培優(yōu)點(diǎn)9圓錐曲線與圓的綜合問題

隨著新高考不斷地推進(jìn)與深入，高考對(duì)解析幾何的要求也隨之發(fā)生很大的變化，對(duì)圓的

考杳在逐漸加深，與圓相關(guān)的幾何性質(zhì)、最值問題、軌跡問題等都能與橢圓、雙曲線及拋物

線相結(jié)合，呈現(xiàn)別具一格的新穎試題，題型漸漸成為高考命題的熱點(diǎn)，是一種新的命題趨勢.

考點(diǎn)一圓的切線與圓錐曲線的綜合問題

例I已知橢圓：+3=1（公力＞0）的右焦點(diǎn)為f2（1,0），點(diǎn)pg,等）在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)M在圓/+）2=扇上，且“在第一象限，過點(diǎn)M作圓r+產(chǎn)二層的切線交橢圓于A,B

兩點(diǎn)，問△ABB的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.

解（1）由題意得《921

方+"麗='

4=4,

〃=3,

???橢圓的方程為「+￥=1.

（2）是定值.由題意,

設(shè)AB的方程為），=依+〃依＜0,＞0）,

,：AB與圓/+產(chǎn)=3相切，

=小即〃尸=3（］+爐）,

?pl+F

\y=kx-\~nif

電+1.

整理得(3+4d)f+8kmx+4〃?2-12=0,

設(shè)4即,yi),8(X2,”)，

.一86

則nl即+迫=h而,

W-12

3X2=3+軟2，

???伊8|=|1+4十一小|

=71+/c\l(Xi+X2>-

!-------s/（—4zn2-12

-4km

=3+4爐，

又歸尸2『=。|-1）2+公

=UI-1）2+3（^1-^

1“2

=4（X|-4）2,

???|A&|+陽尸21=4—赤+r）

…4km

=4+IT^

???八項(xiàng)+|86|+八明=4+百病一寸乒=4（定值）.

規(guī)律方法處理圓的切線與圓錐曲線綜合問題，主要就是巧設(shè)直線方程，利用圓的切線性質(zhì)

（圓心到直線的距離等于半徑）找到直線的參數(shù)之間的關(guān)系或者轉(zhuǎn)化為直線斜率的一元二次方

程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

跟蹤演練1在平面直角坐標(biāo)系中，尸為拋物線C：f=2p.y（p>0）的焦點(diǎn)，。為拋物線C上第

一象限內(nèi)任怠一點(diǎn)，NOD外接圓的圓心為Q,且圓心Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為*

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P（M，和）*0>1）為拋物線。上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)夕作圓/+。，-1）2=1的兩

條切線小/2且與y軸分別相交于A，B兩點(diǎn),求△必B面積的最小值.

解（1）由拋物線。方程/二2〃），，

已知《0,準(zhǔn)線y=一1

外接圓的圓心在直線廠專上,

依題意￥=點(diǎn)即〃=1，

拋物線C的方程為f=2y.

（2）設(shè)過點(diǎn)尸（的，和）的直線I的方程為y-yo=k（x-xtt）,

|（y（）—1）—

直線kx—y+yo—lcxo=0與圓f+G，-1y=1相切，則1

一十F

化簡得（看一1）嚴(yán)一2（y（）~I）xo-k+）4—2vo=O,①

方程的根為ki,k2,

2。0-l)xo

ki+k=

2高一1

則有

yd-2)'o

kvk?=

需一I

設(shè)直線/i,，2在y軸上的截距分別為y,”，

則V=>'o—k\xo,”=y°—Ayo,

|AB|=lyi-”|=I島一對(duì)即

14（vo—1）2君4（V3-2yo）（?屆一I）

=理\（焉-1）2-（焉-1）2

“rj焉+?-2y）

近一1

功7焉+%力一高

二~

君

就一?，

5=/外即=上告

!（高一11+2（高一1）+1

=2-

=如此1）十志+1

*X（2+2）=2.

當(dāng)且僅當(dāng)高一1=號(hào)7，即X0=也時(shí)，SA以8面積取得最小值，面積最小值為2.

考點(diǎn)二圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓綜合問題

例2（2022?重慶模擬）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)F（小，0）的距離和P到定直線/：X=摯的距離的比

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,不過原點(diǎn)。且斜率為為勺直線/與曲線C交于不同的4,8兩

點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM與曲線。交于C,。兩點(diǎn)，證明：A,B,C,。四點(diǎn)共圓.

（1）解設(shè)P8），），

所以4,B,C,。四點(diǎn)共圓.

規(guī)律方法處理共圓問題，主要抓住弦長及弦的中點(diǎn)的關(guān)系并結(jié)合圓的垂徑定理，綜合尋求

關(guān)系.

跟蹤演練2（2022.南京模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：$+%=13>8>0）經(jīng)過

點(diǎn)(-2,0)和(1,坐)

，橢偃。上三點(diǎn)A,4與原點(diǎn)O構(gòu)成一個(gè)平行四邊形AM4O.

