微重點15拋物線的二級結(jié)論的應(yīng)用

拋物線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，知識的綜合性較強，因而解題時需要運用多種基礎(chǔ)

知識，采用多種數(shù)學(xué)手段，熟記各種定義、基本公式.法則固然很重要，但要做到迅速、準

確地解題，還要掌握一些常用結(jié)論，特別是拋物線的焦點弦的一些二級結(jié)論，在考試中經(jīng)常

用到，正確靈活地運用這些結(jié)論，一些復(fù)雜的問題便能迎刃而解.

考點一拋物線的焦點弦

【核心提煉】

與拋物線的焦點弦有關(guān)的二級結(jié)論

若傾斜角為G君）的直線/經(jīng)過拋物線尸=2〃*〃>0）的叁、點，且與拋物線相交于A3,>'0,

6（X2,兩點，則

①焦半徑依.二川十鄉(xiāng)=/?

2=—2_

|3/*1=念+21+cosa'

②焦點弦長IAB|=r+0+，=肅^,

③為坐標原點），

2

④xi3=jyiy2=~p2,

區(qū)7麗T|8F|尸

⑥以48為直徑的圓與準線相切，以M為直徑的圓與y軸相切.

考向1焦半徑、弦長問題

例1（1）已知/是拋物線C：尸=?的焦點，過點尸作兩條相互垂直的直線八，h，直線八

與C相交于A,8兩點，直線/2與C相交于。，￡兩點，則|A8|+|D￡|的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

答案A

解析如圖，設(shè)直線八的傾斜角為仇聞0,號，

B

17

則直線/2的傾斜角為E+仇

由拋物線的焦點弦弦長公式知

2〃4

網(wǎng)=siMe=布9

2〃4

口用=.伍鏘=飄

snrl9+c？I

.44_______4

??區(qū)身+1?！闿—sin%+cos"-sinWcos%

一siR?！?

當(dāng)且僅當(dāng)sin28=1,即夕=彳時取等號.

???|A8|十|OE1的最小值為16.

（2）斜率為小的直線經(jīng)過拋物線產(chǎn)=2/?（〃>0）的焦點小與他物線交于A,8兩點，A在第?象

限且依尸1一4,貝1」人初一.

答案y

解析直線/的傾斜角a=60。，

由MQ=T^M=4

得p=4(l—cosa)=2,

?14冏2〃416

?-|^|-sin2?-3-3-

4

考向2面積問題

例2（2022?長沙模擬）已知拋物線C），2=13?，傾斜角為熱直線/過焦點/交拋物線于A,

3兩點，。為坐標原點，則△A3。的面積為.

答案64

解析方法一（常規(guī)解法）依題意，

拋物線CV=16x的焦點為R4。），

直線/的方程為]=小>，+4.

,1=小)，+4,

由I,消去K,

y=16乂

得)2—16，5y—64=0.

設(shè)A(xi,yi),8(X2,”)，

則yi+”=16小,MX=-64.

5皿8=熱一刈0〃

=2、（yi+）、2）2―4州），2

=R（6V5）2-4X（-64）=64.

方法二（活用結(jié)論）依題意知,

拋物線V=16x,〃=8.

又I的傾斜角a弋.

所以S△。八產(chǎn)需^^三三二64-

zsin7

i12

考向3方+而T萬的應(yīng)用

例3（2022?“四省八?！甭?lián)考）已知拋物線）2=敘,過焦點戶的直線與拋物線交于4,3兩點,

則2依月+出用最小值為（）

A.2B.2^6+3

C.4D.3+2點

答案D

112

解析因為〃=2,所以兩+兩=萬=1，

所以2H回+日用

=（2|AQ+IBH）?（看+制

_2\AF]\BF]

一）十\BF\十|4F1

卬2^/^=3+*

當(dāng)且僅當(dāng)[8Q=^h4F|時，等號成立，

因此，2H用+|/辦1的最小值為3+2，1

考向4利用平面幾何知識

例4（2022?遂寧模擬）已知產(chǎn)是拋物線C：），2=2px（p>0）的焦點，過點F的直線/與拋物線交

,:AB=3FB

???尸為A8的三等分點，

令|wq=r,則依n=2/,

田|8月十|AF1p'

得

9

???|A8|=3f=Zp,

9n

又|48|=—V,

11sin-?

.2〃9f.2^/2

'in2a=7=澗。=3,

又5型。8=%陰，?,.^^邛忸叫

9

-

2

（2）已知拋物線Cf=4），，焦點為"，過點尸的直線與拋物線交于A,8兩點，該拋物線的準

線與），軸交于點M，過點A,8作準線的垂線，垂足分別為〃，G,如圖所示，則下列說法不

正確的是（）

A.線段人8長度的最小值為2

B.以AB為直徑的圓與直線），=-1相切

C.ZHFG=900

D.ZAMO=ZBMO

答案A

解析如圖，取48的中點為C,

當(dāng)線段48為通徑時長度最小，為2P=4,故A不正確;

???直線y=-1為準線，

???3+15G|)=如|,

故以AB為直徑的圓與準線＞，=-1相切,

故B正確；

又|8Q=|BG|,：?/BFG=4BGF,

又BG//FM,

NBGF=NMFG,

/.ZBFG=NMFG,

同理可得ZAFH=ZMFH,

又NBFG+ZMFG+ZAFH=180。,

：.FGLFH.

即N"FG=90。，故C正確；

設(shè)4(xi,yi),8(X2,J2)?直線AB：y=Ax+l,

[y=心，+l,

由一

Lr=4y,

得x2—4日一4=0,

??X1A'2=-4,X|+12=4攵,

yi+1+"+1

k.AM~\~kl,M=

X2

丘]+2?止+2

X\

AL

=2女+2.=。,

???/AMO=NBMO,故D正確.

考點二定點問題

【核心提煉】

拋物線方程為1y過(2p,0)的直線與之交于4,B兩點,則OALOB,反之，也

成立.

例5如圖，已知直線與拋物線f=22v交于A,8兩點，MOAA.OB,OQ_LA8交43于點

D,點。的坐標為(2,4),則〃的值為()

35

-

2民4C-

A.2D.2

答案D

解析如圖，令A(yù)B與y粕交于點C,

??那/?過定點C(0,2p),

又52,4),

/.CD=(2,4-2p),(90=(2,4),

TOD上A3,

.\cbdb=o,

即4+4(4—2〃)=0,解得〃=楙.

易錯提醒要注意拋物線的焦點位置，焦點不同，定點是不同的；在解答題中用該結(jié)論時需

證明該結(jié)論.

跟蹤演練2已知拋物線『=44,A,3為拋物線上不同兩點，若O4_L08,則△A04的面積

的最小值為.

答案16

解析如圖，???0AJ_08,

???直線48過定點(2p,0),

即點C坐標為(4,0),

設(shè)直線AB：x=(y+4,A(xi,yi),8(x2,”),

x=fv+4,

聯(lián)立，=>r-4^-16=0,

y^=4x

2

zf=16/+64>0,yi+”=4f,y（y2=—16,

，S^oB=^OC\\y\-y2|=2|>'i

=2^/16/2+64,

???當(dāng)f=0時，5min=16.

專題強化練

1.（2022?黃澤模擬）設(shè)坐標原點為O,拋物線爐=以與過焦點的直線交于A,8兩點，則殖?弗

等于（）

33

A.TB.一不C.3D.—3

答案D

解析方法一拋物線）?=4x的焦點為/（1,0）,

\x=ty~\-1

設(shè)直線"的方程為』），+、Ag），D，Wd如，由;爐=優(yōu)得>2—4）—4=0,

/=16?+16>0恒成立,

yi4-y=4/,

則MI2

bw=-4,

所以O(shè)A?。8=xiX2+yi”

=籽+）仍=聆+（-4）=_3.

方法二因為A8過拋物線的焦點,

設(shè)A（xi,9），8（x2,兒），

2

則3匹2=彳=1,巾”=一〃2=-4,

所以0AO8=xiX2+yiy2=-3.

2.如圖，過拋物線）2=8xE勺焦點尸的直線/與拋物線交于A,B兩點,與拋物線準線交于C

點，若3是AC的中點，則兇8|等于（）

A.8B.9

C.10D.12

答案B

解析如圖所示，令用用=/,

則出夕|=八

又B為AC的中點，

：.\AA'\=\AF\=2t,

???陽C|=\AB\=\AF]-^-\BF]=3/,

又△C8B's/\CFE,

.\BC\_\BB'|

^\CF\~\FE\*

3/I3

即Mr1京=產(chǎn)片種

3.傾斜角為前勺直線/交拋物線C：)2=2pMp>0)于4,B兩點、,且。A_LO&SMOB=$&

則拋物線C的方程為()

A.y1~2xB.)r—4x

C.9=4如D.y2=8x

答案B

解析???OA_LO3,?,?直線過定點(2p,0)

設(shè)直線/的方程為x=y+2〃，

設(shè)4汨，yi),8(.3,y2),

x=y+2p,

聯(lián)立｛,f得），-2pv—4P2=0,

[y—2pxf

』=4"—4X（—4/r）=20/r>0,

?』+”=2〃，）V2=14p1

SAAOL；.2P.i

=八/（卜+3）2-4yly2

=P74P2+16P2=2\[5p*12=3B4,

.?.p=2,

???拋物線。的方程為）2=4X.

4.直線/過拋物線>2=6X的焦點立交拋物線于A,B兩點,且|AQ=3|BF|,過A,8分別

作拋物線C的準線的垂線,垂足分別為A',B',則四邊形A8"A'的面積為（）

A.4小B.8小

C.16^3D.3入口

答案C

解析不妨令直線/的傾斜角為仇

則|A/H=[/Z="i

1——cos81—cos7

\BF\=----B----=----------

1+cos0l+cos。'

又依/]=3|打1，

?33

,,1—cos01+cosO'

解得cos0=；,

又問0,兀），.??。=卡

33

|AF|="7=6?\BF]=.?7=2,

1—cos01+cos0

：.\AA'|=6,\BBf|=2,

/.\A'8'|=|A8|sin9=8X坐=44，

:?SE邊形ABB'A,=5X（24-6）X473=16^3.

5.（2022?聊城模擬）已知拋物線C：）2=2px（pX））的焦點F到準線的距離為2,過戶的直線/

交拋物線C于A,3兩點，則（）

A.C的掂線方程為工=-2

B.若［44=4,則10Al=24

C.若依印|防=4科則/的斜率為W5

D.過點A作準線的垂線，垂足為”，若x軸平分NHF8,則|AQ=4

答案D

解析對于A,因為拋物線C：y2=2〃x（p>0）的焦點尸到準線的距離為2,所以〃=2,

2

所以拋物線方程為1y=4右則焦點尸（L0）,準線為犬=-1,故A錯誤;

對于B,若l/4F|=4,則以=3,所以）4=4XA=12,

所以|04=、嵬+）疚=立1,故B錯誤；

對于C,設(shè)直線48的傾斜角為a,?E（0,7t）,

則lAFIIBQ="jL、/=j2〃=4〃2,

1—cosa1+cosasina1

所以sin2a=（,

所以sina=1,

所以a=30。或150°,

所以tana=q^,故C錯誤；

對于D,若x軸平分N”PB,則NOFH=NOF4,又軸，

所以NO"/,NOFB=NHAF,

所以NA”"=N/MF,

所以HF=AF=AH,

所以忍受=白，即以=3,

所以依￡1=必+1=4,故D正確.

6.(2022?武漢模擬)斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線C產(chǎn)=2〃"〃>0)的焦點凡且與拋物線C

相交于A,8兩點，點A在x軸上方，點M(—1,—1)是拋物線。的準線與以A8為直徑的圓

的公共點，則下列結(jié)論不正確的是()

A.p=2

C.MFLAB

D椽H

答案D

解析由題意知，拋物線C的準線為4=一1,

即g=1,解得〃=2,故選項A正確；

J拋物線C的方程為V=4x,

其焦點為尸(1,0),

由已知可得以A8為直徑的圓與準線相切，

???點M(-l,-1)為切點，

，圓心的縱坐標為一1,即A83點的縱坐標為一1,

設(shè)48：1=)+1，

x=(y+l,

聯(lián)立

ly-=4x,

得4()?—4=0,

J=16/2+16>0,

Ayi+y2=4/=-2,

A/=-I，即％=—2,故選項B正確；

-1—01

,k2,kMF—_?_?2，A.Mf"]?

：.MF±ABt故選項C正確;

過A作AA]±x軸于點Ai,過8作BB\±x軸于點B),

設(shè)拋物線的準線交x軸于點C,NBFBi=8,

又p=2