專題09計數(shù)原理與概率統(tǒng)計考點五年考情（2021-2025）命題趨勢考點1二項式定理（5年5考）2025天津卷：求指定項的系數(shù)；2024天津卷：求指定項的系數(shù)；2023天津卷：求指定項的系數(shù)；2022天津卷：求指定項的系數(shù)；2021天津卷：求指定項的系數(shù)；1.二項式定理在高考的考查主要包含了，求指定項的系數(shù)，常數(shù)項等。2.條件概率與乘法公式在高考的考查主要包含了，組合數(shù)的計算，全概率公式，條件概率與乘法公式等。3.線性相關(guān)在高考的考查主要包含了，散點圖判斷是否線性相關(guān)，正、負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的意義4.古典概型中的概率問題在高考的考查主要包含了，古典概型問題的概率，獨立事件的乘法公式。5.頻率分布直方圖在高考的考查主要包含了，頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量等?？键c2條件概率與乘法公式（5年4考）2025天津卷：條件概率及數(shù)學期望2024天津卷：實際問題中的組合計數(shù)問題!計算古典概型問題的概率計算條件概率；2022天津卷：計算條件概率乘法公式；2021天津卷：獨立重復試驗的概率問題；考點3線性相關(guān)（5年2考）2024天津卷：根據(jù)散點圖判斷是否線性相關(guān)；2023天津卷：判斷正、負相關(guān)相關(guān)系數(shù)的意義及辨析；考點4古典概型中的概率問題（5年1考）2023天津卷：計算古典概型問題的概率獨立事件的乘法公式；考點5頻率分布直方圖（5年2考）2022天津卷：由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量；2021天津卷：由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量；考點6正態(tài)分布（5年1考）2025天津卷：正態(tài)分布的概率計算考點01二項式定理1.（2025·天津·高考真題）在的展開式中，項的系數(shù)為．2．（2024·天津·高考真題）在3x3+3．（2023·天津·高考真題）在2x3?1x4．（2022·天津·高考真題）在x+3x5．（2021·天津·高考真題）在2x3+1x考點02條件概率與乘法公式6.（2025·天津·高考真題）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，4圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為動量達標，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望7．（2024·天津·高考真題）A,B,C,D,E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到A的概率為；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為．8．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為9．（2021·天津·高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為56和15，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為考點03線性相關(guān)10．（2024·天津·高考真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（

）A． B．C． D．11．（2023·天津·高考真題）鳶是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍余淵”.鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長度和花瓣長度（單位：cm），繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關(guān)系數(shù)為r=0.8642，利用最小二乘法求得相應的經(jīng)驗回歸方程為y=0.7501x+0.6105A．花瓣長度和花萼長度不存在相關(guān)關(guān)系B．花瓣長度和花萼長度負相關(guān)C．花萼長度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長度的平均值為5.8612D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8642考點04古典概型中的概率問題12．（2023·天津·高考真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數(shù)之比為5:4:6．且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%考點05頻率分布直方圖13．（2022·天津·高考真題）將1916到2015年的全球年平均氣溫（單位：°C[13.55,13.75),[13.75,13.95),[13.95,14.15),[14.15,14.35),[14.35,14.55),[14.55,14.75]，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則全球年平均氣溫在區(qū)間[14.35,14.75]A．22年 B．23年 C．25年 D．35年14．（2021·天津·高考真題）從某網(wǎng)絡平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得400個評分數(shù)據(jù)分為8組：66,70、70,74、?、94,98，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間82,86內(nèi)的影視作品數(shù)量是（

）A．20 B．40 C．64 D．80考點06正態(tài)分布15.（2025·天津·高考真題）下列說法中錯誤的是（

）A．若，則B．若，，則C．越接近1，相關(guān)性越強D．越接近0，相關(guān)性越弱1．（2025·天津·二模）為研究某奶茶店每日的熱奶茶銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計該店（2025年2月6日至3月24日）每天的熱奶茶銷售量及當天氣溫得到如圖所示的散點圖（軸表示氣溫，軸表示熱奶茶銷售量），由散點圖可知與的相關(guān)關(guān)系為（

）A．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為0.8 B．負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為0.8C．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為 D．負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為2．（2025·天津·二模）如圖是兩個正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象，則下列表述正確的是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2025·天津南開·二模）某中學三個不同選課組合的學生在一次高三質(zhì)量監(jiān)測的數(shù)學平均分分別為，若按不同選課組合采用分層抽樣的方法抽取了一個120人的樣本，抽到三個不同選課組合的學生人數(shù)分別為20，40，60，則估計這三個不同選課組合學生的數(shù)學平均分為（

