2026屆高三微專題4空間幾何體的最值、范圍問題

r必背知識

立體兒何中的最值問題一般是指有關(guān)距離的最值、角的最值或面積的最值的問題.常以規(guī)則幾何體為

載體，涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理、空間角與距離?的求解等，同時往往也需要

將同題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.解決的思路有：

一是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，化動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；

二是將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解.；

三是函數(shù)法，即利用傳統(tǒng)方法或空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立所求的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最直問題求解.

考點(diǎn)一切接問題中的最值、范圍問題

考點(diǎn)歸納

【方法儲備】

求解與球有關(guān)的組合體問題：一種是內(nèi)切,i種是外接.

分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切「正方體,

切點(diǎn)為正方體各個面的中心,正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正

方體的休對角線長等于球的直徑等.通過作截面，把空間問題轉(zhuǎn)叱為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平

面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.

【典例精講】

例1.（2025?全國?真題）一底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)有兩個半徑

相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為（單位：cm）

例2.（2025?浙江省紹興市月考）如圖，一張A4紙的長4O=2*a，寬718=2a,M,N分別是AD,BC的

中點(diǎn).現(xiàn)將沿8。折起，得到以/，B,C，。為頂點(diǎn)的三棱錐，則三棱錐/一反:。的外接球。的半徑

為：在翻折的過程中，直線MN被球。截得的線段長的取值范圍是

【拓展提升】

練1-1（2025?廣東省揭陽市月考）已知正方體的棱長為4,球。是正方體的內(nèi)切球，MN

是球。的直徑，點(diǎn)G是正方體表面上的一個動點(diǎn)，則俞?前的取值范圍為（）

A.[0,4]B.[0,8]C.[1,11]D.[3,12]

練1-2（2025?江蘇省常州市?月考試卷）已知三棱錐P-4BC,Q為BC中點(diǎn),PB=PC=4B=BC=AC=2,

側(cè)面P8C_L底面48C,則過點(diǎn)Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（）.

A.卜居]B.年，用C.[y,2/r]D.[nf2n]

考點(diǎn)二距離有關(guān)的最值、范圍問題

【方法儲備】

1.求線段長度的最值

幾何法：先用立體幾何知以確定動點(diǎn)的軌跡,轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求最值；

向量法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立線段長度的表達(dá)式,轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.

2.求曲面上的兩點(diǎn)間距離或多面體中的折線的最短長度

通過化曲為直轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題,然后用解三角形的方法加以解決.

【典例精講】

例3.（2025?廣東省陽江市模擬）如圖，正三棱錐P-力8c的頂點(diǎn)P為圓柱。0的上底面的中心，底面48C

為圓柱下底面的內(nèi)接等邊三角形，四邊形DEFG為圓柱的軸截面，BO1DG,AB=2g，P.4=2「.現(xiàn)

有一機(jī)淵人從點(diǎn)4處開始沿圓柱的表面到達(dá)。點(diǎn)，再到達(dá)點(diǎn)P處，再從F處沿正二棱錐P-4/?。的表面返回A

處，則其最短的路程約為.（參考數(shù)據(jù)：n-?3,15^2.24，V-2?1.41，結(jié)果精確到0.01）

例4.（2025?河南省商丘市月考）在棱長為1的正方體ABCD—兒&GD1中，點(diǎn)E,尸分別是棱G。1，&G的

中點(diǎn)，P是上底面4B1G2內(nèi)一點(diǎn)，若AP〃平面則線段AP長度的取值范圍是（）

B.[學(xué)年]5*,爭D.小，口]

【拓展提升】

練2-1（2025?江蘇省月考試題）如圖，在三棱錐A-4181cl中，A41平面4$傳1，乙4181cl=90°,A$i=

2AlA=2BlC1=2,P為線段人員的中點(diǎn)，M,N分別為線段4cl和線段為加上任意一點(diǎn)，則CPM+MN的

最小值為（）

?/

A.經(jīng)B.1C.V-5D.2

22

練2-2（2025?湖北省荊門市?月考試卷）如圖，在直三棱柱4181cl中，ACAC=2,AAX=4,

4B=6,點(diǎn)E,尸分別是44i，上的動點(diǎn)，那么+EF+/B】的長度最小值是,此時三棱錐見一

GEr外接球的表面積為.

