(jié)論為Riesz表示定理，需給出完整證明過(guò)程，包括存在性和唯一性）五、應(yīng)用題（每題15分，共30分）1.最小二乘法的泛函分析原理在數(shù)據(jù)擬合中，最小二乘法的目標(biāo)是找到線性函數(shù)(y=ax+b)，使得誤差平方和(\sum_{i=1}^n(y_i-ax_i-b)^2)最小，其中((x_i,y_i))為觀測(cè)數(shù)據(jù)。（1）將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為Hilbert空間中的正交投影問(wèn)題；（2）利用正交投影定理推導(dǎo)最小二乘解((a,b))的計(jì)算公式。2.Fourier變換的有界性設(shè)(L^2(\mathbb{R}))是全體平方可積函數(shù)構(gòu)成的Hilbert空間，F(xiàn)ourier變換(\mathcal{F}:L^2(\mathbb{R})\toL^2(\mathbb{R}))定義為(\mathcal{F}(f)(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\inftyf(x)e^{-i\xix}dx)。證明：(\mathcal{F})是(L^2(\mathbb{R}))上的有界線性算子，并求其范數(shù)(|\mathcal{F}|)。（提示：利用Plancherel定理）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)要提示）一、單項(xiàng)選擇題D（緊子集需滿足列緊性，閉包包含所有點(diǎn)僅為稠密性）D（數(shù)乘運(yùn)算的連續(xù)性是范數(shù)的基本性質(zhì)）C（有限維空間上線性算子必有界）B（應(yīng)為(\langle\lambdax,y\rangle=\overline{\lambda}\langlex,y\rangle)，復(fù)數(shù)域上內(nèi)積共軛齊次）D（A、B、C均為正交投影的基本性質(zhì)）D（閉圖像定理需結(jié)合開(kāi)映射定理證明，不能直接由共鳴定理推出）二、填空題實(shí)數(shù)集(\mathbb{R})(\tilde{f}(x,y)=x+ay)（(a\in\mathbb{R})），(|\tilde{f}|=1)（范數(shù)保持不變，(|f|=1)）實(shí)對(duì)稱（或Hermite）有限維空間中的有界集是相對(duì)緊集（單位球是緊集，其像集相對(duì)緊）特征值等價(jià)（弱收斂等價(jià)于強(qiáng)收斂），不成立三、計(jì)算題（1）驗(yàn)證距離三公理；（2）在(d_1)中收斂于0，在(d_2)中不收斂（極限函數(shù)不連續(xù)）(|f|=6)（取(x=(1,1,1))，(|f(x)|=6)，且(|f(x)|\leq6|x|)）(Px=(1,1,0))，(|x-Px|=1)（投影到(xy)平面，(z)分量為0）利用緊算子的定義：證明(T)可由有限秩算子一致逼近四、證明題利用閉集對(duì)極限的封閉性，證明子空間中柯西列收斂于子空間內(nèi)的點(diǎn)存在性：構(gòu)造由(f)誘導(dǎo)的閉超平面，利用正交分解；唯一性：假設(shè)兩個(gè)代表元，證明內(nèi)積為零五、應(yīng)用題（1）將(y=ax+b)視為線性空間(span{1,x})中的元素，最小二乘問(wèn)題等