專題9指數(shù)型函數(shù)取對數(shù)問題

一、考情分析

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點與難點，在導(dǎo)數(shù)解答題中有些指數(shù)型函數(shù)，直接求導(dǎo)運算非常復(fù)雜或不可解,

這時常通過取對數(shù)把指數(shù)型函數(shù)轉(zhuǎn)化對數(shù)型函數(shù)求解，特別是涉及到形如a，⑴的函數(shù)取對數(shù)可以起到化繁

為簡的作用，此外有時取對數(shù)還可以改變式子結(jié)構(gòu)，便于發(fā)現(xiàn)解題思路，故取對數(shù)的方法在解高考導(dǎo)數(shù)題

中有時能大顯身手.

二、解題秘籍

（一）等式兩邊同時取對數(shù)把乘法運算轉(zhuǎn)化為對數(shù)運算，再構(gòu)造函數(shù)

通過兩邊取對數(shù)可把乘方運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，這種運算法則的改變或能簡化運算，或能改變運算式子的

結(jié)構(gòu)，從而有利于我們尋找解題思路，因此兩邊取對數(shù)成為處理乘方運算時常用的一種方法.有時對數(shù)運算

比指數(shù)運算來得方便，對一個等式兩邊取對數(shù)是解決含有指數(shù)式問題的常用的有效方法.

[例1]（2024屆遼寧省大連市高三上學(xué)期期初考試）已知函數(shù)/（力=巫里.

CIX

⑴討論了（力的單調(diào)性；

⑵若（西廣（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且%>o,X2>O,王工修，證明：*+^>2.

【解析】（1）函數(shù)/“人■^的定義域為（。,+8）,求導(dǎo)得則八幻=-^,由/'（x）=0得4=1,

avoT

若“<0,當(dāng)Ovxvl時，r（x）<（）,則f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)時,則Ax）單調(diào)遞增，

若。>0,當(dāng)Ovxvl時，r（x）>0,則/（X）單調(diào)遞增，當(dāng)X>1時，r（x）<0,則/（X）單調(diào)遞減；

所以當(dāng)〃<0時，函數(shù)/（X）在（0,1）二單調(diào)遞減,在以+00）上單調(diào)遞增;

當(dāng)〃>0時，函數(shù)/3）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（Lx。）上單調(diào)遞減.

（2）由3J2=（exj，兩邊取對數(shù)得%（1呻+1）3（1眸+1），即——=——，

%X?

由（1）知，當(dāng)4=1時，函數(shù)人處在（0,1）上單調(diào)遞增，在（l,xo）上單調(diào)遞減，

/（初皿=A1）=1，而/d）=。，x>i時，/*）>。恒成立，

e

因此當(dāng)。=1時,存在中。且。<.<1<怎,滿足〃4）=/（/）,

若々w[2,y）,則d+后N4>2成立；

若々e(1.2),則2-芍€(。，1)，記g(x)=/(x)-”2-x),xe(L2),

則小)=小)+八27)=-嗎-警嗎-嗎⑹二一典士31>0,

X(2-X)-廠廠X2

即有函數(shù)g(“)在(1,2)上單調(diào)遞增,g(x)>g(l)=O,即/*)>/(2-“)，

于是〃4)=fM>/(2-％),

而5G(1.2),2-x2€(0,1),Ai6(0,11,函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增,因此$>2-勺，即玉+/>2,

又年+1>2而=2K芯+1>2病=2W，則有*+1+宕+1>2(.0+/)>4,則4；+*>2,

所以才+后>2.

(二)等式或不等式兩邊同時取對數(shù)把乘積運算運算轉(zhuǎn)化為加法運算，

形如/(〃)且(3=力(。乂/(。)>0赭(。)>。,/卜、)>0)或/(同屋。)>〃?的等式或不等式通過兩邊取

對數(shù)，可以把乘積運算，轉(zhuǎn)化為加法運算，使運算降級.

【側(cè)2】(2024屆遼寧省名校聯(lián)照高三卜.學(xué)期聯(lián)考)已知〃>0.函數(shù)/(6=曲伽乂和g(x)=〃lnx+l|

的圖像共有三個不同的交點，且/(“有極大值1.

⑴求。的值以及b的取值范圍；

⑵若曲線y=/(x)與y=g(x)的交點的橫坐標(biāo)分別記為七，x『且玉<修<當(dāng).證明：—<c2/,-2.

