2025-2026學年高二上學期第一次數(shù)學月考(立體幾何)卷

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將咱己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卜?上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：滬教版2020必修第三冊第十章。

5.難度系數(shù)：0.65o

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7?12題每題5分)

1直線《：&v+y+l=0與直線6：這一丁+1=0垂直，則實數(shù)

2.已知直線/：瓜-y+2=(),Z2:3x+x/3y-5=(),則直線(、"的夾角為

3.過點P(2,3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是

4.一條光線經(jīng)過點A(2,3)射到直線x+y+l=0上，被反射后經(jīng)過點8(1/)，

則入射光線所在直線的方程為

5.與圓G：(x-l)2+(y-2>=4,G：(x+l)2+(y—2/=4同時相切的直線有條6.如圖，在正

方體ABCD-A】BigD］中，異面直線A〔D與BD1所成的角為.

7.在長方體ABCD-AiBigDi中，AB=2,AD=3,AA1=4,

則直線AC】與平面BB13C所成角的大小為.

8.如圖是正方體的平面展開圖.在這個正方體中，

?AF//NC；②BM〃平面AEND；③CN_L平面ADF；④平面BDE〃平面NCF.

以上四個命題中，正確命題的序號是

9.如圖，邊長為2的兩個等邊三侑形ABC,DBC,若點A到平面BCD的距離為1,則二面角A-BC-D的大小

為

A

10.如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對“；在正方體中,

由兩個頂點確定的直線與由頂點確定的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)為.

11.如圖，正方形48co所在平面外一點P滿足=P8=PC=PO,△PAC是邊長為3的等邊三角形,

點M是的重心，過點M作與平面P4C垂直的平面a,平面a與截面PAC交線段的長度為2,則平面a

與正四棱錐P-ABC。表面交線所圍成的封閉圖形的面積可能為（填序號）.①2；②2&；③3；④2亞

12.己知48。0￡>f-力1當。1。1〃1&是單位正六棱柱（即所有的棱長都是1，如圖所示），黑、白兩個螞蟻

同時從點A出發(fā)沿校向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”.黑螞蟻爬行的路線是T力/1T…，

白螞蟻爬行的路線是48TBB]T….它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在的直線必須是

異面直線（其中i是正整數(shù)）.設(shè)黑、白兩螞蟻走完2025段后各停留在正六棱柱的某個頂點處，

這時黑、白兩螞蟻的距離是.

二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15-16題每題5分;

每題有且只有一個正確選項）

13.設(shè)a、b、c表示三條直線，a.0表示兩個平面，下面命題中不正確的是（）

alb\b||c）

a

A.=a邛B.b在B內(nèi)l=>blcC.b在a內(nèi)l^>c||aD.^}=>bla

a//Pc是a在口內(nèi)的射影Jc不在apj

14.在四面體ABCD中，已知ABICD,AC1BD,若△BCD不是等邊三角形，且點A在平面BCD上的

投影0位于△BCD內(nèi)，則點0是△BCD的（）A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

15.在正方體ABCD-A]B〔CiDi中，點M在線段eg上，點N為線段AAi的中點，

記平面BDMC平面B]D】M=1,則下列說法一定正確的是（）

A.1_L平面BDNB.1_L平面B[D]NC.1JL平面CDDRiD.1工平面ACgA1

16.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-AiBigDi中，點M、N分別在線段AD1和瓦。上，給出下列命題:

①有且僅有一條直線MN與AD1垂直；②存在點M、N,使AMBN為等邊三角形，則（）

A.①、②均為真命題B.①、②均為假命題C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，第17?19題每題14分，第20、21題每題18分.）

17.（1）用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：直線AB,AC分別在平面a,p內(nèi)，且點A在平面a

與平面P的交線1上：（2）在正方體ABCD-A]B】C】DiB,M,N,P分別是A]B|,AD,BBi的中點,

平面a過M,N,P三點，則平面a截此正方體的截面為一個多邊形，

（i）僅用鉛筆和無刻度直尺，在正方體中畫出此截面多邊形（保留作圖痕跡，不需要寫作圖步驟）；

（ii）若正方體的棱長為6,直接寫出此截面多邊形的周長.

