27/274.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01課標(biāo)要求 202落實(shí)主干知識(shí) 3一、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖 3二、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 3三、正弦函數(shù)的平移和伸縮變換 4常用二級(jí)結(jié)論 403探究核心題型 6題型一：五點(diǎn)作圖法 6題型二：求解對(duì)稱(chēng)性與最小正周期 8題型三：求解單調(diào)區(qū)間與最值 10題型四：求解三角函數(shù)解析式 11題型五：函數(shù)的奇偶性 13題型六：三角函數(shù)圖像的平移伸縮 15題型七：三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 17題型八：最值問(wèn)題常用方法：三角換元、導(dǎo)數(shù)、數(shù)形結(jié)合 19題型九：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題 2004好題賞析（一題多解） 2305數(shù)學(xué)思想方法 24①數(shù)形結(jié)合 24②轉(zhuǎn)化與化歸 25③分類(lèi)討論 2506課時(shí)精練（真題、模擬題） 26基礎(chǔ)過(guò)關(guān)篇 26能力拓展篇 28

1、能畫(huà)出三角函數(shù)的圖象.2、了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值.3、借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上的性質(zhì)及正切函數(shù)在上的性質(zhì).

一、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．二、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象定義域RR值域R周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無(wú)對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸方程直線直線無(wú)三、正弦函數(shù)的平移和伸縮變換函數(shù)的圖象可以通過(guò)下列兩種方式得到：1、2、關(guān)鍵：把握先移后縮和先縮后移的區(qū)別．類(lèi)比可以得到：，的圖像定理：則平移單位為（注意平移方向）常用二級(jí)結(jié)論周期定義域RR最大值1，當(dāng)取得A，當(dāng)取得最小值-1，當(dāng)取得-A，當(dāng)取得單調(diào)增區(qū)間 單調(diào)減區(qū)間對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心

題型一：五點(diǎn)作圖法【典例1-1】（2025·高一·四川成都·階段練習(xí)）某同學(xué)用“五點(diǎn)作圖法”畫(huà)函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并求出函數(shù)的解析式；(2)若在上有兩根，求的取值范圍.(3)若在上有兩根，求【典例1-2】（2025·高一·甘肅武威·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)根據(jù)五點(diǎn)作圖法完善以下表格，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)在的圖象；x0y

0

2

0(2)將圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖象上的各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，求的解析式，并寫(xiě)出曲線的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心.【解題總結(jié)】（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．【變式1-1】（2025·高一·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)在下列網(wǎng)格紙中利用“五點(diǎn)作圖法”作出函數(shù)的大致圖象，要求：列表，描點(diǎn)，連線；(2)若方程在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【變式1-2】（2025·高一·遼寧·期中）已知函數(shù).(1)根據(jù)五點(diǎn)作圖法完善以下表格，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中作出在上的圖象；0(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值及的對(duì)稱(chēng)軸方程.題型二：求解對(duì)稱(chēng)性與最小正周期【典例2-1】（2025·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程可以是（

）A． B． C． D．【典例2-2】（2025·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，對(duì)都有，則（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論：（1）函數(shù)的周期分別為，．（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均．【變式2-1】（2025·高三·河南新鄉(xiāng)·開(kāi)學(xué)考試）已知是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2025·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的圖象的兩對(duì)稱(chēng)中心間的最小距離為，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-3】（2025·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的取值可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-4】（2025·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則為（

）．A． B． C． D．【變式2-5】（2025·高三·廣東·開(kāi)學(xué)考試）若點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則a的最小值為（

）A． B． C． D．【變式2-6】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則的最大值為（）A． B． C． D．題型三：求解單調(diào)區(qū)間與最值【典例3-1】（2025·高三·江西南昌·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2025·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列區(qū)間中，函數(shù)不單調(diào)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個(gè)整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)?，則的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類(lèi)似處理即可．【變式3-1】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上單調(diào)，，若將曲線向右平移個(gè)單位后恰好關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則正數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（2025·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）