【解析】(1)因為〃>0,XG(0,+x)),所以當(dāng)時，/(x)=avlnx,f\x)=a\nx+a>0,

所以/(x)在口,芹)上單調(diào)遞增，無極大值；

當(dāng)”6(0,1)時，/(x)=-arlnx,/f(x)=-6r(lnx+l),

所以當(dāng)時，>0,/'(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)％￡仁』卜寸，/,(X)<O,/(“單調(diào)遞減，

所以x=1為極大值點，

e

(111

所以/-=-a-\n-=\,解得a=e.

\c)ec

因為/(x)，g(x)圖像共有三個不同的交點，

所以方程"|111可=印11%+1|有三個不等正實根.

設(shè)1=lnx+l,則x=e'“，且當(dāng)x>0時,t與x---對應(yīng),

所以問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程閔，-1|二州有三個不等實根.

乂0不滿足方程斗-1|=剛，

所以方程〃=1號卜有三個實根.

設(shè)力?)=卜//，則函數(shù)/?(/)=Cje'與函數(shù)丁=人的圖像有三個交點,

當(dāng)121或fvO時，〃(，)=''e',

.?.”(/)=三:19>0,所以力⑺在(一8,0),[1,內(nèi))上單調(diào)遞增；

當(dāng)0</<1時，力⑺二-匕斗，

//(f)=-彳里e'<0,所以在(0,1)上單調(diào)遞減.

當(dāng)，/0,fwl時，力。)>。,而〃。)二0：

(

當(dāng)If-oo時，/2(/)=1--dfO,

k?)

無論f>()還是fvO,當(dāng)/—()時，都有〃〃)=1-;e'f+8,

當(dāng)/->4<o時，"(f)=卜一>+oo.

根據(jù)以上信息，畫出函數(shù)力(，)的大致圖像如下圖所示，

t-\

所以當(dāng)〃>0時，函數(shù)〃")=7e'與函數(shù)y=b的圖像有三個交點,

故。的取值范圍為(0,+8).

2

(2)證明：要證/只需證Zln^-hiw+lnx<28-2,

只需證2(ln/+1)—(in,q+l)+(hiX)+1)v2b.

較回,ln（〃+l）的大小,然后可以構(gòu)造函數(shù)）=處，利用“X）的單調(diào)性比較大小.

〃〃+1x

【例3】一天，小錘同學(xué)為了比較Ini.1與5的大小，他首先畫出了y=lnx的函數(shù)圖像，然后取了離1.1很

近的數(shù)字I，計算出了），=lnx在尸1處的切線方程，利用函數(shù)）=ln.r與切線的圖像關(guān)系進(jìn)行化較.

（1）請利用小錘的思路比敕lnl.1與《大小

（2）現(xiàn)提供以下兩種類型的曲線），=二+仇）=米+/,試?yán)眯″N同學(xué)的思路選擇合適的曲線，比較爐，/的

x"

大小.

【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnxT+l,由人功在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,田）上單調(diào)遞減，得/（力4/（1）=0,

即InxWx-1,取x=l,得In1.1<0.1

-i

（2）通過取對數(shù)，把比較一,/的大小轉(zhuǎn)化為比較eln乃與3的大小，即比較In%與士大小

e

選了=2+由令y=lnx與y=二十〃公切于e

x~x~

團g（x）在（O,e）上單調(diào)遞減，在3欣）上單調(diào)遞增,

e~3

?，-g(x)^(e)=0,7.Inx>-—y4--

/r人L

2

e33/3

In>-----7+—,下證:-------r>-

2/222/e

只需證3十二3

<—

e2TT~2

3/3(2.72)2Q.72)2

;10

e2/2.72x(3.1)292x(3.1)2

/77?V7

只需證—<-

I3.1)9

272

?.-—<0.88,(0.88)2=07744

3.1

73

而一二0.777>0.7744,/.ln^>-,即爐>

9e

ai

選了="+/，通過取對數(shù)，把比較十,f的大小轉(zhuǎn)化為比較eln萬與I的大小，即比較In才與士大小，即較In上

e不

與N大小

e

令y=Inx與y=kx+t切于1，則有，

e

令g(x)=lnx-6+2,g'x)=——e=-----

XX

團g(x)在(0.，)上單調(diào)遞增，在已,田)上單調(diào)遞減,

(1、1

g(x)Wg-=0,/.lnx<ex-2,當(dāng)工=一取等

⑴e

.?.ln1L￡eE_2下證c名-2<_3±,只需證e二+3±<2

nitnene

e32.72

+—<0.88+—

7：e3.12.79

?33

240.8>0.88,In—<一一In兀'>e\

99兀e

三、典例展示

【例I】(2021全國甲卷高考試題)已知］>0且。W1,函數(shù)/5)=j(x>0).