18.如圖，直角梯形ABCD與梯形EFCD全等，其中AB〃CD〃EF,AD=AB=JCD=1,且EDJ_平面ABCD,

點G是CD的中點.（1）求證：平面BCF〃平面AEG；（2）求平面BCF與平面AEG的距離.

/DC

圖（1）圖（2）

（1）證明：圖（2）中的A,C,G,D四點共面，且平面ABC1平面BCGE；

（2）求圖（2）中的四邊形ACGD的面積；（3）求圖（2）中的二面角B-CG-A的大小.

21.已知矩形力BCD的長為2,寬為1.（如圖所示）

（1）若￡為。。的中點，將矩形沿8E折起，使得平面平面A8CD,分別求C到48和.4。的距離；

（2）在矩形A8C。中，點M是4）的中點、點N是A8的三等分點（靠近A點）.沿折痕MN將aAMN

翻折成aAMN,使平面AMN，平面ABC。.又點G,”分別在線段N8,C。上，若沿折痕G”將四邊形GUC8

向上翻折，使。與A重合，求線段NG的長.

2025-2026學年高二上學期第一次月考數(shù)學卷全解析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項:

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡匕

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：滬教版202。必修第三冊第十章.

5.難度系數(shù)：0.65o

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分)

1直線/1:ov+y+1=()與直線4:or-y+1=()垂直，則實數(shù)4=

I.±1【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，化簡求得〃的值.

【詳解】由于所以“xa+lx(—l)=0=>〃=±l.故答案為：±1

2.已知直線《：瓜-y+2=(),Z2:3x+x/3y-5=(),則直線(、"的夾角為

2.y【分析】將直線方程化為斜截式方程，進而求得傾斜角，再求解夾角即可.

【詳解】將直線方程化為斜截式方程得《：)，=瓜+2/:)，=-氐+竽=0,

所以直線乙的傾斜角為直線4的傾斜角為斗，所以直線4與4的夾角是g故答案為：7

3.過點P(2,3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是

3.3x-2產(chǎn)0或x+y-5=0【分析】分截距為。時和截距不為0時兩類討論，分別求出直線的方程可得答案.

XV93

【詳解】當截距為。時，直線方程為3m2尸0：當截距不為0時.設(shè)直線方程為土+上=1,則二+三=1,

aaaa

解得a=5,所以直線方程為x+y-5=0.綜上，直線方程為3x-2y=0或x+y-5=0.故答案為：3x-2>,=0或x+)，-5=0.

4.一條光線經(jīng)過點A(2,3)射到直線x+y+l=0上，被反射后經(jīng)過點8(1,1),則入射光線所在直線的方程為

4.5%-"+2=0【分析】先求點B關(guān)于直線的對稱點茨,連接4萬，則直線A&即為所求.

^1l+A1l+i=o__2

【詳解】設(shè)點B關(guān)于直線/+y+l=0的對稱點為&(”。)，則:2，解得/二，

Azl.(_|)=_i[%=-2

3-(-2)55

所以*(一2,-2),又點42.3),所以&.=#引="直線49的方程為：y-3=^x-2),由圖可知，

直線A"即為入射光線，所以化管得入射光線所在直線的方程：5*-”+2=0.

故答案為：5x-4.y+2=0.

5.與圓G：Q—i)2+(y—2)2=4,C2：(x+i)2+(y—2)2=4同時相切的直線有條

5.2【分析】判斷兩個圓的位置關(guān)系，由此確定正確答案.【詳解】圓C的圓心為(1,2),半徑為2；

圓G的圓心為(T,2),半徑為2；圓心距|?！陓="而=2武0,4),所以兩圓相交，公切線有2條.

故答案為：2.

6.如圖，在正方體ABCD-A1B13D1中，異面直線A】D與BD】所成的角為

6.90。【分析】根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特征，利用線面垂直的性質(zhì)、判定定理判斷

異面直線A[D與BD]的位置關(guān)系.【詳解】連接AD]，由正方體結(jié)構(gòu)特征，

有AD[1A]D,又AB1面ADDiAi，A】Du面ADD[A],則AB1A】D,

由AD】CAB-A且都在面ABD「則面ABDrBD[u面ABDi

故AiDlBDi，即異面直線AiD與BDi所成的角為90。.故答案為：90°.

