高一暑假作業(yè)15：開學(xué)前摸底考試（北師大版）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.（2025?廣東省?月考試卷）復(fù)數(shù)z滿足i/=7+,?,則|z|二（）

A.75B.y/2C.1D.2

2.（2025?四川省?模擬題）已知集合A={-1,0,1,2},集合B={y|y=|x|,xcA},則3=（）.

A.{-1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2）

3.Q025?湖北省黃岡市?月考試卷）已知命題p：rxeR,/+N-Q?。，若命題〃是假命題，則實數(shù)〃的取

值范圍是（）

A.{aa4:}B,卜卜<[}

C.,aa<；或°>0）D.<aa<；或6》（）}

4.（2025?上海市?月考試卷）已知事件M表示“3粒種子全部發(fā)芽”，事件N表示“3粒種子都不發(fā)芽”，則

M和N（）

A.是對立事件B.不是互斥事件

C.互斥但不是對立事件D,是不可能事件

5.（2025?北京市?模擬題）在△ABC中，角A,B,5的對邊分別為a,b,c,若

c-acosA=（2〃-Z?）cosA,則&ABC的形狀為（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

6.（2025?安徽省?期中考試）如圖，矩形0"8'。'是用斜二測畫法而出的水平放置的一個平面四邊形OABC

的直觀圖，其中O'A'=4,O'C'=1,那么。。43C的周長為（）

A.10B.8C.14D.872

7.（2025?四川省綿陽市?模擬題）魏晉南北朝時期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率4約等于

希355，和乃相比，其誤差小于八億分之一，這個記錄在一千年后才被打破.若已知"的近似值還可以表示

7T\/16—7T2

成4sin52°，則~~~不二一5的值約為（）

cos13.5°+sin13.5°--

4

1

A.-32B.----C.32D

32

8.（2025?江西省南昌市?期中考試）已知平面向量N、6、?滿足：少與的夾角為銳角.|才|=4,b=2,

同=1,且B+聞的最小值為5向量卜-扣）.（工-5）的最大值是（）.

A.1B-3+2夜C.3D.3+2百

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.（2025?廣東省?月考試卷）下列關(guān)于兒何體的描述第像的有（）

A.有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B.有兩個面平行，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺

C.長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體

D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形

10.（2025?廣東省?單元測試）將函數(shù)/（x）=3sinx的圖像先向右平移（個單位，再把所得各點的橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>

原來的g倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)冢外的圖像，則函數(shù)g（x）的（）

A.周期是萬B.g。）在（。，巳）上單調(diào)遞增

2

C.函數(shù)關(guān)于點（-￡,0）對稱D.圖像關(guān)于直線工==對稱

33

11.（2025?廣西壯族自治區(qū)河池市?月考試卷）在△45C中，角A,B,C對邊分別是小b,c,且

cos2B+cos2C-cos24=1—sinCsin13,則下列說法正確的有（）

A/427r

A”一

B.若一三=—J,則△ABC是等邊三角形

cosBcosC

C.若AABC的面積為2g,則AABC的外接圓半徑的最小值為2G

4

D.若△A3C是銳角三角形，則g的取值范圍是

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（2025?廣東省?期中考試）已知向量2=（2,5）,白=（尢4）,若,貝.

13X2025?浙江省?單元測試）某大學(xué)選拔新生進(jìn)“籃球”“電子競技”“國學(xué)”三個社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計，新

生是否通過考核選拔進(jìn)入這三個社團(tuán)相互獨立.某新生參加社團(tuán)時，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“籃

球”“電子競技”“國學(xué)”三個社團(tuán)的概率依次為〃?，g,〃，己知三個社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為至

324

少進(jìn)入一個社團(tuán)的概率為3,則加+”=.