(I)當(dāng)。=2時，求.f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若曲線y=/(A)與直線y=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

2x-T-x2-2VIn2_x-2x(2-x\n2)

【解析】(1)當(dāng)4=2時，/("=彳，/"(力=

(2'丫

o79

令,(女)=0得工=京，當(dāng)0cx〈布時，/，(工)>0,當(dāng)工>何時，/\x)<0.

，函數(shù)/(外在(0,白上單調(diào)遞增:2)

京收上單調(diào)遞減;

(2)f(x]=—=l^ax=xa<=>x\na=a\nx<^>—=—，設(shè)函數(shù)g(x)=,

a"xax

則g'(x)=1一?"，令g'(x)=。,得工=盤

?X

在(0,e)內(nèi)g'(力>0,g⑺單調(diào)遞增;

在(e,-Ko)上g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

??.g(x)，w=g(e)="，

又g(l)=O,當(dāng)工趨近于+8時,g(x)趨近于0,

所以曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點，即曲線y=g(x)與直線y=^~有兩個交點的充分必

Ina

要條件是0<叱<±這即是0<g(a)<g(e),

ae

所以。的取值范圍是(l,e)u(e,+8).

【例2】(2023屆新疆高三第三次適應(yīng)性檢測)已知函數(shù)/(x)=a/+(a+])Hnx—1,g(?=3.

x

(1)討論g(x)的單調(diào)性;

2

⑵若方程fa)=x%'+xlnx-l有兩個不相等的實根為小，求實數(shù)〃的取信范闈，并證明爐+典>￡二.

芭々

【解析】(1)因為g(x)=a￥+(a+l)lnx-L

x

「.I\。+11(x+l)(ar+l)八、

所以g'(x)=a+^+==-----------(zx>0),

XXX

當(dāng)420時，g'(x)>o,所以g(x)在區(qū)間(。，”)上單調(diào)遞增，

當(dāng)”0時，令g[x)>0,得0<x<」；令/⑴<0,得1>一：,

所以以%)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-L+8]上單調(diào)遞減，

Ia)\a)

綜上當(dāng)時，g(x)在區(qū)間(。,+⑼上單調(diào)遞增，當(dāng)a<0時，g(.6在區(qū)間(0,一：)上單調(diào)遞增，在區(qū)間

卜%+8)上單調(diào)遞減.

(2)方程/*)=42^+#113-1,即ax+alnx=xe",等價于aln(xe')=xe'，

令i=xe*>(),其中工>0,W<Ja\x\t=t,顯然fwl,

令附喑’則砌=*，

所以/巾)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，且由xf0時〃⑺V0可得在乂間(0,1)±h(t)<0,

力。)在區(qū)間(l，e)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(e,+00)上單調(diào)遞增，

J9f以〃(')極小值=力(e)=e,

因為方程/（x）=，dc'+xlnx-l有兩個實根小再，

所以關(guān)于f的方程。=「有兩個實根6，L，且。=不鏟，口=匕廣，所以ae（e,+8）,

In/

2

要證即證為爐?居e~＞e,，即證科＞e?,只需證h坨+ln/,＞2,

z.=tzIn/.%T2=a(l"-lM)率理可得XjnRln]

因為d所以

不妨設(shè)X＞。，則只需證…叱寰吟＞2,

2J

即中需<(2

4+1

令s=L＞l,p（5）=ln5--―.其中$＞1,

，25+1

因為〃'（S）=-一品了=怎當(dāng)"AO,所以〃（S）在區(qū)間（1，鈣）上單調(diào)遞增,

P2

所以/?（$）＞/?（1）=0,故e*E＞—.

【例3】已知函數(shù),f(x)=\nx-x+m,meR.

⑴求/”）的極值;

（2）若f（X）有兩個零點4，。，旦〃〈力，求證:cri

【解析】⑴函數(shù)“力的定義域為（o,*）,rw=--,?