7.在長方體ABCD-ASigDi中：AB=2,AD=3,AA]=4,

則直線AC】與平面BB】C】C所成角的大小為.

7.arctan：【分析】由長方體結(jié)構(gòu)及線面角的定義找到所求線面角的平面角zBC】A,

并應用反三角函數(shù)表示角的大小即可.【詳解】如下圖，由題設(shè)易知AB1面BBigC,

故直線AC]與平面BB￡iC所成角為NBCiA,而=V32+42=5,

故tanzBCjA=普=；,即/BgA=arctan；.故答案為：arctan7

BC1555

8.如圖是正方體的平面展開圖.在這個正方體中,

①AF〃NC：②BM〃平面AEND；?CN_L平面ADF；④平而BDE〃平面NCF.

以上四個命題中，正確命題的序號是

8.②③④【分析】還原幾何體，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征及線面、面面平行的

判定、線面垂直的判定判斷各項的正誤即可.【詳解】將展開圖還原為幾何體如下,

由正方體的結(jié)構(gòu)特征，AF,NC異面，故不平行，①錯；且BM〃AN,BMC面AEND,

ANu面AEND,則BM〃平面AEND成立，②對；有CN1DM,FMiffiCDNM,CNu

面CDNM,則FM1CN,DMDFM=M都在面ADMF,則CN1面ADMF,即CN1平

面ADF,③對；易得BE〃CN,而BEC面NCF,CNu面NCF,

則BE〃面NCF,同時有BD〃NF,司理易得BD〃面NCF,

又BDnBE=B都在面BDE,所以平面BDE〃平面NCF,④對.故答案為：②?④.

9.如圖，邊長為2的兩個等邊三角形ABC,DBC,若點A到平面BCD的距離為1,

9.arcsin曰【分析】先判斷得二面角A-BC-D的平面角為乙AEF,再利用線面垂直的判定定理證得

AFJ_平面BCD,從而得到AF=1,進而求得siaiAEF,由此得解.【詳解】取BC中點E,連接AE,EF,

過A作AFJLDE于F,因為△ABC,ZkDBC是正三角形，所以AE1BC,DE1BC,

所以二面角A-BC-D的平面角為iAEF,又AEnDE=E,AE,DEu面AEF,所以BC1面AEF,

又AFu面AEF,所以BC1AF,因為AF1DE,DEnBC=E,DE、BCu平面BCD,所以AF_L平面BCD,

則點A到平面BCD的距離為AF,即AF=1,乂在邊長為2的4ABC中,

AE=JAB2-QBC)2=V3,所以5訪乙御=爺=專=苧，NAEF是銳角，

則二面角A-BC-D的大小為arcsin事故答案為：arcsing

JO

10.如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對“；在正方體中,

由兩個頂點確定的直線與由頂點確定的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)為.

10.44【分析】根據(jù)題中定義“正交線面對”的含義，找出正方體中“正交線面對”的組數(shù)，即可得出結(jié)果.

【詳解】如果一條直線與一個平面垂直，那么，這一組直線與平面就構(gòu)成一個正交線面對.如下圖所示：

:X/

4人—rjzzYD

/-//

Iz-----%X安1/X

①對于正方體的每一條棱，都有2個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12x2=24個：

②對于正方體的每一條面對角線（如46，則力iG_L平面

下面簡單證明4cl平面因為1平面4B】G?！?，4Gu平面力］8￡為，所以B811A1G，

又因為力iG1&Di，且u平面8B1D1D,BBXC\BXDX=所以41cl1平面88山山.

每一條面對角線均有一個對角面構(gòu)成“正交線面對“，這樣的“正交線面對“有12x1=12個.

③對于正方體的每一條體對角線,（如AC1,則4cli平面81CDJ,由CQ1平面4記心。1，

BQu平面力道1。1。1，則Bi。11CCi，而14G，又41GnCQ=Q,于是%51平面ACC14,

而71clu平面力CG&，因此4G-L81。1，同理4G-LB1C,又B1CAB1D1=%,故_L平面為。5,

每一條體對角線都有兩個面構(gòu)成“正交線面對“，共有4x2=8個，

綜上所述，正方體中的“正交線面對”共有44個.故答案為：44.