考點(diǎn)三與角度有關(guān)的最值、范圍問題

【方法儲備】

求空間角：

1.幾何法：根據(jù)空間角的定義找到空間角，通過變量假設(shè)建立函數(shù)，求最值；

2.坐標(biāo)法：建立坐標(biāo)系，設(shè)動點(diǎn)，求解空間角，根據(jù)函數(shù)特征求出最值.

【典例精講】

例5.（2025?云南省?模擬）動點(diǎn)M在正方體4BCD-41當(dāng)。1。1從點(diǎn)％開始沿表面運(yùn)動，且與平面占。。1的距離

保持不變，則動直線與平面4DG所成角正弦值的取值范圍是（）

A停,爭A他，吁，?停,？］0仲，爭

例6.（2025?河南省?模擬）如圖，在長方體力BCD—48iCiDi中，AB=BC=口，AH1=C，P是41cl與

例7.（2025?四川省宜賓市模擬）某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，該四棱錐

內(nèi)有一個半徑為1的球，則該四棱錐的表面積最小值是（）

A.16B.8C.32D.24

例8.（2025?湖北省武漢市月考）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳躡、踢的含義，“鞠”最早

系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，已知某“鞠”的表面上有

四個點(diǎn)P,48,C,滿足/M=2,PAl^ABC,/IC1FC,若8c=芻則該“鞠”的體積的最小值為（）

A4。n8。廠9n9

A.―--7TB?-~-TCC.~7TD?-7T

35Lo

【拓展提升】

練4-1（2025?湖北省?期末考試）已知矩形4BCD,AB=2,AD=1,將△ABD沿BD折起到△若點(diǎn)4'在

平而卜的射影落在△BC。的內(nèi)部（不包括邊界），則四面體4一/?。0的體積的取值范圍是（）

2門、（口2、％.（展等）

A-）B?）c.（？亨）D

練4-2（2025?山東省青島市聯(lián)考）如圖，在四棱錐P-A8CD中，PA=PB=PC=PD=2,底面A8CD是

邊長為。的正方形.E是PC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A,E作棱錐的截面，分別與側(cè)棱PB,PD交于M,〃兩點(diǎn)，則四

棱錐P-體積的最小值為.

練4-3（2025?重慶市?模擬）在三極錐P-48C中，AC=BC=PC=2,RAC1BC,PCJ_平面力EC,過點(diǎn)P作

截面分別交4C，BC于點(diǎn)E,F,且二面角P—EH-C的平面角為60。，則所得截面PE尸的面積最小值為（）

A-BD.1

入31

【答案解析】

例1.解；軸截面如圖所示，設(shè)鐵球半徑為r,

則有4r2=(9-2r>4-(8-2r)2,

即4r2.68廠+145=0,

即［2r―5)(2r-29)=0,

解得丁=黑丁=年(舍),

故答案為：2.5.

例2.解：如圖：

因?yàn)樗倪呅瘟?C。是矩形，AD=2yTla，AB=2a,

所以連接AC交BD于。，則04=0B=0C=0D=Ca，

因此將△ABD沿BD折起，得到以4,B,C,D為頂點(diǎn)的三棱錐,

則三棱錐A-BCD的外接球球心為。，半徑為

因?yàn)镸,N分別是80,8c的中點(diǎn)，所以連接MN,則。在MN上.

分別過M,N作30的垂線,交BD于G,H,

由4BHN-BCD嘲嚼,瑞端,

因此NH=MG=2：曾。=手，BH=DG=口？干°=

2v3a32V3a3

所以HG=20一2x罕=罕.

設(shè)將△力8。沿BD折起，得二面角A-8。-C大小為6(66(0,")),如下圖:

在平面8co內(nèi)，過N作直線A與8D平行，過G作直線％與N“平仁，。=丁，

連接GT,MT,因此BO1GT,

所以4MGT為二面角A-BD-C的平面角，即ZMGT=。（0e（0,兀））,

且7G=NH=MG=手，NT=HG=空阻

因?yàn)锽D1GT,BD1GM,GTdGM=G,GT,GMu平面MG7,

所以8。JL平面MGT,而NT與BD平行，因此NT1平面MGT,

而7Mu平面MGT,所以NT1TM.

