專題8.7立體幾何中的向量方法

1理.解直線的方向向量與平面的法向量.

2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系.

新課程考試要求

3.能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）.

4.會用向量方法求解兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的問題.

核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學核心素養(yǎng)；數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等.

（1）以幾何體為載體，綜合考查平行或垂直關系證明，以及角與距離的計算.

（2）利用幾何法證明平行、垂直關系，利用空間向量方法求角或距離.

（3）利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點，內(nèi)容以解答題中的一問為主，主要

圍繞考查空間直角坐標系的建立、空間向量的坐標運算能力和分析解決問題的能力命制

試題，以多面體為載體、證明線面（面面）的平行（垂直）關系是主要命題方向.空間的角

考向預測

與距離的計算（特別是角的計算）是高考熱點，一般以大題的條件或一小問形式呈現(xiàn)，

考查用向量方法解決立體幾何問題，將空間幾何元素之間的位置關系轉化為數(shù)量關系，

并通過計算解決立體幾何問題.距離問題往往在與有關面積、體積的計算中加以考查.此

類問題往往屬于“證算并重”題，即第一問用幾何法證明平行關系或垂直關系，第二問

則通過建立空間直角坐標系，利用空間向量方法進一步求角或距離.

【知識清單】

知識點1.利用空間向量證明平行問題

1.直線的方向向量與平面的法向量的確定

①直線的方向向量：/是空間一直線，A,8是直線，上任意兩點，則稱曬直線/的方向向量，與;&平行

的任意非零向量也是直線/的方向向量.

②平面的法向量可利用方程組求出：設功。是平面。內(nèi)兩不共線向量，〃為平面。的法向量，則求法向量

n?a=0,

的方程組為?

n-b=0.

2.川向量證明空間中的平行關系

①設直線Z和4的方向向量分別為匕和&，則（〃，2（或人與乙重合）0匕〃與

②設直線/的方向向量為匕與平面。共面的兩個不共線向量匕和匕，則1//。或1UQQ存在兩個實數(shù)X,

必使v=xvt-\ryv2.

③設直線/的方向向量為外平面。的法向量為〃，則/〃。或/u匕Lu.

④設平面。和￡的法向量分別為5,4,，則a//￡=?〃

知識點2.利用空間向量證明垂直問題

1.用向量證明空間中的垂直關系

①設直線九和人的方向向量分別為匕和匕，則匕=匕?噎=0.

②設直線/的方向向量為心平面。的法向量為u,則

③設平面a和￡的法向量分別為修和四,則a±Baujugu,?必=0.

2.共線與垂直的坐標表示

設a=（a]，%，a）,6=（6”瓦,“），則a〃/x=>a=4/><=>歷=4"，a2=4b2,A=4A（，lER）,

a_L/Qa?〃=0=為”+先包+電力=0（熱〃均為非零向量）.

知識點3.異面直線所成的角

1.兩條異面直線所成的角

①定義：設。，力是兩條異面直線，過空間任一點。作直線加〃a,h'//b,則/與獷所夾的銳角或直

角叫做。與b所成的角.

②范圍：兩異面直線所成角〃的取值范圍是（0,g].

n?h

③問量求法：設直線〃，b的方向向量為小從其夾角為0,則有cosOhcoselh「一|.

141回

知識點4.直線與平面所成角

1.直線和平面所成角的求法：如經(jīng)所示，設直線/的方向向量為e,平面。的法向量為〃，直線/與平面。所

成的角為8，兩向量e與〃的夾角為。，則有sin0=|cosO|=￡4

?伽I

知識點5.二面角

1.求二面角的大小

（1）如圖1,AB、8是二面角。一/一夕的兩個面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小。=<~AB,麗〉.

（2）如圖2、3,晨元分別是二面角。一/一少的兩個半平面a,創(chuàng)勺法向量，則二面角的大小。=<巧,〃2>（或

萬<〃],%>).

知識點6.利用向量求空間距離

1.空間向量的坐標表示及運算

（1）數(shù)量積的坐標運算

設“。2，。3），b=（b\,岳，岳），

則①。土〃=（4［±人］,。2士岳,。3±人3）；

②加=（癡］,Z<72?筋3）；

③:〃6=4法1+。2力2+4363.

