強化訓(xùn)練4三角函數(shù)中的綜合問題

用基礎(chǔ)保分練

1.（2020.北京東城區(qū)模擬）《九章算術(shù)》成書于公元一世紀，是中國古代乃至東方的第一部自

成體系的數(shù)學(xué)專著.書中記載這樣一個問題“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾

何？"（一步-1.5米）意思是現(xiàn)有扇形田，弧長為45米，直徑為24米，那么扇形田的面積為

（）

A.135平方米B.270平方米

C.540平方米D,1080平方米

答案B

1124

解析根據(jù)扇形的面積公式，S=?r=；X45X空=270（立方米）.

2.（2021?日照聯(lián)考）在平面直角坐標系xQy中，角a的頂點在原點O,以x軸非負半軸為始邊,

終邊經(jīng)過點P（l,〃?）（〃?〈（）），則下列各式的值恒大于0的是（）

A.sina+coso.B.sintz—cosa

C.sinacosaD.eq

答案D

解析由題意知sina<0,cosa>0,sina+cosa的符號不確定，A不成立；sina—cosa<0,B

不成立；sinacosa<0,C不成立；lana<0,:一>（）,D成立.

Idlla

3.（2021?張家口質(zhì)檢）已知銳角a滿足3cos2a=l+sin2a,則cosa等于（）

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

答案A

解析3cos2a=1+sin2a可化簡為

3（COS2?—siira）=siir?+cos2a+2sinacosa,

即3（cosa-sina）（sina+cos?）=（sina+cosw）2,

因為a為銳角，所以3（cosa-sina）=sina+cosa,

化簡得到cosa=2sina,

代入sin%+cos%=1,解得cosa=^^.

J

4.（2020?東三省四市模擬）已知直線），=-2與函數(shù)人x）=2sin*（其中/>0）的相鄰兩交點

間的距離為冗，則函數(shù)7U）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.ecpk^Z

B.eq.MZ

C.eq,k￡Z

D.cq,kSZ

答案B

解析Vy=-2與函數(shù)JCr）=2sin（QK-*（其中①>0）的相鄰兩交點間的距離為兀，

，函數(shù)的周期T=g即普=兀，得a=2,

則於）=2siQ-9，

由

2E—NOnk^Z,

得E-雪，A￡Z,

即函數(shù)火x）的單調(diào)遞增區(qū)間為［反一=，E+罵］,kRZ.

5.（多選）給出下列函數(shù)：①），=cos|2H；②y=|cosx|：③尸⑥儂+卷）；④尸tan（2x一5其中

最小正周期為冗的有（）

A.①B.②C.③D.@

答案ABC

解析①中，y=cos|2.r|=coslx,其最小正周期為兀；②中，知y=|cos川是y=cosx將/軸下

方的部分向上翻折得到的，故周期減半，即），=|cosx|的最小正周期為兀；③中，），=cos（2r+/

的最小正周期7=竽=幾；

④中，），=tan（2x—；）的最小正周期7=與

6.（多選）（2020?寧德模擬）已知函數(shù)/U）=sin（3+0）（M>0,|夕|<9的最小正周期為兀，且將圖象

向右平移各個單位長度后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則下列關(guān)于兒］）的說法錯誤的是（）

A.關(guān)于點（含0）對稱B.關(guān)于直線k壽寸稱

C?在［一有用上單調(diào)遞增D.在［有用上單調(diào)遞減

答案ABD

解析:/U）的最小正周期為兀，

*,*7，=~=7T,得（9=2,

此時y(x)=Sin(2x+3),

將圖象向右平移合個單位長度后得到

產(chǎn)si42（L專）+J=sin3+9*）,

若函數(shù)為偶函數(shù)，則勿一季=加+去k《Z,

得0=4兀+寸，火￡Z,

VM<!，?,?當2=—1時，（P=~y

則/U）=sin（2x-1）,

則/罔=sin（2X駕_*sin*1,

故阿不關(guān)于點修，0）對稱，故A錯誤;

sin（2X^—^J=sin0=0,

故段）不關(guān)于直線對稱，故B錯誤；

當一有相時，一亨W2丫號W?,此時函數(shù)外）為增函數(shù)，故C正確;

當,WxW需時，一臺2L黑拳此時函數(shù)啟）不單調(diào)，故D錯誤.

7.（2020.咸陽模擬）若1211〃=；,311（儀+/?）=白，則tan?=.

答案|

解析因為￡=（a+0）-a,

且tana=；,tan（a+/<）=^,

所—以31^八=3叱（。+,￡小）—0=不tan藏（?+^冷）—商tana"

1I

2—311

=-I1=5,所以tan夕=不

1+落

乙<J

8.（2020?咸陽質(zhì)檢）己知cos2x—sin2r=Asin（5+w）+b（A>（）,（o>0）,則A=，b=

套案亞-

令2E/2x+號WTI+2E,2￡Z,

解得一專k￡Z,

則函數(shù)y=_"）在［。，號上單調(diào)遞減,

故。的最大值是名

11.已知函數(shù)./U)=，5cos2x+sinG+卦sing—54

（1）求府）的最小正周期及刈稱中心;

⑵若刎=3，且a￡偌，求cos2a的值.

