第2課時(shí)實(shí)驗(yàn)九：用單擺測(cè)量重力加速度

【目標(biāo)要求】1.知道利用單擺測(cè)量重力加速度的原理。2.掌握利用單擺測(cè)量重力加速度的方法。

考點(diǎn)一實(shí)驗(yàn)技能儲(chǔ)備

1.實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)擺角較小時(shí)，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為7=2M,由此得到8=蓄，因此，只要

測(cè)出擺長(zhǎng)/和振動(dòng)周期T,就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的值。

2.實(shí)驗(yàn)器材

鐵架臺(tái)、單擺、游標(biāo)k尺、亳米刻度尺、停表。

3.實(shí)驗(yàn)過程

(1)讓細(xì)線的一端穿過金屬小球的小孔，做成單擺。

(2)把細(xì)線的上端用鐵夾固定在鐵架臺(tái)上，把鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓

擺球自然下垂，在單擺平衡位置處做上標(biāo)記，如圖所示。

(3)用亳米刻度尺量出擺線長(zhǎng)度r,用游標(biāo)卡尺測(cè)出金屬小球的直徑，即得出金屬小球半徑r,

計(jì)算出擺長(zhǎng)/=/'

(4)把單擺從平衡位置處拉開一個(gè)很小的角度(小于5。)，然后放開金屬小球，讓金屬小球擺動(dòng)，

待擺動(dòng)平穩(wěn)后測(cè)出單擺完成30?50次全振動(dòng)所用的時(shí)間3計(jì)算出單擺的振動(dòng)周期兀

⑸根據(jù)單擺周期公式，計(jì)算當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?/p>

⑹改變擺長(zhǎng)，重:做兒次實(shí)臉。

4.數(shù)據(jù)處理

(1)公式法：利用丁=￡求出周期，算出三次測(cè)得的周期的平均值，然后利用公式g=爺求重

力加速度。

(2)圖像法：根據(jù)測(cè)出的一系列擺長(zhǎng)/對(duì)應(yīng)的周期T,作/一尸的圖像，由單擺周期公式得/=壬

T2,圖像應(yīng)是一條過原點(diǎn)原直線,如圖所示，求出圖線的斜率%,即可利用且=也先求重力加

速度。

OI"

5.誤差分析

系統(tǒng)誤差：本實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，UP：懸點(diǎn)是否固定，

球、線是否符合要求，擺動(dòng)是圓錐擺還是在同一豎直平面內(nèi)的擺動(dòng)以及測(cè)量哪段長(zhǎng)度作為擺

長(zhǎng)等等。

偶然誤差：本實(shí)驗(yàn)的偶然誤差主要來自時(shí)間（即單擺周期）的測(cè)量上。為了減小偶然誤差，應(yīng)

進(jìn)行多次測(cè)量后取平均值C

6.注意事項(xiàng)

（1）一般選用一米左右的細(xì)線。

（2）懸線頂端不能晃動(dòng)，需用夾子夾住，保證懸點(diǎn)固定。

（3）應(yīng)在小球自然下垂時(shí)用亳米刻度尺測(cè)量懸線長(zhǎng)。

⑷單擺必須在同一平面內(nèi)振動(dòng)，且擺角小于5。。

（5）選擇在擺球擺到平衡位置處時(shí)開始計(jì)時(shí)，并數(shù)準(zhǔn)全振動(dòng)的次數(shù)。

W1J（2023?新課標(biāo)卷?23）一學(xué)生小組做“用單擺測(cè)量重力加速度的大小”實(shí)驗(yàn)。

（1）用實(shí)驗(yàn)室提供的螺旋測(cè)微器測(cè)量擺球直徑。首先，調(diào)節(jié)螺旋測(cè)微器，擰動(dòng)微調(diào)旋鈕使測(cè)微

螺桿和測(cè)砧相觸時(shí)，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動(dòng)刻度上的零刻度線未對(duì)齊，如圖（a）所示，該

示數(shù)為mm；螺旋測(cè)微器在夾有擺球時(shí)示數(shù)如圖（b）所示，該示數(shù)為mm,

則擺球的直徑為mm。

（2）單擺實(shí)驗(yàn)的裝置示意圖如圖（c）所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點(diǎn)。處，擺線在角