14.（2025?廣西壯族自治區(qū)?單元測試）已知定義域為［-5,5］的奇函數(shù)/（幻的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線.對

Vx,々€（。，5］，當(dāng)\</時，總有生”>生°，則滿足⑵"1）/（2〃?—”,（/〃+4）/（〃?+4）的實數(shù)〃?的取

值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（2025?河北省?月考試卷）（本小題13分）

近幾年3D打印手辦深受青少年的喜愛，某工廠計劃在2024年利用新技術(shù)生產(chǎn)手辦，通過調(diào)查分析，生產(chǎn)

手辦全年需投入固定成本12萬元，生產(chǎn)M千件）手辦，需另投入成本C（x）（萬元）.且

12+￡,0V￡<6

10（）’，由市場調(diào)研知每件手辦售價90元，且每年內(nèi)生產(chǎn)的手辦當(dāng)年能全部銷

10N+-------40,126

（工

售完.

⑴求出2024年的利潤心。）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量M千件）的表達(dá)式:

（2）2024年的年產(chǎn)量為多少（千件）時，該工廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？

18.(2025?山東省?期中考試)(本小題17分)

《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉躺”，這里所謂

的“陽馬”，就是底面是矩形且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐P-ABC力為陽馬，抬_1_底

面ABCD.AB=?，P4=4。=1,￡F分別為AB,PC的中點.

⑴證明：EF〃平面PAD；

(2)證明：E/JL平面PCQ；

⑶求直線BF與平面A8C。所成角的大小.

19.(2025?全國?期末考試)(本小題17分)

對于兩個平面向量不，〃，如果有力.了一NW〉0，則稱向量3是向量方的“迷你向量”.

⑴若虎=(l,x),才=(2,1-工)，玩是萬的“迷你向量”，求實數(shù)x的取值范圍；

(2)一只螞蟻從坐標(biāo)原點0(0,0)沿最短路徑爬行到點N(〃E)處S￡N且〃..2).螞蟻每次只能沿平行或垂

直于坐標(biāo)軸的方向爬行一個單位長度，爬完第i次后停留的位置記為R(1(i<2n),設(shè)MM—1,0).記事

件7=“螞蟻經(jīng)過的路徑中至少有〃個4使得0M.是的迷你向量”?（假設(shè)螞蟻選擇每條路徑都是等可

能的）

①當(dāng)〃=3時，求/T）；

②證明：口

1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，考查復(fù)數(shù)的模，考查簡單的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

由題復(fù)數(shù)Z滿足＞2=-1+"可得Z=±二=1+"計算求解即可得到|Z|.

I

【解答】

解：由題更數(shù)Z滿足i?z=—l+"

可得z=±二=l+i,

i

...|Z|=?+12=夜,

故選B.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查元素與集合的關(guān)系，屬「基礎(chǔ)題.

根據(jù)集合8={y|y=|x|/eA},求解B中的元素，可得集合B.

【解答】

解：集合A={-l,04,2},集合8={y|y=|x|,xeA},

因為丁=|x|,所以當(dāng)％=—1、1時，5=1；當(dāng)x=0時，y=0；當(dāng)x=2時，y=2.

故集合5={0,1,2}.

故選：C.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了含有量詞的命題的否定，一元二次方程有解的條件，屬于中檔題.

將全稱量詞命題轉(zhuǎn)化為存在量詞命題，根據(jù)為真命題可得△=1-4〃.0,解出即可.

【解答】

解：命題〃：VXG/?,/+①+僅/）為假命題，

則T7：W/?.?+/+。=。為真命題，

所以只需△=1-44.0,解得

故選：A.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查互斥事件與對立事件，屬于基礎(chǔ)題.

利用互斥事件和對立事件的定義求解即可.

【解答】

解：事件M表示“3粒種子全部發(fā)芽”，事件N表示“3粒種子都不發(fā)芽”，

所以事件M和事件N不會同時發(fā)生，是互斥事件，

因為3粒種子可能只發(fā)芽1粒，

所以事件M和事件N可以都不發(fā)生.，則M和N不是對立事件.

故選：C.

5.【答案】D

【解析】解；由正弦定理一--=—--=--—得sinC—sin/AccsZ?—2sinAssA-sinZ?cosA,

sinAsinBsinC

所以sin(A+B)-sinAcosB=2sin4cosA-sinBcosA,

故cosA(sinB-sinA)=0,

所以cosA=0或sinA=sinB，

即A='或A=8,

2

故AA3C為直角三角形或等腰三角形.

