微重點13離心率的范圍問題

圓錐曲線離心率的范圍問題是高考的熱點題型，對I用錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解

決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應用也可使問題求解更簡潔.

考點一利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍

例1（1）（2022?南京模擬）設(shè)約，62分別為具有公共焦點八與尸2的橢圓和雙曲線的離心率，

。為兩曲線的一個公共點，且滿足/人上=去則m2的最小值為（）

A/3.〃立「3

AA.2B.5仁號D.4

答案A

解析設(shè)橢圓的長半軸長為山，雙曲線的實半軸長為S,不妨設(shè)儼后|＞儼巳］,

由橢圓和雙曲線的定義可得

I尸Q|+|Pg|=2ai,

IPKITP冏=2色,

|尸產(chǎn)1|=〃1+俏,

得

|P尸2|=。1-。2,

設(shè)內(nèi)乃|=2c,

因為由余弦定理得

|F/W=|PFI|2+|PF)|2-2|PF|||PR卜cos/RPF).

即4(?=(?|+?2)2+(?l—U2)2~2(a\+?2)(?l-?2)COS?

整理得屆+3員=4d,

故

正

即22

6佇'

所以ei€2

即642的最小值為坐,

當且僅當卜細6尸堂十當時，等號成立.

（2）（2022?杭州模擬）設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為a，B，過原點的直線

/與橢圓C相交于M,N兩點（點M在第一象限）.若|MN=|KBI，能/號，則橢圓C的離

心率e的最大值為（）

A.^2B.^/6—1

CW}]D.y/3—1

答案D

解析依題意作圖，如圖所示,

由于1MM=內(nèi)向，并日線段歷M邑凸互相平分,

???四邊形MQNB是矩形,

其中“1叱2=全

???|NR|=|MT，

設(shè)|MB|=x,則|MFi|=2〃—x,

根據(jù)勾股定理得|MFIF+|MB|2=|QB|2,

即x2+（2〃一工）2=4°2,

整理得/一2依+2/=0,

由于點M在第一象限，

則x=a—y/a2—2b2,

由題意得繇*猊'平，/"F色吟

即IMBBMFIBI，a-y]a2-2b2^c,

整理得2a2-2ac~c2^0,r+2e-2^0,

解得0VeW，5—l,

即。的最大值為小一1.

規(guī)律方法此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)

于db,c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍.

（2022?嘉興模擬）如圖，已知Q,尸2分別為雙曲線，一徐

跟蹤演練1=1（?>0,6>0）的左、右

焦點，O為坐標原點，其淅近線與圓好+）2=/在第二象限交于點產(chǎn)，過產(chǎn)作圓的切線過雙

2

曲線的左焦點旦與右支交于點Q,若IPQAIQF2I+5QF2I，則雙曲線的離心率的取值范圍是

答案OI)

解析因為。尸_LPFi,

所以|PFiI=yjc2—a2=b.

由雙曲線的定義得IPQI+〃-IQF2l=2a,

所以|PQ|=2a—b+|QBI,

2

因為IPQAIQBI+qOBI，

2

所以2a—〃+|QBI>IQ“2l+鏟，

2

所以2a—b>鏟，

2

即2a—不>〃，

所以[la-?2>序=/一。2.

所以2l/+4()e—]25<0,

所以(3e—5)(7e+25)v0,

所以e<1,

因為直線QQ與雙曲線的右支相交，

所以ianNQP|p21，

所唬，

所以cr<b2=(r—a2,

所以c2—2?2>0,

所以/>2,所以6Tl

所以啦ve<1.

???存在M,N使得NMPN=120。，

.??N/1P82120。，即a260。，

又?<90°,

sina2sin60°,

連接。4,則sin。=畏|=禰［2坐，

又P是C上任意一點，

貝“OP|maxW0^,

又|OMmax=〃，

??a、3，

則由o2=Z?2+c2,得

又0<e<l,.??e￡(0,1.

規(guī)律方法利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：桶圓的最大角，通徑，三角形中的邊角關(guān)系，曲線上

的點到焦點距離的范圍等，建立不等式(不等式組).