度盤上所指的示數(shù)為擺角的大小。若將角度盤固定在。點(diǎn)上方，則擺線在角度盤上所指的示

數(shù)為5。時(shí)，實(shí)際擺角5。（填“大于”或“小于”

（3）某次實(shí)驗(yàn)所用單擺的擺線長(zhǎng)度為81.50cm,則擺長(zhǎng)為cm。實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到從擺球

第1次經(jīng)過最低點(diǎn)到第61次經(jīng)過最低點(diǎn)的時(shí)間間隔為54.60s,則此單擺周期為s,

該小組測(cè)得的重力加速度大小為m/s2o（結(jié)果均保留3位有效數(shù)字，8取9.870）

答案（1）0.006（0.005、0.007也可）20.035（20.034、20.036均可）20.029（20.027、20.028、

20.030均可）（2）大于（3）82.51.829.83

解析（1）題圖（a）讀數(shù)為0+0.6X0.01mm

=0.006mm（0.005mm、0.007mm也可）；

題圖（b）讀數(shù)為20mm+3.EX0.01mm

=20.035mm（20.034mm、20.036mm均可）；

則擺球的直徑為20.035mm-0.006mm

=20.029mm(20.027mm、20.028mm、20.030mm均可)

(2)若角度盤上移則形成如圖所示圖樣，則實(shí)際擺角大于5。。

匕

O

(3)摟長(zhǎng)=擺線長(zhǎng)度+半徑，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得擺長(zhǎng)為82.5cm：

小球從第1次到61次經(jīng)過最低點(diǎn)經(jīng)過了30個(gè)周期，則『=當(dāng)整s=1.82s

根據(jù)單擺周期公式T=2c/,

可得g=,。9.83m/s2?

【例21(2023?廣東東莞市模擬)實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)在實(shí)驗(yàn)室做“用單擺測(cè)量重力加速度”的實(shí)

驗(yàn)。

(I)下列最合理的裝置是O

(2)為使重力加速度的測(cè)量結(jié)果更加準(zhǔn)確，下列做法合理的有。

A.測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)測(cè)量水平拉直后的擺線長(zhǎng)

B.在擺球運(yùn)動(dòng)過程中，必須保證懸點(diǎn)固定不動(dòng)

C.擺球運(yùn)動(dòng)過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大

D.測(cè)量周期時(shí)，應(yīng)該從擺球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)

(3)某同學(xué)課后嘗試在家里做用單擺測(cè)量重力加速度的實(shí)驗(yàn)。由于沒有合適的擺球，于是他找

到了一塊雞蛋大小、外形不規(guī)則的大理石塊代替小球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。如圖甲所示，實(shí)驗(yàn)過程中他

先將石塊用細(xì)線系好，結(jié)點(diǎn)為M,將細(xì)線的上端固定于。點(diǎn)。然后利用刻度尺測(cè)出OM間細(xì)

線的長(zhǎng)度/作為擺長(zhǎng)，利用手機(jī)的秒表功能測(cè)出石塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期兀在測(cè)出幾組不同

擺長(zhǎng)/對(duì)應(yīng)的周期7的數(shù)值后，他作出的尸一/圖像如圖乙所示。

①該圖像的斜率為(重力加速度為g)。

A.gB.eqC.eqD.eq

②由此得出重力加速度的測(cè)量值為—m/s2o(兀取3.14,計(jì)算結(jié)果保留三位有效數(shù)字)

(4)實(shí)驗(yàn)中，該同學(xué)測(cè)量擺長(zhǎng)使用細(xì)線長(zhǎng)，而非懸點(diǎn)到石塊重心之間的距離，這對(duì)重力加速度

測(cè)量結(jié)果的影響是：測(cè)量值(填“>”"=”或“<”)真實(shí)值。

答案(1)D(2)BC(3)①C②9.86(4)=

解析(1)為減小空氣阻力的影響，擺球應(yīng)采用密度較大、體積較小的鐵球，為使單擺擺動(dòng)時(shí)

擺長(zhǎng)不變化，擺線應(yīng)用不易形變的細(xì)絲線，懸點(diǎn)應(yīng)該用鐵夾來固定，故選D。

斜面面等效重力加速度a^/(mr2s)