（2）共線與垂直的坐標表示

設"=（〃1，。2，。3），b=（b\,岳，53），

則a〃力今f/2=x/>2,a3=i〃3（2￡R），

aLb^ah=0^>a?/?i+aibi+a3bj=（）（?,b均為非零向吊：）.

（3）模、夾角和距離公式

設a=（m,s,。3）,b=（bi,b2,心），

則|川=7a-a=4心+射+質，

.“a-b061+4262+4363

cos（a,b）=--------=；=—,

同網(wǎng)Jal+質+a+、/尻+6?+房

設,4（ai，bi，ci）,B（ai,b”C2），

則dAB=|'AB|=/一4+的-仍心-次.

2.點面距的求法

如圖，設為平面a的一條斜線段，〃為平面a的法向量，則4到平面a的距離d=b"〃L

【考點分類剖析】

考點一：利用空間向量證明平行問題

【典例1】（湖北高考真題）如圖，在棱長為2的正方體48C?！?4GA中，瓦RM,N分別是棱

48,4。,/￡，4。1的中點，點P,。分別在棱。A,上移切，且。尸=8。=4（0<4<2）.

（1）當4=1時，證明：直線BCJ/平面EFP。.

線線平行證明兩直線的方向向量共線

①證明該直線的方向向量與平面的某一法

向量垂直；

線面平行

②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的

方向向量平行

①證明兩平面的法向量為共線向量；

面面平行

②轉化為線面平行、線線平行問題

【變式探究】

（選自天津高考真題）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_L底面ABC,NB4C=90°.點D,E,N分別為棱PA,

PGBC的中點，M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.

（［）求證:MN〃平面BDE；

【答案】（I）證明見解析

【解析】如圖，以A為原點，分別以布，AC,方方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.

依題意可得

A(0,0,0),B(2,0,0),C(3,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N

(1,2,0).

p

(I)證明：DE=(0,2,0),DB=(20,-2).設〃=(.%y,z),為平面BDE的法向量，

=0f2y=0------

則n-_DE,即《,.不妨設z=l,可得〃=(1,0,1).乂MN=(1,2,-I),可得MV-〃=O.

nDB=0[2x-2z=0

因為MN<z平面BDE,所以MN〃平面BDE.

【總結提升】

證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平

面內(nèi)的不共線的兩個向量共面.，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉化為了數(shù)量的計

算問題.

考點二：利用空間向量證明垂直問題

【典例2】(2021?浙江高二期末)己知正方體力,E是棱6c的中點，則在棱CQ上存在點尸，

使得()

A.AF//D.EB.AF1D.E

C.4F〃平面D.力尸，平面GAE

【答案】B

【解析】

建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體極長為1,寫出點的坐標，用向量法確定線線平行與垂直，由向

量與平行法向量的平行與垂直確定線面的平行與垂直.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1,則力。,0,0).D.(0,0,1),￡(1,1,0),設F(0,l,^)((0<z<l),

——1___

則AE=（5，I,—I）,

因為所以"，年不可能平行，即力&不可能平行，

-1T

--------11-------

又/八。七=-5+1-2=0,z=-,因此4￡。山可以垂宜，即力尸與。也可能垂直.

C,(0,1,l),斌=(0,1,0),

設平面GRE的一個法向量為;;=(x,y,z),

n-D[CX=y=0

則，一1，取x=2,則；;=(2。1),

MD,E=-.r+y-z=0

萬與;;不可能平行，因此力尸與平面不可能垂直，

~AF-n=-2+ze[-2,-\],因此亦與]不可能垂直，因此力廠與平面CQE不可能平行,

故選：B.

【規(guī)律方法】

用空間向量證明垂直問題的方法

線線垂證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它

直問題們的數(shù)量積為零

線面垂直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用

直問題線面垂直的判定定理轉化為證明線線垂直

面面垂兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判

直問題定定理轉化為證明線面垂直

【變式探究】

在邊長是2的正方體43CQ-44GA中，E,F分別為

AB,AXC的中點.應用空間向量方法求解下列問題.

