1第一章總論2精算科學的發(fā)展及其應用精算科學是以概率論與數理統計為基礎的，與經濟學、金融學及保險理論相結合的應用與交叉性的學科。在保險和社會保障領域，精算科學通過對風險事件及其損失的預先評價，實現科學的風險管理，為保險和社會保障事業(yè)的財務穩(wěn)健發(fā)展提供基本保障。3保險精算學的主要內容精算學是對未來不確定事件可能產生的財務結果進行預先評估的方法體系，包括對未來不確定事件（即風險）發(fā)生規(guī)律的認識、對風險帶來損失的評估、對損失分攤方案的分析等。保險精算學具體研究保險領域的風險分析、產品設計和定價、負債評估、資產與負債管理、償付能力評價、盈利能力分析、價值評估等問題。精算評估需要借助精算模型，也就是包含各種精算假設的數學模型，這些假設是對未來風險發(fā)生規(guī)律的預測，精算人員一般依據過去的經驗及對假設因素發(fā)生、發(fā)展規(guī)律的研究設定精算假設對過去經驗數據的統計分析是基礎性的精算工作。4精算師及其工作領域精算師被稱為金融、保險、投資和風險管理的工程師通過對風險和損失的預先評估，對風險事件做出預先的財務安排，保證風險經營的財務穩(wěn)健性。5精算管理和控制系統保險公司（壽險、非壽險、健康保險）養(yǎng)老金計劃社會保障銀行、投資、公司財務、金融工程法律法規(guī)教育6環(huán)境因素（法律、社會、經濟、人口、稅收等）風險評估產品設計產品定價監(jiān)測和分析經驗數據償付能力評價資產與負債管理資產評估利潤分析負債評估7精算師職業(yè)考試考試制度：英國精算學會、北美壽險精算學、北美非壽險精算學會、美國養(yǎng)老金精算師學會、加拿大精算學會。教育認可制度：澳大利亞：初級課程認可，高級課程考試；德國、意大利、法國、瑞士、西班牙、荷蘭、巴西、墨西哥等國家主要采取學歷認可制度。國際精算協會的精算師后續(xù)教育制度8第二章利息理論9累積函數概述

累積函數是單位本金的累計額，以表示。

累積額受本金的影響，本金越大，經過一定時期的累積額越大。為了反映單位本金的增值情況，引入累積函數

。

10累積函數a(t)01ta(t)01ta(t)01t

圖2-1圖2-2圖2-3a(t)通常為t的連續(xù)函數，在坐標平面上表現為通過（0，1）點的曲線，如圖2-1和圖2-2所示a(t)為增函數時才能保證總額函數的遞增性和存在正的利息。有時，當利息定期結算時，a(t)也表現為不連續(xù)的階梯函數——在定期內，a(t)為常數，定期結算后，a(t)上一個臺階，如圖2-3所示。11利率利率以表示第n個基本計息時間單位的實際利率如果單位時間為１年，１年內１單位本金的利息就是實際年利率。12單利和復利單利：只在本金上生息設第t年實際利率it，1年末的累積額為:

第2年末的累積額為:第n年末的累積額為：當各年利率均為i時，有13單利和復利累積函數的形式為：由此可見14單利和復利復利，每年在年初本金和利息基礎上計息。此時，第１年末的累積額為：15單利和復利由此可見16現值和貼現率17現值和貼現率18現值和貼現率貼現率：單位貨幣在單位時間內的貼現額，單位時間以年度衡量時，稱為實際貼現率。dn表示第n年貼現率:

d表示一年的貼現率:19可見，d<i現值和貼現率20現值和貼現率21現值和貼現率22名義利率與名義貼現率名義利率:一年結算多次的規(guī)定的年利率。以表示，m表示結算次數，

23名義利率與名義貼現率名義貼現率:一年結算多次的規(guī)定的年貼現率。以表示，m表示結算次數，

24利息力利息力：衡量確切時點上利率水平的指標。定義利息力δ為，25年金年金：每隔一個相等的時間間隔的一系列固定數額的收付款方式。期首付年金期末付年金26期首付年金現值27期末付年金現值28期首付年金終值29等額確定年金的終值和現值n年定期的每年1單位元期首付年金、期末付年金的現值和終值間關系圖30一年多次收付的年金對于n

