第二十二章相似形,拔尖卷

【滬科版】

第I卷一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

（2025?吉林長春?中考真題）

1.將直角三角形紙片48c（ZC=90°）按如圖方式折疊兩次再展開，下列結(jié)論

錯誤的是（）

A.MN//DE//PQB.BC=2DE=AMN

MNDEPQ

C.AN=BQ=；NQD=—=—

DEPQBC

2.如圖，在三角形紙片中，AB=6,JC=4,BC=8,沿虛線剪下的涂色部

分的三角形與△力8c相似的是（）

（24-25九年級上?貴州畢節(jié)?期末）

3.下圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，△北C與“龍尸的頂點都在正方形網(wǎng)格格點上,

則△力8c與必石尸的周長比為（）

試卷第1頁，共10頁

C.V2：x/5D.1:2

（24-25八年級下?山東濟南?期末）

4.寬與長的比是或二1（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊藏著豐富

2

的美學價值,給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形:

作正方形初分別取力8、的中點E、F,連接跖；以點E為圓心，以ED

為半徑畫弧，交歷1的延長線于點G；作G〃，C。，交。。的延長線于點兒則下

列矩形是黃金矩形的是（）

A.矩形B.矩形EFCBC.矩形4DHGD.矩形勿HG

（2025?重慶?一模）

5.凸透鏡成像的原理如圖所示，MN是凸透鏡的主光軸，。為凸透鏡的中心，

點/是焦點，PM上MN,BNtMN.若物距MO與像距NO之比為3:2,測得蠟燭

PM高為15cm,則像8N的長為（）

A.5cmB.6cmC.9cmD.10cm

6.如圖，在取“BC中,ZC=90°,JC=3,Z?C=4,翻折N8,使點8落在直角邊AC

上某一點。處，折痕為EF,點￡、尸分別在功8C、AB匕若△CQE與ZUBC相

試卷第2頁，共10頁

似，則CE的長為（）

D.強為

（2025?湖南?模擬預(yù)測）

7.“8C中，AB=AC=TOcm、BC=T2cm.點尸從8出發(fā)以2c〃"s向。移動，秒

0>0）,當"PC為等腰三角形時，，的值為（）.

D.1或2

A.0B.1C.0或1

O

（2025?安徽亳州?三模）

8.如圖，。月8CQ中，E為時角線“。上一點，過點E的直線MN分別交邊相，BC

于點RG,交射線。以。。于點M,N.若旅=3,EF=2,則EG-EN的值為

()

（2025?湖南?一模）

9.魏晉時期劉徽所著的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學著作，其中第一題是測

試卷第3頁，共10頁

海島的高.如圖，點、E,H,G在水平線力C上，DE和FG是兩個垂直于水平面且

等高的測量標桿的高度，稱為“表高”（記為例）,EG稱為“表距”（記為"），EH

則海島N5的高為（）

上心-4

m2一叫m2-叫

c懸丁5d

D.

m2-嗎

（24-25八年級卜山東泰安?期末）

10.如圖，在正方形抽。中，E是8C的中點，尸是。上一點，且"=2

下列結(jié)論：

①AABES^ECF；②2BAE=30。；③AE_L￡/；④AABE^^AEF；⑤LADF,

其中正確的個數(shù)為（）

三

A.1個B.2個C.3個D.4個

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

（2025?福建泉州?模擬預(yù)測）

11.如圖，△44。和力M是以點O為位似中心的位似圖形，若。4:/。=34,LABC

的面積等于9,則心酎的面積為.

試卷第4頁，共10頁

（24-25九年級上?吉林長春?階段練習）

12.如圖，△48C的中線4。、CE交于點G,點尸在邊4C上，GF//BCf那么

GF:BC=.

（24-25八年級下?湖南郴州?期末）

13.在平行四邊形"CO中，對角線力。，即相交于點。OE\\CD,若征=4,

則線段C。的長為

（2025?上海楊浦?一模）

14.兩個等腰直角三角板如圖放置，點產(chǎn)為8c的中點，AG=l,BG=3,則CH的長為

（24-25九年級下?山東煙臺?期末）

試卷第5頁，共10頁

15.如圖，在菱形/"CO中，點及EG,“分別是邊力8,上的點，且

BE=BF=CG=AH,若菱形的面積等于120,8。=24,則M+G”的值為.