(1)求EF的長

⑵證明：￡尸〃平面44QQ；

⑶證明：￡/_1平面4co.

【答案】(1)、6.(2)見解析；(3)見解析.

?

【解析】

⑴如圖建立空間直角坐標系

4=(2,0,2),4=(2,0,0),3=(2,2,0),C=(0,2,0),A=(0,0,2)

￡=(2,1,0),F=(1,1,1)

EF=(-L0J),|EF|=V24分

(2)=(-2,0,2)AD,||EF

而M(Z面ADD〕A1

EF//平面44DQ8分

(3)VEFCD=05EFAJD=0EFlCD,EF±A,D

又CDcA]D=D

二.EF1平面A.CD.

【總結提升】

1.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉

化為直線與直線垂直證明.

2.要證明兩線垂直，需轉化為兩線對應的向量垂直，進一步轉化為證明兩向量的數(shù)量積為零，這是證明兩

線垂直的基本方法，線線垂直是證明線面垂直，面面垂直的基礎.

3.證明線面垂直，可利用判定定理.如本題解法.

4.用向量證明兩個平面垂直，關鍵是求出兩個平面的法向量，把證明面面垂直轉化為法向量垂直.

考點三：異面直線所成的角

【典例3】(2021?天津高二期末)如圖，在棱長為1的正方體■小囪中，E,產(chǎn)分別為。BD

的中點，點G在C。上'旦CG^S

(1)求證：EFVBxC,

(2)求律與GG所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)叵.

17

【解析】

如圖建立空間直角坐標系，(1)利用空間向量證明，(2)利用空間向晟求解

【詳解】

以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.

則E(0,0,1),F(11,0),C(0,1,0),(1,1,1),C.(0,1,1),6(0,1,0),

uiir111.

(1)8c=(-1,0,7),

UUflUUC1

?；EFB\C=0，EF±BQ,

UUU'1

(2)由(1)知C0=(O,-二,-l),

4

????|弗C]G|-=Vt(T)+p^Y--JTT+(T-l)T=.而7-，

uur

1^1=

ULUuuir11I13

EA-C1G=-xO+-x(--)+(--)x(-l)=-,

設￡產(chǎn)與GG所成角為6,則

3

EFCfi而

COS08

百~VT~

--TXn

RR2--4

【特別提醒】

n一

0,

提醒：兩異面直線所成角"的范圍是I2」，兩向量的夾角。的范圍是[0,Ji],當兩異面直線的方向向量

的夾角為銳角或直角時，就是這兩條異面宜線所成的角；當兩異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補

角才是兩異面直線所成的角.

【變式探究】

（2021?江蘇省蘇州第十中學校高一月考）由兩塊直角三角形拼成如圖所示的空間立體圖形，其中

/ADC-^ACD-90,DC—3,4?！?,當。6=向■時，此時A、艮C、。四點外接球的體積為

異面直線ABXD所成角的余弦為.

【解析】

求得NJQB=90"，取力4的中點O,由。力=。。=。力二。4得點。是四面體/BCZ）外接球的球心，外接球半

徑火=5/3，進而可得外接球的體枳；證得8。_L平面4C。，建系如圖，由空間向量的夾角公式打得結果.

【詳解】

依題意可知4。=4,48=5及，當04=南時，AD2+DB2=AB2＞則4。5=90",取力B的中點O,則

()D=()A=OB；又/ACB=90，則OC=C4=O4,所以OD=0C=OA=OB,即點。是四面體力BCO外接

球的球心，外接球半杼及亞.故外接球的體積P=2；r/?3=2；rx(卒］=空旦江.

223312J3

依題意DC=3,8c=5,當。8=后時，DC2+BC2=DB\則6C_LCO,乂8C_L4C,且CDI/1C=C,

所以8C_L平面力co.以點c為原點，c4a5為X軸，y軸建立空間直角坐標系如圖.

過點O作O〃_L4C于點”，由4)xOC=/CxHZ)得則C"二卜一件一二三,所以。弓，°弓)

又。(0,0,0),4(5,0,0),5(0,5,0),則萬一(一5,5,0),麗=僧,0用.