因?yàn)樵贏MGT中，MT=2TGsing=*psin"而NT=空=，

L5L3

所以MN=J等si得+粵=2片^^.

在AOMN中，因?yàn)镺M=ON=a,

所以在平面。MN內(nèi)，0到直線MN的距離為Ja2_（^sin2"[i）=J警—殍siM*

又因?yàn)榍?。的半徑為Ca，

所以直線MN被球0截得的線段長為2J3a2一得一爭得）=竽J21+6si得.

因?yàn)?＜級與所以空/V：J21+6新2女空0=2，^，

2233y23

即直線MN被球。截得的線段長的取值范圍是（區(qū)科,2Ca）.

練IT.解：因?yàn)榍颉Ｊ钦襟w的內(nèi)切球，MN是球。的直徑，

所以O(shè)M=0N=2,

因?yàn)辂?麗=（而+麗）?（而+而）=（被+麗）?（麗一麗）=|麗產(chǎn)-4,

又點(diǎn)G是正方體表面上的一個動點(diǎn)，

所以當(dāng)G為正方體頂點(diǎn)（圖中G點(diǎn)）時，|詼|有最大值為2門，

當(dāng)G為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)（圖中N點(diǎn)）時，|而|有最小值為2,

所以|被|2—4€[0,8].

練1-2.解：連接PQ,QA,由P8=PC=A8=8C=/1C=2,可知：△4BC和△PBC是等邊三角形,

設(shè)三棱錐P-力外接球的球心為。，

所以球心。到平面小鳳?和平面P8C的射影是^ABC^^的中心凡E,

△PBC是等邊三角形，Q為BC中點(diǎn),

所以PQ1BC,乂因?yàn)閭?cè)面PBC，底面/BC,側(cè)面PBCC底面ABC=BC,

所以PQ1底面;4BC,而力Qu底面ABC,因止匕PQ1AQ,所以。尸QE是矩開2.

p

△48C和△P8C是邊長為2的等邊三角形，所以兩個三角形的高h(yuǎn)=J22—0x2)2=「,

在矩形O/QE中'0E=FQ=^h=.AE=^h=連接。4,

JJJJ

所以。A='CE2+412==空，

設(shè)過點(diǎn)Q的平面為a,當(dāng)。QJ_a時，

此時所得截面的面積最小，該截面為圓形，

0Q=VOF2+FQ2=I(1h)2+(i/i)2=X=

因比圓Q的半徑為：J0A2=0Q2=J齊,=L所以此時面積為"-1?=雷

當(dāng)點(diǎn)Q在以0為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，面積為：7r.(罕)2=等；

所以截面的面積范圍為：［凡學(xué)］,故選A.

例3.解：因?yàn)锳B=2U，所以04=OB=PE=丑。=2,

cos30

所以P0=DE=VAP2-AO2=2，

又因?yàn)?010G,BOLAC,所以0G〃4C,

所以4a4。=Z,AOD=30°,

所以筋(劣弧)的長為懿x軌=全

由弱可知，當(dāng)從4到E經(jīng)過的路程最短時，總路程最短，

將圓柱側(cè)面展開，從力到E的最短距離為線段AE的長度,

此時AE=JG)2+22yC，

所以最短距離為，+2+2\T2=2.24+24-2X1.41=7.06,

故答案為：7.06.

例4.解；如圖所示，分別取棱4出、為必的中點(diǎn)M、N,連接MN,連接BQi，

???"、N、E、產(chǎn)為所在棱的中點(diǎn)，.?.MN〃反臣1，EF//B\D\,：?MN”EF,

又MN仁平面BDEF,EFu平面8DE/，

???MN||平面BO",

連接NF,由NFII/li^i，NF=%Bi，A1B1||AB,A1B1=AB,

可得NF〃AB,NF=AB,則四邊形力NF8為平行四邊形，

則AN||尸8,而ANU平面80E”，尸Bu平面80E"，貝1JANH平面6。￡尸，

又4NnNM=N,???平面AMN〃平面BDE凡

又P是上底面48儲1。1內(nèi)一點(diǎn)，且APII平面BOEF,

??.P點(diǎn)在線段MNI.,

2

在Rt△力力iM中，AM=yjAA14-AYM=J1+,=；^，

同理，在RtZi/MiN中，求得力N=孕，則A/IMN為等腰三角形.