16.現(xiàn)有多個全等直角三角形，先取三個拼成如圖1所示的形狀，R為。石的中

點，陽分別交力。，。于尸，。，易得BP:PO：QR=3:1:2.若取四個直角三角形

拼成如圖2所示的形狀，S為￡尸的中點，8s分別交4C,CD,DE于尸,。，R,

貝ljBP:PQ:QR:RS=.

圖2

第H卷三.解答題（共8小題，滿分72分）

<23-24九年級上?廣東河源期中）

17.如圖，已知。E〃8C,40、DF交于點C,比/EAB=/BCF.求證:

G

{\}AB//DF-

⑵OB?=OEOF.

（24-25九年級上?浙江紹興?期末）

18.如圖是由邊長為1的小正方形組成的4x4網(wǎng)格，4,B,C三點均在格點上.

試卷第6頁，共10頁

c

A

(1)分別求寡與先的值.

AD

⑵在網(wǎng)格中畫△相￡,使力，B,E三點組成的三角形與。相似.(只需畫出

一個)

(2025?山東煙臺?一模)

19.已知：如圖，在四邊形48co中，AB//CD,連接力C、BD,△NBC是等邊三

角形，DE//BC,DE與AC交于點、E,AADE^ADBC.

⑴請寫出與/QBC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)求證：點E是線段/C的黃金分割點.

20.如圖，在RSABO中，NABO=90。，其頂點O為坐標原點，點B在第二象

限，點A在x軸負半軸上若BD_LAO于點D,OB=石，AB=26.

(1)求OA的長；

(24-25九年級上?山東濟南?期中)

21.在R3"C中，ZC=90\JC=12cm,8c=8cm,現(xiàn)有動點?從點C出發(fā),

試卷第7頁，共10頁

沿C4方向向點A運動，動點。從點4出發(fā)，沿5c方向向點。運動，如果點尸的速

度是2cm/s,點。的速度是lcm/s,它們同時出發(fā)，當有一點到達終點時，點P,

。就停止運動，設(shè)運動時間為/秒，求：

(1)當/為多少時，四邊形力“加的面積是ACP。面積的2倍?

(2)當，為多少時，K尸。中有一個內(nèi)角與力相等?

(2025?遼寧丹東?二模)

22.在Rt△4BC中,44。=90°.

圖1

(1)如圖1,直線/經(jīng)過點3,且頂點4,C在直線/的兩側(cè)，作4V/_L直線/于點

M,作CNJ■直線/于點N.求證：/\ABMs叢BCN.

(2)如圖2,點尸在邊8C上，N8P=8交4c于點/，AP=5

PM=2,求費的值.

(3)如圖3,BC=\AC=5f。是邊。延長線上一點，且40=2,作/￡=初，連接

DE,BE.若NDEB=90。,求的的長.

(24-25八年級下?山東淄博?期末)

23.如圖，矩形/8CO中，E,F分別在力。，BC上,將四邊形相反沿石戶翎折,

使A的對稱點尸落在CZ)上，8的對稱點為G,PG交BC于H.

試卷第8頁，共10頁

圖1圖2

⑴如圖1,求證：AEDPsAPCH、

(2)如圖2,若尸為CQ中點，且”=2,BC=3,求G”的長;

(3)如圖3,若尸為C。中點，〃為4c中點，連接BG,請直接寫出行的值.

(2025?河南洛陽?一模)

24.定義：有一組對角互余的四邊形叫做“對余四邊形”.

圖①

【認識模型】

(1)如圖①，四邊形”8是對余四邊形，則/力與的度數(shù)之和為；

【性質(zhì)探究】

四邊形48CO是對余四邊形，8。為對角線，已知48=8C.