設異面直線彳8,C。所成的角為9,則cos。=cos

故答案為：①心2乃：②迪.

310

【總結提升】

向量法求兩異面直線所成角的步驟

(1)選好基底或建立空間直角坐標系;

(2)求出兩直線的方向向量％,匕

⑶代入公式Icos〈匕，％〉|=J：「求解.

IV.IV,

考點四：直線與平面所成角

【典例4】(2021?浙江高考真題)如圖，在四棱錐P-48co中，底面188是平行四邊形，

/.ABC-120°,AB-\,BC-4,PA-y/i5M、N分別為AC,p。的中點，PDIDC,PMLMD.

p

(1)證明：AB1PM；

(2)求直線4V與平面PDW所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)—.

6

【解析】

(1)要證,48_LPM,可證。C_LPM,由題意可得，PD1DC,易證OM_LQC,從而QC1平面PDW,

即有QC_LPM,從而得證；

(2)取力。中點E,根據(jù)題意可知，必及兩兩垂直，所以以點”為坐標原點，建立空間直角坐標

系，再分別求出向量不和平面PD”的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出.

【詳解】

(1)在△QCW中，DC=\,CM=2,/QCM=60°,由余弦定理可得。歷=,

所以DW+OC=CA/N,DWLOC.由題意OCJ.P0且POcDW=O,「.Z)。，平面PDM,而PMu平

面PDW,所以。C1尸M,又48//。。，所以4

(2)由PMJ.MO,力8_LPW，而48與。M相交，所以PMJ.平面44cQ,因為4必二療，所以=2血，

取中點連接ME,則ME,DM,兩兩垂直，以點M為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系,

則A(-也,2,()),P(0,0,272),D(V3,0,0),M(0,0,0),C(百,一1,0)

又N為PC中點，所以N性-；,目,麗.=(除等q.

由(I)得CQL平面PQM,所以平面尸ZW的一個法向量萬=(0J,0)

5

|國?利.叵

從而直線力N與平面PDW所成角的正弦值為疝。=2

網(wǎng)刊一哥尹

p

B

【規(guī)律方法】

利用向審法求線面角的方法

（I）分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）；

⑵通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（鈍角時取其補角），取其余角

就是斜線和平面所成的角.

【變式探究】

（2020?北京高考真題）如圖，在正方體力一4為。011￡為8片的中點.

Ai%

D/______

D

（［）求證：6。"/平面/?！辏海?/p>

（II）求直線力4與平面4。也所成角的正弦值.

2

【答案】（I）證明見解析；（II）

【解析】

在正方體48CQ-4用G2中，AB〃AB1且AB=A1Bi，44〃GA且44=*，

:.AB〃GDEAB=CR,所以，四邊形45GA為平行四邊形，則BC"/g,

???8Ga平面/。七，力"u平面力.?.8C1〃平面4"E；

（II）以點/為坐標原點，AD.AB、所在直線分別為了、y、z軸建立如卜圖所示的空間直角坐

標系4一盯z,

設止方體力8co-力百GR的棱長為2,則力（0,0,0）、4（0,0體）、D,（2,0,2）,￡（0,2,1）,

函二（2,0,2）,下=（0,2』）,

n-AD.=02x+2z=0

設平面力?！甑姆ㄏ蛄繛椤?（x,p,z）,由，—1,得J

n-AE=02y+z=0

令z=—2,則x=2,y=L則3=(2,1,-2).

n-AA14_2

cos<AAX>=

n?A372~-3-

2

因此，直線AA｛與平面AD】E所成角的正弦值為1.

考點五：二面角

【典例5】（江蘇省揚州市2020-2021學年高二下學期期中調(diào)研數(shù)學試題）已知在四棱錐P-48CQ中，PD1

平面ABCD,AD1DC,AB//DC,DC=2AB,Q為PC的中點.

（1）求證;平面P/1Q;

（2）若PD=l,BC=6,BCA.BD,求銳二面角Q-8。-。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）底.

