摘要矩陣的特征值與特征向量在工程計算、幾何、生物、天體物理和微積分方程數(shù)值求解等需要進行大規(guī)模數(shù)值計算才能解決的問題中起著極其重要的作用。但在教學過程中矩陣課程比較困難和枯燥，為了提高學生的學習效果和主動性，本文對矩陣的特征值與特征向量的相關知識進行了介紹，并基于現(xiàn)實中的應用對矩陣的特征值與特征向量的應用進行了初步研究。關鍵詞：矩陣；特征值：特征向量AbstractTheeigenvaluesandeigenvectorsofthematrixplayanextremelyimportantroleintheproblemsofengineeringcalculation,geometry,biology,astrophysicsandcalculusequations.However,thematrixcourseisrelativelydifficultandboringintheteachingprocess.Inordertoimprovethelearningeffectandinitiativeofstudents,thispaperintroducestherelevantknowledgeoftheeigenvaluesandfeaturevectorsofthematrix,andconductsapreliminarystudybasedontherealapplication.Keywords:matrix;eigenvalue:eigenvector

目錄TOC\o"1-3"\h\u326481緒論 緒論1.1研究背景數(shù)學原理在我們?nèi)粘Ｉ钪须S處可見，有些很容易被察覺，有些則比較困難，矩陣理論正是其中比較難的一員。為了研究矩陣理論在生活中的應用，我們首先需要對矩陣特征值和矩陣特征向量進行研究。通過對特征值與特征向量的分析、理論研究以及對其實際應用的深入研究，不但使得我們可以大幅度地提升我們對高等代數(shù)中矩陣相關理論內(nèi)容的基本掌握和應用水平，還使得我們可以充分運用矩陣相關的理論和實踐來幫助我們研究和解決各種實際的問題.它不僅在傳統(tǒng)數(shù)學研究方面一直是主要的探究問題對象，而且在反問題等實際的研究和運用都非?？赡鼙晃覀兛醋魇菍仃嚨奶卣髦岛途仃囂卣飨蛄康幕A性問題，有著非常廣泛的分析研究和實際應用。1.2研究目的和意義矩陣的特征值與特征向量在工程計算、幾何、生物、天體物理和微積分方程數(shù)值求解等需要進行大規(guī)模數(shù)值計算才能解決的問題中起著極其重要的作用。矩陣的特征向量也對應著某種物理意義，例如，實對稱矩陣的擬特征值剛好與曲面的主法曲率成比例具有幾何意義和理論應用價值。特征值的一般求解方法是初等變換法，特征方程法，冪法，本文將介紹特征值的三種解法，分別是性質(zhì)法、QR分解法、互逆變換法，解法將被運用在特征值與特征向量的應用上。1.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀賀加來（2018）注釋：賀加來.矩陣A的特征值與特征向量的關系理論研究及應用[J].巢湖學院學報，2018.，覃姜色（2020）和趙新暖（2020）覃姜色，趙新暖.互逆變化法在求特征值與特征向量中的應用[J].科技創(chuàng)新與應用，2020.通過研究特征值和特征向量的概念，認為矩陣特征值和特征向量的計算在線性代數(shù)中占據(jù)重要地位，從研究利用互逆變換器求解對稱矩陣的特征值和特征向量問題入手，研究了矩陣特征值與其特征向量關系的理論與應用，并逐步探討特征值與特征向量之間的關系，以由此得到一系列性質(zhì)、定理和推論，以及互逆變化法在求特征值與特征向量中的一些應用。