如圖②，若480=60。，求證：力廳+。。2=/)2,小唯發(fā)現(xiàn)將△8CQ繞點8按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)60。，構(gòu)造等邊三角形結(jié)合對余四邊形即可得證，下面是小唯的部

分證明過程：

證明：如圖②，將△8CO繞點4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到△%/"連接和，

試卷第9頁，共10頁

??.BF=BD,4尸=CD,/BCD=NBAF,

△8人。是等邊三角形，

(2)請補全上面的證明過程；

(3)如圖③，連接4C,若4B5C,480=45。，(2)中的結(jié)論是否仍然成立？

若成立，給出證明過程，若不成立，請說明理由.

試卷第10頁，共10頁

1.D

【分析】本題考杳了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟

練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵.

由折疊可得：DE1AC,PQA.AC,MNA.AC,AM=MD=DP=PC,則

MN//DE//PQ//BC,那么工ADEsAACBsAAMNsAAPQ,繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

以及平行線分線段成比例定理逐一判斷即可.

【詳解】解：由折疊可得：DE1AC,PQ1AC,MN1AC,AM=MD=DP=PC,

.-.MN//DE//PQ//BC,故A正確，不符合題意：

:?4ADEsAACBs4AMN,

DEAD1MNAM1

二==—,==—，

BCAC2DEAD2

:.BC=2DE,DE=2MN,

:?BC=4MN,

??.BC=2DE=4MN,故B正確，不符合題意；

?：MN"PQ〃BC,

PCBQ_\AM_AN_1PMQN_1

??就一萬一"~AC~^4B~2

:.BQ=AN=；AB,QN=；AB,

???AN=BQ=3NQ,故C正確，不符合題意；

vAADEs"CBs/\AMNsAAPQ,

MNAM1DEAD=2PQAP3

'~DE~'AD~2fPQ-APf~BC~7c~4

MNDEPO

二不丁工石;工盛，故D錯誤，符合題意,

DEPQBC

故選：D.

2.A

【分析】此題主要考查了相似三角形的判定，正確利用相似三角形兩邊比值相等且夾角相等

的兩三角形相似是解題關(guān)鍵.

根據(jù)相似三角形的判定分別進行判斷即可得出答案即可.

【詳解】解：在三角形紙片力以？中，AB=6,AC=4,BC=8.

A.因為N=]=L穹=:=：,則與=整，又由/C=NC,故沿虛線剪下的涂色部分

AC42￡>Co2ACBC

答案第1頁，共23頁

的三角形與△力4。相似，故此選項符合題意；

B.因為當===?,冬=《=：,=工!，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△/4C

AB62AC6442

不相似，故此選項不合題意；

C.因為岑=3，41=7=7*即：故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△48C

AB38c8434

不相似，故此選項不合題意；

D、因為黑=:，41=7*7*7*故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△48c不相似,

BC2AB332

故此選項不合題意；

故選：A.

3.D

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理與網(wǎng)格問題；先證明

△ABCs^DEF、根據(jù)相似三角形的怦質(zhì)即可求解.

【詳解】解：?:BC=3,EF=6,AB=0DE=26,/ABC=NDEF=45。

^BCAB_\

"~EF~~DE~2

:?LABCs^DEF,

：,LABC與QEF的周長比為1:2

故選：D.

4.C

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握性質(zhì)

和定理是解題的關(guān)鍵.

設(shè)正方形48CQ的邊長為2x,根據(jù)勾股定理得七。=石］，易得票=與1,即矩形4)〃G

AD2

是黃金矩形，據(jù)此即可解答.

【詳解】解：設(shè)正方形月6。的邊長為2人，

?.?正方形488,AB.C。的中點E、F,

:.AE=EB=DF=CF=x,AD=EF=BC=2x,AB=BC=CD=DA,

ZBAD=ZADC=ZABC=ZBCD=90°

???ED=yjEF2+DF2=>/5x?即EG=&，

：.AG=EG-AE=(4S-\^X,

答案第2頁，共23頁

VGH1CD,NGAD=NADH=90°,

二四邊形4O"G是矩形，

.史二回1卜二回1),即四邊形是黃金矩形，

AD2x2

故選：C.

5.D

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，通過證明△POA/s^AON,得出

PM:BN=OM:ON=3:2,即可解答.解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：NPMO=NBNO=90。,

?：4P0M=々BON,

：.△POMSRON,

:.PM:BN=OM:()N=3:2、

'：PM=15cm,

/.AN=10cm,

故選：D.