解（1加工）=小「+；s1+$訪（5+止一看卜畝?一§一坐

=^cos2x+；X2COSQ

4Ism

fcos2x4in(2x-g

卑。sin2X-2-cos

=^sin2x^4-cos

=1sin(2r+f).

所以7U）的最小正周期T=y=7c.

由2x+1=E,上Z得尸竽一去kez,所以外）的對稱中心為管一/0）,kez.

⑵由刎=、得sin（2a+§=/,

佶，&

因為所以2a+羅仁

2'兀，

所以1-sin，2a+W

=-"你=_24

3，

=cos(2a+§.cosj+sin^2?+^j-sin71

3

2^/21,1y［3<3~>72

一3，2+彳2-6-

12.設(shè)/(x)=2小sin(ii-x)sinx—(sinx—cosx)2.

(1)求函數(shù)7u)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵把函數(shù)y=/(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再把得到的圖象

向左平移1個單位長度，得到函數(shù).y=g(x)的圖象，求的值.

解(1)由/(x)=2V3sin(7r—x)sinx—(sinx—cosA)2

=2小sin2%—(1—2sinxcosx)

=小(1—cos2r)+sin2x~\

=sin2x-?\/5cos2x+小一］

=2sin(2x-§+小一1.

由2E—與W2E+4(k￡Z),

乙、J

得E一柿&￡Z).

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是［e—專，E+招］(k￡Z)(或(質(zhì)―專，E+尚伙WZ)).

(2)由(1)知火x)=2sin(2x-T)+小一1,

把)，=/&)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，

得至iJy=2sin(x-g+，§—l的圖象，

再把得到的圖象向左平移W個單位長度，

得到y(tǒng)=2sinx+5一I的圖象，

即g(x)=2sinX+A/3—1.

所以庶)=2sin卷+#-1=小.

“技能提升練

13.(2020?廈門質(zhì)檢)已知函數(shù)；U)=sin(Q?+§+cos加:(/>())在［0,向上的值域為弓，?。?則

實數(shù)切的取值范圍是()

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

答案A

解析_/U)=sin(cox+§+coscox=^sin①x+'coss=^sin(⑦x+空)，

因為x￡［0,河，所以（yx+券W，/兀+T，

因為府）在［0,句上的值域為，,由］,

所以與WCM+依，，所以!WCOW：

23303

14.已知函數(shù)/U）=2COS（Q?+0）+1（G>0,kl<5）,其圖象與直線y=3相鄰兩個交點的距離為

y,若心）>1對任意（一各3恒成立，則8的取值范圍是.

答案［一去0

解析由題意可得函數(shù)4r）=2cos（sr+0）+1的最大值為3.=/U）的圖象與直線y=3相鄰兩個

交點的距離為冬??&?）的周期7=季??粵斗，解得0=3,

?\/（x）=2cos（3x+9）+對任意x￡（—自，恒成立，，2cos（3x+0）+l>l,即cos（3工

+夕）>（）對任意工￡（一有恒成立，.■?一彳+伊2女兀一多代Z且,+夕.24兀+會kGZ,解

得/22E—&￡Z且w〈2E,〃￡Z,即2E—彳〈夕W2E,2￡Z.結(jié)合|初<^可得，中的取值

范圍為［一去0.

立拓展沖刺練

15.（2020?安慶模擬）已知函數(shù)y（.r）=2（|cosx|+cosx）-sinx,給出下列五個命題:

①/（?的最小正周期為冗；

②/U）的圖象關(guān)于直線尸割稱；

③/U）在區(qū)間［一會制上單調(diào)遞增；

④/U）的值域為［一2,2］；

@/U）在區(qū)間1―2兀，2汨上芍6個零點.

其中所有正確的編號是（）

A.②④B.①?⑤

C.③④D.②③?

答案C

,函數(shù)第）=小,/（T）=o..V（f）

解析7(x)=2(|cosM+cosx)sinx=2|cosxjsinx+sin2x

傳），故函數(shù)府）的最小正周期不是冗，故①錯誤;

—x=2cos—cos—

由于/(^2)[|(2|+(2=2(|sinM+sinx)-cos

故府)的圖象不關(guān)于直線對稱，故②錯誤；在區(qū)間［/制上，2回一看可，

/(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2r單調(diào)遞增，故③正確；當cosxeO時，/(x)=2|cos,t|s:nx+

sin2x=2sinxcosx+sin2.v=2sin2x,故它的最大值為2,最小值為一2；當cosx<0時，.人工)

=2|cosx|sinx+sin2x=-2sin.rcosx+sin2x=0,綜合可得，函數(shù)於)的最大值為2,最小值

為一2,故④正確；當cosx<0時，“r)=0,在區(qū)間［―2X，2兀］上有無數(shù)個零點，故⑥錯誤.

16.如圖所示，四邊形ABC。是一塊邊長為7米的正方形鐵皮，其中A77V是一半徑為6米的

扇形，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用.工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有邊

落在BC與CD上的長方形鐵皮PQCR,其中P是弧7N上一點.設(shè)N7H