劉紅梅（2019）劉紅梅.基于矩陣特征值與特征向量的應用研究[J].許昌學院學報，2019，38(02):6-9.，張亞（2018）張亞.矩陣的特征值與特征向量及其應用[J].科技經(jīng)濟導刊，2018,v.26;No.637(11):85-90.和鄧亮章（2019）注釋：賀加來.矩陣A的特征值與特征向量的關系理論研究及應用[J].巢湖學院學報，2018.覃姜色，趙新暖.互逆變化法在求特征值與特征向量中的應用[J].科技創(chuàng)新與應用，2020.劉紅梅.基于矩陣特征值與特征向量的應用研究[J].許昌學院學報，2019，38(02):6-9.張亞.矩陣的特征值與特征向量及其應用[J].科技經(jīng)濟導刊，2018,v.26;No.637(11):85-90.鄧亮章.矩陣特征值反問題的若干進展[J].計算機產(chǎn)品與流通，2019,000(010):P.176-176.注釋：朱鳳娟.特征值與特征向量在線性代數(shù)中的應用[J].大連民族大學學報，2020(3):240-242.馮福存，常莉紅.冪等矩陣的性質(zhì)及其推廣[J].大學數(shù)學，2020(1):90-94.李林陽.特征值與特征向量在多元統(tǒng)計分析方法中的應用[J].數(shù)碼世界，2019，No.163(05):62-62.周琴（2019）周琴.矩陣特征值和特征向量在實際中的應用及其實現(xiàn)[J].高師理科學刊，2019(7):8-10.和王小春（2019）周琴.矩陣特征值和特征向量在實際中的應用及其實現(xiàn)[J].高師理科學刊，2019(7):8-10.王小春.特征值與特征向量的教學研究[J].高師理科學刊，2019，039(012):66-69.國外近些年對矩陣特征值和特征向量應用的研究多集中在矩陣特征值反問題的應用研究方面。Bai討論了哈密頓系統(tǒng)、反哈密頓系統(tǒng)和廣義哈密頓系統(tǒng)的特征值逆問題，得出通解的顯式表示和通解的可解條件。Qian和Tan基于矩陣的譜分解理論，對特征值反問題求取簡單參數(shù)解，再利用簡單參數(shù)解對特征值配置和最佳逼近問題進行求解。Gigola，Lebtahi和Thome研究了厄米特矩陣的特征值反問題，得到了厄米特矩陣的特征值反問題的一般解，并對自反矩陣的特征值和最優(yōu)逼近問題進行了研究。1.4研究方法矩陣不僅是線性代數(shù)的一個分支，同時也在許多相關學科領域承擔相當重要的工具作用。在線性代數(shù)的研究過程中，矩陣理論也屬于是極有魅力的一部分。在現(xiàn)實世界之很多問題都可以用矩陣來解決。在矩陣理論研究領域的某些方面的研究中，常?？梢詫⑿再|(zhì)不完全相同的，甚至是表面上完全不同問題轉(zhuǎn)化成完全相同的矩陣問題來處理，因而這就使得矩陣理論成為線性代數(shù)領域內(nèi)一個極富價值且應用廣泛的研究對象。在判斷矩陣關系上，前人主要利用特征值研究矩陣合同關系，采用的是特征方程法去求矩陣的特征值，然后根據(jù)特征值判定兩個矩陣是否合同；而本文將研究矩陣的合同關系，并分別采用QR分解法、互逆變化法去求矩陣特征值，然后根據(jù)特征值判定兩個抽象矩陣是否合同，對兩種方法分別進行細致分析，為研究提供多元化的思考方式。前人針對反問題的研究多數(shù)是在已知矩陣A的特征值與特征向量的條件下，利用定義法或者對角化法求矩陣A；同時針對矩陣合同關系與矩陣是否相似的研究，給出詳細的概念；研究特征值與特征向量在日常生活中的相關應用，包括在經(jīng)濟發(fā)展和污染管控中的應用和在元宇宙概念領域的應用。