X

當(dāng)（）＜xvl時，/"）＞（）,則/（X）在（0,1）上單調(diào)遞增;

當(dāng)工＞1時，八式）＜0,則在（l,y）上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)f（x）的極大值為/1）=，〃-1，無極小值.

(2)令/(x)=。，Mw=x-lnx.

設(shè)A(x)=x-lnx(x>0),

貝ij/r(6=i-/=W，

易知函數(shù)在（。,1）上單調(diào)遞減，在（1,位）上單調(diào)遞增.

又力⑴=1,所以〃（X）21,

乂“X)有兩個零點，所以〃>1.

因為avb,所以0<〃<1<方.

要讓61+胃<2°\即證2e'”T>6+],

即i'In2Itn1>In"；1.InI1)Inb.

又f(〃)=0,則m=b-lnb,

故即證ln2+Z?-lnZ?-l>ln(/?2+l)-lnZ?,

即證如2-l>ln(//+i)-b.

設(shè)?/?)=lnW+l)-b,Z?>1,

2b

則rg）=<0?

/r+1

所以f?在（L+oo）上單調(diào)遞減,

所以/S)<?l)=h】2—1,

故e("J<2em得證.

【例4】設(shè)函數(shù)/(x)=-lnx.

⑴設(shè)4、4N0且4+4=1,求證：對任意的為、/＞（）,總有特片04%+4占成立；

⑵設(shè)若＞（）,4＞o（i=i,2,…,〃），且￡4=1,求證：X，,向…精《4內(nèi)+4%+…+4%.

/=1

（解析］（1）證明：［嚀＜4-oIn（不中）＜In（4%+4與）o4E%+41nx2KIn

c/（x內(nèi)+4巧）v4/（與）+4/（吃）.

不妨設(shè)（）＜為〈與，

令8（力=4/（工）+4/（與）-/（4）+4々）=11］（4工+4七）-4Inx-41nx2，其中OvxWx??

44%-4(4工+4電)4(工一4工一4七)44(工一%)

則g'(x)=4<o,

率+4/X(中+4&)4(4%+&/)工(4x+4w)x

所以，函數(shù)耳（x）在區(qū)間（0,xJ上單調(diào)遞減,

因為司?為巧），則ga）Ng（L）=lnw-4七=0,

所以，g(%)=111(4內(nèi)+為天)一4In%-2,inx,>0,即4Inx,+ZInx,<ln(4x+4毛),

所以，當(dāng)4、否之0且4+/12=1,對任意的4、々>0,總有匕'特44內(nèi)+4/成立.

(2)證明:-V.>0,\>0(/=1,2,??,??),且為4=1，

1=1

要證特或?-,x?工4玉+乙勺+…+.

印證4In.a+4Inx2++Inxn<hi(Ax,+4-4-knxn),

即f(4F+4W+…+4占)工4/(占)+4/(W)+…+4J(X“)，

當(dāng)〃=2時，由(1)可知，不等式成立，

假設(shè)當(dāng)〃=Mk22,kwN)時不等式成立，

即f(4%+4w+…+4%)44/(石)+4/(%2)+…+4/(改)，

則當(dāng)〃=%+1時，設(shè)匕=/\/+，1"

由⑴可得/區(qū))4彳41/伍)+^^/(1)，

冬+4浦冬+4.1

則f(4x+4A2+…+\xk+A-.I^I)=/(4x++…+4Txl+(4+4“)X)

-4/(x)■*h)+(4+4+i)/(K)?4/(x)4*-4/&)+4+i/(%+i)?

這說明當(dāng)〃=后+1時，結(jié)論也成立，

故對任意的nGN,,〃4x+4七+…+4/”)44/(5)+4/(9)+…+4/(x”)>

所以，_】n(4x+A2x2+--+Anxtl)<-A}In.Vj-/^Inx,----4hixw,

因此,41nxi+4I11再++4、"41n(ZV]+4/++4%),

n

故當(dāng)$>0,4>0(i=l,2,…,〃)，且汽4=1時，■??x^<+Z,x2+???+A.nxn.

