2025-2026學(xué)年陜西省西安市高新唐南中學(xué)高二(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合4={%設(shè)2—5%+6=0},B={2,3,4},則4C8等于()

A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{2,3,4}

2.設(shè)a,￡是兩個不同的平面，機是直線,且機ua.〃/T是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知復(fù)數(shù)z=1V，則|z|=()

A.^2B.苧C.1D.2

4已知向量3=(2,n),b=(-l,l),若益與1垂直，則同=()

A2R2V1C.\[2D4

5.已知隨機事件4B,。中，4與B互斥，8與C對立，且P(Q=0.3,P(C)=0.6,則P(AU8)=()

A.0.3B.0.6C.0.7D,0.9

6.已知a,b,cER,且Q>8>0,則下列不等式一定成立的是()

A.a+b>2>J~abB.a-c2>b-c2C.(1)a>(1)bD.->y

v27v27ab

7.已知向量五=(7sin￡-1,5)1=(cos2。1)若五〃b,則cos28=()

247「724

AA--25Bn-25C25Dn25

8.已知函數(shù)g(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)3>0時，g(x)=/+2x,函數(shù)/(%)=桃?：若

十X?JCnU

/(/gm)<3,則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(0,10)B.(-a),10)C.(10,+co)D.(0,1)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知△力BC的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,己知a=3,b=4,銳角。滿足sinC=誓，則()

A,A48c的周長為12B.cosC=7

C.c=D.cosB=

10.某影院連續(xù)10天的觀影人數(shù)(單位：百人)依次為90,120,80,160,160,180,200,160,120,130,

則下列關(guān)于這10天觀影人數(shù)的結(jié)論正確的是()

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A.眾數(shù)為120B.平均數(shù)為140

C.中位數(shù)為145D.第75百分位數(shù)為170

11.如圖，正方體ABCD-4】BiGDi的棱長為2,點E在線段CG上運動，貝U(

A.三棱錐4-力BiE的體積為定值

B.ArELBiDl

C.若￡為線段CG的中點，則點E到直線的距離為，2

D.存在某個點凡使直線力避與平面BCC/i所成角為60°

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知/(為為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)XV0時，/(%)=%+(?)3則/(2)=____.

13.已知銳角a滿足cos(a4-^)=則sin(，一a)=_______.

DJO

14.如圖，在邊長為4的正方形力ECD中，點E,F分別是A3,力。的中點.將△?1",△8EC,△OFC分別沿E凡

EC，尸。折起，使力，B,D三點重合于點￡若三棱錐S-E/C的頂點均在球。的球面上，則球。的表面積為______.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在么4BC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且csinB+=0.

(1)求角C;

(2)若c=C,b=JI,求8及△力BC的面積.

16.(本小題15分)

某教育局組織一地區(qū)的小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段的學(xué)生參加“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識問答，并按學(xué)段人數(shù)比

例分層隨機抽樣，從中抽取220名學(xué)生，對其分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值，聲估計該地區(qū)所有學(xué)生知識問答分?jǐn)?shù)的眾數(shù)；

(2)分?jǐn)?shù)位列前10%的學(xué)生平臺會生成“防溺水達(dá)人”優(yōu)秀證書，試估計獲得“防溺水達(dá)人”的最低分?jǐn)?shù)；

(3)教育局的工作人員在此次問答分?jǐn)?shù)中抽取了10名同學(xué)的分?jǐn)?shù)：勺，x2,x3,...?/已知這10個分?jǐn)?shù)

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的平均數(shù)％=90,方差S2=25,若剔除其中的最高分98和最低分86,求剩余8個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差.

參考數(shù)據(jù):982=9604,862=7396,89.52=8010.25.

頻率

17.(本小題15分)

函數(shù)/(%)=Asin(a)x+(p)(xGR,A>0,a)>0,\(p\<?)的部分圖象如下圖所示.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)f(乃的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移招個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)丫=9［無)的圖象,

求時)在區(qū)間［0,當(dāng)上的最值.