利用所學知識進行細致分析，對這些問題可以起到深化的作用。1.5主要研究內(nèi)容本文對矩陣的特征值與特征向量相關基礎進行了簡單介紹，并對特征值與特征向量的具體應用進行了重點研究。論文共分為六個部分，具體內(nèi)容如下：第1章簡要介紹了研究背景和目的、研究方法和主要內(nèi)容，并介紹了目前國內(nèi)的研究現(xiàn)狀。第2章主要介紹了特征向量的特征值、定義和性質(zhì)，包括矩陣的特征向量和特征向量，逆矩陣和矩陣契約關系。第3章簡要介紹了不同的特征和矢量特征的確定方法。第4章介紹了在現(xiàn)實生活中運用特征值和特征向量的基本研究。第5章主要研究應用研究在實際教學活動中對學生產(chǎn)生的影響。2矩陣特征值和特征向量的基本知識及解法2.1特征值和特征向量的基本概念及相關性質(zhì)2.1.1特征值和特征向量的基本概念當矩陣A是n×n方陣時可以計算矩陣A的特征值，特征值可以為實數(shù)，也可以是復數(shù)。在n階矩不為0的n階矩陣A的情況下，如果存在Aα=λα且α≠0，λ是矩陣A的特征值，n維非零列向量α是矩陣A的特征向量。另一角度看，矩陣A存在特征值λ及對應特征向量α，則α必定是非零向量，且對任意非零常數(shù)k，k≠0，存在kα，此時kα也為特征值λ的特征向量；若α1，α2都是矩陣A的特征值λ所對應的特征向量，且存在k1α1+k2α2≠0，則k1α1+k2α2也是特征值λ的特征向量；若λ1，λ2是矩陣A的兩個不同特征值，α1，α2分別是λ1，λ2的特征向量，則α1+α2必不是A的特征向量。若n階矩陣A的特征值為λ，其對應的特征向量為非零向量α，則kλ，αλ+b，λ，， ，f(λ)是kA，αA+bt，AA’，A-1，A+，f(A)的特征值；非零向量α是kA，αA+bI，AA‘’‘，A－1A*，f(A)對應于kλ，αλ+b，λ，， ，f(λ)特征值的特征向量。2.1.2矩陣特征值和特征向量的相關性質(zhì)性質(zhì)1：若特征值λi存在對應特征向量為α1，α2，則特征值λi非零時，特征值λi存在特征向量k1α1+k2α2。性質(zhì)2：矩陣主對角線元素之和等于特征值的和，矩陣行列式的值等于特征值的乘積。性質(zhì)3：n階矩陣A和其轉(zhuǎn)置矩陣AT必然有相同的特征值。性質(zhì)4：n階矩陣A的特征值均不為0，則矩陣A可逆。性質(zhì)5：若矩陣A存在特征值λ，則必有Ak的特征值λk存在，此時k為任意正整數(shù)。2.2抽象矩陣的定義及性質(zhì)抽象矩陣一般是矩陣中的一些特殊的矩陣，通常只給出矩陣具有哪些性質(zhì)而不給出矩陣的具體元。抽象矩陣的性質(zhì)如下：性質(zhì)１：若ε１，ε２都是矩陣Ｍ屬于特征值λ的特征向量，則ε１，ε２的線性組合k１ε１＋k２ε２仍然是λ的特征向量。性質(zhì)２：λ１，λ２，…，λn是Ｍ的不同特征值，其相應特征向量為：ε１，ε２，…，εn則ε１，ε２，…，εn線性無關。性質(zhì)３：若Ｍ＝（ｍij）n×n的特征值為λ１，λ２，…，λn，則λ１＋λ２＋…＋λn＝ｍ11＋ｍ22＋…＋ｍnn，且｜λ１λ２…λn｜＝｜Ｍ｜。性質(zhì)４：Ｍ可逆矩陣的特征值全不為零。性質(zhì)５：Ｍ為n階實對稱矩陣，λ１，λ２，…，λn是Ｍ的不同特征值，則λi＞０（i＝１，２，…，n），Ｍ正定；λi＜０（i＝１，２，…，n），Ｍ負定。性質(zhì)６：Ｍ為n階方陣，λi（i＝１，２，…，n）是Ｍ的不同特征值，則Ｍ可逆的充要條件是λi≠０（i＝１，２，…，n）。性質(zhì)７：λ不為方陣Ｍ的特征值的充要條件是｜λE－M｜≠０。