第16講對(duì)數(shù)

【人教A版2019】

■內(nèi)首航

思維導(dǎo)圖

「模塊一：對(duì)數(shù)的概念

夯基?基礎(chǔ)知識(shí)梳理?■模塊二：對(duì)數(shù)的運(yùn)算

L模塊三：對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

「題型1對(duì)數(shù)的概念的理解

一題型2指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

對(duì)數(shù)。題型3對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

，題型4運(yùn)用換底公式化簡(jiǎn)計(jì)算

」提升,必考題型歸納一

一題型5指、對(duì)數(shù)方程的求解

一題型6帶附加條件的指、對(duì)數(shù)問題

一題型7運(yùn)用換底公式證明恒等式

I題型8對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

課后作業(yè)（19題）

思維導(dǎo)圖

對(duì)數(shù)的定義

對(duì)數(shù)的性順:①log/=0.Qg,M=l(a>OJLRl).負(fù)數(shù)和。沒仃對(duì)數(shù).

對(duì)數(shù)的定義、性②對(duì)數(shù)恒等式：〃='=N(20Q0.1L).

"質(zhì)與對(duì)數(shù)恒等式

對(duì)數(shù)。指數(shù)”的關(guān)系，當(dāng)。>0,ILgl時(shí),gNox=bg“N

常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)

I常用對(duì)數(shù)與自然T

」自然對(duì)數(shù)：以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，e是無理數(shù)

對(duì)數(shù)

1

積的對(duì)數(shù)：正因數(shù)積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)的各因數(shù)的對(duì)數(shù)的和

商的對(duì)數(shù)：兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)的被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除

L數(shù)的對(duì)數(shù)

目的對(duì)數(shù)：正數(shù)幕的對(duì)數(shù)等于導(dǎo)指數(shù)乘同一底數(shù)的目的底數(shù)的對(duì)數(shù)

換底公式：設(shè)a>0.11存1.cX),ILnei.b>o.則k?g“〃?獸也

log.a

對(duì)數(shù)的運(yùn)算--對(duì)數(shù)的換底公式L

1

.對(duì)數(shù)運(yùn)算的常用指對(duì)互化

技巧

分為兩類：(1建立對(duì)數(shù)式，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些實(shí)際求值；(2)建立指

數(shù)函數(shù)型應(yīng)用模型，再進(jìn)行指數(shù)求值，此時(shí)往往將等式兩邊同時(shí)取對(duì)

對(duì)數(shù)的實(shí)際數(shù)進(jìn)行計(jì)算

-

應(yīng)用

知識(shí)梳理

1.對(duì)數(shù)的定義、性質(zhì)與對(duì)數(shù)恒等式

(I)對(duì)數(shù)的定義；一般地，如果不=可(4>0,且在I)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作尸Io8

其中a叫做對(duì)數(shù)的底教，N叫做真數(shù).

(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：

①log01=0,log”a-1(。>0,且〃羊1),負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù).

②對(duì)數(shù)恒等式:aW=MN>0,a>0,且存1).

(3)對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：

根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)。>0,且"1時(shí)，a'=N0x=Tog“N.

用圖表示為：

騫值真數(shù)

I

a'=/V<=>log#=x

[底數(shù)|

指數(shù)對(duì)數(shù)

2.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

名稱定義符號(hào)

常用對(duì)數(shù)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)logioN簡(jiǎn)記作1gN

以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，e是無理數(shù),

自然對(duì)數(shù)logcN簡(jiǎn)記作InN

=2.71828

【題型1對(duì)數(shù)的概念的理解】

|【例1】（24-25高一上?全國(guó)?隨堂練習(xí)）對(duì)數(shù)logg+3）（5-Q）中實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.(-oo,5)B.(-3,5)C.(-3,-2)U(—2,5)D.(—3,+8)

【變式1.1］（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）有下列說法：

①以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)；

②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；

③以c為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)；

④零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式1.2］（24-25高一上?貴州貴陽?階段練習(xí)）使式子1咤3-1）（2-切有意義的"勺取值范圍是（）

