重難點(diǎn)突破07不等式恒成立問(wèn)題

目錄

方法技巧總結(jié)

I、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題的求解策略：

3)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題；

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，?般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后

構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法

和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.

2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：

(1)VxeD,7H</(x)<=>/?z</(x)n.n；

(2)VxeD,w>/(x)<=>w>/(x)niax；

(3)BxeD,/n</(^)<=>/?</(x)(mx；

(4)3xeD,

3、不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xe[?,/?],y=g(x),xe[c,d].

(1)若收目〃，句，氣+句,有“x)vg(w)成立,則)(x)g<g(x)1nin；

⑵若％w[a,b],叫4c,d],有/(5)<屋電)成立，貝J/(x)a<g(x)2；

⑶若玉閆《司，叫6小川，有〃5)<g(w)成立，則/(X)而n〈g3a；

(4)若內(nèi)4a句,利￡仁心，有/&)=以巧)成立，如“X)的值域是8(x)的值域的子集.

4、法則1若函數(shù)和g(X)滿足下列條件:

(1)lim/(x)=O^^irn^(x)=O.

(2)在點(diǎn)。的去心鄰域(。-￡M)u(a,a+￡)內(nèi)，/(X)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)工0;

0二

(3)

Ig'(x)

fix)f'M

那么+=

ig(x)…g⑴

法則2若函數(shù)/a)和g(x)滿足下列條件：⑴|i?”(x)=o及呵g(x)=o；

(2)3A>0,7*)和g(x)在(fA)與(A+OQ)上可導(dǎo),且g'(x)KO；

f'(x)

(3)lim^4=/

,fg(x)

x

那么lifm(x-)=lim—f(4)=/.

z8g(x)fg3

法則3若函數(shù)/*)和g(x)滿足下列條件:

(1)|吧/(1)=8及吧蘆(工)=8；

⑵在點(diǎn)。的去心鄰域(a-￡，a)D("4+￡)內(nèi)，/(戈)與gW可導(dǎo)且g'O)關(guān)。;

廣(6

(3)=

ig⑴

那么1加半^=1而^^=/.

注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：

(1)將上面公式中的Xf。，XfgXfYO,X.〃+,x-洛必達(dá)法則也成立.

(2)洛必達(dá)法則可處理9,0.8,f,8°,0。，8—8型.

0oo

(3)在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足與，?，Ooo,f,00°,0°,8-8型定式，否

則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò).當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱(chēng)洛必達(dá)法則不適用，

應(yīng)從另外途徑求極限.

(4)若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

lim±興==如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.

…g(x)…且⑴fg(x)

題型一：直接法

例1.(2023?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=；x2—ae'(〃€R).

⑴已知函數(shù)在(OJ(O))處的切線與圓/+9一2-2)，-3=0相切，求實(shí)數(shù)〃的值.

(2)已知xNO時(shí)，/'(力工-/-心-。恒成立，求實(shí)數(shù)"的取值范圍.

例2.(2023?山東?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=ejg(x)=ln(x+a),其中awR.

⑴討論方程〃力=工實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)時(shí)，不等式/(x)3g(x)恒成立，求〃的取值范圍.

例3.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)"x)=a1--坐。小

cos\rV2

⑴當(dāng)a=l時(shí)，討論/("的單調(diào)性：

⑵若/'a)+sinxvO,求"的取值范圍.

變式L(2023?河南?襄城高中校聯(lián)考三模)已知函數(shù)/(%)=Mnx,身(力=。'，

⑴若曲線y=/(x)在(1,0)處的切線與曲線)，=g(x)相交于不同的兩點(diǎn)A(N，yJ,以與,％),曲線)，=g("在

A,B點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)為)，求為+々一%的值；

(2)當(dāng)曲線y=/(x)在(1,0)處的切線與曲線尸g(x)相切時(shí),若以w(l,+co),f(x)+eg(Ar)>(a+l)e-g恒

成立，求〃的取值范圍.

題型二：端點(diǎn)恒成立

例4.(2023?四川綿陽(yáng)?四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)

[o<x<^l(A)=/(x)+isinx-ai-

/(x)=-sinx-xcosx5

⑴求/(x)在處的切線方程；

(2)若任意工?0,y)，不等式屋司40恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

例5.(2023?北京海淀?中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=xln.r-1).