性質(zhì)８：設n階方陣Ｍ的n個特征值λ１，λ２，…，λn，且ε１，ε２，…，εn為相應特征向量，記Ｐ＝｛ε１，ε２，…，εn｝2.3矩陣的逆及合同關系2.3.1矩陣的逆如果矩陣A有完全不同的特征值，則它必須有n個向量，且其自身的向量是線性獨立的，那么矩陣A和必須是診斷性的，或者B=P-1AP。在此期間，矩陣B是由矩陣a的所有固有值組成的對角矩陣，矩陣P為由A的所有特征向量組成的可逆矩陣。通過使用矩陣A的特征值和特征向量來求解矩陣A中各個元素的這一過程就被稱為矩陣A的逆2.3.2矩陣的合同關系設矩陣A，矩陣B為兩個任意n階實對稱矩陣，當矩陣A和矩陣B大于0的特征值個數(shù)相等且矩陣A和矩陣B小于0的特征值個數(shù)也相等時，稱矩陣A，B具有合同關系，或者說B與A合同。也就是說當存在可逆矩陣C使得B=CTAC成立時，則矩陣A，B具有合同關系。當A，B具有合同關系時，它們具有相同的正慣性指數(shù)和負慣性指數(shù)。2.4特征值和特征向量的解法特征值和特征向量的解法有很多，本文主要對性質(zhì)法、QR分解法和互逆變化法進行介紹。2.4.1性質(zhì)法性質(zhì)法是矩陣的特征值與特征向量的基礎解法，主要通過矩陣的性質(zhì)進行求解，下面以舉例進行說明：例：設矩陣A的特征值為－2，1，3，求矩陣A3－3A2+2A+1E的特征值。解:設f(x)=x3－3x2+2x+1，則有f(A)=A3－3A2+2A+1E。由性質(zhì)知f(A)的特征值為f(λ)，其中λ為矩陣A的特征值，而f(-2)=(-2)3-3(-2)2+2(-2)+1=-23;f(1)=13-3·12+2·1+1=1;f(3)=33-3·32+2·3+1=7。即矩陣A3－3A2+2A+1E的特征值為-23,1,7。2.4.2QR分解法QR分解法是求一般矩陣全部特征值的最有效并廣泛應用的方法，一般矩陣先經(jīng)過正交相似變化成為Hessenberg矩陣，然后再應用QR方法求特征值和特征向量。它是將矩陣分解成一個正規(guī)正交矩陣Q與上三角形矩陣R，所以稱為QR分解法，與此正規(guī)正交矩陣的通用符號Q有關。QR分解一般用于求解列滿秩矩陣Am×n的特征值和A的逆。對此列滿秩矩陣Am×n，必有Am×n=Qm×n·Rn×n。當Q為正交矩陣，即QT·Q=1時，R必為對角線下面的元素全為0的非奇異上三角矩陣。這樣用矩陣Q和R來進行A分解的過程就是QR分解。若R的對角線元素為正則解唯一。用QR分解來求矩陣Am×n的特征值的具體過程為：根據(jù)定義對式：Am×n=Qm×n·Rn×n做如下變換，A=QR=>QTA=QTQR=R=>QTAQ=RQ因為Q是正交陣，可知QTAQ的特征值即為矩陣A的特征值。令A1=RQ，對A1進行QR分解得：A1=Q2R2，令A2=R2Q2，對A2進行QR分解得：A2=Q3R3，照此繼續(xù)計算，直到對An-1進行QR分解得到一個只有對角線上有值，其他位置值都為0的矩陣An，此時矩陣An對角線上的值就是矩陣A對應的特征值。2.4.3互逆變化法如果矩陣A具有完全不同的自身值，則對應于每個自身值的內(nèi)部向量必須是線性獨立的，并且矩陣A必須是診斷的，因此存在矩陣P，P是由N個線性獨立的內(nèi)部向量A組成的可逆矩陣，已經(jīng)由矩陣A的特征值所構(gòu)成的對角矩陣B，且B=P－1AP，這種方法就稱為互逆變化法。定義：把矩陣的下列三種變換稱之為行列互逆變換。（1）互換i，j兩行，同時互換i，j兩列；（2）第i行乘非零數(shù)k，同時第i列乘（3）第i行k倍加到第j行，同時第j列k倍加到第i列。