2/2第一章勾股定理建議用時(shí)：100分鐘，滿(mǎn)分：120分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（

）A．5，12，11 B．6，8，10C．，2， D．15，17，18【答案】B【分析】本題考查勾股數(shù)，熟知勾股數(shù)的定義是正確解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)的定義，三個(gè)正整數(shù)滿(mǎn)足兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，即為勾股數(shù)．逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可．【詳解】解：A．，而，故不是勾股數(shù)，不符合題意；B．，而，故是勾股數(shù)，符合題意；C．，均非正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；D．，而，故不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：B．2．如圖，若正方形A，B的面積分別為25和9，則正方形C的面積是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的幾何應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，再結(jié)合正方形的面積，得出，進(jìn)而即可得出答案．【詳解】解：如圖，由題意得，，四邊形都是正方形，，，，正方形A、B的面積分別為25和9，，，，正方形C的面積為：故選：D．3．如圖，在中，，，，則點(diǎn)到的距離是（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①利用勾股定理求出，②利用面積表達(dá)式求解．【詳解】解：在中，，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，即為點(diǎn)到的距離，，，，．故選：D．4．已知，，是的三條邊，則下列條件能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練應(yīng)用勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形內(nèi)角和定理逐項(xiàng)分析判斷即可解答．【詳解】解：A．由，設(shè)，則，即，能判定不是直角三角形，不合題意；B．由可得，能判定是直角三角形，符合題意；C．由可得，不能判定是直角三角形，不合題意；D．由可得，不能判定是直角三角形，不合題意．故選：B．5．一個(gè)直角三角形，若三邊的平方和為，則斜邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為，為斜邊，利用勾股定理可得，據(jù)此解答即可求解，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為，為斜邊，由勾股定理得，，∵一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)的平方和為，∴，∴，∴，∴，即斜邊長(zhǎng)為，故選：．6．如圖，一棵樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中，從離地面的點(diǎn)C處折斷，倒下后樹(shù)頂端著地點(diǎn)B與樹(shù)底端A相距，則這棵樹(shù)在折斷前的高度是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)，且結(jié)合勾股定理列式代入數(shù)值計(jì)算，即可作答．【詳解】解：依題意，則∴∴這棵樹(shù)在折斷前的高度是，故選：C7．《九章算術(shù)》中記載：今有戶(hù)不知高廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出，問(wèn)戶(hù)斜幾何？意思是：今有門(mén)，不知其高寬，不知其長(zhǎng)短．將一根竿子橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺；豎放竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺，斜著放，竿與門(mén)對(duì)角線(xiàn)恰恰相等．問(wèn)門(mén)高、寬、對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別是多少．若設(shè)門(mén)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用勾股定理將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中是解答本題的關(guān)鍵．由題意可知：竿斜放就恰好等于門(mén)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，可與門(mén)的寬和高構(gòu)成直角三角形，然后運(yùn)用勾股定理列方程即可．【詳解】解：設(shè)門(mén)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為x尺，則竿的長(zhǎng)度為x尺，門(mén)寬為尺，高為尺，根據(jù)勾股定理可得：．故選：C．8．如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題是（

）A．三角形內(nèi)角和定理 B．勾股定理C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的證明．根據(jù)“弦圖”說(shuō)明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解決的問(wèn)題是：勾股定理即可得出．【詳解】解：“弦圖”說(shuō)明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解決的問(wèn)題是：勾股定理．故選：B．9．如圖，在中，，將它的銳角A翻折，使得點(diǎn)A落在邊的中點(diǎn)D處，折痕交邊于點(diǎn)E，交邊于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理，由題意得出，由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，再由勾股定理計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，由勾股定理得，，解得：，，故選：D．10．如圖，在水平直線(xiàn)上依次擺著7個(gè)正方形，已知傾斜放置的3個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的4個(gè)正方形的面積分別為，，，，則（