11.如圖，正方形A8CD所在平面外一點P滿足PA=PB=PC=PD,△PHC是邊長為3的等邊三角形，

點必是△P4C的重心，過點M作與平面P4C垂直的平面防平面a與截面PAC交線段的長度為2,則平面a

與正四棱錐P—/1BC7）表面交線所圍成的封閉圖形的面積可能為（填序號）.①2；②2或；③3；④2g.

II.①③【分析】設(shè)力CC8D=。，由正四棱錐P-48CD的性質(zhì)，易知BO1平面P4C,過M作M77/B。分

別交棱P3、PD于點、T、L,則MTJ_平面PAC,由題意，只需所作的平面a是包含TL且與截面陰。交線段的

長度為2即可，數(shù)形結(jié)合，作出截面即可得到答案.【詳解】設(shè),4CnB0=。，顯然P-ABG）為正四棱錐,

易知平面P/C1平面ABCD,又BO1AC,平面P4Cn平面4=AC,BOu平面4BCD,所以BO1平面PAC,

過M作MTV/8。分別交棱PB、PD于點八L,則MT1平面R4C,由題意，只需所作的平面a是包含77?旦與

截面限C交線段的長度為2即可，又△PAC是邊長為3的等邊三角形，點”是4P4c的重心，過M作MQ〃/1C

分別交棱P/、PC于點E、Q,所以器=*，即學=j所以EQ=2,

如圖I,則平面￡TQL為滿足題意的平面a,顯然四邊形ETQL為正方形，對角線FL=QE=2,

所以四邊形ETQL的面積為S^QL=；x22=2,①正確；

如圖2,過T作TH〃GF,過L作LQ〃GF,易知平面GLQ”7為滿足題意的平面a,

且GLQHT為兩個全等的直角梯形，易知八H分別為GE、E尸的中點，所以“7=：6尸=1,

所以五邊形GLQHT的面積S=2s楞形GFHT=2x也產(chǎn)x"7=2x詈xl=3,

故③正確.當GF〃PA與G/7/PC是完全相同的，所以，綜上選①③.故答案為：①③

12.已知力BCDE尸—力］當前。1位尸1是單位正六棱柱（即所有的棱長都是1,如圖所示），黑、白兩個螞蟻

同時從點A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”.黑螞蟻爬行的路線是44->4居->???,

白螞蚊爬行的路線是48->BBi-….它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在的直線必須是

異面直線（其中，是正整數(shù)）.設(shè)黑、白兩螞蟻走完2025段后各停留在正六棱柱的某個頂點處，

這時黑、白兩螞蟻的距離是.

12.1【分析】根據(jù)已知條件先分析出黑、白蟻路線的規(guī)律，然后考慮走完2025段相當于走了多少個周期，

從而確定出最終位置即可求解出黑、白兩蟻的距離.【詳解】因為螞蟻爬行的第i+2段與第i段所在直線必須

是異面直線，則黑螞蟻爬行的路線是ATAI—FITEITETDTCTCITBITAITATFTE

TElTDITC]tCtBtA,因此每隔18段后回到點A,并重復按原來線路爬行，而2023=112x18+9,

于是黑螞蟻走完2025段后停留在正六棱柱的點g處，白螞蚊爬行的路線是A-B-B]gtDi-Dt

ErFrF]rA]->C_*DrDi-因此每隔18段后回到點A,并重更按原來

線路爬行，于是白螞蚊走完2025段后停留在正六棱柱的點A1處，顯然AA1=1,所以黑、白兩螞蟻的距離

是1.故答案為：I.【點睛】本題解析，熟悉正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征、異面直線的準確判斷是關(guān)鍵.