當(dāng)P為MN的中點(diǎn)時，力尸最小，為J12+(?)2=更?,

當(dāng)P與M或N重合時，AP最大,為qi

???線段行長度的取值范圍是[甲，涓.

故選：B.

練2-1.解；依題意得4&=廳，816=44=1,

易得B]G1平面44避1，又力反u平面44$i，

則81cl1AB],

在A4BiG中，SAAB^M+SAB^MCI=Sf8[C]，

儂X\/~5PMsin^MPA+時想由廣叫=lx1Xy/~5,

yTSPMsinZ.MPA+MNsin^MNC1=

又CPMsin乙MPAW『PM,MNsin乙MN(\SMN,

所以UPMsin匕MPA+MNsin乙MNCi<RPM+MN,

即占PM+MNZW§,當(dāng)ZMP4=9O。，4MNQ=90。時取等號，

當(dāng)乙MP4=90。時，M為4cl的中點(diǎn)，

此時當(dāng)乙MNG=90°時，N為8iG的中點(diǎn)，

綜上所述CPM+MN的最小值是一虧.

故選c.

練2-2.解：把平面/4GC沿84展開到與平面共面的力4C；。的位置,

延長BiB到*,使得。片B/?,連接〃/,

如期所示，則/?/〃/,

要使的^+6尸+尸叢的長度最小，則需E,F,四四點(diǎn)共線，

此時GE?/7IB{（；EEI?r/?jCR,

所以GE+EF+FB1的長度最小值是，82+82=

因?yàn)椤妇?s,B：n\K,.BMC=”,

所以.B\,-皤，

所以。廠BB\I,4/4,C,-2,

故AE=AF=2,.Af.///[i\-15,

所以NO|FE-911,EF=2，7,BiF=47~2,EBr=2CU，

所以△E/叢的外接圓是以EBi的中點(diǎn)。為圓心，牛=門5為半徑的圓，

故三楂錐為-GEF外接球的球心。'一定在過點(diǎn):。且與平面EFBi垂直的直線上,

,I

如組2所示，點(diǎn)0'到點(diǎn)E,G的距離相等，則（X，-/IC,

所以三棱錐&-GEF外接球的表面積為47rxll=447r.

故答案為：8「；447r.

例5.解：由動點(diǎn)M從點(diǎn)名開始沿表面運(yùn)動，且與平面必DQ的距離保持不變，則BiM〃平面4DCi，

易得，點(diǎn)M的軌跡為△力。仇，則有平面4cBi〃平面40G，

所以動點(diǎn)M是在三角形4C8］的邊長線上運(yùn)動，

設(shè)正方體的棱長為1，直線與平面&DG所成角為仇

由正方體性質(zhì)易知BO11平面4CB1，851平面4道。1，且點(diǎn)M到平面的距離為定值d=!|8DJ=?，

所以sin。=,

l/MI3\AiM\

由組形可知4Ml.力當(dāng)時,&M取得最小值為?，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時,41M取得最大值為，?，即?<

所以；<sine<?，即動更線AM與平面4DG所成角的正弦值的取值范圍是",?!

故選C.

例6.解：設(shè)Q是力C與8D的交點(diǎn)，則力Q=C，乂力4=C，

則乙IPQ:,

過P作PG〃MN交卜底面48G/J二點(diǎn)G,

DiG

/B

則4PGQ就是直線MN與底面4BCD所成的角，

乙/PG就是異面直線PA與MN所成的角，

由,4Q=AAX=PQ=C，PG=MN=2,

則QG=1,則taMPGQ=M=、①

則/PGQ=$Z.QPG=7,

5O

所以宜線MN與底面"CD所成的角為乙PGQ=g；

則點(diǎn)G在以。為圓心、1為半杼的同卜運(yùn)動，

當(dāng)G在47上且位于4和Q之間時，41PG最小，且為;;",

所以\r（；5c）=匹-僅

故答案為最巨字.