⑴求橢圓C的方程;

（2）若A,M,B,。四點(diǎn)共圓，求直線A8的斜率.

(1,要

解⑴因?yàn)闄E圓￡+5=1（心力>0）過點(diǎn)（一2,0）和

13

所以。=2,示+/=1，

解得從=1,

所以橢圓。的方程為5+『=1.

（2）因?yàn)橹本€A3的斜率存在，所以設(shè)直線A8的方程為），=履+〃?，4箝，yi）,伙孫”）.

y=kx+mt

消去y得(4仆+l)x2+8h2+4m2—4=0,

一8km

則有汨+工2=

1+4。

4m2-4

為X2=TW-

因?yàn)槠叫兴倪呅?MB。,

所以O(shè)M=OA+O8=(.V]+X2,V+竺).

—8切？

因?yàn)?1+工2=]+41'

所以M+丁2=K川+12）+2m

-8癡_2〃？

=標(biāo)+2〃?=中聲'

所以M哥'

因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓。的方程，化得4〃尸=4爐+1.①

因?yàn)锳,M,B,。四點(diǎn)共圓，所以平行四邊形AM80是矩形，且OA_LO&

所以為13方=1兇+9”=0.

nr—4k2

因?yàn)閥i>'2=(丘1+m)(kx2+用)=lcx\X2+km(x\+.0)+tn2—

1+軟2'

4W2-4nr~4lr

所以=1+4V+1+4爐=0,

化得5〃P=4斤+4.②

由①②解得尸=#■,/zr=3,

此時(shí)4>0,

因此工.

所以所求直線AB的斜率為曄.

專題強(qiáng)化練

1.己知雙曲線『一）2=1的左、右頂點(diǎn)分別為Ai，A2,動(dòng)直線/：），=履+〃?與圓f+）2=l

相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為PGl，V）,22。2,）力

⑴求A的取值范圍；

（2）記直線外4的斜率為左，直線0M2的斜率為&2,那么，h依是定值嗎？證明你的結(jié)論.

解（1）???/與圓相切，

.I依I

,?匚環(huán)

.,?"?2=1+比①

由l\yi=k=x-\-ml,，

得(I—A2)^2—2mkx—(nr+1)=0,

〃1一f#0,

4=4//F+4(I—M)(M2+])

：?<=4(/?*2+1—^)=8>0,

加2+1

XrX2=^2_|<0?

Ir<1,/.—\<k<\,

故2的取值范圍為(一Ij).

(2)由已知可得4,友的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),

?“尸Th7，&2=一^7，

X|+1X2-1

.,2mk

由(1)知，A|4-X2=-^.2—??

/n2+1

即入2=標(biāo)_],

.,,-VI-V2

A，A-

,?'-(X,+l)(X2-1)

(5+加)伙0+〃?)

3+1)(X2—1)

+二2)+

X1X2+(X2-Xi)-I

j〃1+l2mk、

_修目_咋』+"

ffl2+l_272_

.一］_.一］T

邈+F—2〃尸，+*一〃"

1-2/一3+1

______/一〃?2

zzr—Ar+2—2*^2,

由①得iir—lr=1,

——1

???卜色=三亞=一(3+26)為定值.

2.(2022?瀘州模擬)從拋物線)，2=4x上各點(diǎn)向x軸作垂線段，記垂線段中點(diǎn)的軌跡為曲線P.

(1)求曲線。的方程，并說明曲線P是什么曲線；

⑵過點(diǎn)M(2,0)的直線/交曲線P于兩點(diǎn)A,B,線段從B的垂直平分線交曲線P于兩點(diǎn)C,。,

探究是否存在直線/使A,8,C,。四點(diǎn)共圓？若能，請(qǐng)求出圓的方程；若不能，請(qǐng)說明理由.

解(1)設(shè)拋物線V=4x上的任意點(diǎn)為S(xo,泗)，垂線段的中點(diǎn)為(■y),

X()=X,

則

yo=2y,

代入）W=4xo得（2y）2=4x,

得曲線尸的方程為）2=x,

所以曲線。是焦點(diǎn)為Q,0）的拋物線.

⑵若直線/與x軸重合，則直線/與曲線。只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.

設(shè)直線/的方程為x=（y+2,根據(jù)題意知，#0,

設(shè)4汨，yi）,B（X2,,V2）?

y=Xy

聯(lián)立IC

x=/y+2,

得），2—）一2=0,力=產(chǎn)+8>0,

則y1+丁2=，，y\-yi=——2,

則國B|="7,|.W一戶|

=、1+W（y+"）2-4yly2

=、（尸+1）（產(chǎn)+8）,

且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為哼

即中一*+2=舁2,

所以線段AB中點(diǎn)為嗯+2,。

因?yàn)橹本€CO為線段A8的垂直平分線，可設(shè)直線CO的方程為工=一力+小,

則一：義

］+2=十加,

故片皆

y=x,