年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金現值，以表示，31一年多次收付的年金對于n

年定期，每年收付m次，每次1/m

元的期末付年金現值以表示，32一年多次收付的年金對于n

年定期，每年收付m次，每次1/m

元的期首付年金在n年末的終值為，33一年多次收付的年金對于n

年定期，每年收付m次，每次1/m

元的期末付年金在n年末的終值為，34永續(xù)年金定義：收付時期沒有限制，每隔一個間隔永遠連續(xù)收付的年金，相當于前面定期年金當時期n趨于無窮大時的值。每年一元期末付永續(xù)年金現值為，35永續(xù)年金其他永續(xù)年金現值為：

36變額年金變額年金是每次收付額不等的年金常見的有，每次收付額等差遞增或遞減每次收付額等比遞增37變額遞增年金

如果在n年定期內，第一年末收付1單位元，第2年末收付2單位元，以后每次比上一次遞增1單位元的期末付年金現值以表示。38變額年金兩者相減后得代入上式后得

上述年金期首付時，年金現值為39變額年金當第一年收付n元，以后每隔一年收付額減少1單位元的n年定期遞減的期末付年金為，上述定期遞減年金在期首付時，為

變額年金的終值是相應年金現值與利率累積系數之積40變額年金對等比遞增的年金，如果第一年1單位元，以后收付額每年遞增j比例，n年定期的年金現值為：41分期償還等額分期償還債務的方法是在規(guī)定的還款期內每次償還相等數額的還款方式。42分期償還43分期償還44分期償還

時期

付款金額

支付利息

償還本金

未償還貸款余額

0

—

—

—

1

R

R(1-vn)Rvn……………k

R

R(1-vn-k+1)Rvn-k+1

……………n

R

R(1-v)Rv0

總計

nR

45變額分期償還變額分期償還指每期償還金額不等的還款方式。原始貸款金額為B0

，第k期償還的金額為Rk

（k

=1,2,?,n）46分期償還一筆金額為nR元的貸款，年利率為i，期限為n

年，每年償還R

元本金，其分期償還表如下：

時期

付款金額

支付利息

償還本金

未償還貸款余額

0

—

—

—

nR1

R(1+in)inRR(n-1)R……………k

R[1+i(n-k+1)]i(n-k+1)RR(n-k)R……………n

R(1+i)iRR0

總計

nR+iR×

n(n+1)/2

iR×n(n+1)/2

nR47償債基金償債基金的還款方法是借款人在貸款期間分期償還貸款的利息，同時為了能夠在貸款期末一次性償還貸款的本金，定期向一個“基金”供款，使該“基金”在貸款期末的積累值正好等于貸款本金。這一基金稱為償債基金，其基金累計的利率與貸款利率可能相等，也可能不等。48等額償債基金49等額償債基金50等額償債基金51變額償債基金設原始貸款本金為B0

，貸款利率為i，償債基金利率為j，借款人在第k期末支付的總金額為Rk

（k=1，2，?，n），則第k期末向償債基金的儲蓄額為(Rk

?iB0)，償債基金在第n期末的累積值等于原始貸款本金B(yǎng)0

，即，當i=j時，52債券價值按利息的支付方式，債券可分為零息債券和附息債券兩種。零息債券在債券到期前不支付利息，而是在債券到期時隨本金一次性支付所累計的利息。附息債券由發(fā)行人在到期日前定期支付利息，投資者可定期獲得固定的息票收入。債券定價原理：債券的理論價格就是債券未來息票收入的現值和到期償還值的現值之和?；痉柡透拍睿?/p>

P—債券的理論價格； i—投資者要求的收益率或市場利率；

F—債券的面值； C—債券的償還值； r—債券的息票率；

rF—每期的息票收入；g—債券的修正息票率；n—息票的償還次數；

K—償還值按收益率i計算的現值；G—債券的基價53債券價值基本公式：溢價公式：基價公式：Makeham公式：第１期末的賬面值為：第２期末的賬面值為第１期末投資余額在本期末的累積值減去息票收入，即55第三章生命表56生命表基本函數生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程的一種統計表。封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動，沒有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。57生命表基本函數lx：存活到確切整數年齡x歲的人口數，x=0,1,…,ω-1。ndx：在x~x+n歲死亡的人數，當n=1時，簡記為dxnqx：x歲的人在x~x+n歲死亡的概率，當n=1時，簡記為qx表3-158生命表基本函數(1)(2)(3)59生命表基本函數60生命表基本函數nLx：x歲的人在x~x+n生存的人年數。人年數是表示人群存活時間的復合單位，1個人存活了1年是1人年，2個人每人存活半年也是1人年，在死亡均勻分布假設下，x~x+n歲的死亡人數ndx平均來說存活了n/2年，而活到lx+n歲的人存活了n年，故當n=1時，61