3應用及教學研究矩陣的特征向量和特征向量在數(shù)學應用、工程計算等大規(guī)模數(shù)值計算中起著極其重要的作用。目前，矩陣特征及其向量機的具體應用包括矩陣元素來確定矩陣及其向量機的特征、判定兩個矩陣是否相似、判斷兩個矩陣的合同關系、在矩陣運算中的應用等。矩陣的特征值與特征向量在現(xiàn)實中的應用主要是要利用矩陣的乘法、轉(zhuǎn)置等將現(xiàn)實中遇到的實際問題建模，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再通過矩陣計算求解，從而解決對應的實際問題。一般來說，日常生活中的實際問題主要可以分為宏觀和微觀兩個角度，其中宏觀角度的應用主要涉及一些基于大數(shù)據(jù)的宏觀調(diào)控，例如人口流動，三產(chǎn)比例變化；微觀角度則主要是針對特定對象的指定特征的分析管理，例如人員分配、生產(chǎn)調(diào)度等，以及各類基于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的排序和預測問題。3.1矩陣的特征值與特征向量在排名預測中的應用在體育運動領域中，由于互相競爭的選手和隊伍經(jīng)常會同場競技，所以可以經(jīng)由多個團隊的歷史戰(zhàn)績來預測循環(huán)比賽中各隊的排名。例1國內(nèi)某團體2018年國慶乒乓球象棋雙項邀請賽中乒乓球循環(huán)賽比賽結(jié)果如下表1所示，求乒乓球比賽最終排名。表1乒乓球循環(huán)賽比分一覽表解：先定義矩陣A的元素aij在比賽獲勝時為1，否則為0。則經(jīng)由對A進行求解，即可獲得排名。用MATLAB軟件實現(xiàn)計算的程序如下：A=[0,1,1,0,0,0,1,1;0,0,1,0,1,1,1,1;0,0,0,0,0,0,1,1;1,1,1,0,1,1,1,1;1,0,1,0,0,0,1,1;1,0,1,0,1,0,0,1;0,0,0,0,0,1,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0];[V,D]=eig(A);D=diag(D);[D,I]=sort(D,'descend');k=1;temp(1)={D(1:k)};temp(2)={V(:,I(1:k))};celldisp(temp(1));celldisp(temp(2));輸出結(jié)果見下圖1：

圖1計算結(jié)果1可知8人排名依次為：5，2，6，1，4，3，7，8。例2在例1所述的比賽中，象棋比賽的結(jié)果如下表2所示，求象棋比賽最終排名。表2象棋循環(huán)賽比分一覽表解：先定義矩陣A的元素aij在比賽獲勝時為1，否則為0。則經(jīng)由對A進行求解，即可獲得排名。用MATLAB軟件實現(xiàn)計算的程序如下：A=[0,1,1,1,0,0,1,0;0,0,0,0,1,0,1,1;0,0,0,0,0,0,1,0;0,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,1,0;1,1,1,1,1,0,1,0;0,0,0,1,0,0,0,0;1,0,1,1,1,1,1,1,0];[V,D]=eig(A);D=diag(D);[D,I]=sort(D,'descend');k=1;temp(1)={D(1:k)};temp(2)={V(:,I(1:k))};celldisp(temp(1));celldisp(temp(2));輸出結(jié)果見下圖2：圖2計算結(jié)果2可知8人排名依次為：3，4，6，7，5，2，8，1。