6.【答案】C

【解析】解：依題意，還原得到原圖，如圖，

設(shè)直觀圖中BC,與軸交于D，

則。力'=瓜6d=x/2，C'D=o'c'=b

則。0=2后，CD=1,

則。。=?￡>2+。。2=3,

又。4=0/=4，

所以口。48c的周長為14.

故選：C

7.【答案】C

7V\/16—7T2

【脩析】解：將7r=4sin52^RAcos435o+sin435o3,

4

7FV16—7T2

可得13

cos*43.5°4-sin13.5°--

4

4sin52°?4cos52。_______

22

/I+cos7°\/I-cos7°）V-43

8sin1040

1COS27°-7

24

8sin104。

7（1+cos14。）一；

44

=4=32.

-cos14°

故選：c.

8.【答案】。

【解析】解：由題|了+汨=|甫+2W7+產(chǎn)同2,

因為1引=4,出|=2,所以|了+㈤2=2?+2胃?了t+產(chǎn)x42=16產(chǎn)+2才?了t+4，

因B+M最小值為G，且由二次函數(shù)分析可知，當(dāng):一笠‘=_工話工時，|了+￡才『取得最小值,

所以I了+加2”血=16(-可：+2K.1(-可)+4=-叵*+4=(4)2,解得不％=±4，

161616

乂因為力與歸的夾角為銳角，所以不.石=4,&r=--=--，

164

因為(W-ia*)-(c*-*?)=c*2-T-c*-1a*-c*+1a*?T=c*2+?T-+了).7*,

又有I；下+了|=+了)=yjfl>2+fl*-T4-T"=J；x4?2+4+22=2小，

1^i-i

將模長代入(c一一d)(c-b)=c~-^-db-(-d+b)c

222f

設(shè)e=〈、+了,工〉，

即原式=~^2+1才-T—|ia*+Tll'c*!cos0=I24-^x4—2v3x1cos0=3—2\/3cos9,

因為cosOeLTJ,所以(下一；下).(下_了)e卜_2遮,3+2通］,

因此年一；乃?(”■)的最大值為3+26.

故選：D.

9.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題考查棱柱、棱臺、棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，結(jié)合棱柱、棱錐和楂臺的定義和幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項判定，即可求解.

【解答】

解：對于A,有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的兩個扣在一起的斜棱柱組成的多面體就不是棱

柱，所以A錯誤；

對于&有兩個面平行，其他各個面都是梯形的多面體，只有各個梯形的腰延長交于一點時，該多面體才

是棱臺，所以B錯誤：

對干C,長方體是四棱柱，但直四棱柱不一定是長方體，所以C錯誤；

對「。，根據(jù)正楂錐的定義，可得正楂錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，所以。正確.

故選：ABC.

10.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)的圖象的伸縮變換和平移變換的應(yīng)用，也考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬

于基礎(chǔ)題.

直接利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)

用求出結(jié)果.

【解答】

解：函數(shù)/(?=3sinx的圖像先向右平移(個單位，再把所得各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅倍！縱坐標(biāo)不變

),得到函數(shù)g(x)=3sin(2x-g)的圖象.

27r

所以函數(shù)的最小正周期為——二萬，故A正確；

2

令：一2+2人西必x—匹2k7r+—(kGZ),

232

解得心)單調(diào)遞增區(qū)間是伙乃一專,氏+甘伏￡Z),故B錯吳

令：X=-軍時,可得gT)=3sgr)=0,故C正確；

33

令：x=—,可得g(曰)=3sin(2xW^-g)=3sin;r=()w±3,故。錯誤.

故選：AC.

11.【答案】BD

【解析】解：由cos2B+cos2C-cos2A=\-sinCsinB，

可得1一sin2B+1-sin2C-1+sin2A=1-sinCsinB=>sin2B+sin2C-sin2A=sinCsinB，

則由正弦定理邊角互化可得。2+c^a2=hct

b2+c2-a2_1

對于A,由余弦定理可得cosA

~lbc~~2

又,4W(0,7T),則N4=2,故A錯誤:

J

h

對于以因

cosBcosC

則bcosC=ccosB,

由正弦定理得sin3cos。-sinCcos8=0=>sin(B-C)=0,

則/8=NC,結(jié)合N4=J可得△ASC是等邊三角形，故E正確;

tj

對干C,因“1BC的面積為為§,結(jié)合=

43

則*sin4=

I)c

由正弦定理得，^—=^—=2n,R為外接圓半徑,

sin13smC

be_9

則4H2=

sinDsinCsinBsinC

對于sinBsinC,

i1「113

由枳化和差公式得sinOsin。=-[cos(B-C)-cos(Z?+C)]=-cos(Z?-C)+-W二，

222J4

當(dāng)且僅當(dāng)3=C時取等號，

則4咫=.故C錯誤；

sm13smC3

對于。，由正弦定理邊角互化可得:

b_sinB_4丁-.)_苧cosC+；si】】C_迎

11,

------十—

csinCsinCsinC2tanC2

因.AAC是銳角三角形，則＜

故。正確.

故選：BD.

12.【答案】-

5

【解析】【分析】

本題考查向量平行關(guān)系的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)向量平行關(guān)系的坐標(biāo)表示可得關(guān)于2的方程，再求出2即可.

【解答】

解：因為日=(2,5),6=(九,4),a//b,

Q

所以8-54=0,解得幾=W.

Q

故答案為：

J

13.【答案】-

4

【解析】【分析】

本題考查的是互斥事件與對立事件，相互獨立事件同時發(fā)生的概率等知識.

已知三個社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為，”X：X〃=三，至少進(jìn)入一個衽團(tuán)的概率為一，所以一個社團(tuán)都沒能進(jìn)入

3244

312

的概率為1一二HTKi-Mx,xa-m,由此求解即可.

443

【解答】

解：由題知三個社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為

24

BPx-x//=—=>mn=-,①

3248

又因為至少進(jìn)入一個社團(tuán)的概率為3,

4

所以一個社團(tuán)都沒能進(jìn)入的概率為13二1:，

44

213

H|J(I-〃?)x-x(1-〃)=—=1-一〃+mn=—,②

348

3

由①②可得〃z+〃=一.

4

故答案為三3.

4

14.【答案】［TJ

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于較難題.

結(jié)合已知不等式考慮構(gòu)造函數(shù)8(幻=獷"),然后判斷雙外的單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性即可

求解不等式.

【解答】

解：定義域為15,5］的奇函數(shù)/(<)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，

對y*,X,G(0,5］,

、匕.《、.肚M右/G)

當(dāng)占〈占時，總有----->-----,

所以&f*2)>玉/(為)，

令g(x)=MXx)，

則g^Aga),

即g(x)在(0,5］上單調(diào)遞增,

因為/(一幻=一/(幻，

所以g(-x)=-xf{-x)=xf{x}=g(x),

即g(x)為偶函數(shù),

因為(2〃L1)/'(2〃L1),,(〃?+4)/(o+4),

所以g(m+4),

-5碗m-15

所以--5轟柄+45,

|2m-l|?|m+4|

w7/zN3

w7/2N1

5

47/z2

解得一啜場1,

故m的范圍為［TJ.

故答案為：「1,1〕.

15.【答案】解：⑴當(dāng)。vxv6時，L(x)=9x-(x2+x)-12=-x2+8x-12；

當(dāng)工..6時，￡@)一9z-(1()工十學(xué)-40)-12——(工十當(dāng))十28,

一/+8工-12,0<1<6

所以利潤〃x)關(guān)于年產(chǎn)量x的解析式為L(z)=

—(14----)+28,x26

(2)若0vxv6,則L(N)=-x2+8x-12=-(x-4)2+4,

所以當(dāng)x=4時，利潤的最大值為〃吐歸=4萬元；

若X..6,則L(x)=—(ar+竺+28W—2^x?4-28=8?

當(dāng)且僅當(dāng)％=些時，即1=10時，利潤取得最大值為〃叫的=8萬元，

X

因為8>4,

所以2024年的年產(chǎn)量為10千件時，該工廠所獲利潤最大，最大利潤是8萬元.

【解析】本題考查了利用分段函數(shù)模型解決實際問題，二次函數(shù)的最值，由基本不等式求最值或取值范

圍，屬于中檔題.