6.C

【分析】根據(jù)題意，可知分兩種情況，然后根據(jù)題目中的條件，利用三角形相似，可以求得

CE的長，從而可以解答本題.

【詳解】解：由題意可得，

當△CQEs^c以時，

則三”，

JCABA

?.?/。=90。,力。=31。=4,翻折N8,使點8落在直角邊力。上某一點。處，

/.AB=5,BE=DE,BE=4-CE,

CE4-CE

——=------,

35

解得CE=?

當寸，

eCEDE

則不一=——，

CBAB

vZC=90°,JC=3,5C=4,翻折使點8落在直角力IC上某一點。處，

答案第3頁，共23頁

AB=5,BE=DE,BE=4一CE,

CE4-CE

/.一=----,

45

解得CE二￡；

由上可得，。石的長為T或?，

故選：C.

【點睛】本題考查相似三足形的判定與性質(zhì)、翻折變換，利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的

數(shù)學思想解答是解答本題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】本題考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定

和性質(zhì)是關(guān)鍵.

根據(jù)題意分類討論：當4C=CP=10?！〞r：當力。=AP=10c小時：當4P=PC時，設(shè)BP=xcm.

則PC=8C-BP=l2-x=P4,可證△48Cs△尸力。，解得，X=H;由此即可求解.

【詳解】解：當4C=CP=10cm時，BP=BC-CP=\2-\0=2cmt

.?.，=2+2=l(s)；

當力P=10c〃?時，點民?重合，E=0,此時與/>0矛盾，不符合題意，舍去；

當4P=PC時，設(shè)BP=xcm,^\PC=BC-BP=\2-x=PA,

：.NPAC=ZPCA,

?：4B=AC,

??"ABC=NACB,

APAC=/ABC,NPCA=ZACB,

：.GABCS^PAC>

ACBCf1n1012

PCAC12-x10

解得，x二?，

檢驗，當x=?時，原分式方程有意義，

:.BP=-y-m,

答案第4頁，共23頁

綜上所述，當"PC為等腰三角形時，，的值為l(s)或U(s)，

6

故選：D.

8.C

【分析】本題主要查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),

RFFFRF

可得力O〃4C,/14〃CO,再由平行線分線段成比例可得多="而二元從而得到

MEDE

FGFF

—=—,即可求解.

MEEN

【詳解】解：???四邊形"CQ是平行四邊形,

：.AD//BC,AB//CD,

EGBEEFBE

''ldE~~DEy~EN~~DE

EGEF

，:MF=3、EF=2,

EG2

：,-----=-----,

3+2EN

???EGEN=10.

故選：C

9.A

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬廣基

礎(chǔ)題.根據(jù)〃/G,可得“BHSAEDH?CFGSACB4,從而得到

DEEHFGCGEHCG.川皿相EHCG

—=，—=—9而得至U=—9再rtl比例的性質(zhì)可-----------=-------------------

ABAHBACAAHCAAE+EHAE+EG+GC

從而得到（CG-EH>4E=EH?EG,進而得到力￡=給空，再由力〃=+可得

CG-EH

EHEG

"DEAHDECG-EH產(chǎn)S即可求解.

EHEHEH

【詳解】解：根據(jù)題意得：AB//DE//FG,

：.AABHs^EDHqCFGs^CBA,

DEEHFGCG

,:DE=FG=h。,

EHCG

''~AH~~CA'

答案第5頁，共23頁

EHCG

?'AE+EH~AE+EG+GC'

CG?AE+CG?EH=EH?AE+EH?EG+EH?GC,

.-\CG-EII）AE=EHEGt

,廣EHEG

AE=-------------,

CG-EH

?:AH=AE+EH,

.AB-DETH_DE（AE+EH）

"~EH~ElT

DEAEDEEH

~EH+EH

DE-EHEG

二CG-EH|DEEh

EHEH

_DEEG

+DE

~CG-EH

?:EG=d,DE=%,EH=皿，CG=m2,

m2-叫

故選：A

l().C

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三

角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.借助正方形的性質(zhì)和已知條件，易證AABESAECF,故

ADRp

結(jié)論①正確；利用①可得N4E8+zTEC=9O。，故結(jié)論③正確；且可得一二=丫，可證得

AEEF

△4BES、4EF,故結(jié)論④正確；而今工第，所以結(jié)論⑤不正確；根據(jù)相似三角形的性

CECr

質(zhì)得到NB4E=NE4F工ND4F,可判斷②錯誤.