A．， B．，C．， D．，【變式3-3】（2025·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)的（

）A．單調(diào)遞增區(qū)間是 B．單調(diào)遞減區(qū)間是C．單調(diào)遞減區(qū)間是 D．單調(diào)遞增區(qū)間是題型四：求解三角函數(shù)解析式【典例4-1】（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）在物理學(xué)中簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)來(lái)表示，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)B．函數(shù)的解析式可以為C．函數(shù)在上的值域?yàn)镈．若把圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是【典例4-2】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】根據(jù)函數(shù)必關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，在三角函數(shù)中聯(lián)想到的模型，從圖象、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心、最值點(diǎn)或單調(diào)性來(lái)求解．【變式4-1】（2025·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象如圖所示.將的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則的解析式為（

）

A．B．C．D．【變式4-2】（2025·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【變式4-3】（2025·四川攀枝花·二模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)圖象解析式為（

）A． B． C． D．【變式4-4】（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖所示的曲線為函數(shù)的部分圖象，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，再將所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式為（

）A． B．C． D．題型五：函數(shù)的奇偶性【典例5-1】（2025·河北邯鄲·一模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則取得最小值時(shí)，（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2025·高三·天津紅橋·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)，將其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，若是使變換成立的最小正值，則（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．【變式5-1】（2025·高三·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且是的一個(gè)極值點(diǎn)，記的最小正周期為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2025·湖南湘潭·一模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)φ的值為（

）A． B． C． D．【變式5-3】（2025·高三·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)為奇函數(shù)，則下列能滿(mǎn)足條件的取值為（

）A． B． C． D．【變式5-4】（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離為，且為奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-5】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．題型六：三角函數(shù)圖像的平移伸縮【典例6-1】（2025·湖北黃岡·一模）已知函數(shù)，分別為的圖象兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，向量，，為得到函數(shù)的圖象，需要將的圖象（）A．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度B．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度D．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度【典例6-2】（2025·高三·山東青島·開(kāi)學(xué)考試）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變C．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變D．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變【解題總結(jié)】函數(shù)的圖象可以通過(guò)下列兩種方式得到：1、2、關(guān)鍵：把握先移后縮和先縮后移的區(qū)別．類(lèi)比可以得到：，的圖像定理：則平移單位為（注意平移方向）【變式6-1】（2025·高三·福建·開(kāi)學(xué)考試）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C．向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度【變式6-2】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，下列變換與“變換到”不相同的是（

）A．變換到B．變換到C．變換到D．變換到【變式6-3】（2025·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的函數(shù)解析式為（

）．A． B．C． D．【變式6-4】（2025·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度題型七：三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【典例7-1】（2025·廣西河池·二模）埃菲爾鐵塔作為巴黎奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志之一，你可以在鐵塔旁看到一段非常特殊的數(shù)學(xué)方程，它叫做埃菲爾鐵塔方程.這個(gè)方程不僅僅是一段數(shù)學(xué)公式，它還代表著法國(guó)工程師和建筑師埃菲爾（AlphonseEiffel）對(duì)科學(xué)和技術(shù)的貢獻(xiàn).方程定義：，這個(gè)方程中，代表一個(gè)給定的角度，則代表在這個(gè)角度下埃菲爾鐵塔的“高度”（這里的“高度”是方程用于模擬鐵塔形狀時(shí)的一個(gè)相對(duì)值，并非實(shí)際物理高度）.則埃菲爾鐵塔最大“高度”值為（

）A． B． C． D．2【典例7-2】（2025·高一·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，水利灌溉工具筒車(chē)的轉(zhuǎn)輪中心O到水面的距離為1m，筒車(chē)的半徑是3m，盛水筒的初始位置為，與水平正方向的夾角為．若筒車(chē)以角速度沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，t為筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)后盛水筒第一次到達(dá)入水點(diǎn)所需的時(shí)間（單位：min），則（