A.%>2B.1<x<2C.1<%<2且不制D.x<2,

【變式1.3］（24-25高一上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知對(duì)數(shù)式log（a+i）三有意義，則〃的取值范圍為（）

A.（-1,4）B.（-1,0）U（0,4）

C.（-4,0）U（0,1）D.（-4,1）

【題型2指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化】

【例2】（24-25高一上?江蘇?單元測(cè)試）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是（）

A.e°=1與Ini=0B.8一2=：與logj=—1

C.log39=2與9：=3D.log77=1與7'=7

【變式2.1］（24-25高一上?新疆烏魯木齊?期末）將log30.81=x化成指數(shù)式可表示為（）

A.3"=0.81B.X081=3C.3081=xD.0.813=%

【變式2.2］（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：

⑴G）T=32；

(2)103=1000；

②log“8?log〃c?log,d=logM(。>0,且。,1#>0,且b*,c>0,且c#I,J>0)：

③；log“力(〃>0,且分1力>0,〃?r(),〃GR).

3.對(duì)數(shù)運(yùn)算的常用技巧

（1）在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用幕的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式，使幕的底數(shù)最簡(jiǎn)，

然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.

（2）先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)

的積、商、某再運(yùn)算.

（3）指對(duì)互化:—〃=log.N（a〉（）,且咕）是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)

注意互化.

題型歸納

【題型3對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用】

L.|【例3]（24-25高三上?湖南邵陽?期中）已知abHl,logam=2,logbm=5,則108劭機(jī)=（）

C-5D?—

【變式3.1]（24-25高一上?上海?期中）設(shè)。是不等于1的正數(shù)，N是任意給定的正數(shù)，。是任意給定

的實(shí)數(shù)，則下列性質(zhì)中錯(cuò)誤的是（）

A.log/=1B-Ioga^=loga)W-loga/V

c

C.iogaM=ClogaMD.loga(MN)=logaM-loga/V

【變式3.2]（24-25高一上?江蘇揚(yáng)州.階段練習(xí)）若logzm+腕4九=2,則十九=（）

A.3B.4C.9D.16

【變式3.3]（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）若a>0且awl,b>0,c>0,n.mWN+，n>1,給出下

22

列等式：①】oga(82-c)=21ogab-2logac；?(loga3)=21oga3；③log。=爭(zhēng)ogW；?logax=

Toga：?其中成立的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【題型4運(yùn)用換底公式化簡(jiǎn)計(jì)算】

JJ【例4】（24-25高一上?甘肅武威?階段練習(xí)）已知lg2=a,lg3=b,則log3018=（

Aa+2bna+2ba-2b

A.-----D.----C.

b-l匕+1b-lD?哥

【變式4.1]（24-25高一上?安徽?階段練習(xí)）已知Q>0,b>0且必L1,若log&x=3,log》％=4.貝l」logg％=

()

B-7C.蔡D?n

【變式4.2]（24-25高二下?天津河?xùn)|?期末）若2%=6,丫=1。區(qū)￡則％+2y的值是（）

A.3B.log23C.8D.-3

2

【變式4.3］（24-25高一上?山東?階段練習(xí)）已知m>0,n>0,log^3（3/n）4-log3n=log>/3（2?7i+n）,則

logzm-log4n的值為（）

A.-1或。B.1C.-1D.1或0

【題型5指、對(duì)數(shù)方程的求解】

2

【例51（24-25高?上?上海?隨堂練習(xí)）設(shè)方程（電產(chǎn)-Igx--3—。的兩實(shí)根是a和b,則leg。+logda

等于（）

A.1B.-2

C.--D.-4

3

【變式5.1]（24-25高一上?北京大興?期末）方程log?/=1的解集為（）

A.{1}B.{-1,1}

C.{V2}D.{-V2,V2}

【變式5.2]（24-25而三上?浙江開學(xué)考試）方程Iog3%=log6x?log產(chǎn)的實(shí)數(shù)解有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【變式5.3]（24-25高一?山東棗莊?課后作業(yè)）若方程（lgx）2+（lg7+lg5）lgx+lg7-lg5=0的兩根為Q、p,