【詳解】解：???四邊形力8CQ為正方形，

AB=BC=CD=DA,/B=NC=ND=NBAD=90°,

?；E為BC中點,CF=\cDt

4

ABBE、

二--=---=2,

CECF

又NB=ZC,

.,.△ABESAECF,結(jié)論①正確；

???LHAE=乙卜上C,

答案第6頁，共23頁

?:/BAE+/AEB=900,

.?"AEB+NFEC=9Q0,

??.N4EF=90。,BPAELEF,故結(jié)論③正確;

,:LABEs^ECF,

AEABBC

----,====2,

EFECEC

ABBC

-----=------

ABAE.ABBE

——=——=2,即nil——=——,

BEEFAEEF

又???Z.ABE=Z.AEF=90°,

??.△ABES^AEF,結(jié)論④正確；

AD_DF、

v=2,=39

CECF

ADDF

:.----工----,

CECF

???4ADF和AECF不相似，結(jié)論⑤不正確.

?:LABESAECF,AABESAAEF,△4/）尸和△Eb不相似，/8力。=90°,

Z.BAE=Z.CEF,NBAE=NEAF,Z.CEFZDAF,

???ABAE=AEAF工ADAF,

.?.NA4EH；NA4Q=3O°,故②錯誤，

綜上可知正確的結(jié)論為：①③④，共計3個.

故選：C.

11.49

【分析】本題考查的是位似變換，相似三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)位似變換的概念得到

AB〃DE,AABCs^DEF,從而得到△。力AS.OQE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出

&=%="再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可?

DEOD7

【詳解】解：-OA:AD=3.4,

：.OA:OD=3:7,

,:2ABC和GEF是以點、0為位似中心的位似圖形，

:.AB"DE,AABCSADEF,

LOABs^ODE,

答案第7頁，共23頁

的面積等于9,

七產(chǎn)的面枳為49.

故答案為：49

12.1:3

【分析】本題考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題

的關(guān)鍵.

由題得點G是△NBC的重心，得到公=；,可證明△4GFs”oc,得到

DG1

GF=AG_=AG2即可得到G尸：8C=1：3.

DCADAG+DG3

【詳解】解：???△/AC的中線力。、CE交于點G,

.?.點G是ZU8C的重心,

AG2

/.——=-,

DG1

GF〃BC,

.△AGFSAADC,

GFAGJG_2

"~DC~7D~AG+DG~3f

GF=-DC,

3

DC=-BC,

2

:.GF=gBC,

:.GF:BC=\:3.

13.8

【分析】本題考查平行四力形的性質(zhì)，三角形中位線定理，證明是△8C。的中位線，利

用三角形中位線定理求解.

【詳解】解：???四邊形/18CP是平行四邊形，

：.OB=OD,

二。為瓦）的中點，

答案第8頁，共23頁

-OE\\CD,

BOBE

:.-----=-----,

ODCE

BE=EC,

??.E為8c的中點，

??.OE■為△8CO的中位線，

:.CD=2OE=8.

故答案為：8.

|4-1

【分析】依據(jù)ZB=〃>45。，ZDFE=45°,即可得出NBGF=4CFH,進而得到ABFG?ACHF,

依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，卻可得到盥=蕓，即黑=迪，即可得至UCH=。.

BPBG2V233

【詳解】解：???AG=1.BG=3.

.-.AB=4,

???△ABC是等腰直角三角形，

???BC=4啦，zB=zC=45°,

???F是BC的中點,

.??BF=CF=20,

???△DEF是等腰直角三角形，

??.zDFE=45o,

.-.ZCFH=18O0-ZBFG-45。=135。-zBFG,

又???△BFG中，ZBGF=18O°-4B-4BFG=135。-4BFG,

.-.zBGF=zCFH,

.?.△BFG-ACHF,

CHCFCH2及

---=,即pn-7==------,

BFBG2V23

-CH=r

故答案為g.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用

圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用.