次數(shù)周期77s

斜角0C）=gsin^/（m-s2）Vgsin8

111.02.521.870.731

214.52.112.450.639

319.01.833.190.560

422.51.733.750.516

525.51.624.220.487

629.01.504.750.459

（4）數(shù)據(jù)處理。在圖戊中以周期7為縱坐標(biāo)軸、以為橫坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，并把

以上表格中相應(yīng)的各組數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中描點(diǎn)、作圖。

（5）得出結(jié)論。根據(jù)該圖線可知:

答案（4見解析圖（5）在誤差允許范圍內(nèi)，“桿線擺”在擺長(zhǎng)一定的情況下,

7和帚成正比'即周期跟（等效）重力加速度的平方根成反比

L

解析（4）根據(jù)單擺周期公式可知T=2,在圖中以周期T為縱坐標(biāo)物、以

in0

信祠或者比）為橫坐標(biāo)細(xì)建立坐標(biāo)系，作圖:

（5）根據(jù)該圖線可知：在誤差允許范圍內(nèi)，“桿線擺”在擺長(zhǎng)一定的情況下，T成正

比，即周期跟（等效）重力加速度的平方根成反比。

課時(shí)精練

1.（2023.黑龍江鶴崗市第一中學(xué)期中）某同學(xué)做“用單擺測(cè)量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)裝置

如圖甲所示，在擺球的平衡位置處安放一個(gè)光電門，連接數(shù)字計(jì)時(shí)器，記錄小球經(jīng)過光電門

的次數(shù)。

⑴下列說法中正確的是。

A.測(cè)出擺球做一次全振匆的時(shí)間作為周期的測(cè)最值

B.質(zhì)量相同的鐵球和軟木球，應(yīng)選用鐵球作為擺球

C.可將擺球從平衡位置拉開一個(gè)任意角度然后釋放擺球

D.可以選擇有彈性的細(xì)繩作為擺線

（2）在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺測(cè)得從懸點(diǎn)至擺球頂端的長(zhǎng)度為L(zhǎng),再用游標(biāo)K

尺測(cè)量擺球直徑d結(jié)果如圖乙所示，則擺球直徑d=cm；

（3）將擺球從平衡位置拉升一個(gè)合適的角度（小于5。），靜止釋放擺球，擺球在豎直平面內(nèi)穩(wěn)定

擺動(dòng)后，啟動(dòng)數(shù)字計(jì)時(shí)器，擺球通過平衡位置時(shí)從1開始計(jì)數(shù)，同時(shí)開始計(jì)時(shí)，當(dāng)擺球第〃

次(為大于3的奇數(shù))通過光電門時(shí)停止計(jì)時(shí)，記錄的時(shí)間為r,此單擺的周期T=

(用/、〃表示)，重力加速度的大小為(用L、d和7表示)；

(4)實(shí)驗(yàn)中該同學(xué)測(cè)得的重力加速度值經(jīng)查證明顯大于當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎担铝性蚩赡艿?/p>

是。

A.擺線上端未牢固地系于懸點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)過程中出現(xiàn)松動(dòng)，使擺線長(zhǎng)度增加了

B.計(jì)算時(shí)用L+d作為單擺的擺長(zhǎng)

C.擺球的振幅偏小

D.把〃當(dāng)作單擺全振動(dòng)的次數(shù)

答案(1)B(2)1.07(3)念”=579,11…)爺(L+號(hào)(4)BD

解析(1)為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，應(yīng)測(cè)多次全振動(dòng)的時(shí)間，再求出一次全振動(dòng)的時(shí)間作為周期，

故A錯(cuò)誤；為減小實(shí)驗(yàn)誤差，提高測(cè)量精度，相同質(zhì)量下應(yīng)選擇體積小的鐵球作為擺球，故

B正確：?jiǎn)螖[在擺角小于5。時(shí)的運(yùn)動(dòng)才是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因此單擺的擺角不能過大，故C錯(cuò)誤;

根據(jù)單擺的周期公式7=2可知,單擺的周期跟擺線與擺球半徑之和有關(guān)，若使用彈性

繩，在擺球下降或是上升的過程中，式中的/會(huì)不斷發(fā)生變化，從而導(dǎo)致重力加速度測(cè)量不

準(zhǔn)確，故D錯(cuò)誤。

(2)該游標(biāo)卡尺的游標(biāo)尺為10分度值，則讀數(shù)為

d=1cm+0.1X7mm=1.07cm

fl——1

(3)由題意可知在時(shí)間，內(nèi)擺俅全振動(dòng)的次數(shù)為”一(“=5,7911…)，則可得單擺的周期為T=

占=尚〃=5,79W..)

