第03講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

【人教A版2019】

1.平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果3,3是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量7有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)2-

%，使。=213+4202.若。，e?穴共線，我們把｛e1，G｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

(2)定理的實(shí)質(zhì)

由平面向量基本定理知，可將任一向量：在給出基底｛2,3｝的條件下進(jìn)行分解——平面內(nèi)的任一向量

都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實(shí)質(zhì).

2.用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路：

用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向

量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分

解都是唯一的.

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?題型歸納

【題型1基底的概念及辨析】

【例1.1］（23?24高一下?山東荷澤?階段練習(xí)）已知齊，或是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底

的是（）

A.a=0,b=/-與B.a=3e^-b=/一瓦

C.a=e7-2ej,了=久+2百D.益=久一2藥，方=2可一4豆

【解題思路】由不共線的兩個(gè)非零向最才可以作為基底，結(jié)合共線定理對(duì)各項(xiàng)逐一判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,因?yàn)槲宥喫赃\(yùn)與E共線，不能作為基底；

對(duì)于B,設(shè)工=入瓦則3百一3與=4（百一霓），解得入=3,所以W與石共線，不能作為基底；

對(duì)于C,設(shè)五二痂則可一2可=2（百+2匹），即：（匚3,此時(shí)2無(wú)解，所以應(yīng)與冰共線，可以作為基

底；

對(duì)于D,設(shè)五=Ab,則可一溫=2（2可一4可），即：［：=2乙解得入=1,所以五與e共線，不能作為基

I—，=—4X2

底；

故選：C.

【例1.2］（23-24高一下?山西?階段練習(xí)）如果｛五，瓦｝表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，那么下列四組向量,

不能作為一個(gè)基底的是（）

A.匹可一2筱B.可+2醞逐+2可

C.可-3醞6a-2可D.可一醞可-3與

【解題思路】根據(jù)平面向量基底的定義，結(jié)合平面向量共線定理逐一判斷即可.

【解答過(guò)程】根據(jù)平面基底的定義知，向量匹五為不共線非零向量，即不存在實(shí)數(shù)九使得打二4與，

對(duì)于A中，向量五和藥一2與，不存在實(shí)數(shù)入，使得與二心（國(guó)-2冕），可以作為一個(gè)基底；

對(duì)于B中，向量耳+2。,當(dāng)+2瓦，假設(shè)存在實(shí)數(shù)%，使得西+2互=%（冕+2匹），

可得［.］?，?，，此時(shí)方程組無(wú)解，所以久+2五和冕+25可以作為基底：

對(duì)于C中，向量可一3筱和6瓦一2可，假設(shè)存在實(shí)數(shù)心，使得可一3跖=A（6器一2百），

可得廣；一解得；13=-J，所以可一3與和6eJ-2可不可以作為基底；

對(duì)于D中，向量西一器和再一3瓦，假設(shè)存在實(shí)數(shù)兒，使得再一石=心（五-3五），

可得［：二此時(shí)方程組無(wú)解,所以瓦-霓和7一3孩可以作為基底.

=-S/lg

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故選：c.

【變式1.1](23-24高一下?湖南祁陽(yáng)期末)下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.武=(1,2),可=(2,3)B.可=(3,-2),可=(-6,4)

C.可=(0,0),a=(-1,3)D.可=(1,1),五二(2,2)

【解題思路】根據(jù)基底需為不共線的非零向量，由此依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,因?yàn)椤?(1,2),五二(2,3)不共線，且都是非零向量，所以A符合題意；

對(duì)干B,因?yàn)榛?-25，所以可與玩共線，故B不符合題意；

對(duì)干C,因?yàn)橥?(0,0)為零向量，所以C不符合題意；

對(duì)于D,因?yàn)槠?2無(wú)，所以可與瓦共線，所以D不符合題意：

故選：A.