3.2矩陣的特征值與特征向量在區(qū)域發(fā)展與污染管理中的應用在現(xiàn)有研究中，學者們在宏觀角度的研究主要集中在經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的相關性研究上，本文在此基礎上，針對當前世界范圍內(nèi)比較重視的碳中和領域進行研究，將一個區(qū)域的生產(chǎn)企業(yè)分為高碳排放，低碳排放和無碳排放三種類型，以矩陣為工具，通過三種類型企業(yè)前三年的變化建立發(fā)展模型，推測將來某年的企業(yè)數(shù)量。例3：假設某城市群管轄區(qū)域共有高碳排放，低碳排放和無碳排放三種類型企業(yè)共計50萬家，企業(yè)總數(shù)在不隨時間變化且三種類型企業(yè)相互之間存在轉(zhuǎn)換可能。該區(qū)域2018至2020年每年都調(diào)查了企業(yè)分布，具體情況如下：2018年有高碳排放企業(yè)25萬，低碳排放企業(yè)15萬和無碳排放企業(yè)10萬人；2019年有高碳排放企業(yè)21.5萬，低碳排放企業(yè)16.5萬和無碳排放企業(yè)12萬人；2020年有高碳排放企業(yè)19.55萬，低碳排放企業(yè)17.05萬和無碳排放企業(yè)13.4萬人?，F(xiàn)在要根據(jù)現(xiàn)有調(diào)查數(shù)據(jù)建立模型，預測2021年該區(qū)域高碳排放，低碳排放和無碳排放的數(shù)量。解：先通過分析該區(qū)域2018至2020年調(diào)查數(shù)據(jù)建立企業(yè)轉(zhuǎn)化模型設：第i年高碳排放，低碳排放和無碳排放三種類型企業(yè)數(shù)量分別為xi，yi，zi。則x0=25，y0=15，z0=10；x1=21.5，y1=16.5，z1=12；x2=19.55，y2=17.05，z2=13.4。假設高碳排放企業(yè)對下一年高碳排放企業(yè)，低碳排放企業(yè)和無碳排放企業(yè)的轉(zhuǎn)化系數(shù)分別為aa，ab，ac；低碳排放企業(yè)對下一年高碳排放企業(yè)，低碳排放企業(yè)和無碳排放企業(yè)的轉(zhuǎn)化系數(shù)分別為ba，bb，bc；無碳排放企業(yè)對下一年高碳排放企業(yè)，低碳排放企業(yè)和無碳排放企業(yè)的轉(zhuǎn)化系數(shù)分別為ca，cb，cc。則可列矩陣如下：代入（x0，y0，z0），（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）解得aa=0.7，ab=0.2，ac=0.1，ba=0.2，bb=0.7，bc=0.1，ca=0.1，cb=0.1，cc=0.8。通過分析該區(qū)域2018至2020年調(diào)查數(shù)據(jù)可知：A、每年所有的高碳排放企業(yè)中，有約20%的企業(yè)會減排成為低碳排放企業(yè)，有約10%會成為無碳排放企業(yè)；B、每年所有的低碳排放企業(yè)中，有約20%會提高產(chǎn)能成為高碳排放企業(yè)，有約10%會減排成為無碳排放企業(yè)；C、每年所有的無碳排放企業(yè)中，有約10%改行為高碳排放企業(yè)，有約10%改行為低碳排放企業(yè)。aa=0.7，ab=0.2，ac=0.1，ba=0.2，bb=0.7，bc=0.1，ca=0.1，cb=0.1，cc=0.8代入（1）得：因為2021年是x3，代入i=3：得x3=18.435，y3=17.185，z3=14.38，也就是說2021年預計有高碳排放企業(yè)18.435萬，低碳排放企業(yè)17.185萬和無碳排放企業(yè)14.38萬人。