：x歲人群的平均余壽，表明未來平均存活的時間。當x為0時，表示出生時的平均余壽，即同一批出生人口從出生到死亡平均每人存活的年數。生命表基本函數Tx：x歲的人群未來累積生存人年數。在均勻分布假設下，62生命表基本函數：表示x歲的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，或x歲的人在x+n~x+n+1歲死亡的概率。：表示x歲的人在x+n~x+n+m歲之間死亡的概率。63生存分布一、新生兒的生存函數二、x歲余壽的生存函數三、死亡力四、整值平均余壽與中值余壽64F(x)：新生兒未來存活時間（新生兒的死亡年齡）為x的分布函數。s(x)：生存函數，它是新生兒活到x歲的概率，以概率表示為xp0。新生兒在x~z歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：新生兒的生存函數65新生兒的生存函數生命表函數中的存活人數lx

正是生命表基數l0與x歲生存函數之積，lx=l0s(x)而s(x)曲線形狀如下圖所示，66x歲余壽的生存函數67x歲余壽的生存函數考慮x歲的人的剩余壽命時，往往知道這個人已經活到了x歲，tqx實際是一個條件概率68x歲的人在x+t~x+t+u的死亡概率，以概率的方式表示為：x歲余壽的生存函數69整值剩余壽命定義：未來存活的整數年數，簡記概率函數70死亡力定義：的瞬時死亡率，簡記71死亡力72死亡力73死亡力

74死亡力75整值平均余壽與中值余壽x歲的整值平均余壽是指x歲未來平均存活的整數年數，不包括不滿1年的零數余壽，它是整值余壽隨機變量K(x)的期望值，以ex表示，76整值平均余壽與中值余壽由于，所以

77整值平均余壽與中值余壽由于所以在死亡均勻分布假設下，故，78整值平均余壽與中值余壽中值余壽是(x)的余壽T(x)的中值，（x）在這一年齡之前死亡和之后死亡的概率均等于50%，以m(x)表示x歲的中值余壽，則即，79非整數年齡存活函數的估計死亡均勻分布假設死亡力恒定假設巴爾杜奇假設80死亡均勻分布假設81當假設死亡力在x~x+1上恒定時，(x為整數，0≤t≤1)，死亡力恒定假設由死亡力的定義，82巴爾杜奇假設以意大利精算師巴爾杜奇的名字命名，這一假設是當x為整數，0≤t≤1時，生存函數的倒數是t的線性函數，即83巴爾杜奇(Balducci)假設

（其中，0≤t≤1,0≤y≤1,0≤t+y≤1）此時，84三種假定下的生命表函數85幾個死亡時間的解析分布86幾個死亡時間的解析分布87幾個死亡時間的解析分布88幾個死亡律下的死亡和存活函數89生命表的編制一、生命表編制的一般方法二、選擇生命表90生命表編制的一般方法時期生命表(假設同批人生命表)：采用假設同批人方法編制，描述某一時期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這一時期各年齡死亡水平度過一生時的生命過程。

Dx：某年齡x歲的死亡人數；：x歲的平均人數，即年初x歲人數與年末x歲人數的平均數，有時也用年中人數代替。91x歲的中心死亡率（分年齡死亡率）為，生命表編制的一般方法

生命表分年齡中心死亡率：生命表分年齡死亡人數在分年齡生存人年數中的比例。92生命表編制的一般方法在死亡均勻分布假設下，有，變換后，通常與非常接近，實際中常用近似表示

93選擇生命表選擇生命表構造的原因需要構造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。需要構造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失選擇生命表的使用94選擇生命表函數關系95第四章多減因表96定義研究同批人受兩個或兩個以上減因影響陸續(xù)減少的數學模型就是多減因模型。與生命表一樣，多減因模型通常用多減因表的形式表示，稱為多減因表。97多減因表基本函數

：確切年齡

x歲時，受(1)，(2)，?，(m)等m個減因影響的人數?；蛘哒f，x歲暴露于m個減因下的人數。：x~x+n歲由（k）減因減少的人數，k=1,2,?