二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分；

每題有且只有一個正確選項）

13.設(shè)a、b、c表示三條直線，a.B表示兩個平面，下面命題中不正確的是（）

a±b）b||c)

A.B.b在0內(nèi)1nbicC.

b在a內(nèi)l=>c||aD.a//a)=>bla

c是a在口內(nèi)的射影Jc不在a內(nèi)Jbla)

13.D【分析】根據(jù)線面、面面平行垂直的判定定理和性質(zhì)

判斷即可.【詳解】A選項：因為Q1%所以a垂直平面a內(nèi)的

所有直線，又a〃仇所以平面0內(nèi)的任意直線在平面a內(nèi)

都存在直線與之平行，所以a垂直?”面0內(nèi)的任意直線,

A正確；B選項：如圖，4。為直線a,

。為斜足，過力作所以BC為Q在平面0內(nèi)的投影c,因為/18_L0,bu0,所以48_1_匕，Xalb.aMB=A,

平面力5C,QU平面ABC,所以b_L平面ABC,又cu平面48C,所以blc,B正確；C選項：根據(jù)線面平

行的判定定理可得C正確；D選項：不能說明b和平面a內(nèi)的直線都垂直，所以D錯.故選；D.

14.在四面體ABCD中，已知AB_LCD,AC1BD,若△BCD不是等邊三角形，且點A在平面BCD上的

投影0位于△BCD內(nèi)，則點。是△BCD的（）A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

14.D【分析】先證明CD1平面AOB,BDJ■平面AOC,進而可證得OB1CD,

BD10C,即可得解.【詳解】如圖，由題意可知0A1平面BCD,

因為CD,BDu平面BCD,所以O(shè)A_LCD,OAJLBD,又ABJLCD,

OACIAB=A.OA.ABc'PiEAOB,所以CD1平面AOB,乂OBu平面AOB,

所以O(shè)B1CD,因為AC1BD,ACnOA=A,AC,OAu平面AOC,所以BD1平面AOC,

又OCu平面AOC,所以BD_LOC,所以點。是△BCD的垂心.故選：D.

15.在正方體ABCD-AiBigDi中，點M在線段eg上,點N為線段AA1的中點,

記平面BDMn平面B]DiM=l,則下列說法一定正確的是（）

A.1_L平面BDNB.11平面BiD[NC.11平面CDDigD.11平面ACgA1

15.D【分析】根據(jù)線面平行可得兩平面的交線滿足B]D"/L進而根據(jù)B】DiJ.平面ACC[A],

即可判斷11平面ACCiA].【詳解】由題意得,B1DJ/BD,BDu平面BDM,B】DiC平面BDM,

則BiDi〃平面BDM，乂平面BDMfT平面BiDiM=1,因為之Di1Aig,BiD11AA]，

A￡ClAAi=Ai，AAiu平面AAiQC,A?u平面AAigC,故'D11平面ACQA1,因此11平面ACgAi；

故D正確；而BiDJ/BD,BDu平面BDN,B]D】C平面BDN,則B】Di〃平面BDN,故1〃平面BDN,

選項A錯誤，同理選項B錯誤；由于B]Di與CiDi相交不垂直，故BiDi與平面CDD￡i不垂直，

因此1不垂直平面CDDRi，故C錯誤；故選：D.

16.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-AiBigDi中，點M、N分別在線段AD1和B】。上，給出下列命題:

①有且僅有一條直線MN與AD1垂直；②存在點M、N,使AMBN為等邊三角形，則（）

A.①、②均為真命題B.①、②均為假命題C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

16.D【分析】①找到一個MNlADi的充要條件，并確定一個面MNE與AD1垂直，判斷這種面的個數(shù)；

②利用正三角形的性質(zhì)，將問題億為判斷是否存在AM=B1N=EM,再設(shè)參并列方程求參判斷是否滿足

范圍.【詳解】點N在平面ADDiA]上的射影E的軌跡為線段A】Di，所以NE_L平面ADD】Al，AD】u平面ADDiA1，

所以NE1AD1，則MN1AD1的一個充要條件ME1ADV當射影E位于線段A】Di上

的任意位置時，過E作AD】垂線，垂足為M,則MEJ.AD】，由NEnME=E

且都在面MNE上，則AD11面MNE,而MNu面MNE,所以MNJ.AD1，于是

這樣的直線MN不唯一，①為假；由MB?=AB2+AM2,NB2=B$2+BIN2,

由上知MN2=NE2+EM2,又AB=BBI=NE,要使AMBN為正三角形，

只需AM=BiN=EM即可，若AM=BiN=x,則DiE=2-x,DjM=2\/2-x,且0WxW2,

所以EM=J(2-x)2+(2V2-x)?-2(2-x)(2V2-x)xy=J(2-V2)x2-2&x+4,

令、=J(2-V2)x2-2V2x+4,則(注-1)X2+2&X-4=0,

可得x==網(wǎng)12m-1-1)(魚+1)(負值舍)，

而———=Y=—＜只需比較2-企，J2近一1一1大小,

V2(V2V2-1-1)(V2+1)V2\^2-l-l

將它們平方有(2-V2)2=6-4VL(V2V2-I-I)2=2V2-2V2V2-1,

進而比較3企一3,，2或-1大小,將它們平方有(3企-3)2=9(3-2遮)，”2企-1產(chǎn)=2企-1,

顯然27-1872-(272-1)=28-20V2<0,即9(3-2企)<2企一1,

貝1」3&-3<52夜-1,所以2&-2V2V2-1-(6-4V2)<2(3或-3-,2/-1)<0,

即2-加>或一1一】綜上，「I~3——-->1，即所求x€(0,2),滿足要求，

V<2(V4-72-1)(>/2+1)

故存在點M、N,使AMBN為等邊三角形，②為真；故選：D.【點睛】①點N在平面ADD】A1上的射影E,關(guān)

鍵是構(gòu)造一個平面MNE與AD1垂直，進而判斷這樣的平面?zhèn)€數(shù)；②將正三角形的三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化為

AM=B]N=EM,再設(shè)AM=B]N=XIC0WXW2,并用x表示EM,利用等量關(guān)系求參數(shù)并判斷

是否在給定范圍內(nèi)即可.

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17?19題每題14分，第20、21題每題18分.)

17.(I)用符號語言表示下列語句，井畫出圖形：直線AB,AC分別在平面a,。內(nèi)，且點A在平面a

與平面P的交線1上；(2)在正方體ABCD-AiBigDi中,M,N,P分別是A|B“AD,BB|的中點,

平面a過M,N,P三點，則平面a截此正方體的截面為一個多邊形，

(i)僅用鉛筆和無刻度直尺，在正方體中畫出此截面多邊形(保留作圖痕跡，不需要寫作圖步驟)：

(ii)若正方體的棱長為6,直接寫出此截面多邊形的周長.

17.(1)答案見解析，作圖見解析：(2)(i)作圖見解析；(ii)6V10+3V2

【分析】(1)根據(jù)題意畫圖，并符號表示：(2)(i)利用三線共點，點一定在兩個平面的交線上，畫出圖

形,

(ii)根據(jù)圖形的特征，利用勾股定理求解各邊即可.

【詳解】(1)用符號表示：aC0=I,ABca,ACu0,

ACna=A,ABnB=A,如圖：

(2)(i)在正方體中畫出此截面多邊形如圖所示：

作直線PM分別與AAi，AB延長線于T,S,連接NT交AiDi于R,

連接NS交BC于Q,最后連接PQ,MR,即得截面PQNRM；

(ii)由題設(shè)，易知NPMAI=4SPB=45。，進而易得PQ=QS，RM=RT,

截面多邊形的周長等于PQ+QN+NR+RM+MP=NS+NT+MP,

AjT_RM_RMR*_RP

2Z

NS=NT=VTA+AN,AN=3,"AT7-7?-AB+BS'B7M-B^P

所以NT=NS=5/92+32=3VT0,

2222

MP=TS-MT-PS=VAS+AT-2VA1M+A1T=3V2,

所以截面多邊形的周長等于6g+3四.

18.如圖,直角梯形ABCD與梯形EFCD全等,其中AB〃CD〃EF,

Ai)=AB=1Ci)=l,且ED，平面ABCI),點G是Q)的中點.

(1)求證：平面BCF〃平面AEG；(2)求平面BCF與平面AEG的距離.

18.(1)見解析(2)￡【分析】(1)由面面平行的判定定理，需證明BF、

(2)利用等體積法，令VJAGE=VE-ACG，即可求出距離.