由單擺的周期公式T=2cg

其中/=L+$可得8=等”+，

(4)擺線上瑞未牢固地系于懸點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)過程中出現(xiàn)松動(dòng)，使接線長(zhǎng)度增加了，則實(shí)際所測(cè)擺線

長(zhǎng)度偏小，所測(cè)重力加速度將偏小，故A不符合題意；若計(jì)算重力加速度時(shí)用L+4作為單

擺的擺長(zhǎng)，則擺長(zhǎng)比實(shí)際偏大，因此計(jì)算得到的重力加速度值比實(shí)際偏大，故B符合題意；

擺球的振幅偏小不影響重力加速度的測(cè)量，故C不符合題意；若把〃當(dāng)作單擺全振動(dòng)的次數(shù)，

則會(huì)導(dǎo)致測(cè)量周期偏小，從而導(dǎo)致所測(cè)重力加速度偏大，故D符合題意。

2.(2023?北京市第四中學(xué)檢測(cè))某同學(xué)在“用單擺測(cè)定重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中：

(1)如圖所示，該同學(xué)用游標(biāo)卡尺測(cè)得單擺小球的直徑為cm；用秒表記錄的時(shí)間為

（2）如果某同學(xué)在實(shí)驗(yàn)時(shí)，用的擺球質(zhì)量分布不均勻，無法確定其重心位置。他第一次量得懸

線長(zhǎng)為L(zhǎng)（不計(jì)擺球半徑），測(cè)得周期為力；第二次量得懸線長(zhǎng)為上，測(cè)得周期為72。根據(jù)上

述數(shù)據(jù)，可求得g值為（）

A.cqB.cq

C.eqD.eq

該同學(xué)又想出另一個(gè)辦法測(cè)重力加速度，他測(cè)出多組擺線長(zhǎng)L與周期7的數(shù)據(jù)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)

據(jù)，作出了T2—L的關(guān)系圖像如圖所示。理論上/一人圖像是一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，根據(jù)

圖中數(shù)據(jù)，可算出重力加速度的值為mH（取7i2=9.86,結(jié)果保留三位有效數(shù)字），

僅考慮該數(shù)據(jù)處理方法，他得到的加速度g與真實(shí)值相比（填“偏大”“偏小”

或“相同”）＜,

答案（1）1.07096.8（2）B9.86相同

解析（1）用游標(biāo)卡尺測(cè)得單擺小球的直徑為Icm+0.05mmX14=1.070cm,用秒表記錄的

時(shí)間為

1min+36.8s=96.8s:

47r2（Li-L）

可傳g_2，故迷B。

4TC2_2.00

可得k=7-=(49.0+1.00)X10-2=4,

解得g=9.86m/s2,僅考慮該數(shù)據(jù)處理方法，沒有系統(tǒng)誤差，則他得到的加速度g與真實(shí)值

相比相同。

3.（2023?重慶卷?”）某實(shí)驗(yàn)小組用單擺測(cè)量重力加速度。所用實(shí)驗(yàn)器材有擺球、長(zhǎng)度可調(diào)的

輕質(zhì)擺線、刻度尺、50分度的游標(biāo)卡尺、攝像裝置等。

⑴用游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球直徑小當(dāng)測(cè)量爪并攏時(shí)，游標(biāo)尺和主尺的零刻度線對(duì)齊。放置擺球

后游標(biāo)卡尺示數(shù)如圖甲所示，則擺球的直徑d為mm。

⑵用擺線和擺球組成單擺，如圖乙所示。當(dāng)擺線長(zhǎng)度/=990.1mm時(shí)，記錄并分析單擺的振

動(dòng)視頻，得到單擺的振動(dòng)周期7=2.00s,由此算得重力加速度g為m/s2（保留3位

有效數(shù)字）。

（3）改變擺線長(zhǎng)度/,記錄并分析單擺的振動(dòng)視頻，得到相應(yīng)的振動(dòng)周期。他們發(fā)現(xiàn)，分別用/

和/+驊為擺長(zhǎng)，這兩種計(jì)算方法得到的重力加速度數(shù)值的差異大小A?隨擺線長(zhǎng)度/的變化

曲線如圖丙所示。由圖可知，該實(shí)驗(yàn)中，隨著擺線長(zhǎng)度/的增加，Ag的變化特點(diǎn)是

，原因是。

答案⑴19.20(2)9.86(3)隨著擺線長(zhǎng)度/的增加，Ag逐漸減小隨著擺線長(zhǎng)度/的漕加，

則/+苧越接近于/，此時(shí)計(jì)算得到的越小

解析(1)擺球直徑

d=19mm+0.02X10mm=19.20mm;