,

m，當n=1時，記為：x~x+n歲由所有減因減少的總人數，當n=1時，記為98多減因表基本函數

：x~x+n歲由（k）減因產生的減少概率，也就是（k）減因使（x）離開的概率，當n=1時，記為：x歲的人在x~x+n由所有減因導致的減少概率。：x歲的人在x~x+n歲保留在原群體中的概率。99減因力與生命表死亡力類似，在多減因下也有減因力，x＋t時的總減因力可定義為：100中心減力與中心死亡率的概念類似，在多減因分析中也有總中心減率和分減因中心減率，以

表示總中心減率，定義為：101構成多減因表的各個減因都可以依各自獨立的死亡力構成單減因表，把由多減因表的各個減因構成的單減因表稱為聯合單減因表，它是單獨考慮各個減因時生成的生命表。設聯合單減因表的存活函數為聯合單減因表102聯合單減因函數與多減因函數的基本關系103各減因力恒定假設下的估計104各減因均勻分布假設下的估計105聯合單減因表的各減因均勻分布假設下的估計106聯合單減因表的各減因均勻分布假設下的估計107第五章人壽保險108傳統人壽保險產品傳統個人壽險產品的被保險人是單個人，以被保險人在保險期內死亡或生存為保險賠付或給付條件，預先規(guī)定保險金額的水平及其給付方式，并根據經驗生命表和預定利率等預先確定保費水平和保單退?，F金價值。在實踐中，傳統個人壽險產品又分為定期壽險、終身壽險、兩全保險等。109定期壽險均衡保費定期壽險簡稱為定期壽險，保險費在約定的繳費期內均衡繳付，通常繳費期與保險期相同。遞增保費定期壽險的保險費在繳費期內遞增，在實踐中常見的遞增保費定期壽險是每年更新定期壽險。保額遞減定期壽險的死亡賠付金額隨著已投保時期的延長而降低，保險費通常采取均衡方式。實踐中最常見的保額遞減壽險是以抵押貸款余額為死亡賠付額，以還款期為保險期的定期保險。110終身壽險終身壽險為被保險人提供從投保開始到死亡為止的死亡保險，保險金額通常為恒定的數額，有時終身壽險也采取遞增保險金額的設計，稱為增額終身壽險。保險費可以采取躉繳、在一定時期內繳付、終身均衡繳付等不同的形式。從表面上看，終身壽險相當于保險期延長至生命極限年齡的定期壽險，但與定期壽險相比，終身壽險具有顯著的現金價值，一個定期到１００歲的定期壽險比終身壽險的保費和現金價值都低很多。終身壽險也有分紅終身壽險和非分紅終身壽險兩種形式，分紅終身壽險的特點與分紅兩全保險類似，這里不再贅述。111兩全保險定義：在規(guī)定的保險期內，如果被保險人死亡，保險人賠付死亡保險金，如果被保險人在保險滿期存活，保險人給付生存保險金的保險產品。非分紅保險根據精算假設和規(guī)定的保險金額確定保費和現金價值，投保人不分享公司紅利。分紅保險的投保人每年以紅利方式分享公司利潤的一部分，實際上相當于增加了保險金額，或者在規(guī)定的保險金額下減少了保險費。112死亡年年末賠付的壽險精算現值引例：定期壽險

假如有100個40歲的人投保了1000元5年期定期壽險，死亡賠付在死亡年年末。如果預定年利率為3％，各年預計的死亡人數為分別為1、2、3、4、5人，這時，每年的賠付支出及其折現值如表4-1所示：113保單精算現值將各年的賠付現值加總，可以得到發(fā)行100張保單的未來賠付支出現值（元）：所以，平均每一保單的未來賠付現值為134.68元。這一現值被稱為這一保單的精算現值。114終身壽險115兩全保險116延期m年終身壽險117延期m年的n年定期壽險118變額壽險標準變額壽險119變額壽險變額壽險一般變額壽險121死亡時賠付的壽險精算現值定期壽險：終身壽險：