則a-/?=（）

A.Ig7.Ig5B.Ig35C.35D.—

35

【題型6帶附加條件的指、對(duì)數(shù)問題】

目目【例6】（24-25高一上?貴州?期中）已知5、=2,5y=3,3X-2V

則52的值為（）

A.越B.越C.總D.-

34981

【變式6.1]（24-25高一上?黑龍江?期中）若乎=3,y=log8:則為+3y的值是（）

?3

A.3B.log34C.2D.-2

【變式6.2]（24-25高一上?上海?期中）（1）B^Dlg2=a,lg3=b,試用a、b表示log215,

（2）已知3》=6,=2,求三一工的值.

xy

【變式6.3］（24-25高一上?山東淄博?期中）（1）若他+/5=2&,求/+h2的值;

（2）已知10。=2,10'，=3,用a,b表示logsl2.

【題型7運(yùn)用換底公式證明恒等式】

LJ【例外（24?25高一上,陜西渭南?階段練習(xí)）已知：2、=3'=12，。1,求證：；+：=%

【變式7.1］（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）設(shè)無。=/=zJ其中，y,z均大于0,且都不為1,鴻=：,

求證：z=xy.

【變式7.2］（24-25高一上?上海?班堂練習(xí)）⑴利用關(guān)系式l。gaN=bOQ》=N證明換底公式：logaN=

log”

logina'

（2）利用（1）中的換底公式求值：Iog225?log34」og59；

（3）利用（1）中的換底公式證明：log@b?log“?logc。=1.

【變式7.3］（24-25高一下?上海?課后作業(yè)）已知在AABC中，"=90°,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的三條邊長(zhǎng)

分別為a，b,c.求證：log（0+c）a+log（c-b）a=21ogg+c）a?log（c-b）a?

模塊三4對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

知識(shí)梳理

1.對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

在實(shí)際生活中，經(jīng)常會(huì)遇到一些指數(shù)或?qū)?shù)運(yùn)算的問題.求解對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，一是要合理建立數(shù)

學(xué)模型，尋找量與量之間的關(guān)系；二是要充分利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)以及式子兩邊取對(duì)數(shù)的方法求解.

對(duì)數(shù)運(yùn)算在實(shí)際生產(chǎn)和科學(xué)研窕中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問題大致可以分為兩類：

（I）建立對(duì)數(shù)式，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些實(shí)際求值，計(jì)算時(shí)要注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；

（2）建立指數(shù)函數(shù)型應(yīng)用模型，再進(jìn)行指數(shù)求值，此時(shí)往往將等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

題型歸納

【題型8對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】

LJ【例8】（24-25高一上?貴州六盤水?期末）星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古

希措天文學(xué)家喜帕恰斯在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念，例如：2等星的星等值為2.已知兩個(gè)天

體的星等值如，瓶2和它們對(duì)應(yīng)的亮度均，場(chǎng)滿足關(guān)系式根2-m］=一2.5出汽%>0,%>0），則（）

A.2等星的亮度是7等星痙度的100倍

B.7等星的亮度是2等星亮度的100倍

C.2等星的亮度是7等星亮度的10倍

D.7等星的亮度是2等星亮度的10倍

【變式8.1］（24-25高一上?湖南?階段練習(xí)）8月15日是全國(guó)生態(tài)日，2024年全國(guó)生態(tài)日的主題是加快經(jīng)

濟(jì)社會(huì)發(fā)展全面綠色轉(zhuǎn)型.2005年8月15口，習(xí)近平同志在浙江安吉首次提出“綠水青山就是金山銀山”，

這?科學(xué)論斷是習(xí)近平生態(tài)文明思想的核心理念，已經(jīng)成為全黨全社會(huì)的共識(shí)，在祖國(guó)大地上生根、開花.