(2)單擺的擺長(zhǎng)為L(zhǎng)=990.lmm+；X19.20mm=999.7mm,根據(jù)7=2，^,可得且=爺4

4X3142X09997

22

代入數(shù)據(jù)得g=0n產(chǎn)nVs^9.86m/s;

(3)由題圖丙可知，隨著擺淺長(zhǎng)度/的增加，Ag逐漸減小，原因是隨著擺線長(zhǎng)度/的增加，則

/+苧越接近于/,此時(shí)計(jì)算得到的Ag越小。

4.(2024?江蘇南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)月考)某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)用拉力傳感器進(jìn)行“測(cè)

量重力加速度”并“驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律”兩個(gè)實(shí)驗(yàn)。一根輕繩一端連接固定的拉力傳感器,

另一端連接小鋼球，如圖甲所示。

(1)用游標(biāo)卡尺測(cè)出小鋼球直徑結(jié)果如圖乙所示，則其直徑。=mm；

(2)讓小鋼球以較小的角度(<5。)在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，從計(jì)算機(jī)中得到拉力大小隨時(shí)間變化的關(guān)

系圖像如圖丙，則小鋼球擺動(dòng)的周期為丁=s：

⑶該同學(xué)還測(cè)得該單擺的擺線長(zhǎng)用L表不，則重力加速度的表達(dá)式為g=

(用小T、L、￡>表示)；

(4)將小鋼球多次拉離豎直方向一定角度后由靜止釋放，測(cè)得拉力的最小值Fi與最大值七并

得到乃一Q圖像如圖丁，如果小鋼球在擺動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，則該圖像的圖線斜率的絕

對(duì)值等于:

⑸若實(shí)際測(cè)得F2-F,圖線的斜率與理論值總是存在一定偏差，可能是以下哪種原因

A.測(cè)量單擺擺長(zhǎng)時(shí)漏加小鋼球半徑

B.小鋼球初始釋放位置不同

C.小鋼球擺動(dòng)角度偏大

D.小鋼球擺動(dòng)過程中存在空氣阻力

4n2(4+?)

答案(1)9.3(2)2.0(3)—7二

(4)2(5)D

解析(1)直徑￡)=9mm+3X0.1mm=9.3mm。

(2)小鋼球在經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)繩上的拉力最大，且一個(gè)周期內(nèi)經(jīng)過兩次最低點(diǎn)，所以小鋼球擺動(dòng)

的周期為T=2X(l,5-0.5)s=2.0s

(3)由單擺周期公式可知7=271\1

4n2(L+y)

解得g----千一

(4)根據(jù)向心力方程以及機(jī)械能守恒可知

?L+gf.公

Fi-mg-----=。'F2fig=m------亍,

ingh=[mv\聯(lián)立解得凡=3〃?g—2F\,

所以戶2—為圖像的圖線斜率的絕對(duì)值等于2：

(5)由以上分析可知，繩長(zhǎng)可以約掉，釋放高度和角度也在計(jì)算過程中約掉，因此，存在誤差

的原因應(yīng)該是有阻力做功，機(jī)械能不守恒，即存在空氣阻力，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確。

5.(2023?湖南卷?”)某同學(xué)探究彈簧振子振動(dòng)周期與質(zhì)量:的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)裝置如圖⑶所示，輕質(zhì)

彈簧上端懸掛在鐵架臺(tái)上，下端掛有鉤碼，鉤碼下表面吸附一個(gè)小磁鐵，其正下方放置智能

手機(jī)，手機(jī)中的磁傳感器可以采集磁感應(yīng)強(qiáng)度實(shí)時(shí)變化的數(shù)據(jù)并輸出圖像，實(shí)驗(yàn)步