18.(本小題17分)

某校舉行數(shù)學(xué)競賽，初賽時，每位參賽選手從4道題中隨機抽取2道作笞，若2道題全部答對，則直.接進(jìn)

入決賽；若2道題都答錯，則直接淘汰；若恰好答對1道題，則進(jìn)入復(fù)賽.復(fù)賽時，每位參賽選手回答2道

題(與初賽時的題目不同)，若2道題都答對，則進(jìn)入決賽，否則淘汰.該校學(xué)生甲參加了這次數(shù)學(xué)競賽，己

知甲初賽時只會其中2道題，復(fù)賽時答對每道題的概率均為今初、復(fù)賽結(jié)果互不影響，一且復(fù)賽時各題答對

與否也互不影響.

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答案解析

1.【答案】C

【解析】解:集合4={X|X2-5X+6=0}={2,3},集合8={2,3,4},

因此4nB={2,3}.

故選：C.

先求出集合4再根據(jù)交集的定義求解.

本題主要考查交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：當(dāng)相〃夕時，過m的平面a與0可能相交與可能平行，

故“m〃0”是％/電”的充分性不成立，

當(dāng)a///?時，a內(nèi)任一直線與0平行，

mua,

:.m//p,

故是“a/邛”的必要不充分條件.

故選：B.

根據(jù)已知條件，依次判斷充分性與必要性，即可求解.

本題主要考查充分條件與必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：因為復(fù)數(shù)z=W=相鑒探=l+i,

所以|Z|=,12+12=四.

故選：A.

化簡復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求解結(jié)論.

本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及模長，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：因為工15=五?石=0

向量H=(2,n),b=(-M),

則-2+〃=0=n=2.

所以同=、22+22=2m.

故選：B.

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先根據(jù)向量垂直確定n的值，再根據(jù)向量的幾何意義求向量的模.

本地主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：因為P(C)=0.6,事件8與C對立，

所以P(8)=0.4,又P(4)=0.3,4與8互斥，

所以P(4U8)=P(4)+P(B)=0.3+0.4=0.7,

故選：C.

利用互斥事件概率加法公式直接求解.

本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：因為a>b>0,

由基本不等式可得a+人>2小豆/正確：

當(dāng)c=0時，B顯然錯誤，

因為y=6尸在R上單調(diào)遞減，故以尸<6?,0錯誤；

由G>b>o可得^4,Q錯誤.

故選:A.

由已知結(jié)合不等式性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：二?向量五=(7sin3-1,5),b=(cos20,1),且孫尻

:.7sin0—1—5cos2。=0,

:.7sin6—1—5(1—sin20)=0,

整理得5sin20+7sin0-6=0,

解得s出。屋或一2(舍去)，

個97

:.cos26=1-2sin20=l-2x—=—.

故選：C.

由平行向量的坐標(biāo)關(guān)系可得7sinG-1-5cos2。=0,利用同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系可求出sin。的值，再

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結(jié)合二倍角公式求解即可.

本題主要考查了平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：當(dāng)“V0時，則一%>0,所以g(-％)="2-2%,

因為函數(shù)g(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以g(-％)=-g(x),

所以一g(X)=x2-2%,則g(x)=-x24-2x,

所以/(x)=bE：2%%v0,

(2x+l,x>0

當(dāng)［gm<0時，即0VmV1,f(lgm)=—(Igm)2+2lgm<3,

所以一(，。血)2+21gm-3<0,即(/gm)?-21gm+3>0.

因為(Zgm)2-2lgm4-3>0恒成立，所以0Vm<1,

當(dāng)!gmNO時，即mNl,/"gm)=2，gm+1<3,所以Zgmvl,

解得0<m<10,所以

綜上me(0,10).

故選：4

根據(jù)g(x)是定義域為H的奇函數(shù)，可得x<0時g(x)=-x2+2x,令I(lǐng)gm<0和!gm>0兩種情況分別求解

不等式，即可求解.

本題主要考資了函數(shù)奇偶性及二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：由題意可知，cosC=/T^C=lB正確;

對于力C,由余弦定理得c2=砂+接_2abcosC=9+16-2x3x4x1=19,

得c=/13,則Q+b+c=7+力錯誤，C正確;

,9+19-16_2/19件謾

對干D,由余弦定理得cosB=>>2-*-

XX一下'。知慶。

2ac_23E

故選：BC.