(1)當(dāng)a=0口寸，求函數(shù)在點(diǎn)(1J。))處的切線方程；

⑵若函數(shù)），=7'"）在x=l處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；

⑶若不等式/（”《0對(duì)xe[l，y）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例6.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)〃力二皿1十=與g（”）分別是/⑴與8（力

的導(dǎo)函數(shù).

⑴證明:當(dāng)a=1時(shí)，方程/（力=#（力在（TO）上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

⑵若對(duì)任意的x?0，s）,不等式f（x）＞g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)”勺取值范圍.

變式2.（2023?四川成都?石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃6=；五+工，函數(shù)人“=爐-2》+5欣.

⑴求函數(shù)g（”的單調(diào)區(qū)間；

⑵記尸⑺寸⑺-/⑴，對(duì)任意的工之。，尸（司20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

變式3.（2023?寧夏銀川?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)/（工）=詈.

⑴討論“力在[0,可上的單調(diào)性;

⑵若對(duì)于任意T。身，若函數(shù)小）〈履恒成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

變式4.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)/（x）=（x-l）e*+ar+2.

⑴若八月單調(diào)遞增，求a的取值范圍;

⑵若工20,/（x）＞siar+cos.v,求a的取值范圍.

題型三：端點(diǎn)不成立

例7.(2023.重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=alnx-x(〃w0).

(1)討論函數(shù)f(x)的極值;

(2)當(dāng)x>0時(shí),不等式二-2f(x)之sin"(x)]+l恒成立，求。的取值范圍.

ex

例8.(2023?江蘇南京?高二南京市中華中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/(x)=lnx+lna+(a-l)x+2(a>0).

(1)討論的單調(diào)性;

⑵若不等式e「2>/(幻恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例9.(2023?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(司=q-x+1.

⑴求”力的單調(diào)區(qū)間;

⑵若對(duì)于任意的xe(0,*o),/(.r)+』+xKae'恒成立，求實(shí)數(shù)"的最小值.

X

變式5.(2。23?四川綿陽(yáng)?四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=a?lnx,aeR.

⑴若。二2，求函數(shù)"X)的最小值及取得最小值時(shí)的x值；

e

⑵若函數(shù)/(x)Wxe'-(a+l)1nx對(duì)xe(0,+cc)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式6.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e*T-alnx,其中〃eR.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，討論/(工)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)xe[0,可時(shí)，2〃x+l)-cos.r》l恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離

2r(2、

例10.(2023?湖北武漢?武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/a)=ln—+a--x-x2.

a\a)

⑴若。<0J(x)的極大值為3,求實(shí)數(shù)〃的值；

⑵若Vxc((),+8)J(.r)<arev+f6-1-lVx2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例11.(2023?湖北荊門(mén)?荊門(mén)市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(x)=c'-ar,x之0且aeR.

⑴求函數(shù)/W的單調(diào)性；

⑵若/'(X)之f+i恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例12.(2023?河北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)

⑴討論函數(shù)/“)的單調(diào)性；

(2)若存在實(shí)數(shù)4，使得關(guān)于x的不等式/(x)KM恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

變式7.(2023?福建三明?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=sinx+?,工《一兀仁

⑴求證：/(力在卜兀吟)上單調(diào)遞增；

(2)當(dāng)(-n,0)時(shí)，［/'(x)-sinx卜-cosxWksinx恒成迂，求Z的取值范圍.

變式8.(2023?甘肅張掖?高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/("=依Jell,.廣(同為/(力的導(dǎo)函

數(shù).

⑴討論了(力的極值;

(2)當(dāng)4>—1時(shí)，“力之一疣、,求七的取值范圍.

變式9.(2023.四川遂寧.射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知/(x)=ln.r-辰+1(&GR),以力=代一2》.

⑴求的極值；

(2)若g(x)N/(x),求實(shí)數(shù))的取值范圍.

變式10.(2。23?河北滄州??？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/")=當(dāng)」.

⑴求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑵若不等式(x+lf也-1在。，笆)上恒成立，求，〃可取的最大整數(shù)值.

X

變式11.(2023?河南開(kāi)封??？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=(a+l)c；ar(a€R).

⑴討論的單調(diào)性；

⑵若xvOJ(x)之*-工-1,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

題型五：洛必達(dá)法則

例13.已知函數(shù)/(x)=nnx+/zr(a,〃eR)在x=!處取得極值，且曲線)，=/(幻在點(diǎn)(1J⑴)處的

2

切線與直線為一丁+1=0垂直.