兩全保險：122變額壽險終身遞增壽險精算現值為：123變額壽險124關于

的計算125壽險現值的遞推公式126第六章生存年金127生存年金產品生存年金是以年金方式在被保險人生存期內的一系列給付，保險費通常采取在投保時一次性繳付的躉繳方式或者在一定時期內的均衡繳付的方式。生存年金形式：即期年金（immediateannuities）延期年金(deferredannuities)定期確定的生存年金指數化年金聯合生存年金128純生存保險純生存保險：在約定的保險期滿時，如果被保險人存活將得到規(guī)定的保險金額的保險。

【例6.1】李先生今年20歲，如果他能活到60歲，將能從保險公司得到1000元的一次性給付。設年利率i=2.5%，試寫出這筆給付在李先生20歲時的現值。129解：李先生從20歲活到60歲的概率是，他在60歲獲得這筆給付的期望值是：純生存保險這筆給付在李先生20歲時的現值通過利率折現得到：根據附表中國人身保險業(yè)經驗生命表（2010～2013）年養(yǎng)老類業(yè)務表（男）的資料得，l20=995780，l60=943460，可以計算得,

所以，這筆給付的現值是：1000×0.94746×1.025-40=352.86（元）。130一般地：假設某人

x歲時開始投保，經過n年后如果仍然存活將得到k單位元的保險金，（x）存活n年的概率為，得到給付金的期望現值為：表明現在x歲的人有l(wèi)x個，每人存入元，到n年末在利率i的作用下，形成的資金正好滿足n年末存活的人每人1元的給付。

以表示1單位元n年純粹生存保險現值，即純生存保險變換上式得，131與在復利下的現值系數vt和累積系數(1+i)t的作用類似，nEx是在利率和生者利下n年的折現系數，為在利率和生者利下n年的累積系數。

純生存保險它是利率累積因子(1+i)t與生存累積因子之積。132年付一次生存年金的精算現值定義：生存年金是以生存為條件發(fā)生給付的年金。如果被保險人在規(guī)定的時期內存活，則發(fā)生年金的收付，否則，停止收付。一般類型：終身年金、定期年金、延期年金133終身生存年金【例6.3】張先生今年30歲，從今年起，只要他存活，可以每年年初獲得1000元的給付。假設年利率為2%,計算這一年金的精算現值。解：

代入相應的存活概率和利率，就可以計算出這一年金的精算現值。134期首付終身生存年金一般地，對(x)的每年1單位元期首終身生存年金，其精算現值以表示，它是一系列保險期逐步延長的純粹生存保險之和，如下圖所示：其中，0Ex=1，求和上限實際是ω-x-1，為方便通常寫成∞。135期末付終身生存年金對（x）每年1單位元期末付終身年金，如下圖所示：其精算現值以ax表示：

136定期生存年金一般地，對（x）的每年1單位元n年定期期首付生存年金，精算現值以表示，類似地，對(x)的每年1單位元n年定期期末付生存年金精算現值為：137對（x）的n年延期每年1單位元延期期首付年金的精算現值以延期生存年金n年延期生存年金:從計算時點起延遲n年開始收付的生存年金表示。根據定義,顯然，138延期生存年金n年延期的期末付終身生存年金現值為：同樣地，

139延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一種組合形式。對(x)的n年延期m年定期每年1單位元期首付生存年金，是從x+n起到x+n+m-1的生存年金。其支付情況下圖所示：其精算現值以或表示，根據定義,延期定期生存年金140對(x)的n年延期m年定期每年1單位元期末付生存年金，是從x+n+1

起到x+n+m的生存年金。其精算現值以延期定期生存年金或表示，根據定義：

141期首付年金和期末付年金精算現值的關系式。

延期定期生存年金142連續(xù)生存年金給付現值終身連續(xù)生存年金定期連續(xù)生存年金143連續(xù)生存年金給付現值延期連續(xù)生存年金延期定期連續(xù)生存年金144生存年金與壽險的關系145背景：實踐中年金常常是每半年、一季度或一個月支付一次，由于生命表不直接提供非整數年齡的存活概率和死亡概率，必須在一定的假設下近似計算。

對（x）的每年給付1元，一年給付m次的期首付終身生存年金，其精算現值以表示，這一年金在每個(k=0,1,2,……)上收付1/m，直到被保險人死亡為止。年付多次生存年金的精算現值

146近似公式對（x）的每年1單位元，每