）A．5 B．6 C．4 D．8【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，，再根據(jù)等角的余角相等得到，則可根據(jù)“”判斷，于是有，然后利用勾股定理得到，代換后有，根據(jù)正方形的面積公式得到，，，所以，利用同樣方法可得到，通過(guò)計(jì)算可得解，解答此題的關(guān)鍵是注意發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小正方形的面積和正好是中間的正方形的面積．【詳解】解：如圖，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，同理可得，∴，故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．在中，，，則．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．根據(jù)的度數(shù)確定為直角三角形，且為斜邊，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：中，，為直角三角形，且為斜邊．，．故答案為：．12．如圖，在中，，，，在上截??；在上截取，則．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．由勾股定理求出，由題意知：，再根據(jù)求出，最后根據(jù)即可得解．【詳解】解：在中，，由題意知：，，，故答案為：．13．如圖，在3×3的網(wǎng)格上標(biāo)出了和，則．【答案】/45度【分析】通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造平行線(xiàn)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)將、轉(zhuǎn)化為、，再通過(guò)計(jì)算三角形邊長(zhǎng)，判斷三角形形狀，進(jìn)而求出的度數(shù)．本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理，熟練掌握平行線(xiàn)性質(zhì)實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用勾股定理及其逆定理判斷三角形形狀是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵，∴，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即．故答案為：．14．某公司舉行開(kāi)業(yè)一周年慶典，準(zhǔn)備在一個(gè)長(zhǎng)，高的臺(tái)階上鋪設(shè)地毯（如圖），若臺(tái)階的寬為，地毯的價(jià)格為120元，則購(gòu)買(mǎi)地毯需花費(fèi)元．【答案】8160【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，先利用勾股定理求出臺(tái)階最上面和最下面的水平距離，再求出需要鋪設(shè)的地毯面積即可得到答案．【詳解】解：由題意得，臺(tái)階最上面和最下面的水平距離為，∴購(gòu)買(mǎi)地毯需花費(fèi)元，故答案為：8160．15．如圖，在中，，，分別以為直徑作半圓，面積分別記為，則．【答案】【分析】本題主要查了勾股定理．根據(jù)勾股定理可得，再由，即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，∴．故答案為：16．如圖是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，秋千向兩邊擺動(dòng)的角度相同，擺動(dòng)的水平距離為，擺至最高位置時(shí)與最低位置時(shí)的高度之差為，則該秋千的繩長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，理解圖示，掌握勾股定理的計(jì)算是關(guān)鍵．根據(jù)題意可證，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，，且，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，，∴，整理得，，解得，，∴，故答案為：．三、解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題，每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）17．在中，，三條邊長(zhǎng)如圖所示，求的值．【答案】的值為5【分析】本題考查勾股定理，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理，即可解答．【詳解】解：由勾股定理得解得∴的值為5．18．為了求出湖兩岸，兩點(diǎn)之間的距離，觀測(cè)者小林在點(diǎn)設(shè)樁，使恰好為直角三角形，如圖所示，通過(guò)測(cè)量得長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，請(qǐng)求出圖中、兩點(diǎn)之間的距離．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的形式．在中，利用勾股定理求出即可得出答案．【詳解】解：由題意得，，，，在中，．答：點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．19．如圖，在中，，垂足為．(1)若，，直接寫(xiě)出的值為；(2)若，，求的長(zhǎng)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用三角形的面積即可求解；（2）由已知可得，再分別在、和中，利用勾股定理可得，據(jù)此即可求解．本題考查了勾股定理，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：在中，∵，，，∴，∵，∴，即，∴；故答案為：；（2）解：，，，，，在中，，即，在中，，即，在中，，即，解得．20．如圖，一架長(zhǎng)米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子底端離墻米．(1)此時(shí)梯子頂端A離地面多少米？(2)若梯子頂端A下滑米到C，那么梯子底端B將向左滑動(dòng)多少米到D？【答案】(1)米(2)米【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案；（2）在中利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，在中，米，米，，∴米，∴梯子頂端A離地面米；（2）解：在中，米，米，，∴米，∴米，∴梯子底端B將向左滑動(dòng)米到D．21．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）．(1)求邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求t的值．【答案】(1)邊的長(zhǎng)為(2)或【分析】本題考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理直接求解；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)為直角，②當(dāng)為直角，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：在中，∴邊的長(zhǎng)為．（2）解：由題意知，①當(dāng)為直角時(shí)，如圖1，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，，即；②當(dāng)為直角時(shí)，如圖2，，，．在中，，在中，，即，解得．綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，或．22．八年級(jí)開(kāi)展了手工制作競(jìng)賽，每個(gè)同學(xué)都在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一件手工作品．陳莉同學(xué)在制作手工作品的第①②步驟是：①先裁下了一張長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形紙片；②將紙片沿著直線(xiàn)折疊，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處．請(qǐng)你根據(jù)①②步驟解答下列問(wèn)題：求，的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．由折疊的性質(zhì)可知，，，由勾股定理得，則，設(shè)，由勾股定理得，即，計(jì)算求解然后作答即可．【詳解】解：∵長(zhǎng)方形，∴，，由折疊的性質(zhì)可知，，，由勾股定理得，，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，∴，∴．23．閱讀與理解閱讀下面材料，在理解的基礎(chǔ)上解決下列問(wèn)題．勾股數(shù)，也稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯數(shù)，是指滿(mǎn)足勾股定理的三個(gè)正整數(shù)a，b，c．其中a和b是直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)，c是斜邊長(zhǎng)．勾股數(shù)可以通過(guò)以下公式生成：，，，其中m和n都是正整數(shù)，且．例如，當(dāng)，時(shí)，，，．因此，是一組勾股數(shù)．(1)使用勾股數(shù)生成公式，當(dāng)，時(shí)，求對(duì)應(yīng)的勾股數(shù)．(2)若小明通過(guò)材料中的勾股數(shù)生成公式得到勾股數(shù)，請(qǐng)你計(jì)算他代入的正整數(shù)m和的值．【答案】(1)(2)，【分析】本題考查了勾股數(shù)，理解題意是解此題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)，時(shí)，代入勾股數(shù)生成公式計(jì)算即可得解；（2）由題意求出，從而可得，或，，再結(jié)合題意驗(yàn)證即可得解．【詳解】（1）解：當(dāng)，時(shí)，代入勾股數(shù)生成公式，得，，．對(duì)應(yīng)的勾股數(shù)是．（2）解：根據(jù)題意得，，．．又，m，n都是正整數(shù)，，或，．當(dāng)，時(shí)，，不符合題意；當(dāng)，時(shí)，，，符合題意．∴，．24．【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問(wèn)題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20、3、2，和是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若點(diǎn)處有一只螞蟻要到點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)成平面圖形，可得到長(zhǎng)為20．寬為15的長(zhǎng)方形，連接，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到長(zhǎng)度為_(kāi)__________，就是最短路程．【變式探究】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是，高是，若螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為_(kāi)__________．-【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）（畫(huà)出示意圖并進(jìn)行計(jì)算）【答案】（1）（2）（3）【分析】本題考查了平面展開(kāi)圖—最短路徑問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）將圓柱體展開(kāi)，利用勾股定理求解即可；（3）從玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知的長(zhǎng)度即為所求，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）由題意得，故答案為：；（2）將圓柱體展開(kāi)，由題意得，故答案為：；（3）如圖，從玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，，,，，，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所爬行的最短路程是．25．我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示的圖形，其中四邊形和四邊形都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長(zhǎng)