(1)求實(shí)數(shù)的值；

(2)若十8),不等式/(為￡?！?2)X一一恒成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

x

X

例14.設(shè)函數(shù)/(幻=1一當(dāng)x20時(shí)，/(x)<-----,求。的取值范圍.

ax+\

例15.設(shè)函數(shù)/(x)=盧^一.如果對(duì)任何x20,都有/(x)War,求。的取值范圍.

2+cosx

=2sin2x-2xsinx=2sinx(sinx-x)

題型六：同構(gòu)法

例16.(2023?重慶萬(wàn)州?高三重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e\g(x)=L

.1

(1)若力(x)=/(x)-〃7g(x)(meR),判斷〃(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

(2)當(dāng)工>0時(shí)，不等式HU"孤+m'+2恒成立,

求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

例17.（2023?湖南常德?常德市一中?？家荒＃┘褐瘮?shù)/（6=。鏟+。（々＞0）,g（x）=2（x+：）lnx.

⑴若在點(diǎn)（0,/⑼）處的切線與g（x）在點(diǎn)（心⑼處的切線互相平行，求實(shí)數(shù)a的值；

⑵若對(duì)Vx＞0,/（x）〉g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例18.（2023?河南鄭州?高二鄭州市第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若置?0,叱）,

"汜小＞Inx成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是_______.

變式12.（2023?廣西柳州?統(tǒng)考三模）已知/（x）=K+eLg（x）=x“-a1nx（a＜0）,若/（x）2g（x）在

上恒成立，則實(shí)數(shù)。的最小值為（）

A.—2eB.-eC.—＞/eD.-j

變式13.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（”=耳4七）其中aeR.

⑴討論函數(shù)/（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑵對(duì)任意的x＞（）,都有/（x）＜-Inx-1,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

變式14.（2023?海南??？寄M預(yù)測(cè)）已知。＞0,函數(shù)/（"=+-or.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=〃力在x=l處的切線方程；

⑵若/（x）＞lnx-x+l恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

變式15.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃"=笠?.

（|）求］（6的單調(diào)區(qū)間;

(2)若3+2?”(“+2x,求。的取值范圍.

變式16.(2023?廣東佛山??？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e-aln(以+其中〃>0,x>0.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)“X)的零點(diǎn)：

(2)若函數(shù)f(x)之()恒成立，求”的取值范圍.

K+I

變式17.(2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=--lnx-Ina.

(1)當(dāng)。=,時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

e

⑵若/(力+1之()，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型七：必要性探路

例19.(2023?江西九江?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)=

av-1

⑴討論7U)的單調(diào)性：

(2)當(dāng)。=一2時(shí)，^x>0,/(x)<ln(l+2x)-/?u-l,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

例20.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=ln(x+l)—④(〃>0).

⑴若函數(shù)g(x)=〃x)-。在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍:

⑵若/(司4〃2/一〃(x+i)恒成立，求〃的取值范圍.

例21.(2023?江西九江?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(x)=_J(a<0))在x=l處的切線斜率為一二.

ax-\4

⑴求。的值；

(2)若心1,/(x-l)<lnx-m(x-l)-l,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

變式18.(2023?福建廈門(mén)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/3=(9-1)(2+8刈-3asinx.

⑴當(dāng)a=1時(shí)，討論f(力在區(qū)間［0,+8)上的單調(diào)性；

⑵若Vxw-y,+ool/W>0,求a的值.

變式19.(2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(x)=e"+sinx-cosx.

⑴若a=-1,X之一:，求證：F(.r)=r(x)-；x—l有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

⑵若對(duì)任意人WO，f(x)大。恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

題型八：max,min函數(shù)問(wèn)題

例22.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x—l)e'—；/+l,g(x)=sinx-ar,其中awR.

(1)證明:當(dāng)xNO時(shí)，/U)>0；當(dāng)％<0時(shí),/(x)<0；

(2)用max{叫表示肛〃中的最大值,記尸(x)=max{/(x),g*)}.是否存在實(shí)數(shù)小對(duì)任意的xeR,F(x)>0

恒成立.若存在，求出“，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例23.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)=gd+i,g(x)=sinx-cue,其中〃eR.

(1)證明:當(dāng)x.O時(shí)，/U)..O；當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0；

(2)用max{m,〃}表示〃?,〃中的最大值,記F(x)=max{f(x),g(x)}.是否存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意的xeR,尸(x)..O

恒成立.若存在，求出。；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例24.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x-2)e'T-2f+x+g，g(x)=a?sinx-ln(x+l),其

中qwR.