(1)分0vxv6和X..6兩種情況，得到函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)()vx<6時，利用函數(shù)單調(diào)性得到當(dāng)x=4時，乙(乃“皿二4萬元，當(dāng)X..6時，利用基本不等式求出

L(i)nmx=8萬元，，比較后得到結(jié)論?

16.【答案】解：⑴因為/(z)=logjl-x)-logfZ(6+a:)+m(a>0且awl),

'1_>()

所以<T可得：

0+rr>U

因為了。)為奇函數(shù)，

所以―/?+1=0,即〃=1,

所以/3)的定義域為(T,D,

由f(0)=?？傻茫悍?0,

所以f(x)=loga(l-x)-logfl(l+x),

此時/(一①)=log?(l+/)-1%(1-X)=一/(￡),/(-V)是奇函數(shù),符合題意.

I—x2

(2)/3)=log?(l-X)-logjl+2T)=log”――=log(-l+■——),

1+Xf|N+1

①當(dāng)。＞1時，函數(shù)y=/(幻單調(diào)遞減，

131

所以/(嘰蟻=/(-9)=1嗚弓一嗨弓=嗨3,

4N4

11Q1

〃嘰m=Zb)=log”,Tog”,=嗨干

ZZZO

所以-/(N)min=心為3-log”:=log?9=2,

解得a=3.

②當(dāng)Ovavl時，函數(shù)y=/@)單調(diào)遞增，

1131

所以〃l)max=/(p)=-嚙5=loga??

zzzo

131

/(^)nnn=/(R)=嗨］-嗨廠嗨3,

所以八嘰ax-f(X),nin=l°Sag一嗨3=反=2?

解得a

3

綜上，a=，或a=3.

3

【解析】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求解析式，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值，對數(shù)函數(shù)的定義域、值域、復(fù)

合函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題.

⑴直接根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱求得江再由/(。)=。求得〃7,再驗證即可；

(2)對。進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及最值求得幾

17.【答案】解:⑴向量麗=3,?),"(cosAsinB),

因為加//萬，所以QsinB—\/3bcosA=0?

由正弦定理，得sin4sinB—后sinAcosA=0，

?.?Be(O,7),/.sinB>0?

/.sinA=GcosA?/.tanA=75?

VAG(O,TT),A為△AAC的內(nèi)角，

所以A=J

3

(2)由余弦定理,得az=b~+c~-2/?ccosA,

己知a—\[\3yb=3,

：.c2-3c-4=0，

(c-4)(c+1)=0,

因為c>0,.\c=4,

則S=-Z?esinA=3V3；

2

222

(3)a=b+c-2〃ccosA，

Ir+c2=Z?c+4，(b+c)2=3bc+4,

S+c)2

???be,,---,

4

，i2&R+4，

4

(b+c)2?16,

,./+c>0,/.〃+G,4,當(dāng)且僅當(dāng)力=c=2時，等號成立，

+c的最大值為4.

【蟀析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】

18.【答案】解：⑴證明：作PO的中點連接AM、M廠,

由M、F得分別為PD、PC的中點,

所以用產(chǎn)〃。C且用b二二。c,

2

又因為A石〃。。且所以M產(chǎn)〃AE且叱=AE，

2

所以四邊形AMFE為平行四邊形，所以￡尸〃4W,

因為AMu平面PAD.EF，平面PAD,所以EF〃平面PAD

(2)證明：囚為4?=入，所以40_1_產(chǎn)7),

因為P4_L底面44co，而COu底面A8CO,所以Q4_LCC>,

又因為CO_L4DP4AOU平面PAO,且Q4cAT)=A,

所以CD_L平面PAD,而AMu平面PA。，

所以C7)_LAM,

因為所〃AM,AMLPD,所以。￡>_1_七尸，EF±PD,

又因為尸DeCO=。,PRC￡>u平面PCD,

所以石尸_1平面PCD；

⑶連接AC,8。交于點O,連接OR

C

因為點。F分別為AC,PC的中點，

所以O(shè)F〃PA,

所以.平面A3CD,

所以40為BF在平面ABCD中的射影,

所以與平面ABCD所成角為ZFBO,

由己知得BO=]-BD=\\/AB24-AD2=衛(wèi).OF=1

2222

所以tan/F3O=容，

J

因為NF3O為銳角，所以