黨的十八大以來，我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展與生態(tài)環(huán)境保護(hù)更加協(xié)調(diào)，綠色發(fā)展空間進(jìn)一步拓展.在生態(tài)環(huán)境質(zhì)量明顯

好轉(zhuǎn)的同時(shí)，經(jīng)濟(jì)總量從2012年53.9萬億元升至2023年126萬億元，則我國(guó)經(jīng)濟(jì)總量從2012年至2023

年的年平均增長(zhǎng)率約為（）（參考數(shù)據(jù)，lg2.338?0.369,lg2.489?0.396,IO0034x1.081,IO0036?1.086）

A.6%B.7%C.8%D.9%

【變式8.21（24-25高一上?云南昆明?階段練習(xí)）聲強(qiáng)是表示聲波強(qiáng)度的物理量，由于聲強(qiáng)變化范圍非常大，

數(shù)號(hào)級(jí)相差很多，因此通過聲強(qiáng)級(jí)L來表示聲強(qiáng)強(qiáng)度大小，規(guī)定聲強(qiáng)級(jí)L=101g；（單位：分貝），其中為

標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng).若聲強(qiáng)足聲強(qiáng)，2的150倍，則聲強(qiáng)/］的聲強(qiáng)級(jí)比聲強(qiáng)，2的聲強(qiáng)級(jí)大多少分貝（）（結(jié)果四舍

五入保留整數(shù)）（lg3?0.48,lg5。0.7）

A.14B.21C.22D.23

【變式8.31（24-25高一上?上海金山?期中）“學(xué)如逆水行舟,不進(jìn)則退；心似平原跑馬,易放難收”（明?《增

廣瓊文》）是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的.假設(shè)初始值為1,如果每天的“進(jìn)步率”都是1%,那么?年后是

（1+1%）365=1.01365;如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是（1一1%）365=0.99365.一年后“進(jìn)步

者.'是“退步者”的偎=（黑）365?1481倍.照此計(jì)算，大約經(jīng)過（）天，“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍（鬻

近似取方計(jì)算）.

A.33B.35C.37D.39

》課后作業(yè)（19題）

一、單選題

1.（24-25高一上?江蘇南通?階段練習(xí)）計(jì)算22+地25=（）

A.7B.9C.10D.20

2.（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）若代數(shù)式log8a2-2%-3）有意義，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為（）

A.（—co,—1）B.（—1,3）

C.（3,4-00）D.（-00,—1）U（3,4-oo）

3.（24-25高一上?安徽蚌埠?階段練習(xí)）若盧=2（a>O.a工1）,則有（）

A.loga2=bB.log2a=b

C.2a=bD.2b=a

4.（24-25高一上?山東荷澤?階段練習(xí)）已知a=lg3”=lg5,則用表示lg75為（）

A.a+2bB.2abC.3abD.3b-a

5.（24-25高一上?廣東佛山?階段練習(xí)）計(jì)算：Iog23」og34+3bg34=（）

A.2B.4C.5D.6

6.（24-25高一上?江蘇南京?階段練習(xí)）若Q=log35,5b=6,則ab-log32=（）

A.1B.-1C.2D.-2

7.（24-25高一上?江蘇南通?期末）2021年10月16日0時(shí)23分，長(zhǎng)征二號(hào)F遙十三運(yùn)載火循在酒泉衛(wèi)星

發(fā)射中心點(diǎn)火升空，582秒后，神舟十三號(hào)載人飛船進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富三名

航天員送入太空.在不考慮空氣阻力的條件下，從發(fā)射開始，火蓊的最大飛行速度V滿足公式：u=

wln（l+3）,其中M為火箭推進(jìn)劑質(zhì)量，血為去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量，w為火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相

對(duì)火箭的速度.當(dāng)M=3m時(shí)，5.544千米/秒.在保持w不變的情況下，若m=20噸，假設(shè)要使〃達(dá)到

8千米/秒，則M大約為（）結(jié)果精確到1,參考數(shù)據(jù)：e2?7.389,ln2?0.693）

A.98噸B.108噸C.118噸D.128噸

8.（24-25高二上?天津?期中）已知%>0,y>0,Ig4*+lg2y=lg8,則上+；的最小值是（）

A.3B.-4C.-15D.9

二、多選題

9.（24-25高一上?四川南充?階段練習(xí)）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（）

A.e。=1與Ini=0B.8一§=：與logJ=-g

C.Iog39=2與9輸=3D.Iog77=1與7：=7

10.（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）下列命題正確的是（）

A.若log鉉％=3,則％=2夜

B.若log*.=一：則x=64

C.若J°g3/=L則t=4