(1)證明：當(dāng)x.l時(shí)，f(x)..O；當(dāng)xvl時(shí)，/U)<0；

(2)用max{"7,〃}表示〃?,〃中的最大值，記尸(表=max{/(的g(x)}.是否存在實(shí)數(shù)小對(duì)任意的xwR,產(chǎn)(x)..O

恒成立.若存在，求出田若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式20.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(工)=/-工一工111工，g(x)=f-3av+e.

(1)證明"x明。恒成立;

⑵用maxW〃}表示加，〃中的最大值.已知函數(shù)萬(wàn)(力=/^7+2,記函數(shù)e(x)=max{〃(x),g(x)},若

函數(shù)夕(x)在(0,+8)上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式21.(2023?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習(xí))已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)/(叼=5「，直線

y=L為曲線產(chǎn)/(x)的切線，g(x)=(x+l)lnr.

e

(1)求。的值；

(2)①判斷尸(x)=/(力-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

②定義min{,〃,〃}=?函數(shù)〃心)=1訕1{/(“，8(必./心)=〃7(6-〃2在(0,田)上單調(diào)遞增.求實(shí)數(shù).

的取值范圍.

變式22.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=f令x,g(x)=xlnx.

⑴若P(x)=/(x)—g(x),證明：P(x)在(0,+?)上存在唯一零點(diǎn)；

(2)設(shè)函數(shù)〃(x)=min{/(x),g(x)},(min{a〃}表示中的較小值)，若求4的取值范圍.

題型九：構(gòu)造函數(shù)技巧

例25.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))己知函數(shù)/(x)=mdnx-l,〃件0.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若g(x)=V-且關(guān)于x的不等式("在(。，y)上恒成立，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求

實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

例26.(2023?江蘇?統(tǒng)考高考真題)已知關(guān)于x的函數(shù)y=例%),J=g(x)與h(x)=kx+b(k,beR)在區(qū)間D上

恒有fW>h{x}>g(x).

(1)若/(1)二父+2笛^(X)=-A2+2X,O=(YO,+8),求才(x)的表達(dá)式；

(2)若/(外=/一x+1,g(x)=k\nx,h(x)=kx-k,D=［0,+co),求％的取值范圍；

(3)若/(力=犬-2/，g(x)=4/-8,h(x)=4(?-r)x-3r4+2/2(0<|r|<72),。=卜〃,〃仁［一"及］，求證:

n-tn4x/7.

例27.(2023?湖北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(/)=-—lnx-1.

⑴求函數(shù)/(x)在x=l處的切線方程；

(2)若不等式＞ax{aeR)恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

變式23.(2023?江蘇南京?高二南京市江寧高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末)已知函數(shù)〃x)=e'-e"(〃+hu).

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求/”)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若/⑴之0恒成仁求〃的取值范圍.

變式24.(2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=axeJlna+l).

(1)判斷/W的導(dǎo)函數(shù)/'(k)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若“X)之21na-31n2-3,求a的取值范圍.

變式25.(2023?安徽合肥?合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù).f(x)=lnx+2aiTl,^(x)=x(ev+l)(

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴若函數(shù)/的最大值為0,求。的值；

⑵若對(duì)于任意正數(shù)x，/(x)Wg(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范61.

變式26.(2023?重慶萬(wàn)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)="(，eR).

e

(1)討論的極值;

⑵當(dāng)。=1時(shí)，關(guān)于x的不等式七21+gTn(x+l)在［0,+到上恒成立，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

變式27.(2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=g+2%-1(4>0)的導(dǎo)函數(shù)為/'㈤.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑵若⑴<x+m幽+1恒成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

變式28.(2023?福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/3=/+2?一，+〃與g(x)=f7+l的圖象有公切線

y=nix+\.

(1)求實(shí)數(shù)川和〃的值；

(2)若爐+/=3,且/(內(nèi))?/5)之3(內(nèi)+9+k),求實(shí)數(shù)攵的最大值.

題型十：雙變量最值問(wèn)題

例28.(2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))己知/(力="氏+〃，g(x)=kix,對(duì)于Vxw(0,*o),/(x)2g(x)恒成

立,則機(jī)+2〃的最小值為()

A.—In2B.—1C.—In4D.12

例29.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=CLX2+bx+\,其中“OcR.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，直線y=g(x)與函數(shù)y=/(x)的圖象相切，求b的值；

(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意x>(),都有恒成立，求2的最小值.

a