利用同角公式及余弦定理求解判定即可.

本題主要考查同角公式及余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【脩析】解:這10個數(shù)從小到大排列為:80,90,120,120,130,160,160,160,180,200,

對于4眾數(shù)為160,故/錯誤；

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80+90+120+120+130+160+160+160+180+200

對干8,平均數(shù)為=140,故8正確:

10

130+160

對于C,中位數(shù)為=145,故C正確;

2

對于。，因為10x75%=7.5,所以第75百分位數(shù)為第8個數(shù)160,故。錯誤.

故選：BC.

求出眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)，第75百分位數(shù)后判斷.

本題主要考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)和百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABC

【解析】解：對于選項4匕1廠/￡速=%-88向=3508.九=9508向.8（7=3乂3乂2乂2'2=?故選

項,4正確;

在正方體中，BiDilAiCi，吊必131，A￡nCCi=G，

所以1平面又因為ARu平面4cle4

所以4EJ.8101，故選項4正確;

以。為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:

即屁=(0,2,1),西=(2,2,2)，

所以點E到直線當(dāng)。的距離d=|屁|2_（需舞）2==77，故選項c正確:

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對干選項。，因為。(0,2,0),4(202),

所以平面BCC/］的法向量沆=(0,2,0),設(shè)E(0,2,￡)(0<t<2),

則砧二(一2,2,亡-2)，

設(shè)直線為E與平面8CQ/所成角為仇

4

則沏。=|cos<A^.DC>|=11器患I=

2j4+4+(t-2)2

若直線與平面BCC1%所成角為60。,

4/3

則sE60。=--=--

2J4+4+(—2)22

所以3戶-12t+20=0,

又1=122-4x3x20=-96V0,所以方程無解，故選項。錯誤.

故選:ABC.

利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐體積公式、線線垂直判定、點到直線距離公式，線面角的定義來逐一分析

選項.

本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題.

12.【答案】-7

【解析】解：因為x<0時，/-(x)=x+(1)\

所以/■(-2)=-2+9=7,

因為/'(%)為定義在R上的奇函數(shù)，/(-x)=一/(X),

所以/(2)=7.

故答案為：-7.

根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得f(2)=-/(-2),由此可得答案.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】1

【解析】解：由已知得，sin(1一a)=si嗚一(a+Q=cos(a+g)='

故答案為:g.

由［一a=J-(a+日)結(jié)合誘導(dǎo)公式即可計算求解.

OZD

本題主要考查三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】247r

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M

【解析】解：因為SE=SF=2,$。=4且$8,SF,SC兩兩垂直,

所以三棱錐S-EFC可補成一個長方體，

則三棱錐S-ErC的外接球即為長方體的外接球，如圖所示，

設(shè)長方體的外接球的半徑為R,

所以R=苧±絲=遮,

所以外接球的表面枳為S=47T/?2=24/r,

故答案為：247r.

根據(jù)題意，把三棱錐可補成一個長方體，利用長方體的對角線長求得外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式

即可求解.

本題考查幾何體表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】

?J

BD=-n,-3--/-3

44

a_b_c

【解析】(1)根據(jù)正弦定理:=2R,

sinAsinBsinC

則Z?=2RsinB,c=2RsinC,

已知csinB+yJ~3bcosC=0,

代人得：2RsinCsinB4-73?2RsinBcosC=0,

因2R=0,sinB0(0<<n),

等式兩邊除以2Rs出B得：sinC+y/lcosC=0,

即sinC=->[3cosC,

由=得tanC=—

又。<CV7T,故。=學(xué)綜上，侑c的值為作；

(2)由⑴知。=等而c=C,b=YI,由正弦定理得si〃B=?=嗡^=苧,

由分<c,得8<C,則8=psiriA=sin(J?+C)=sinBcosC+cosBsinC

=-x(-7)+-x-=^,

所以△ABC的面積SMUC=^bcsinA=1x\[~2xx"64V?-3^3,

(1)根據(jù)給定條件，利用正弦定理及同角公式化簡求得角C.