92

跟蹤演練2(2022.運城模擬)雙曲線C：/一次=1(。>0,歷>())的右頂點為4"，0),Q(M,0)

在x軸上，若雙曲線C上存在一點P(異于點A)使得APLPQ,則C的離心率的取值范圍是

()

A.(54-oo)B.(2,+co)

C.(1,巾］D.(I,巾)

答案D

解析設(shè)P(x,y),???4P_LPQ,

:?P點的軌跡方程為(x—26)2+y2=a2aHa,XW34).

((x-2a)2-\-)r=a2,

聯(lián)立(fv2消去y并整理得(/+b2)^—4“，+3a4—a2b2=0,

解得x=4(舍去)，X=^2_|_^2?

由題意知點P在雙曲線的右支上，即

3蘇—4戶

故“2+y＞。，化簡得標＞〃，

■；]+[,**?1＜e＜^2.

考點三利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍

72

例3⑴（2022?樂清模擬）設(shè)Q,F2分別為橢圓，+方=13泌＞0）的左、右焦點，若在直線x

、

=一?（c為半焦距）上存在點P，使|PF||的長度恰好為橢圓的焦距，則橢圓離心率的取值范圍

為（）

A.（0,明B惇1)

C.（0,明D愕1)

答案B

22

解析如圖所示，橢圓5+方=1,

可得焦距舊戶d=2c,

因為在直線工=一日上存在點P,使|尸川的長度恰好為橢11的焦距,

可得|MFi|W2c,即《一cW2c,

可得/W3C2,即解得夢卓

又因為橢圓的離心率?！辏?,1）,

所以e￡半，I）.

（2）（2022.萍鄉(xiāng)模擬）已知雙曲線C：，一卓=13＞0,比＞（））的左頂點為A,左、右焦點分別為產(chǎn)

3

&，以FE為直徑的圓交雙曲線一條漸近線于P，。兩點，若cos/必。2一右則該雙曲線

離心率的取值范圍是（）

A.(1,仃]

B.(l,唱

小,用D.而,4-oo)

答案B

解析以FL?為直徑的圓的方程為/+〉2=洛

雙曲線C的一條漸近線方程為y吟，

萬+爐=/,

解得(不妨設(shè))P(a,b),Q(—a,—b),A(—a,0),

所以崩=(2〃，b),檢=(0,一力，

所以cos/抄1Q=

I麗&

-b]

b3

74a5，

規(guī)律方法利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之

間的關(guān)系.

跟蹤演練3（2022?長沙市雅禮中學等十六校聯(lián)考）已知雙曲線C：3一方=l（a>0,力>0）的左、

右焦點分別為F,,F2,若C與直線），=x有交點，且雙曲線上存在不是頂點的點P,使得NPBQ

=3NP尸正2，則雙曲線離心率的取值范圍為

答案（觀，2）

解析雙曲線C與直線y=%有交點,

.bb1(r—cr

則7八7=-^>h

解得6=￡他，

雙曲線上存在不是頂點的點P,

使得=

則P點在右支上，設(shè)PR與)，軸交于點Q,由對稱性知|QFi|=|Q&l,

所以NQRF2=NQF2R,

所以ZPF2Q=NPF2FLNQF2F1

=2NPF\F2=NPQF2,

所以|PQI=I尸產(chǎn)2l,

所以|PF||-|PBI=|PF||一|PQ

=|QQ|=2〃，

由IQFQlOFil得2a>c,

所以e=a<2,

O>

在△PFi&W,ZPF|F2+ZPF2F1=4ZPFIF2<180,Z/F|F2<45°,

所以就=cos/PFi3>李，

即e=%\/5,

綜上，yf2<e<2.

專題強化練

72

1.(2022?南充質(zhì)檢)已知人(一c,0),F?(c,0)是橢圓C：1(。>比>0)的左、右焦點，若

橢圓上存在一點P使得麗?>芭=。2,則橢圓C的離心率的取值范圍為()

A惇叫B惇陰

C［小—1,期D.屋1)

答案B

解析設(shè)點尸(x,y),麗?萬芭=(—c—x,—y)-(c—x,—y)=f—d+y2

=f_/+/―%2

=5?—/+從，

因為OWfWa2,

所以/-dWPFiPFzW/,

即白一dwdwa,

結(jié)合可得:號，

JC4L

所以［坐，叫.