【詳解】(1)VABIICD,AB=|CD,G是CD的中點，，四邊形ABCG為平行四邊形，.二BCIIAG,

又TAGu平面AEG,BCC平面AEG,，BC||平面AEG,?直角梯形ABCD與梯形EFCD全等,EF||CD||AB,

AEF=AB,二四邊形ABFE為平行四邊形,ABFIIAE,又TAEu平面AEG,BFC平面AEG,

，BF||平面AEG,VBFABC=B,工平面BCFII平面AGE；

(2)設(shè)點C到平面AGE的距離為d,易知AE=EG=AG=VL

由Vc-AGE=VE-ACG，得gX3xAE2xsin60°xd=x|xCGxADxDE,BPd=盤器鬻=?，

?.?平面BCF||平面AGE,???平面BCF與平面AGE間的距離為當.

19.某廠根據(jù)市場需求開發(fā)折疊式小凳（如圖所示）、凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根

細鋼管、考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設(shè)計小黨應滿足：①凳子高度為30c〃?,

②三根細鋼管相交處的節(jié)點。與凳面三角形ABC重心的連線垂直于凳面和地面.

（1）若凳面是邊長為20c7〃的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為45°,

確定節(jié)點O分細鋼管上下兩段的比值（精確到0.01）；

（2）若凳面是頂角為120°的等腰三角形，腰長為24cm,節(jié)點。分細鋼管

上下兩段之比為2：3、確定三根細鋼管的長度（精確到0.1。〃）.

19.（1）0.63；

（2）對應于力、B、C三點的三根細鋼管長度分別為60.8cm,361cm和60.8cm.

【分析】（1）設(shè)AABC的重心為從連接OH,根據(jù)/OBH就是OB與平面48c所成的角，建立8,與OH的

等量關(guān)系，解之即可；（2）設(shè)乙。=120。，4WC的重心為〃，求出0〃，分別在

Rti^AHO,Rt^CHO,RtABHO中求出04、OB、0C,再根據(jù)比例關(guān)系求出即可.

【詳解】解：（1）設(shè)的重心為H,連接?！?，由題意可得，RH=早，

設(shè)細鋼管上下兩段之比為2,己知凳子高度為30、則。//=粵，

???節(jié)點。與髡面三角形ABC重心的連線與地面垂直，且髡面與地面平行

，/OR“就是OR與平面所成的角，亦即=45。，???=OH,

二猾=竽解得;1=恙之0.63,即節(jié)點。分細鋼管上下兩段的比值約為（）.63;

(2)設(shè)48=120。，AAB=BC=24,AC=245/3,設(shè)△ABC的重心為H,則8”=8,4,=8斤,

由節(jié)點。分細鋼管上下兩段之比為2:3,可知?！?12,設(shè)過點力、B、C的細鋼管分別為41'、BB'、CC,

則就=CC'=沙力=興。山+-2=WV37?60.8,BB'=\OB=興。昭+8平=10V13?36.1,

???對應于小B、C三點的三根細鋼管長度分別為60.8cm,36.1cm和60.8cm.

20.如圖是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中48=1,

BE=BF=2,ZFBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合，連接DG,如圖（2）.

圖（1）圖（2）

（1）證明：圖（2）中的A,C,G,D四點共面，且平面ABC_L平面BCGE；

（2）求圖（2）中的四邊形ACGD的面積；（3）求圖（2）中的二面角B-CG-A的大小.

20.（1）證明見解析，證明見解析：（2）4：（3）30。.

【分析】（1）根據(jù)線線平行即可求證四點共面，根據(jù)線線垂直得線面垂直，進而可證面面垂直；（2）根據(jù)

勾股定理求解4G=/AB?+BG2=g,余弦定理求解cos乙4CG余弦值，進而可得正弦值，由面積公式

即可求解；（3）建立空間直角坐標系”一孫z,運用空間向量方法求二面角8—CG-A的大小.

【詳解】（1）由已知得AD〃BE,CG//BE,所以AD〃CG,故AD,CG確定一個平面,

從而A,C,G,D四點共面，由已知得AB1BE,AB1BC,BEnBC=B,BE,「--

故AB_L平面BCGE,又因為ABu平面ABC,所以平面ABC_L平面BCGE；

（2））軍接BG,AG,由AB_L平面BCGE,BG「平面BCGE,可得AB_LBG.

在△BCG中，BC=CG=2,zBCG=120°,可得BG=2BCsin60）=2百，

可得AG=