第一章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CLinearAlgebra行列式線性代數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、三階行列式三、n階行列式一、二階行列式目錄/Contents第二節(jié)行列式的定義一、二階行列式我們考慮二元線性方程組：

,

（1.1）

其中為未知量,

為方程組系數(shù),

為方程組右端項．

一、二階行列式我們采用變量消去法解此方程組.用乘第一式的兩邊,

用乘第二式的兩邊,

可得

,

再兩式相加,

消去變量,

如果,

可解得.一、二階行列式為便于記憶這個求解公式,

我們引進二階行列式的定義．由個數(shù),

按下列形式排成二行二列的方形

,

稱作為二階行列式,

其被定義為一個具有項的代數(shù)和：

,（1.2）

一、二階行列式其中稱為行列式的元素,

第一個下標表明該元素處在行列式的第行,

第二個下標表明該元素處在行列式的第列．如此二元線性方程組的求解公式可以表示為

.（1.3）

一、二階行列式例2

求解二元線性方程組

.解

根據(jù)求解公式（1.3）,

有

,

由二階行列式的定義（1.2）,

可計算得到

一、二階行列式所以方程組的解為.一、二階行列式為便易記憶,我們引進所謂二階行列式的對角線計算法,見圖1.1.圖1.1

從左上到右下實線連接元素的乘積取正號,從右上到左下虛線連接元素的乘積取負號．e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、三階行列式三、n階行列式一、二階行列式目錄/Contents第二節(jié)行列式的定義二、三階行列式我們也可引進三階行列式的定義.由個數(shù)組成的3行3列的方形

,

稱作為三階行列式,

其被定義為一個具有項的代數(shù)和:

（1.4）

三階行列式所定義的代數(shù)和計算也符合對角線法,

如圖：

即三階行列式定義（1.4）中的六項代數(shù)和中,

三項符號為正的項是按行列式從左上到右下實線連接的三個元素乘積,

如第一項從左上角的經(jīng)連到;第二項從連到,

遇到右邊界再移到下一行的左邊界,

連接.對于三項符號為負的項則是按行列式從右上到左下虛線連接的三個元素乘積,

遇到左邊界再移到下一行的右邊界.如第五項從連到,

遇到左邊界再移到下一行的右邊界,

連接.

二、三階行列式a11a12a13a21a22a23a31a32a33那么三元線性方程組

,

（1.5）

是否有類似二元線性方程組的求解公式（1.3）？組（1.5）有求解公式：

,

（1.6）

即三元線性方程,

回答是肯定的二、三階行列式其中要求方程組（1.5）的系數(shù)行列式

,

而

分別是用方程組右端項代替行列式中的第一列、第二列和第三列得到的行列式．此公式的嚴格證明見1.5節(jié)的克萊姆法則（定理1.4）．

二、三階行列式例3

求解三元線性方程組

.

解

根據(jù)求解公式（1.6）,

計算

二、三階行列式同樣可計算出

,

于是方程組有解

.

二、三階行列式例4

滿足什么條件時,

行列式.

解利用對角線法,

,

故當0=l;或;或時,

行列式等于零．

二、三階行列式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、三階行列式三、n階行列式一、二階行列式目錄/Contents第二節(jié)行列式的定義三、n階行列式考察三階行列式定義中代數(shù)和,

其有三個特征：

（1）

共有3！=6項相加;

（2）

每項有3個元素相乘：321321pppaaa,

表明這三個元素是取自于不同行不同列,

即行足標固定為自然順序排列123,

列足標則是1,

2,

3的某個排列;

（3）

每項的符號由列足標排列的奇偶性決定,

即項前的符號是

.

三、n階行列式如此三階行列式的定義也可寫成.

（1.8）

其中表示對所有3階列足標排列的對應項求和,

共有項．

三、n階行列式定義1.4由個數(shù)組成的行列的

階行列式

,

其被定義成下列代數(shù)和：,

（1.9）三、n階行列式其中表示對所有級排列的對應項求和,

共有項;

表示行列式第行第列位置（,）上的元素;特別稱對角線（即從左上至右下的直線）上的元素為對角元素.階行列式一般可記作（或）;有時也可記作,

表明行列式的元素為.

三、n階行列式類似于三階行列式,

階行列式定義（1.9）中,

其代數(shù)和具有三項特征,

（1）

共有項相加;

（2）

每項有個元素相乘：,

表明這個元素取自于不同行不同列,

即行足標固定為,

列足標則是級排列中的某個排列;

（3）

每項的符號由列足標排列的奇偶性決定,

即項前的符號是

.

三、n階行列式例5已知是六階行列式中帶負號的一項,

則應取何值．

解先把中的元素按行標的自然順序排列好：

=,

顯然只能在4和6中取值.當時,

該項的列標是254361,

其是偶排列,

取正號;而取時,

對應的項的列標是一奇排列256341,

取負號,

因此應分別取6和4.

三、n階行列式例6

用行列式的定義判別行列式

是關于的多少次多項式,

并寫出最高次項．

解由行列式定義,

三階行列式

,

三、n階行列式我們只需考慮元素,

即.由于每一項取自于不同行不同列,

因此第一行的和第三行的不會在同一項中出現(xiàn)（因為都處在第一列）,

故這是一個關于次數(shù)最多為二次的多項式.而形成二次項的僅是和,

而這兩項關于的系數(shù)都是1,

故最高次項為.

三、n階行列式例7利用行列式的定義證明.

證明由定義.

考察帶有的項,

由于行列式第一行元素==,

故在所有加項中,

只剩下形如的項,

其余的項都是零。

三、n階行列式而這些剩余的項還有3！個,

如此有

.

對于這些余下的項,

由于已取定,

我們對第二行元素進行分析

最終得到

.

三、n階行列式例7的結論可推廣到一般階下三角行列式的結論：

.類似地,

上三角行列式和對角行列式也成立同樣的結論：

,

.也就是說,

上（下）三角或對角行列式的值等于對角元素的乘積,

這是一個很重要的結論！

三、n階行列式如,

.三、n階行列式例8利用行列式的定義證明.

證明

由定義.

注意到行列式的零元素分布,

在所有項中,

我們只需考慮取1的項,

這樣的項還有項。三、n階行列式當取定為1時,

只能在中取值.再注意到,

于是

=.

注意到右端求和就是階的行列式定義

.

三、n階行列式如此我們證明了e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE