專題2.2基本不等式

三（題型目錄

題型一直接法求最值

題型二配湊法求最值

題型三"1〃的代換求最值

題型四消參法求最值

題型五商式求最值

題型六對勾函數(shù)求最值

題型七利用基本不等式證明不等式

題型八利用基本不等式解決實際問題

題型九基本不等式與其余知識的綜合應用

才典例集練

題型一直接法求最值

例1.（2022秋.海南?？?高三?？茧A段練習）已知實數(shù)刈），滿足Y+），2=2,那么冷，的最

大值為（）

A.-B.：C.1D.2

42

例2.（2023?全國?高三專題練習）已知31+9丫=18,當工+2），取最大值時，則沖的值為（）

A.72B.2C.3D.4

舉一反三

練習1.（2023春?湖南?高三桃江縣第?中學校聯(lián)考期中］若正實數(shù)。、〃滿足力=1,則

當必取最大值時，。的值是（）

練習2.（2023?全國?高三專題練習）已知正實數(shù)則“2a+b=4”是“abN2”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

2,

練習3.（2021春?廣西南寧?高二?？茧A段練習）函數(shù)y=2x+；（x>0）的最小值為（）

A.B.2C.272D.4

練習4.（2023?全國?高三專題練習）已知二次函數(shù)/（刈=奴2+標+。（X€R）的值域為

[0,+a>）,則的最小值為（）

A.-4B.4C.8D.-8

8

練習5.（2022秋?高三課時練習）已知正數(shù)x,>滿足3i=91則工+—的最小值為（）

y

A.8B.12C.2V2D.4+2&

題型二配湊法求最值

例3.（2。23?上海?高三專題練習）函數(shù)"噫"癡念在區(qū)間6+8）上的最小值為

例4.（2022秋?新強克拉瑪依?高三克拉瑪依市高級中學?？计谥校?）已知x>2,求函數(shù)

y=的最小值；

x-2

（2）已知0<x<g,求函數(shù)y=x（3-2x）+l的最大值.

舉二1反I三！

4

練習6.（2U21春?陜西渭南?高二?？茧A段練習）設實數(shù)x滿足4>0,則函數(shù)y=2+3x+--

x+\

的最小值為（）

A.4^-1B.4百+2C.473+1D.6

練習7.（2023?全國?高三專題練習）（多選）在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有（）

A.f（x）=x+-B./（x）=x（2&-x）

X

4

C./(^)=X+-D./(x)=x+(x>—2)

Xx+2

練習8.（2022秋?吉林?高三吉林毓文中學校考階段練習）已知0<x<；,函數(shù)），=犬（1-2刈的

最大值是_.

練習9.（2023.山東荷澤山東省東明縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知8G（0,?,則

1

-cosz夕的最小值為.

2sin26>

練習10.（2023?陜西榆林統(tǒng)考三模）若不等式以2-61+3>0對xeR恒成立，則〃的取值

9

范圍是----------'"大的最小值為-----------

題型三'T的代換求最值

12I

例5.（2023?海南?？?校聯(lián)考模擬預測）若正實數(shù)%,丁滿足x+3y=l.則一+一的最小值

xy

為（）

A.12B.25C.27D.36

例6.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模）若直線2+==1（"040）過點（2,3）,則的最小值

ab

為.

舉一反三

練習11.（2023?北京?高三專題練習）已知b>l,=則k）g/0+3k）g/0的最

小值為（）

A.4B.6C.8D.12

練習12.（2（）23?湖北荊門荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)。泊滿足

lga+lgZ?=lg（a+2Z>）,則%+b的最小值是（）

A.5B.9C.13D.18

（『一2曲+4=0，則〃-丁的最小值為（）

4

A.1B.V2C.2D.2&

練習19.（2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學?？计谥校┱龜?shù)小〃滿足為+〃=1,則

4/+/的最小值為.6（右+正）的最大值為.

〃3.A3

練習20.（2023?浙江?二模）若/+/=.+〃，則K—7的取值范圍是_____.

a-+b~

題型五商式求最值

例9.（2023?全國?高三專題練習）設人>0，，心+力=1,則小的最小值為（）

A.0B.1C.2D.4

例10.（2022?江蘇?高一專題練習）求下列函數(shù)的最小值

,1、x+X+I/八、

(1)y=------------(x>0)：

x

%+5

(2)y=(xeR).

x~+2x+6,

(3)y=----；—

A-I

舉一反三

練習21.（2022?全國?高三專題練習）己知a>b,且必=8,則2的最小值是（

a-b

A.6B.8C.14D.16

練習22.（2021秋.遼寧沈陽.高三沈陽市第五中學?？茧A段練習）已知正實數(shù)-則

），=-2江+x-4的最大值是（）

x

A.1B.4x/2C.D.1-472

x2+x+4的最小值是

練習23.（2023?全國?高三專題練習）己知%>-1,則函數(shù)y=

x+l

練習24.（2023?全國?高三專題練習）已知冷=1,且0<），<；,則最大值為______

2二十■O?V;

練習25.（2021秋?江蘇徐州?高三?？茧A段練習）若存在xe（0,*c）,使-T~成立，

%■+3x+l

則。的取值范圍是.

題型六對勾函數(shù)求最值

例11.（2023?高三課時練習）設工4-2,0）,則x+一的取值范圍是______.

例12.（2023?全國?高三專題練習）（多選）已知關于x的以2+法+°>0的解集是（-2,3）,則

（）

A.a<0

B.9a+6Z?+4c>0

C.關于4的不等式cf+日+〃<0的解集是卜；,；）

2

D.丁1十c的最小值是-4

3/2+4

舉一反三

練習26.（2022秋?高三課時練習）若函數(shù)），=/*）的值域是，則函數(shù)2"）=/（幻+1

|_3」f（x）

的值域是（）

l一cs171_1017,、-171

A.r[—,4]B.[2,—]C.rD.[4,—]

34344

練習27.（2022秋.吉林長春?高三東北師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)/（幻=告的定義域為

x+1

[。,+8）,則函數(shù)/*）的值域為（）

A.[0,+oo）B.[2,+oo）C.0,1D.最+幻）

練習28.（2023秋?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考期末）已知關于x的不等式辦2+次+4>0的解集為

（-oc,//?）u|—,+co,其中〃?vO,則）的最小值為（）

\mJab

A.-4B.4C.5D.8

練習29.（2023秋?江蘇常州?高三統(tǒng)考期末）（多選）下列函數(shù)中，以3為最小值的函數(shù)有（）.

A.y=6-3cosxB.y=4x-2x+2+7

，9x9

C.y-sin*x+----：-D.y=—e+—

4sin2x4e*

4

練習30.（2022秋.高三?？计谥校ǘ噙x）已知函數(shù)4.r）=x+—則下列結論正確的是

X—1

（）

A.若x>l,則f（x）有最小值5B.若R〉1,則/（x）有最小值3

C.若x<l,則/（x）有最大值-3D.若x<l,則/（刈有最大值-5

題型七利用基本不等式證明不等式

例13.（2023?貴州黔西??？家荒＃┰O。，6,。均為正數(shù)，且〃+b+c=l,證明：

（1）672+b2+C2Ng;

⑵a3c+b3a+c3b>abc.

例14.（2021秋?廣西欽州?高二?？计谥校┳C明：

⑴。+---->4（A>2）；

4—2

（2）2a2+2b2>（a+b）2.

舉一反三

練習31.己知。>0,〃>0,7+—=2，證明:

/I1y5

22

⑴a+br?+z?2>4，

⑵—+/<2-

練習32.已知。>0,〃>0,且。+6=2.

⑴求"+加的最小值；

(2)證明：x/7fT+4b+\<2^/2.

練習33.（2022秋?云南昆明?高一云南民族大學附屬中學?？茧A段練習）（1）求函數(shù)

x+1

x的最大值;

f()=x2+7x+10

（2）已知”0,力＞0,。+2，=1,求證:

練習34.已知x、yeR+,且x+y=l,求證:

⑴孫

4

(1V

(2)1+-1+->9.

Vx八

練習35.（2021?全國?高一專題練習）證明:

題型八利用基本不等式解決實際問題

例15.目前，我國汽車工業(yè)迎來了巨大的革命時代，確保汽車產(chǎn)業(yè)可持續(xù)發(fā)展，國內(nèi)汽車

市場正由傳統(tǒng)燃油車向新能源、智能網(wǎng)聯(lián)汽車升級轉(zhuǎn)型.某汽車企業(yè)決定生產(chǎn)一種智能網(wǎng)聯(lián)

新型汽車，生產(chǎn)這種新型汽車的月成本為400（萬元），每生產(chǎn)x臺這種汽車，另需投入成

本p（x）（萬元），當月產(chǎn)量不足40臺時，p（x）=4x（萬元）；當月產(chǎn)星不小于40臺時，

P（x）=2Lv+——-900（萬元）.若每臺汽車售價為20（萬元），且該車型供不應求.

（1）求月利潤y（萬元）關于月產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關系式；

（2）月產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤?并求出最大月利潤.

例16.（2022秋.浙江衢州?高一?？计谥校┤鐖D，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它

的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形A38和構成的面積為200m2的十字形地

域.計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為4200元/nf；在四個相同的矩形（圖中陰

影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為210元/nd；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，

造價為80元/nf.受地域影響，A。的長度最多能達到4m,其余邊長沒有限制.

HG

（1）設總價為S（單位：元），A。長為x（單位：m）,試建立S關于x的函數(shù)關系式:

⑵當x為何值時，S最小？并求出這個最小值.

舉一反三

練習36.（2023?全國?裔一專題練習）如圖所示，有一批材料長為24m,如果用材料在一邊

卷墻（墻足夠長）的地方第成?塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成兩個面積相等的矩形，

那么圍成的矩形場地的最大面積是多少？

/</////（////4/

XXX

yy

練習37.（2023春?內(nèi)蒙古呼和浩特?高二統(tǒng)考階段練習）已知某公司計劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共，

萬件（0.5</<1.5）,其成本為（萬元/萬件），其廣告宣傳總費用為4,萬元，若將其

銷售價格定為（4+引萬元/萬件.

（1）將該批產(chǎn)品的利潤?。ㄈf元）表示為，的函數(shù)；

（2）當廣告宣傳總費用為多少萬元時，該公司的利潤最大?最大利潤為多少萬元？

練習38.為響應國家“降碳減排”號召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能源汽車最核

心的部件之■.湖南某企業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來的歷史性機遇，決定開發(fā)生產(chǎn)?款新

能源電池設備.生產(chǎn)這款設備的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x臺（xeN+）需要另投入成本

。（力（萬元），當年產(chǎn)量*不足45臺時，a（x）=（x2+30x-300萬元，當年產(chǎn)量x不少于45

臺時，a（*）=6Lr+咨-900萬元.若每臺設備的售價與銷售量的關系式為10+￥）萬元,

經(jīng)過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)新能源電池設備能全部售完.

（1）求年利潤）'（萬元）關于年產(chǎn)量工（臺）的函數(shù)關系式：

（2）年產(chǎn)量x為多少臺時，該企業(yè)在這一款新能源電池設冬的生產(chǎn)中獲利最大？最大利海是多

少萬元？

練習39.（2022.高三課時練習）用32m2的材料制造某科長方體形狀的無蓋車廂，按交通部

門的規(guī)定車廂寬度為2m,則車廂的最大容積是.

練習40.（2022秋?安徽馬鞍山?高三安徽工業(yè)大學附屬中學校考期中）如圖，安工大附中欲

利用原有的墻（墻足夠長）為背面，建造一間長方體形狀的房屋作為體育器材室.房屋地面

面積為18m2,高度為3m.若房屋側面和正面每平方米的造價均為1000元,屋頂?shù)脑靸r為6000

元，且不計房屋背面和地面的費用，則該房屋的最低總造價為元.

題型九基本不等式與其余知識的綜合應用

例17.（2023?浙江?二模）記s”為正數(shù)列｛《,｝的前〃項和，已知⑸-4｝是等差數(shù)列.

⑴求9；

⑵求最小的正整數(shù)〃?，使得存在數(shù)列也｝,S,n-a；,>2.

18.（河北省名校2023屆高三5月模擬數(shù)學試題）已知平田向量a/滿足卜-〃|=1且力，入

當向量a-力與向量%-〃的夾角最大時，向量b