答案第9頁，共23頁

15.10

【分析】本題考杳了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì),

熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.連接4C,得到g/Cx24=120,即4C=10,證明

FF+GH

EF〃GH〃AC,得到ABEFSABACQDHGSADAC,列比例式得證———=1,解答

AC

即可.

【詳解】解：連接力C,

???菱形/8CO中，菱形的面積等于120,4。=24,

：.-ACBD=nO,

2

.-.-JCx24=120,

2

JC=10,

???菱形488中，

:./ABD=/CBD,/ADB=/CDB,ACJ.BD,DA=DC=AB=BC,

-BE=BF=CG=AH,

:.BE=BF、DG=DH

EF1BD,GH工BD,

:.EF〃GH〃AC,

：.dBEFs^BACQDHGS4DAC,

EFBEGHDH

‘‘就一而'就一市’

EFGHBEDHBE+DHAH+DHAD,

:.------1-------=-------1-------=--------------=---------------=------=1,

ACACBADADADADA

EF+GH,

-------------=1,

AC

.-.EF+GH=AC=\0,

故答案為：10.

16.4:1:3:2

答案第1()頁，共23頁

【分析】首先證明ABCQ?aBES,從而可求得CQ=；EF,DQ=；EF,然后證明4BAP?△QDR

得到BP：QR=4：3從而可知：BP：PQ：QR=4：1：3,然后由DQIISE,可知：QR：

RS=DQ：SE=3：2,從而可求得BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2.

【詳解】解：(1)???四個直角三角形是全等三角形，

???AB=EF=CD,ABHEFHCD,BC=CE,AC||DE,

??BP：PR=BC：CE=1,

vCDHEF,

.-.△BCQ-ABES.

又??BC=CE

.??CQ=；SE=；EF,

.?*DQ=-EF,

4

vABUCD,

.,.zABP=zDQR.

X,.zBAP=zQDR,

.--△BAP-AQDR.

???BP：QR=4：3.

.?.BP：PQ：QR=4：1：3,

vDQHSE,

.?.QR：RS=DQ：SE=3：2,

??.BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2.

故答案為：4：1：3：2

【點睛】本題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，找出圖中的相似三角形，求得相應(yīng)線

段之間的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

17.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成

比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)DE〃BC可得"DF=4BCF，結(jié)合已知NE4B=4BCF得出NEAR=NEDF,即

可證明/出〃。/：

答案第11頁，共23頁

(2)根據(jù)。E〃8C,〃力/得出-=k，k=，等量代換即可得出

OEOAOA

OB2=OE-OF.

【詳解】(1)證明：'.DE//BC,

:"EDF=ZBCF,

???NEAB=ZBCF,

:.Z.EAB=4EDF,

???AB//DF.

(2)證明：???/)￡〃8C,

OB_PC

~OE~~OA'

vAB//DF,

PC_OF

OA~OB

OBOF

~OE~~OB

?-OB2=OE-OF.

18.⑴理="，生

BC2AB

(2)見解析

【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定:

(1)利川勾股定理求出的值，然后求比值即可;

(2)利用勾股地理和相似三角形的判定方法畫圖即可.

【詳解】(1)解：vAB=2,BC=VF+F=2V2

,空=變，￡=五

BC2AB

答案第12頁，共23頁

,:AB=2,BC=2&,Adz?"=2百,BE、=V12+12=72,^,=Vl2+32=V10,

AB_BC_AC?涇

‘函一萬一布一'

：."BCSAE\BA.

當點E在點芻處時，同理可證△45。6△芻8力.

19.(1)//O5=2/Z>6C,見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割點的計算，掌握相似三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)△4)￡：SZV)8C,得出N5=N4,根據(jù)。石〃8C,得出N5=N6,即可證明

ZADB=2NDBC.

(2)根據(jù)△力QES^QB。，得出NNEO=NOC4.證出/EDC=/1.根據(jù)A/IBC'為等邊三角

形，得出/1=/2=60。，結(jié)合AB〃CD,得出/3=/瓦)。=60。，證出△CQE為等邊三角形,

即可得CE=QE=CQ,結(jié)合4C=8c和△月。Es2\o8C,得出EC?=/小，即可證明點石

是線段4。的黃金分割點.