）A． B．C． D．【解題總結(jié)】以三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)作為命題背景，解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，創(chuàng)新性比較強(qiáng)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合和建模思想.一般以三角函數(shù)的最值為?？键c(diǎn)，也考查三角形相關(guān)的周長(zhǎng)和面積等問(wèn)題.【變式7-1】（2025·高一·上?！て谥校┠彻珗@擬修建一條坡道，坡道的底端在水平面上，頂端距離水平面4米，假設(shè)坡道（不計(jì)寬度）是直線段，其所在直線與水平面所成角為，游客上坡時(shí)，每行走1米的“體力消耗”為.若要使游客從坡道底端行走到頂端的體力消耗最小.高一的小張、小王、小趙、小李四位同學(xué)分別通過(guò)計(jì)算對(duì)角度提出近似值，則四人提出的近似值中體力消耗最少的是（

）A．小趙：； B．小王：； C．小李：； D．小張：；【變式7-2】（2025·高一·江西·階段練習(xí)）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（單位：m）隨時(shí)間（單位：）的變化近似滿(mǎn)足關(guān)系式，若一天中最高水位為14m，最低水位為6m，則該港口一天內(nèi)水位不小于8m的時(shí)長(zhǎng)為（

）A．12h B．14h C．16h D．18h【變式7-3】（2025·高一·安徽馬鞍山·開(kāi)學(xué)考試）“古典正弦”定義為：在如圖所示的單位圓中，當(dāng)圓心角的范圍為時(shí)，其所對(duì)的“古典正弦”為（為的中點(diǎn)）．根據(jù)以上信息，當(dāng)圓心角對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)時(shí)，的“古典正弦”值為（

）A． B． C． D．【變式7-4】（2025·高三·山西·期末）天文計(jì)算的需要，促進(jìn)了三角學(xué)和幾何學(xué)的發(fā)展.10世紀(jì)的科學(xué)家比魯尼的著作《馬蘇德規(guī)律》一書(shū)中記錄了在三角學(xué)方面的一些創(chuàng)造性的工作.比魯尼給出了一種測(cè)量地球半徑的方法：先用邊長(zhǎng)帶有刻度的正方形測(cè)得一座山的高（如圖1），再于山頂T處懸一個(gè)直徑為且可以轉(zhuǎn)動(dòng)的圓環(huán)（如圖2），從山頂T處觀測(cè)地平線上的一點(diǎn)I，測(cè)得且，由此可以算得地球的半徑（

）A． B． C． D．【變式7-5】（2025·高一·湖北武漢·期末）如圖，摩天輪上一點(diǎn)在時(shí)刻距離地面的高度滿(mǎn)足，已知某摩天輪的半徑為米，點(diǎn)距地面的高度為米，摩天輪做勻速運(yùn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)，則（米）關(guān)于（分鐘）的解析式為（

）A． B．C． D．題型八：最值問(wèn)題常用方法：三角換元、導(dǎo)數(shù)、數(shù)形結(jié)合【典例8-1】（2025·高三·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）已知，，則的最小值為.【典例8-2】（2025·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的最大值為【解題總結(jié)】求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過(guò)三角變換化歸為下列基本類(lèi)型處理．（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．（2），引入輔助角，化為，求解方法同類(lèi)型（1）（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．（6）導(dǎo)數(shù)法（7）權(quán)方和不等式【變式8-1】（2025·高三·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上既有最大值，也有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式8-2】（2025·高三·北京·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為．【變式8-3】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）在中，若，則的取值范圍為.【變式8-4】（2025·高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，，最小值為．【變式8-5】（2025·高三·湖南常德·期末）已知，則函數(shù)的最小值為．題型九：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題【典例9-1】（多選題）（2025·高三·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）已知，其中，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)可能有兩個(gè)零點(diǎn) B．函數(shù)可能有三個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)可能有四個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)可能有五個(gè)零點(diǎn)【典例9-2】（多選題）（2025·高三·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，在上單調(diào)遞減B．若且，則C．若在上有且僅有2個(gè)不同的解，則的取值范圍為D．存在，使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)【解題總結(jié)】三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性）中，尤為重要的是對(duì)稱(chēng)性．因?yàn)閷?duì)稱(chēng)性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對(duì)稱(chēng)性周期性（相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是；相鄰的對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為；相鄰的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為）；對(duì)稱(chēng)性單調(diào)性（在相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對(duì)稱(chēng)性之間的緊密聯(lián)系）【變式9-1】（多選題）（2025·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．是的對(duì)稱(chēng)軸B．是的周期C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的最大值為2【變式9-2】（多選題）（2025·廣東梅州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．在定義域內(nèi)是增函數(shù)B．的最小正周期為C．函數(shù)的定義域是D．是圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心【變式9-3】（多選題）（2025·高三·貴州·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的最小正周期為，則（