34

練3-1.解：在正方體4BCD-必瓦的/中，E為線段力義上的一個動點(diǎn)，

尸為線段&G上的一個動點(diǎn)，

當(dāng)F與a重合時，平面EFB即為平面AB81Ai，

此時平面與底面力BCD所成的二面角的平面角為90。，余弦值為0,

當(dāng)E與A重合，尸與G重合時，平面￡尸8是平面力

此時平面18與底面4BCD所成的銳二面角的平面角為45。，余弦值為子.

.?.平面EFB與底面4BCD所成的銳二面角的平面角余弦值的取值范圍是[O,3].

故選:A.

練3-2.解：設(shè)。為48中點(diǎn)，

在平面PAB中，PA+PB=4>=2「，

所以點(diǎn)P在以48為焦點(diǎn)的橢圓上，

i(yH。)?

在平面4BC內(nèi)，CA-CB=2<AB=20,

所以點(diǎn)C在以4、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支上,

=l(x>0,y0).

過P作PH148,

因?yàn)锳B1PC,

又PHCPC=P,PH、PCu平面PHC,

則,481平面PHC,

囚為CHu平面P”C,所以ABJ.C",

則二面角P-AB-C的平面角即為乙PHC,

設(shè)OH=2cos6,可取〃111,

?5

則PH=V_lsin。，CH=V4cos20-l，

2sin20+4cos2。-1-1

cos乙PHC=

2yJ~2s\n0y]4cos20-1

2cos2。

2nsm6J4cos2?！?

l-sin0

■/"Zsin0J3-4sin20

所以C=2.瑞*,

令l-siMC,*t<l，

C°s2乙PHC=1.(1T；(4.1)

111

X

=7_^+1-42-U2+5U-4>

其中〃二;W(1,4),

y=-u2+5u-4在〃=|時取最大值￡

2

Bp(coszPHC)min=|x1=^t

4

則［COS4PHC)min=?.

故選：A.

例7.解：某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，故該四棱錐為正四棱錐體;

當(dāng)半徑為1的球與四棱錐體相內(nèi)切時,，四棱錐的表面積最小；

設(shè)正方形的邊長為2a,四棱錐體的高為h,四棱錐體的表面積為S,

所以利用等體積轉(zhuǎn)換法，

V=1x2czx2ax/i=1x(4x|x2axVa2+h2+2ax2a)x1=.S,

整理得a-(/i-1)=Va2+h2^S=3V；故a?=,

所以四楂錐的體積1/=1x4a2.h,

Ms=3K=3x1-4a2-h=^(h>2)?

設(shè)t=/i一2,可得/i=￡+2,

所以S=4?；2)2=4(t+1+4)>4x(2Jt-j+4)=32.

當(dāng)且僅當(dāng)￡=2,即/i=4時,四棱錐的表面積的最小值為32.

故選C.

例8.解：因?yàn)镻4=2,P41面ABC,AC1BC,

故48為三角形48。所在小圓的直徑，取力B中點(diǎn)。，過。'作O'O〃AP,交BP于點(diǎn)0,則0,0=；P4=l,

因?yàn)镻4J■面4BC,ABa^ABC,所以。'。1面力BC,PA1AB,

因?yàn)锳C1BC,所以。4=OB'=0C',所以。/=OB=0C=OP,

則。即為球心，P8為球的百徑，

要想該“鞠”的體積最小，只需PB最小，由于PB=VP42+%B2=V4+482,

故只需48最小，其只力8=，力/2+5人2,

1119

故。用C=打MBC?PA=""C?BCx2號,

解得：ACBC=2,

由基本不等式得：AC2+BC2^2AC-BC=4,當(dāng)且僅當(dāng)力C=BC=。時，等號成立，

故48最小值為2,此時直徑最小值為PB=V4+22=2，訝，

所以該“鞠”的體積最小值為：4，2)3=手小

練4-1.解：當(dāng)A'在平面BCD上的投影。在BD上時,

點(diǎn)4'到平面BCD的距離&。=弊=￡=歲，

BDV55

此時三棱錐片-BCD的體積最大，

Knax=0=堂，

A'

如國，當(dāng)4在平面BC。上的投影M在DC上時，體積最小,

則點(diǎn)4'到平面BCD的距離為4'M,作AOJ.B。于。，連接0M,

因?yàn)?'。=修，ArB=2,所以D。=7一4。2=

因?yàn)锳M10B,4010B,且AM,A。u平面AOM,AMnT