【詳解】(1)解：4ADB=2/DBC,

證明：如圖所示，

AADEsADBC,

Z5=Z4,

?:DE〃BC,

:.Z5=Z6,

Z4=Z6=Z5,

ZADB=2Z5,

即乙4DB=2ZDBC.

(2)解：，：4ADES4DBC,

答案第13頁，共23頁

:.NAED=4DCB.

???ZAED=NEDC+N3,NDCB=Z1+Z3,

：.Z.EDC=ZX,

???△ABC為等邊三角形，

.-.Zl=Z2=60°,

???AB//CD,

/.Z3=Z2=60°,

:.Z3=NEDC=60°,

??.△CQE為等邊三角形，

???CE=DE=CD,

???△48C為等邊三角形，

:.AC=BC?

?：4ADEs〉DBC,

AEDE

，而=正’

AEEC,

辛=就,艮nn―

二點七是線段4c的黃金分割點.

20.(1)5;(2)/(-5,0),B(-1,2).

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出AO即可；

(2)由AO,即可得出A的坐標；證ABDO?△ABO,得出比例式，代入求出OD、BD,

即可得出B的坐標.

【詳解】解：(1)在RtA/48O中，乙18O=90。，OB=布,AB=2#,

由勾股定理得：J(石產(chǎn)+(2^)2=5,

(2)=

-A的坐標是(-5,0),

-BDLOA,

；/BDO=乙4BO=90°,

?:乙BOD=LBOD，

:.ABDOSAABO,

答案第14頁，共23頁

OPBDOB

OPBD45

解得：。。=1,BD=2,

即8的坐標是（-1,2）,

【點睛】本題考查了勾股定理，相似，線段長度與坐標，掌握勾股定理與相似的判定是解題

的關(guān)鍵.

21.（1*為4秒時，四邊形力產(chǎn)。8的面積是ACP。面積的2倍.

（2）當,為令或2時，中有一個內(nèi)角與/力相等.

【分析】本題是三角形的綜合題，考查了三角形面積的計算，相似三角形的判定和性質(zhì)，分

類討論是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)面積列出一元二次方程，求值即可.

（2）分兩種情況討論：NCPQ=/^/CQP=/A,再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可

求得答案.

【詳解】（1）解：?動點戶從點C出發(fā)，沿C/方向向點A運動，點P的速度是2cm/s,

CP=2/cm,

,??動點。從點8出發(fā)，沿線段8c方向向點。運動，點。的速度是lcm/s,

BQ=rem,

?.C（）=（8-7）cm.

???四邊形力PQ8的面積是乙"。面積的2倍，AC=\2cn:,BC=8cm,

SS2

'-ACPQ=^.ABC=1X-X12X8=16（C/?）,

.'.|xCPxC￡>=16,

即：!x2rx（8-/）=16,解得：/,=/2=4.

為4秒時，四邊形APQB的面積是ACPQ面積的2倍.

（2）ZC=ZC=90\

①當NCP0=NA時，△CPQsaC/18,

.CPCQ

\4C~~BC'

答案第15頁，共23頁

2/8—/

/.—=---,

128

24

解得：t~:

②當NC0尸=//時，ACPQs^CBA,

.CP_CQ

~BC~~ACy

.2t_8-t

■y=ir

解得：，=2.

綜上所述，當，為日或2時，△CP。中有一個內(nèi)角與//相等.

22.⑴見解析

⑵與

4

⑶半

【分析】(1)根據(jù)余角的性質(zhì)可得N84W=NC8N,即可求證；

DMPM2

(2)過點尸作尸O/4W于。，證明△的可得育=方=忑，可設(shè)

DM=2。,則QP=S，CM=PM=3a,從而得到％=而》初=》，證明

△PCDs^ACB,可求出現(xiàn)=變￡,即可求解；

4

(3)過點力作于G,過點。作C〃18E交所的延長線于〃，根據(jù)平行線分線段

FGDA2

成比例可得需二丁;二彳，再根據(jù)勾股定理可得力8=4,再根據(jù)44865/\8。〃，可設(shè)

G/7AC5

BG=AECH=3。圖=An,BH=3",從而得到&?=33=4",GH=4/7?+3n,再結(jié)

合空二］,可得〃=2〃?，然后根據(jù)勾股定理可得/〃=或，即可求解.