）A．B．C．在上單調(diào)遞減D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)【變式9-4】（多選題）（2025·高三·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．是周期函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．的值域?yàn)镈．當(dāng)在上有2個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，的取值范圍是

1．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．22．（2025年高考全國(guó)一卷數(shù)學(xué)真題）（1）求函數(shù)在區(qū)間的最大值；（2）給定和，證明：存在使得；（3）設(shè)，若存在使得對(duì)恒成立，求b的最小值．①數(shù)形結(jié)合1．設(shè)函數(shù)在，]的圖像大致如下圖，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)，在處取得最大值，且將曲線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7②轉(zhuǎn)化與化歸4．已知函數(shù)的極值點(diǎn)與的零點(diǎn)完全相同，則

A． B． C．1 D．25．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是

A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點(diǎn)，則的最小值為

A．8 B．6 C．4 D．3③分類(lèi)討論7．已知函數(shù)的部分圖象，如圖所示，則滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)x為

．8．若定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值是

．9．若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的m的個(gè)數(shù)為

．

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)篇1．（2025年高考北京卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點(diǎn)，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．32．（2025年高考天津卷數(shù)學(xué)真題），在上單調(diào)遞增，且為它的一條對(duì)稱(chēng)軸，是它的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，當(dāng)時(shí)，的最小值為（

）A． B． C．1 D．03．（2025年高考全國(guó)一卷數(shù)學(xué)真題）已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則a的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．85．（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)試題（網(wǎng)絡(luò)收集版））下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．6．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則在區(qū)間上的最小值是（

）A． B． C．0 D．8．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（

）A． B． C． D．9．（2023年上海秋季高考數(shù)學(xué)試題（網(wǎng)絡(luò)收集版））已知，函數(shù)在區(qū)間上最小值為，在區(qū)間上的最小值為變化時(shí)，下列不可能的是（

）A．且 B．且 C．且 D．且10．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．411．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且的一個(gè)周期為4，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．12．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）對(duì)于函數(shù)和，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對(duì)稱(chēng)軸13．（2025年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題（網(wǎng)絡(luò)收集版））函數(shù)在上的值域?yàn)椋?4．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).若，則的最大值為．15．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）函數(shù)在上的最大值是．16．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說(shuō)明p為假命題的一組的值為，．17．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．

18．（2025年高考全國(guó)二卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)．(1)求;(2)設(shè)函數(shù)，求的值域和單調(diào)區(qū)間．能力拓展篇1．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．2．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸，則（

）A． B． C． D．3．（2025·浙江嘉興·一模）已知函數(shù)的最小正周期為，若，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．4．（2025·湖北黃岡·一模）高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)．稱(chēng)為高斯函數(shù)，其中，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在上單調(diào)遞增B．C．若，則的值域?yàn)镈．若，則的值域?yàn)?．（2025·河北·一模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．（2025·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)部分圖象如圖所示，其中，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．7．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若直線與曲線從左往右僅相交于三點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．8．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移