■22

2.已知雙曲線今一方=1億＞0,。＞。）的左、右焦點分別為a,產(chǎn)2,點P在雙曲線的右支上,

且田川=4伊川，則此雙曲線的離心率e的最大值為（）

457

A--C2-

3B.3D.3

答案B

解析方法一由雙曲線的定義知

|PFi|-|PF2|=2a,①

又|PFi|=4|PBI,②

Q2

故聯(lián)立①②，解得伊川=至/,|PB|=千.

在中，由余弦定理，

【

694

得cosZFl=玲

要求e的最大值，即求cosNBP3的最小值，

當COSZFIPF2=-1時，

解得e=*即e的最大值為.

方法二由雙曲線的定義知，IPQI—I尸61=2〃,

又|PB|=4|P尸水

82

，仍居1=鏟，仍尸2|=鏟，

?：\FiF2\=2c9

82

--

3+-3

即雙曲線的離心率e的最大值為2

J

3.已知a,6分別為橢圓c：氐+方=i（g?o）的左、石焦點，。是橢圓c上的一點，直線

9I>2

/：4=一7土，且PQJJ,垂足為。.若四邊形QPRF2為平行四邊形，則橢圓C的離心率的取

值范圍是（）

A.暮1）

B.(V2-U)

D.(0,田)

C.(0,A/2-I)

答案B

解析設(shè)P（xo,和），則。（一1，州），

???四邊形QPQH為平行四邊形，

，伊幻=1尸國1，

.cr+b2

??一xo=2c,

5/+〃2(r—^—1ac

即xo=~~~~2c=-----------￡(—a,a),

2(r—(r—2ac

..-1<-----弓-----<1,

cr

:.—1<2—e2—1e<\,得啦一l<e<l.

22

4.(2022?湘豫名校聯(lián)考)已知雙曲線M：，一方=13>0,卜>。)的左、右焦點分別為Fi，&，

以線段BF2為直徑的圓。與雙曲線M在第一象限交于點A,若lan/ABaW2,則雙曲線M

的離心率的取值范圍為（）

A.框4-oo）B.（1,?。?/p>

C.（I,啊D.［小，+8）

答案D

解析依題意可得|AQ|—|ABI=2m

又忸「1|2+|ABF=I尸的『=4落

所以（依產(chǎn)2|+%產(chǎn)+|4尸2|2=4d,

得lAEI=—a+NZc2—4,

所以依/；||=24+依22|=〃+、2?—/,

IAQI

所以tan/ABF產(chǎn)

HBI

a+yjlr—g2

—a+yJZc2-"、，

得c2^5a2,得小.

5.（2022?西安模擬）已知雙曲線%一5=13＞0,。＞0）的左、右焦點分別是R,B，在其漸近

線上存在一點P,滿足||PA|—|PBII=26則該雙曲線離心率的取值范圍為（）

A.（1,?。〣.（小,2）

C.（y[2,?。〥.（2,3）

答案A

解析雙曲線^一￡=1的漸近線方程為產(chǎn)芻，

???帕尸1|一|尸同|=2內(nèi)尸|尸2|，

點P在雙曲線,一方=1上，

二?雙曲線方一方=1的漸近線方程為尸多，

又產(chǎn)備與雙曲線各一3=1相交，

???由雙曲線漸近線性質(zhì)可知今今，即。2＞從，

即於＞《2—/,解得1常＜也

故該雙曲線離心率的取值范圍是（1,V2）.

22

6.已知雙曲線C^2-^2=1（?＞0,力＞0）,直線x=2a與C交于A,8兩點（4在B的上方），DA

=欣點E在y軸上，且E4〃x軸.若△8OE的內(nèi)心到,，軸的距離不小于筆則。的高心

率的最大值為（）

人亞R迎,汨D我

答案B

解析因為A在8的上方，且這兩點都在。上，

所以4（2。，小垃,8（2°,一小份,

則|人8|=2小〃.

因為蘇=Q,

所以A是線段8。的中點，

又EA〃x軸，所以|￡Q|=|￡B|,EAVBD,

所以ABDE的內(nèi)心G在線段E4上.

因為。G平分NED4,在△EDA中，

A.F八小告加14IEG||￡￡）|

由角平分線定理知必|=|0川，

〃

因為G到），軸的距離不小于4拳

4a

所僻￥,

所以解2

所以NEQA260。，

因此tanNEQA=舲=7^