GH55

【詳解】(1)證明：???N4BC=90。,

:?乙ABW1+乙CBN=9Qc,

?.?4"_1,直線/,CN_L直線/,

：./AMB=/BNC=90。,

.??/ABM+/BAM=90。,

:.NBAM=/CBN,

：.4ABMs叢BCN、

(2)解：過點戶作。OX4”于。.

答案第16頁，共23頁

A

D

M

BPC

???48。=90。，APIPM,

.'.ZAPM=ZABC=90°t

：.乙曰中+（所B=ZLCFM+乙所B=90°,

："BAP=/CPM,

?：4BAP=ZC,

:.乙EP=乙CFM=AC,

:.MP=MC,

???W_L用田_L加，

：..FTMs：,

DMDPPM

??西一方一而‘

DM_PM二2

,?~5^一下一忑,

?DM=2a,貝ijQQ=6,

-CM=PM7DM2+DP2=3〃，

:.CD=CM+04=5a,—=—,

3aAM

??.PCZPD'+CD。=/（氐『+（5〃）=屈（］,初=如

：.隙=初+07=—,

2

?：4ABC=/PDC=9G°,ZC=ZC,

:ZCDsXACB、

PDPCH1,叵=理^

???布=就，即加坦，

2

解得：用=殳&,

4

5瓜a

:.AB_4_布:

~PC~y/JOa~~

(3)解：如圖，過點4作力G」儀;于G,過點C作CH1.BE交￡4的延長線于〃,

答案第17頁，共23頁

?：/DEB=90°,即

CH//A3//CE,

EGDA_2

''GH~7C~~5,

?.?4C=3,4C=5,ZJ5C=90°,

-AB=>JAC2-BC2=4?

?.?Z/BS+AB^G=180°-4MB=90°,

/4G+ACBH=180°-乙497=90°,

:./BAG=ZCBH,

???NAGB=ZBHC,

???△ABGS^BCH,

AGGBAB4

:.設(shè)BG=4/77CH=3m/4S=4〃BH=3〃,

?.?用=花=43，生，

:.EG=BG=4/7j?

GH=BG+BH=4/77+3/7,

EG2

,**=—,

GH5

4m2

------=—,

4m+3〃5

解得：n=2m,

A3=An=8",

AE2=AG2+EG2,

.*.42=(8〃?)~+(4〃?)~,

解得：〃?=立，

5

-BE=8/77=—.

5

答案第18頁，共23頁

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的

判定定理和性質(zhì)定理.

23.⑴見解析；

⑵;；

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到4=NZ)=NC=90。,求得/1+/3=90。，根據(jù)折疊的

性質(zhì)得到/￡尸，=4=9()。，求得/1+/2=90。，得到N3=N2,根據(jù)相似三角形的判定定理

得到結(jié)論；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CO=月8=2,AD=BC=3,N.4=NZ)=NC=90。，設(shè)EP=4E=x,

54

得到=根據(jù)勾股定理得到)=力2=彳，ED=AD-AE=-,根據(jù)相似三

33

角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論：

(3)延長力&PG交于點M,連接根據(jù)折疊的性質(zhì)得到8G_L直線后/，根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)得到M4=MP,設(shè)=b=求得48=PG=CO=2y,根據(jù)線段中

點的定義得到3，=C〃，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到8必=CP=y,HM=HP,求得

MP=MA=MB+AB=3y,HP=,根據(jù)勾股定理得到AC=2CH=島，求得

4D=BC=島,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：:四力形力8c。是矩形,

/.Z.A=ZD=ZC=90°,

???NEPH=NA=9。。，

Zl+Z2=90°,

/.Z3=Z2,

:.△EDPsAPCH；

(2)解：???四邊形如"X1是矩形,

答案第19頁，共23頁

：.CD=AB=2,AD=BC=3,Z