3

【解析】

（1）取尸。的中點為G,分別連接力G,QG,證明3。〃4G后匕得線面平行：

（2）以Q4OCQP分別為z軸，）軸，z軸建立空間直角坐標系，用空間向量法求二面角.

【詳解】

（1）證明：取的中點為G,分別連接力G,0G

又因為。為PC的中點，所以G。//。。，且GQ二；OC

又因為4B//DC,DC=24B,所以G0//力&G0=,

所以四邊形力40G是平行四邊形，所以月。〃力G

又BQ仁平面PAD,AGu平面049,所以BQ//平面PAD

(2)解：由題意O4OCOP三條直線兩兩相互垂直.

以Q4QCQP分別為z軸，尸軸，z軸建立空間直角坐標系如圖,

因為在四邊形ABCD中，AB//DC,AD±DC,DC=2AB,

所以點B在線段CD的垂直平分線上.乂因為8c=啦,8C1BD,

所以8。=8。=&,。。=2

所以有點Z)(0,0,0),B(l,l,0),C(0,2,0),0(0,11

所以詼=(01T)麗=(T，°，J

設平面3。。的一個法向量G=(x,乂z),

m-DQ=0xx+lxj^+—xz=0

則令z=2,得而=(1,7,2)

m?BQ=-lxx+Oxy+gxz=0

易知平:面BCD的一個法向量為。戶=(0,0,1),

因為而|=Vl+l+4=x/6,|DP|=l,^-DP=2,

m-DP_2_V6

所以cos<m,DP>=

\m\-\DP\~3

所以銳二面角。一如C的余弦值為名

【規(guī)律方法】

利用向量法計算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向最，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到

二面角的大小.但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則

這兩個向鼠的夾角的大小就是二面角的大小.

【變式探究】

(2019年高考全國in卷理)圖1是由矩形力分況Rt△月8c和菱形的'”組成的一個平面圖形，其中力用1,

B吩B22,NFBC=60°,將其沿9比折起使得跖與爐重合，連結恢如圖2.

(1)證明：圖2中的兒C,G,〃四點共面，且平面1比工平面比在我；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

【答案】(1)見解析；(2)300.

【解析】(1)由已知得力〃〃/陽CG"BE,所以必/CG,故AD,訪確定一個平面，從而從C,6；〃四點

共面.

由已知得力4_L跳；ABVBC,故力4_L平面506瓦

又因為/16U平面4%,所以平面/切C_L平面

(2)悍EHLBC,垂足為〃.因為夕/U平面比'應平面平面月8￡所以夕平面力AC

由已知，菱形86a的邊長為2,N反e60°,可求得研1,止百.

以〃為坐標原點，麻的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系〃-*%，

則4(-1,1,0)。(1,0,0)G(2,0,G),CG=(1,0,百)，AC=(2,1,0).

設平面/ICG加法向量為止（笳八/）,則

_CG-w=0,叫x+4iz-0,

ACn=0,2x-y=0.

所以可取爐(3,6,-V3).

乂平面比‘以的法向量可取為2ZF（0,1,0）,所以COS〈〃,〃1〉="=也

I?II〃”2

因此二面角6-CG-月的大小為30°.

考點六：利用向量求空間距離

【典例6】（2021?北京高二期末）如圖，在長方體力中，底面44CQ是邊長為1的正方形，力4=2,

瓦尸分別為?，河的中點.

（1）求證：D1F〃平面BDE；

（2）求直線與平面BQE所成角的正弦值;

（3）求直線A尸與平面8DE之間的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）在；（3）空.

33

【解析】

（1）推導出。//〃E,由此能證明。///平面5WT；

（2）以。為原點，。力為x軸，DC為N軸，為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線。E

與平面所成角的正弦值.

（3）由A尸〃平面從組,西=（0,（）,2）,平面。5七的法向量沅=。,-1,】），利用向量法能求出直線。尸

與平面8DE之間的距離.

【詳解】

解：(1)取8片的中點G,連接做GG.

因為44〃G2,且通尸GA；ABJ，F(xiàn)G,且AB「FG,

所以尸G〃GA，且FG=GA.

所以四邊形CRFG為平行四邊形.