1-1

【例5】已知函數(shù)f(x)=e\g(x)=k+aInx,awR

(1)討論g(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)+2x..g(x)+x“，對任意xw(l,+8)恒成立，求a的最大值；

【解析】(1)/(x)=l+-=—(x>0),

當(dāng)a..O時，g'")>(),g(x)在((),e)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。<0時，令<(幻>0,解得令內(nèi)幻<0,解得0<x<-a,

???g(x)在(0-a)上單調(diào)遞減，在(-〃,”)上單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)”.0時，g(x)在⑴,”)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。<0時，g(x)在(0,-。)上單調(diào)遞減，在(-以+8)上單調(diào)遞增；

(2)/(x)+2x..g(x)+xa即為"+x..alnx+U,即eK+Ine*..1*+￡,

11*+]

設(shè)h(x)=lav+x(x>0),則“(x)=一+1==-----,

XX

易知函數(shù)伏外在(0,+8)上單調(diào)遞增，

而他).MU),所以(兩邊取對數(shù)),即x..alnr,當(dāng)彳>1時，即為4,生,

Inv

設(shè)dx)=生(X>1),貝lj(p\x)=,

lavhi'A-

易知函數(shù)奴x)在9。)上單調(diào)遞減，在(G18)上單調(diào)遞增，

:,隊4.?平(e)=%

：qe,即a的最大值為e.

【例6】己知函數(shù)/(x)=x】nx.

⑴討論/")的單調(diào)性；

2I1

(2)設(shè)小力為兩個不相等的正數(shù)，且非=",證明：-<-+!<1.

cab

【解析】(l)Ax)=lnx+l,定義域為(0,xo),

由f*)=0,解得x=L

e

由ra)>。，解得

e

由f(x)v(),解得0<x<1,

e

所以/5)的單調(diào)遞增區(qū)間為(：,+〉)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0$).

(2)0?,b為兩個不相等的正數(shù),hab=b\

^b\na=a\nb,即Lin，='加」，

aabh

由(1)可知/*)而n=/d)=」，且/(1)=0,x-0時，/U)->0,

ee

.I1

則nl令芭=一,々=工，

ab

則不修為/(x)=々的兩根，且

則力=lnx+ln——

le

4(.r)在(0,j上單調(diào)遞增，即力'⑶<=°，

同似幻<()在(0,：)上恒成立，即"(x)在(0,J上單調(diào)遞減，h(x)>h^=0,

(2A2

團/(x)>/--x，即可得了，>——當(dāng)；

le)-e

再訐x,+x2<1,即訐1<.q<1—％,

由(1)/(X)單調(diào)性可得證/伍)=/(N)</(1-N),

(1、

令<(%)=/(』)一)(0,-,

Iej

(p\x)=\nx+ln(l-.r)+2=In(-x2+x)+2,

9(x)在(o,J)上單調(diào)遞增，

團8'(x)=e'(/)>0,且當(dāng)x->0,°'(x)<0,

所以存在/使得。'(無)=(),

即當(dāng)X￡(0，M)時，”(x)<0,8(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)》//一］時，”(％)>0,夕(幻單調(diào)遞增，

Ie；

乂有x->0,9(x)<0,

且吧=《卜小-*。，

所以奴x)<()恒成立，

0X,+x2<1,

911

則:<一十-<1,即可證得.

cab

四、限蹤檢測

1.已知函數(shù)/(x)=xlnx+〃,(〃€R).

(1)求函數(shù)〃力的單調(diào)區(qū)間;

⑵當(dāng)0<〃/時，證明：函數(shù)/⑴有兩個零點;

e

2

(3)若函數(shù)g(x)=/(x)-ar2-x有兩個不同的極值點不.(其中A<W)，證明：-x2>e\

2.形如y=/(x)x⑺的函數(shù)稱為幕指函數(shù)，塞指函數(shù)在求導(dǎo)時，可以利用對數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊取對數(shù)得

Iny=Inf(x)g(x)=In/(x),兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得上=g'(x)In/(x)+g(x),,于是

)‘JV'J

)/=/"嚴(yán))gXx)\nf(x)+g(x).已知/(幻=2/加、>>(x)=.r+1.

/(x)

(1)求曲線y=/@)在x=i處的切線方程:

(2)若久用=/'("),求〃(X)的單調(diào)區(qū)問；

(3)求證：Vxe(O,r)J(x)..g(x)恒成立.

3.已知函數(shù)/(用=『叫工>0).

⑴求/“)的極值點.

⑵若有且僅有兩個不相等的實數(shù)外,%(0<%<9)滿足/(X)=/U)=el

(i)求