）．A． B． C． D．4．（2025·天津·二模）小明研究溫差（單位：）與本單位當天新增感冒人數(shù)（單位：人）的關(guān)系，他記錄了5天的數(shù)據(jù)：345671620252836由表中數(shù)據(jù)求得溫差與新增感冒人數(shù)滿足經(jīng)驗回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．與正相關(guān) B．經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點C．當時，殘差為1.8 D．5．（2025·天津·二模）某地組織全體中學生參加了主題為“強國之路”的知識競賽，隨機抽取了2000名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（

）A．在被抽取的學生中，成績在區(qū)間內(nèi)的學生有750人B．直方圖中的值為0.020C．估計全校學生成績的中位數(shù)為87D．估計全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為906．（2025·天津北辰·三模）下列命題中①根據(jù)經(jīng)驗回歸方程所得到的預報值就是響應變量的精確值②若隨機變量滿足，則③兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1④設且，則其中錯誤命題的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．17．（2025·天津濱海新·三模）下列說法中正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14B．某新能源汽車企業(yè)基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，從某年起改進并生產(chǎn)新車型，設改進后該企業(yè)第年的生產(chǎn)利潤為（單位：億元），現(xiàn)統(tǒng)計前7年的數(shù)據(jù)為，根據(jù)該組數(shù)據(jù)可得關(guān)于的回歸直線方程為，且，預測改進后該企業(yè)第8年的生產(chǎn)利潤為6.3億元C．若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則D．若隨機變量，滿足，則，二、填空題8．（2025·天津濱海新·三模）在二項式的展開式中常數(shù)項為．9．（2025·天津和平·一模）在的展開式中，的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）10．（2025·天津·一模）在的展開式中，的系數(shù)為．11．（2025·天津河西·二模）在的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為128，則常數(shù)項為.12．（2025·天津·一模）已知隨機變量，若，則.13．（2025·天津河西·模擬預測）一紙箱中裝有4瓶未過期的飲料和2瓶過期飲料．若每次從中隨機取出1瓶，取出的飲料不再放回，則在第一次取到過期飲料的條件下，第二次取到未過期飲料的概率為；對這6瓶飲料依次進行檢驗，每次檢驗后不再放回，直到區(qū)分出6瓶飲料的保質(zhì)期時終止檢驗，記檢驗的次數(shù)為，則隨機變量的期望為．14．（2025·天津濱海新·三模）某校高三1班一學習小組有男生4人，女生2人，為提高學生對AI人工智能的認識，現(xiàn)需從中抽取2人參加學校開展的AI人工智能學習，恰有一名男生參加的概率為；在有女生參加AI人工智能學習的條件下，恰有一名女生參加AI人工智能學習的概率．15．（2025·天津·一模）某大學開設了“九章算術(shù)”，“數(shù)學原理”，“算術(shù)研究”三門選修課程．甲、乙、丙、丁四位同學進行選課，每人只能等可能地選擇一門課程，每門課程至少一個人選擇，甲和乙選擇的課程不同，則四人選課的不同方案共有種；若定義事件為甲和乙選擇的課程不同，事件為丙和丁恰好有一人選擇的是“九章算術(shù)”，則．16．（2025·天津南開·一模）有編號分別為的3個盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球．現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，則從第1個盒子中取到白球的概率是；從第3個盒子中取到白球的概率是．17．（2025·天津河西·一模）某體育器材商店經(jīng)營三種型號的組合器械，三種型號組合器械的優(yōu)質(zhì)率分別為0.9，0.8，0.7，市場占有比例為，某健身中心從該商店任意購買一種型號的組合器械，則買到的組合器械是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為；若該健身中心從三種型號的組合器械各買一件，則恰好買到兩件優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為．18．（2025·天津·一模）某中學組建了，，，，五個不同的社團，旨在培養(yǎng)學生的興趣愛好，要求每個學生必須且只能參加一個社團．假定某班級的甲、乙、丙三名學生對這五個社團的選擇是等可能的，且結(jié)果互不影響．記事件為“甲、乙、丙三名學生中恰有兩人參加社團”，則；若甲、乙、丙三名學生中有兩人參加社團，則恰巧甲參加社團的概率為．19．（2025·天津·二模）已知一