例4，國家統(tǒng)計局公布第四次全國經(jīng)濟普查主要數(shù)據(jù)。普查結(jié)果顯示，2018年末，全國共有從事第二產(chǎn)業(yè)和第三產(chǎn)業(yè)活動的法人單位2178.9萬個，與2013年第三次全國經(jīng)濟普查相比，增長100.7%，較五年前翻倍。第三產(chǎn)業(yè)從業(yè)人員五年增長28.9%。假設某地區(qū)2018年至2022總從業(yè)人口數(shù)量保持200萬人不變，2018年初第一產(chǎn)業(yè)50萬人，第二產(chǎn)業(yè)90萬人，第三產(chǎn)業(yè)60萬人，每年第一產(chǎn)業(yè)流出5%從業(yè)人口，其中4%流入第三產(chǎn)業(yè)，1%流入第二產(chǎn)業(yè)；每年第二產(chǎn)業(yè)流出15%從業(yè)人口，其中13%流入第三產(chǎn)業(yè)，2%流入第一產(chǎn)業(yè)；第三產(chǎn)業(yè)每年向一二產(chǎn)業(yè)各流出1%，求2022年末三大產(chǎn)業(yè)從業(yè)人員數(shù)量。解：首先構(gòu)造轉(zhuǎn)移矩陣A：（1）則可知：（2）代入X1=[50，90，60]T，當n=5時，X5=[48.57,44.91,106.52]T，2022年末三大產(chǎn)業(yè)從業(yè)人員數(shù)量分別為48.57萬人，44.91萬人和106.52萬人。3.3矩陣的特征值與特征向量在企業(yè)生產(chǎn)調(diào)度中的應用在企業(yè)生產(chǎn)調(diào)度中，面臨最大的一個問題就是如何針對不同的廠區(qū)、車間和訂單工量設計最優(yōu)化的工作計劃。本文中僅對某企業(yè)單一廠區(qū)的不同車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品進行研究，在現(xiàn)實中，隨著企業(yè)規(guī)模越大，其生產(chǎn)規(guī)模越大，生產(chǎn)種類越多，需要考慮的因素越多，轉(zhuǎn)化的矩陣也就越復雜。假設某企業(yè)有i個車間可以生產(chǎn)A產(chǎn)品，在A產(chǎn)品生產(chǎn)過程中需要j種原料或中間件，根據(jù)不同車間各工序的加工設備和操作人員的差別，在生產(chǎn)過程中原料或中間件的消耗系數(shù)為aij，則可構(gòu)成n階矩陣A，若A不為n階矩陣則通過對緊前或緊后工序進行關聯(lián)，將A調(diào)整為n階矩陣。通過求解A的特征值，可以獲得A的綜合生產(chǎn)效率，或通過已知訂單逆算各原料或中間件的需求量。例5：某企業(yè)有三條生產(chǎn)線都可以用三種原料生產(chǎn)某產(chǎn)品，消耗系數(shù)矩陣，求該產(chǎn)品的生產(chǎn)效率。解：首先解A的特征值與特征向量。由 解得特征值為3.2603，0.0864，0.0433對應特征向量分別為。由于值不能為負，合理特征值為3.2603，即該產(chǎn)品的綜合生產(chǎn)效率為3.2603。例6：某廠A車間有2條流水線負責生產(chǎn)5種零件，B車間有4條流水線負責將5種零件加工成4種不同產(chǎn)品，假定工人在任一流水線的生產(chǎn)效率相同，求各流水線人員最佳配比。