【變式1.2](23?24高一下?江蘇鹽城,期中)已知可、器是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下丸四組向量中

不能作為基底的一組是(〉

A.宕+祓和江—2^2B.打—2與和2所'—4^2

C.百一2與和耳+2與D.瓦+五和區(qū)+2與

【解題思路】根據(jù)基底向量的定義，結(jié)合共線向量的判定定理逐項(xiàng)分析判斷.

【解答過(guò)程】因?yàn)槎?、孩是平面?nèi)所有向量的一組基底，則可、孩不共線，

對(duì)于選項(xiàng)A：若可+可、可-2瓦共線，則瓦+瓦=女(可一2瓦)=k瓦一2/c運(yùn)，

可得｛]!：黑，無(wú)解，

所以可十五、西-2可不共線，可以作為基底向量，故A錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?百一4孩=207—2a)，

可知瓦-2與和2方-4或共線，不能作為基底向量，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若行-2與、區(qū)+2日共線，則區(qū)—2與=H瓦+2與)=攵百+2攵弓

可得]，=黑，無(wú)解，

所以可-2瓦、可+2久不共線，可以作為基底向量，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：若可+孩、西+2萬(wàn)共線，則可+石=乂西+26=底7+2/c跡，

可得｛;二]，無(wú)解，

所以友+益、百+2與不共線，可以作為基底向量，故D錯(cuò)誤：

故選：B.

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【題型2用基底表示向量】

【例2.1】（23-24高一下?河北?期中）在△ABC中,。為8c邊上的中點(diǎn),E是4。上靠近A的四等分點(diǎn)，則而=

（）

A.一面+/B.-^AB-^AC

8888

C.-1AB-^ACD.-^AB+^AC

8888

【解題思路】根據(jù)幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化向量，用基底表示.

【解答過(guò)程】因?yàn)檐蠖欢?

4

由已知可得，AD=^（AB+AC）,所以荏=*7市+下）,

所以配二版一通二1（75+初一通=一工檢+工前.

8''88

故選：A.

【例2.2］（23-24高一下?山東臨沂,期中）如圖，平行四邊形48CD中，E是4D的中點(diǎn)，尸在線段8E上，且麗=

3拜,記瓦？=五，BC=b,則赤=（）

C.-3-a+,-ITbDC.-3-a--5bM

【解題思路】取々=瓦?，5=正作為基底，把屣、能用基底式示出來(lái)，利用向量的減法即可表示出存.

【解答過(guò)程】取3=瓦?，石=近作為基底，因?yàn)镋是力。中點(diǎn)，則麗=瓦？+荏=瓦5+；同=瓦？+；近=

a+/.

2

因?yàn)辂?3而，所以喬=：麗=；（蒼+；方）=：弘+：氏

44\2/48

所以不=而一而=%+四一1=3五一涵

故選：D.

【變式2.1］（23-24高一下?貴州六盤(pán)水?期中）在△48。中，點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，而=3而.設(shè)而=高而=石,

則荏=（）

A.定=/+與B.版二防+與

6336

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C.AE=-a+-bD.AE=-a+-b

3333

【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.

【解答過(guò)程】由題意，點(diǎn)。是43的中點(diǎn)，麗=3麗，可得前=3荏，CE=^CD,

則荏=AC+CE=AC+jCD=AC+^（AD-AC）＞=AC+笑南-硝

=；存+亞=/+與，

6363

故選：A.

【變式2.2］（23-24高一下?江蘇徐州期中）在△48。中，點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，且BD:OC=1:2,設(shè)荏=優(yōu)

AC=b,試用落5表示而=（）.

A.AD=^a-^bB.AD=^a-^b

3333

C.AD=^a+^bD.AD=1a+^b

【解題思路】利用平面向量的線性運(yùn)算即可求解.

【解答過(guò)程】由題意，畫(huà)出圖象如下：

可得標(biāo)=AB+JD=AB+-BC=AB-i--（AC-AB）=-AB+-AC=-a4--b.

33、73333

故選：D.

