第4講空間向量與距離、探究性問題

［考情分析］1.以空間幾何體為載體，考查利用向量方法求空間中點到直線以及點到平面的距

離，屬于中等難度2以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在

的條件，計算量較大，一般以解答題的形式考杳，難度中等偏上.

考點一空間距離

【核心提煉】

⑴點到直線的距離

直線/的單位方向向量為%A是直線/上的任一點，P為直線/外一點，設(shè)淳=氏則點P

到直線/的距離d=yla2—(au)2.

(2)點到平面的距離

平面a的法向量為〃，A是平面a內(nèi)任一點，P為平面a外一點，則點P到平面a的距離為4

\AP-n\

=I心

考向1點到直線的距離

例1(1)(2022?廣州模擬)如圖，在四棱錐P-48CD中，PBJ_平面4BC。，ABLBC,PB=AB

=2BC=2,則點C到直線PA的距離為()

A.eq

C.eq

答案A

解析因為。3_L平面48CQ,ABU平面ABC。，6CU平面A3。。,

所以PB1BC,

如圖，以8為坐標原點，建立空間直角坐標系，

D

則C(1,O,O),A(0,2,0),

P(0,0,2),

斤=(1.0,-2),或=(02-2),

即正麗=4.

正在畫上的投影向量的長度為

生戶=*=g，故點C到直線以的距離為、/|麗］2—(啦)2=小

\PA\272

(2)如圖，已知正方體ABCD-AIBIG。的棱長為1,則線段AOi上的動點P到直線4。的距

離的最小值為()

A.1B.eq

C.eqD.eq

答案D

解析如圖建立空間直角坐標系,則A(l,0』)，C,(0,1,1),

B

設(shè)P(x,0,1-X),OWxWl,

則病=(.1一1,0,-X),4口=(-1,1.0),

???動點尸到直線4G的距離為

A\PA\C\i

|A>I2-

|A<,|

當且僅當時取等號，如線段4n上的動點P到直線4G的距離的最小值為坐.

考向2點到平面的距離

例2（1）（2022.湖北聯(lián)考）在底面是菱形的四棱錐P—A8CO中，ZABC=60°,PA=PC=\,

PB=PD=p,點E為線段夕。上一點，且PE=2ED,則點。到平面ACE的距離為

答案嚕

解析如圖，連接AC,8。交于點。，連接OP,以O(shè)B,OC,OP所在直線分別為x,y,z

軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)48=2小貝ijOA=mOB=g,

因為R^2-OA2=PB2-OB\

所以1一f=2一3〃,

解得。=乎，則OP=乎，

所以A（0,一孝，0）,40,坐，0），

《o,o,乎）,4-里°?o）,《-坐o’9）,

則危=（0,V2,0）,

碼普,來嗡

AP=（0,乎,嗡,

設(shè)平面ACE的一個法向量為〃=（.*y,z）,

n-AC=,\/2y=0,

則

n-AE=一坐、+坐y+#z=0,

取x=l,得〃=（1,0,2?。?/p>

所以點。到平面ACE的距離

,|〃?崩|布遍

"=川=k13-

⑵（2022?沈陽模擬）如圖，若正四棱柱A8CO-ABIGDI的底邊長為2,/8小8=三，E是。。

（2）求點到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點到平面的距離公式，二是利用等體積

法.

跟蹤演練I（1）（2022?邢臺聯(lián)考）孫，PB,PC是從點P出發(fā)的三條線段，每兩條線段的夾角

均為60。,%=PB=PC=1,若M滿足麗=詼+2誦+3元，則點M到直線AB的距離為（）

A.eqB.3

C.24D.3^2

答案D

解析/而=麗一萩=2而+3元,

則由/i=q（2麗+3正產(chǎn)

=、4兩?+12而.記+9元?2

=44+12X1XIx）+9=皿，

則病病=（2崩+3元）（前一前）

=2麗2-2而.萩+3元.而一3元.詼

=2-2X1XIX^+3X1XIx|-3X1X1x1=1,

?嬴i=q（麗一麗雨一2而國+啟2

=^l-2X!Xlx|+l=l,

則點用到直線48的距離

|A;W|2-

（2）（2022?茂名模擬）如圖，正方體/WC。-AIBIGOI的棱長為I，中心為0,BF=^BC,ME=

次4,則四面體OEB/7的體積為（

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

解析如圖，以。為坐標原點，分別以D4,DC,￡>“所在直線為“,>?,z軸建立空間直角

坐標系,

則噌，I，￡),5(1,1.0),￡(1,0,0建，1，0),

1OB=^.一號,

T

詬=G，-1?g,

則屈$?加1=坐?眼="

OBOE

cosNBOE=

\OB\\OE\

111式11

----X-

222--24近

近

3--9

X-

24

：.ZBOE(=(^,冗)，則sinN8OE=4^.

1尻

：?S.oEB=5OB,OE?sin/BOE=%.

設(shè)平面OEB的一個法向量為〃=(x,y,z),

〃OE=5-3+(z=0,

由＜取z=l,

->1II

〃。8=/+jy一呼=0,

得〃=(不不1),又8尸=(-2?0?0),

|〃協(xié)yj26

工產(chǎn)到平面的距離

OEBh=間52'

???四面體。麗的體積v=g義嚕乂警=點

考點二空間中的探究性問題

【核心提煉】

與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位笈關(guān)系；另一類是探究線面

角或兩平面的夾角滿足特定要求時的存在性問題.處理原則：先建立空間直角坐標系，引入

參數(shù)（有些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點的坐標，然后探究這樣的點是否存在，或參數(shù)是否滿

足要求，從而作出判斷.

例3（2022.汕頭模擬）如圖，。為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，人E為底面直徑，AE=

AD,ZSABC是底面的內(nèi)接正三角形，且。。=6,尸是線段。。上一點.

⑴是否存在點P,使得依_L平面P8C,若存在，求出的值；若不存在，請說明理由;

（2）當PO為何值時，直線EP與平面P4C所成的角的正弦值最大.

解（1）存在，由題意得人。=/人后=,八。，

因為A/）2=OO2+AO2,

所以AD1=36-\-^AD1,

所以AO=4小，AO=2小，

因為△ABC是底面圓的內(nèi)接正三角形，

所以瑞=2X2^

所以AB=6t

又由題意得以之二口+尸。?，

假設(shè)附_1平面PBC,則PALPB,

所以482=以2+。82,

所以BGMIZ+HA+IZ+PO2,所以20=%，

此時必_1_尸。，PALPB,PBC\PC=P,

PB,PCU平面「8C,

所以當20=訓(xùn)時，附_1_平面。3c.

（2）如圖所示，建立以點。為坐標原點的空間直角坐標系.

設(shè)0<x<6,

所以P（0,0,x）,E（一小，3,0）,B（小,3,0）,

。（一2小,0,0）,

所以辦=（小，-3,x）,麗=（小，3,一幻，

斤=（一2小，（），-x）,

設(shè)平面PAC的法向量為〃=3，b,c）.

nPB=y[3a-\-3b—cx=O,

所以，

n-PC=-2小4—cx=O,

所以〃=(X，—小x,—2弋3).

設(shè)直線EP與平面P8C所成的角為仇

|小x+3小x-2小|x_________2sx______

由題意得sin0=

d3+9+A2.\x2+3x2+12412+神々412+12

當且僅當PO=x=#時等號成立，此時直線EP與平面PBC所成的角的正弦值最大.

規(guī)律方法解決立體幾何中探索性問題的基本方法

(1)通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對象存在或結(jié)論成立，再在這個前提下進行推理，如果能推出與條

件吻合的數(shù)據(jù)或事實，說明假設(shè)成立，并可進一步證明，否則假設(shè)不成立.

(2)探索線段上是否存在滿足條件的點時，一定注意三點共線的條件的應(yīng)用.

跟蹤演練2(2022.武漢質(zhì)檢)如圖，在四棱錐P-A3C。中，四邊形48CQ為平行四邊形，PA

=PD=?A4=l,AD=2,PDLAB.

(1)證明：平面「。。_1_平面以&

的夾角的余弦值為平.

⑵若PB=木,試在棱夕。上確定一點E,使得平面RW與平面E4C

(I)證明因為21=尸力=爽，AD=2t

所以用2+PD2=AD2,所以尸

又因為PDLAB,AB,以匚平面附8,

且/WGH=A,

所以尸。1_平面PAB,

又因為。。＜=平面PCD,

所以平面PCO_L平面PAB.

⑵解因為以=也，AB=\,PB=小,

所以南2+AR2=尸產(chǎn)，所以AB1附，

又因為PDLA8,PA,POU平面以。，

且PDOPA=At

所以AB_L平面PAD,

因為AOU平面PAD.

所以48_LA。，

所以四邊形A6co為矩形.

以A為原點，AB,而分別為*軸、1y軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示,

則40,0,0),8(1,0,0),(7(120),0(0,2,0),P(0,l,l),

所以元=(120),4>=(0,1,1),而=(0,l,-1),

由PO_L平面%B,可得向量而=(0,1,—1)是平面%B的一個法向量.

設(shè)訪=血，0?1,

則E(0,2—2,2),

所以而=(0,2—2,z).

設(shè)平面E4C的一個法向量為〃=(x,y,z),

〃AE=0,(2—2).y+=0,

則1所以

x+2y=0,

令)，=—1,可得x=2,

所以〃=(2,—1,予")，

所以|cos〈PQ,〃》|=

\PD\\n\

可得⑵2-7+i=o,

解得%=：或2=1,

即當點E滿足訪=；而或前)=：而時,平面PAB與平面EAC的夾角的余弦值為半

專題強化練

1.(2022?山東聯(lián)君)如圖，在正四棱柱ABCD-Ai囪GR中，A5=1,《為CQ的中點.

⑴當44=2時，證明：平面平面4歸|￡

⑵當A4=3時，求4到平面BDE的距離.

(1)證明當A4i=2時，BiE=?BE=?

所以8|E2+8序=8祈，所以BiE±BE.

又4H_L平面BCCB,則48]_L5E

因為人由IC8|E=AI,48,BiEU平面4BiE,

所以BE_L平面AiBiE,

又8EU平面BDE,

所以平面8。月，平面AxBxE.

⑵解以。為原點，。4DC,。。所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標系，

則。(0,0,0),5(1,1,0),

4(103),《0,1,|).

所以命=(1,1,0),DE=(0,1,號，^41=(1,0,3).

設(shè)平面BQE的一個法向量為〃=(x,)，，z),

[〃痂=0,卜+)'=0，

則〈即〈,3

ln-DE=0t卜+夢=0,

不妨令z=2,則y=-3,x=3,

得〃=(3,-3,2).故4到平面8QE的距離

n-DAi__2__

d~IT一亞一22?

2.(2022.聊城質(zhì)檢)如圖，在正四楂柱AACO-A/iGQi中，AA|=2A8=2,E,F分別為棱A4,

CG的中點，G為棱。。上的動點.

A

(1)求證：B,E,Di，尸四點共面;

⑵是否存在點G,使得平面GEF_L平面8EF?若存在，求出OG的長度：若不存在，說明理

由.

⑴證明如圖所示，連接DE,DiF,取8用的中點為M,連接MG,ME,

因為七為A4的中點，

所以EM〃A\B\〃C\D\,

且EM=A\B\=ClDit

所以四邊形￡A/GA為平行四邊形，所以。名〃MG,

又因為F為CG的中點，

所以凡且8M=。e

所以四邊形廠為平行四邊形，

所以所以〃/〃小旦

所以B,E,Di,/四點共面.

⑵解以。為坐標原點，DA,DC,。。分別為x軸、y軸、2軸建立空間直角坐標系，如圖

所示，

假設(shè)存在滿足題意的點G(0,0,/)(0W/W2),

由已知5(1,1,0),E(l,0,l),尸(0,1,1),

則際=(-1,1,0),麗=(0,1,-1),

EG=(-l,0,r-1),

設(shè)平面BEr的一個法向量為〃|=(笛，yi,zi),

[?i-￡F=O,f—xi4-yi=0,

則《即

[nrEB=O,)LZ尸0，

取xi=l,則〃i=(l,1,1)；

設(shè)平面G￡F的一個法向量為〃2=(X2,”，Z2),

n->-EF=0,一及+1y2=0,

則.即

—X2+0-1)Z2=(),

,?2EG-O,

取M=L1,則〃2=(L1,r—1,1).

因為平面GEF_L平面BEF,

所以?1/12=0,

即f—1+/—1+1=0,解得

所以存在滿足題意的點G,使得平面GEF_L平面BEEDG的長度為宗

3.(2022?湖北七市聯(lián)考)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面48CO為正方形，布1底面

ABCD,PA=AB,E,產(chǎn)分別為線段夕從4c上的動點.

⑴若月為線段P8的中點,訐明：平而AERL平面PBC

⑵若BE=gF,且平面AM與平面PBC夾角的余弦值為*,試確定點F的位置.

⑴證明由以_L底面A3QZ可得以_L8C,

又在正方形人8c。中，BCA.AB,

且%A4B=A,%，ABU平面以&

則8C_L平面PAB,

又4EU平面PAB,

所以BC1.AE.

由以=A8,E為P8中點，可得AE_LP8,

又PBCBC=B,PB,BCU平面PBC,

則4從L平面P8C,又4EU平面AE凡從而平面AE/LL平面P8C.

(2)解以A為坐標原點，AB,AD,AP分別為A,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)

A8=l,

則A(OOO),B(1,O,O),C(11,O),0(0,LO),P(O,OJ).

由(1)可知〃i=e，o,為平面PBC的一個法向量.

由BE=yf2BF,可知

設(shè)際=2正，BE=ABP,

則際=(0,2,0),礪=(-2,0,A),

可得能=Q+礪=(1,九0),

恁=初+礪=(1一九0,A).

設(shè)平面AE尸的一個法向童為〃2=(x,y,z),

〃2?赤=0,%+肛=0,

即

?(1-2'ix+xz=0,

./i2?4E=0,

取y=l,則x=-i,z=l—A,

即〃2=(一九1J-A).

從而，*|cos5,小〉1=艇

_[—24_S

~yj2-y/2A2-2A+2~⑷

12

解得2=彳或7=：,即產(chǎn)在3C的三等分點處.

JJ

4.(2022?長沙十六校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P-/WCD中，△外。是以人。為斜邊的等腰直角三

角形，BC//AD,ABLAD.AD=2AB=2BC=2,PC=小,E為PO的中點.

(1)求直線PB與平面南C所成角的