表3各生產(chǎn)線生產(chǎn)消耗零件效率abcdeA-116A-2128B-123B-212B-334B-411解：考慮使用QR分解法，首先將上述表格內(nèi)容轉(zhuǎn)化為Ax=B的形式，假設x為各零件的生產(chǎn)或消耗速率，表示為x=[a，b，c，d，e]T，則有：解得x=[1.00，2.93，1.47，5.87，0.33，6.00]T，因此各流水線人員最佳配比為1：2.93：1.47：5.87：0.33：6。4矩陣的特征值與特征向量的應用教學研究作為線性代數(shù)教學中的一部分，矩陣的教學也是比較枯燥的，為此如何在課程中加入與學生學習或使用知識密切相關的應用例子，成為提高矩陣教學效果的重要方式。具體來說應用教學有以下好處：（1）提高學生的學習興趣和學習動機。從教學實踐的角度來看，應用教學作為補充課程，通過列舉與學生日常生活和專業(yè)學習相關的應用實例，讓學生們更廣泛的討論和思考，可以極大地促進學生的積極性和主動性。（2）提高學生分析、歸納和解決問題的能力。通過分析生活中各種問題的數(shù)學原理，讓學生理解這些問題是如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的，然后再通過思考這些問題的數(shù)學解，學生們也有機會在實踐中理解一個復雜的問題。通過分析，可以從一個相對簡單的數(shù)學問題，培養(yǎng)學生的思維能力和總結(jié)經(jīng)驗教訓的能力。通過應用案例引導學生從問題出發(fā)理解數(shù)學的本質(zhì)，可以讓學生思考在日常生活中的其他問題是否可以用同樣的方法解決，從而提高學生的接觸面，使其對生活中的實際問題具有更具現(xiàn)實意義的認知，和對這種問題的學習和處理能力。此外還需要讓學生對一個問題從更多不同的角度和方法來思考如何來解決問題。此外由于矩陣的特征值與特征向量的求解過程和計算過程通常比較復雜繁瑣，為了避免重復的定量計算，在日常生活中經(jīng)常使用MATLAB軟件來輔助計算，這就要求學生學會MATLAB軟件的使用方法。由于MATLAB是一種對初學者非常友好的編程語言，同時線性代數(shù)的計算也僅使用了MATLAB編程語言中較簡單的部分，因此，學生可以通過一個1至2小時的較短學習時間，就對MATLAB有一個簡單的了解，并掌握它在線性代數(shù)中的簡單應用。結(jié)論線性代數(shù)是一門大多數(shù)大學都會開設的基礎數(shù)學學科，而矩陣正是線性代數(shù)教學中核心且困難的一部分內(nèi)容，同時矩陣的特征值與特征向量在日常工作生活中有著舉足輕重的作用。通過對特征值與特征向量的分析、理論研究以及對其實際應用的深入研究，不但使得我們可以大幅度地提升我們對高等代數(shù)中矩陣相關理論內(nèi)容的基本掌握和應用水平，還使得我們可以充分運用矩陣相關的理論和實踐來幫助我們研究和解決各種實際的問題.它不僅在傳統(tǒng)數(shù)學研究方面一直是主要的探究問題對象，而且在反問題等實際的研究和運用都非?？赡鼙晃覀兛醋魇菍仃嚨奶卣髦岛途仃囂卣飨蛄康幕A性問題，有著非常廣泛的分析研究和實際應用。但由于內(nèi)容相對復雜且抽象，許多學生都難以理解這個關于符號和數(shù)字的數(shù)學游戲，學習的效果和積極性相對較低。通過在教學中引入與學生專業(yè)相關、生活相關的現(xiàn)代熱點技術(shù)應用實例，可以更好的對教學內(nèi)容進行解釋，使定義、定理更加形象化，同時可以培養(yǎng)學生的分析能力，歸納能力和對問題的處理能力。通過生動靈活的教學方式更好的提高學生對學習的能動性，從而提高學生的學習主動性，提高學生的學習效果，讓學生在未來的學習、生活和工作中受益一生。參考文獻[1]賀加來.矩陣A的特征值與特征向量的關系理論研究及