【題型3利用平面向量基本定理求參數(shù)】

【例3.1］（23?24高一下?陜西渭南?期末）如圖，在△ABC中，已知方方=稱反，P為而上一點(diǎn)，且滿足而=

mCA+^CB,則實(shí)數(shù)m的值為（）

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【解題思路】根據(jù)三點(diǎn)共線可得加=入刀+〃而，且2+〃=1,結(jié)合題意可得而=2石？+如亞根據(jù)平

面向量基本定理列式求解即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)?D,P三點(diǎn)共線，則加=/1石？+〃而，且；1+^=1，

又因?yàn)辂?；反，^CD=\CB,則麗=及7+）而，

A=m（.__i

,,J―,244一—T

JBLCP=mCA+^CB,則'=W，解得‘2?

U4-/z=1"-3

故選:A.

【例3.2］（23-24高一下?安徽亳州?期末）已知在梯形力BC4中,AB//CD,DC=2BA,ACnBD=0,若而=

xAB+yAD,則（）

.21n11

3z32z2

「12c31

C.x=-,y=-D,%=?y=-

【解題思路】證明△48。~2^。0可得［=喋=3然后根據(jù)平面向量線性運(yùn)算可得.

CC/L/C4

【解答過(guò)程】因?yàn)?B//C0,所以乙480=乙。。。，/840=40。0,

所以△480?△C00,所以言

所以AO=^AC=^（AD+~DC）=^（AD+2AB）+

所以％=gy=i-

?5?5

故選：A.

【變式3.1］（23-24高一下?陜西咸陽(yáng)?期末）如圖所示，在正方形ABCD中，E為A8的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn),

若力戶=九48—〃40,則入+〃=（）

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【解題思路】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合題意將而用彳瓦35表示，從而可求出兒〃，進(jìn)而可求得答案.

【解答過(guò)程】因?yàn)樵谡叫瘟CD中，E為48的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，

所以而=荏+前=；荏+；瓦

[一1——

=-AB+-(EB+BC)

1一11一1―.

=-AB+-x-AB4--AD

2222

=-AB+-AD,

42

因?yàn)榉?入荏一〃而，所以a=。,〃=一1,

42

所以2+〃=:+(-3.

故選：C.

【變式3.2](23-24高一下?新疆烏魯木齊?期末)如圖，在平行四邊形4BCD中，AE=\AD,BF=：BC,CE

34

與。尸交于點(diǎn)。.設(shè)48=五，AD=d,若4。=疝+而，則〃一之=()

【解題思路】根據(jù)。,0,尸、E,O,C三點(diǎn)共線，可得同=^B+y而、AO=mAE+nAC,利用平面向量線性

運(yùn)算的應(yīng)用將五是表示而'，由此可得方程組求得x,y,進(jìn)而得到的值.

因?yàn)镈,。,產(chǎn)三點(diǎn)共線，設(shè)而二%而+y而，則x+y=l,

所以而=xAD+y(AB+RF)=xAD+y(AB+1AD)=(x++ya；

因?yàn)镋,O,C三點(diǎn)共線，設(shè)方=m荏+九而，則m+n=l,

所以而=+n(AD4-而)=(y4-n)b+na,

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，1

+

'

y

X

-

9

1

-

+

-

n

m

-

-

8

而11及

解得所以T

+

-

V

-

Q

17

m

-

8

/一

+

7

1

X

n

=

一-

-

17

3

-

+-

4

y

=

H

17

、

則4

=

=

故選D

:

.

應(yīng)用】

定理的

量基本

平面向

型4

【題

C

氏A

與4

分別

直線

點(diǎn)G作

心，過(guò)

C的重

△A8

點(diǎn)G是

已知

圖，

）如

期中

樂(lè)山

?四川

一下

4高

（23-2

.1]

【例4

（）

值為

最小

y的

x+9

C,則

=yA

AN

而，

？=無(wú)

設(shè)而

點(diǎn)，

N兩

M,

交于

兩邊

麗,

-。

+（1

=￡加

設(shè)而

定理

基本

向量

平面

，再由