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(2)由正弦定理求出s出B即得8,再利用兩角和的正弦公式及三角形的面積公式求解.

本題考查解三角形，屬于中檔題.

16.【答案】a=0.030,眾數(shù)約為75分;

88分；

89.5分；21

【脩析】(1)根據(jù)題意可得(0.010+0.015+0.015+Q+0.025+0.005)x10=1,解得a=0.030；

估計該地區(qū)所有學(xué)生知識問答分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為75分；

(2)前4組的頻率之和為0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,

前5組的頻率之和為0.70+0.25=0.95>0.90,

所以(80,90)內(nèi)，且為80+端票=88分；

(3)由題意，剩余8個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為總=叱"86=10x90；8—86=895

因為這10個分?jǐn)?shù)的方差s2=鵡=25,

2

所以吊+...+x?0=10x25+10x90=81250,

所以剩余8個分?jǐn)?shù)的方差為：

222

2_(xf+...+x|0)-86-98-8x(89.5)_64250-64082_168_

S°=8=8=~=

即剩余8個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差分別為89.5分，21.

(1)利用頻率之和為1列方程求解；根據(jù)最高矩形橫坐標(biāo)的中點可確定眾數(shù)；

(2)利用頻率分布直方圖求90口分位數(shù)即可；

(3)根據(jù)平均數(shù)及方差的計算公式計算即可得解.

本題考查頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

17.【答案】/(x)=2sin(2x+^);

[-各"嘴+時(〃￡力：

最大值為3,最小值為0

【解析】⑴由題意得f(x)的最大值為A=2,周期丁=1一(一9=包，解得3=2,

oU3

由/艱)=2,可得2吟+@=，+2/CTT,k￡Z,結(jié)合|初<],解得W=*

所以/(%)的解析式是/(無)=2s勿(2x+?

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(2)由(1)知/'(%)=2sin(2x+^),

根據(jù)一J+2kn<2x+JWJ+2kn,kWZ,

242

解得/Xx)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-當(dāng)+k聯(lián)+kn］(keZ).

⑶由題意得g(x)=/(x-|^)+1=2sin［2(x-1^)+勺+1=2sin(2x-^)+1,

當(dāng)XE［0號］時,2x-fe［-f,^］,

可知當(dāng)=3即％=押，5(x)max=3；

當(dāng)2%一(=一看或2%-=今,即％=0或%=爭時，g(，)min=0,

因此，g(x)在區(qū)間［0,%］上的最大值為3,最小值為0.

(1)根據(jù)所給函數(shù)圖象，結(jié)合“五點作圖法”的原理求出解析式；

(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解關(guān)于Ml勺不等式組，即可求出/。)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求出g(x),然后利用正弦函數(shù)單調(diào)性與最值，求出g(x)在區(qū)間［0,勺］上的最值.

本題主要考資函數(shù)y=/lsin(Mt+w)的解析式求法、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，考資了計算能力、邏輯

推理能力，屬于中檔題.

18.【答案】全

2

3,

【解析】(1)設(shè)事件4=”甲初賽答對i道題”。=0,1,2),4="甲復(fù)賽答對i道題"(i=0,1,2),

?!="甲進(jìn)入決賽”，

將初賽的4道題編號為1,2,a,b,其中甲會的題為a,b,

從4道中選2道,樣本空間為:0={(1,2),(l,a),(l,b),(2,a),(2,b),(a,b)},

因為71G41)=4,"甸=1，所以P(4)=1=￡，P〉2)=之

2

根據(jù)獨立性假定，得p(叢)=1XIX=P^2)=|X1=I,

因為4=A?UAiB2,42與4182互斥，

P(4)=P(4)+PG41%)=抖12"A11/

因此，甲進(jìn)入決賽的概率為最

(2)設(shè)事件y="甲至少答對兩道題”，

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B=A2UZljSj\JA^B29A2,A[94182兩兩互斥,

121212

=+X+X=,

P(B)=P(A2)+Pg/