第12講幕函數(shù)

【人教A版2019】

了模塊一：幕函數(shù)的概念

工模塊二：鬲函數(shù)的圖象與性質(zhì)

「題型1對(duì)鬲函數(shù)的概念的理解

一題型2求幕函數(shù)的函數(shù)值、解析式

-題型3根據(jù)函數(shù)是幕函數(shù)求參數(shù)值

一題型4求幕函數(shù)的定義域、值域

、題型5幕函數(shù)的廢象

一題型6由鬲函數(shù)的圖象與性質(zhì)求參數(shù)

、題型7比較幕值的大小

I題型8利用鬲函數(shù)的性質(zhì)解不等式

》思維導(dǎo)圖

概念，?般地.函數(shù)叫做耶函數(shù),其中x是自變；也a是常數(shù)

「零函數(shù)的概念一〔房函數(shù)的特征：①系數(shù)為1：②底數(shù)是自變■;③指數(shù)為常數(shù)

幕函數(shù)的概M曲數(shù)的膨式是j=x"（aGR）.其中只仃一個(gè)參數(shù)〃.

幕函數(shù)的解析因此只需?個(gè)條件即可確定其解析A.

式一

常見幕函數(shù)的①定義域；②值域；③奇偶性；④單調(diào)性；⑤定點(diǎn)：（1.1）

圖象與性質(zhì)

一般導(dǎo)函數(shù)的圖象：①當(dāng)0=1時(shí)，尸珀9圖象是一條直線；②當(dāng)a=o時(shí)，

1=1（.寸0）的圖象是一條不包括點(diǎn)（0.D的直線；③當(dāng)a為其他值時(shí)，分三種情況

一股幕函數(shù)的4人宜由瓶tn性用「石+性開

1~般其函數(shù)的性質(zhì).五大性質(zhì)____________________________________________

象與性質(zhì)_______________在比竣幕值的大小時(shí)，必須結(jié)合幕值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)

\匕匕較零值的大性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)鬲函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

'小一

圖象：與直線LK,1軸無(wú)限接近

對(duì)勾函數(shù)的圖性質(zhì)：①定義域?yàn)镸E）｝；②值域?yàn)榭?-2]U[2.r）；③奇偶性：奇函數(shù)；④

象與性質(zhì)單調(diào)性：函數(shù)在（1.心）上單調(diào)遞增，在（-1.0）,（0.D上單調(diào)遞減

》知識(shí)梳理

1.累函數(shù)的概念

⑴事函數(shù)的概念：

一般地，函數(shù)曰L叫做基函數(shù)，其中工是自變量，色是常數(shù).

⑵案函數(shù)的特征：

①片的系數(shù)為L(zhǎng)

②片的底數(shù)是自變量;

③公的指數(shù)為堂數(shù).

只有同時(shí)滿足這三個(gè)條件，才是基函數(shù).

2.黑函數(shù)的解析式

基函數(shù)的形式是j，=x?a￡R）,其中只有一個(gè)參數(shù)。，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.

?題型歸納

【題型1對(duì)寡函數(shù)的概念的理解】

【例1】（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）下列函數(shù)是'制函數(shù)的是（）

A.y=（%+1尸B.y=%+jC.y=x4D.y=5X

【解題思路】根據(jù)尋函數(shù)定義判斷即可.

【解答過程】由哥函數(shù)的定義可知，y=一是呆函數(shù).

故選：C.

22

【變式1.1］（2526高一上全國(guó)課后作業(yè)）在函數(shù)y=x-2,y=2x,y=（x+l）,y=3x中，某函數(shù)

的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

【解題思路】利用尋函數(shù)定義直接判斷作答.

【解答過程】函數(shù)丫二%一2是基函數(shù)，

函數(shù)y=2%2,y=（x+l）z都是二次函數(shù)，函數(shù)y=3%是一次因數(shù)，它們都不是累函數(shù),

所以所給函數(shù)中轅函數(shù)的個(gè)數(shù)是1.

故選:B.

【變式1.2］（24-25高一上?云南西雙版納?期中）下列結(jié)論正確的是（）

A.塞函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)

B.a=1,3,決寸，幕函數(shù)y=xa是增函數(shù)

C.基函數(shù)的圖象會(huì)出現(xiàn)在第四象限

D.y=2M既是二次函數(shù)，又是暴函數(shù)

【解題思路】利用塞函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)判斷即可.

【解答過程】解：寢函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，例如y=%T,函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，故A不正確；

當(dāng)a=1,3,時(shí)，基函數(shù)、=",y=x3,y=a=返在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，故B正確；

由函數(shù)的定義及寤函數(shù)在第一象限均有圖象可知，事函數(shù)的圖象不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，故C不正確；

函數(shù)y=2一是二次函數(shù)，但是不是累函數(shù)，曙函數(shù)得形如y=x，a€R),故D不正確.

故選：B.

【變式1.3](24-25高一上?上海?隨堂練習(xí))下列函數(shù)是幕函數(shù)的是()

A.y=2xB.y=2x-1

C.y=(x+l)2D.y=

【解題思路】根據(jù)寡函數(shù)的定義即可得解.

【解答過程】根據(jù)基函數(shù)的定義，A、B、C均不是尋函數(shù)，只有D選項(xiàng)y=W?=藍(lán)，形如y=(a為

常數(shù))，是靠函數(shù)，所以D正確

故選：D.

【題型2求基函數(shù)的函數(shù)值、解析式】

【例2】(24-25高一上?新疆喀什?期末)已知函數(shù)/(x)=(k+I)--】是塞函數(shù).則/*(2)=()

A.-B.2C.-D.1

32

【解題思路】根據(jù)函數(shù)是塞函數(shù)求參數(shù)，再求函數(shù)值即可.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/?(%)=(4+1)/%T是某函數(shù)，所以k+l=l,所以k=0,

所以/(x)=%T,所以"2)=2一1=/

故選：C.

【變式2.1](24-25高一上?河南?階段練習(xí))已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,：),則該函數(shù)的解析式為()

A./⑶=妥B./(x)=/C./(x)=\D./(X)=/

【解題思路】由基函數(shù)定義可設(shè)/'(%)=”，由條件列方程求a,可得結(jié)論.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/'(%)為某函數(shù)，故可設(shè)f(x)=”，

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)的圖象過點(diǎn)

所以2。=；,

4

所以a=一2,

所以/'（%）=%-2,即/'（x）=W.

故選：A.

【變式2.2]（24-25高一上?云南昆明?期中）己知事函數(shù)y=/（幻的圖象過點(diǎn)（2,企），則（）

A.f（x）=%2B./（x）=x2

C.fM=JD./（X）=x~2

【解題思路】利用待定系數(shù)法求解即可.

【解答過程】設(shè)/（%）=%%

由y=/（%）的圖象過點(diǎn)（2,a），

則2a=無(wú)，解得。=土

所以/'（X）=X2,

故選：A.

【變式2.3]（24-25高一上?山西陽(yáng)泉?期中）已知寤函數(shù)f（x）滿足嫖=4,求/（；）的值（）

A.3B.1C.4D.3

【解題思路】設(shè)基函數(shù)的一般式，代入題干即可求解.

【解答過程】設(shè)案函數(shù)的解析式為/（%）=#，:=4=3。=4,

所以，（;）=（;）"=:?

故選：D.

【題型3根據(jù)函數(shù)是募函數(shù)求參數(shù)值】

【例3】（24-25高一上?吉林延邊?期末）已知哥函數(shù)y=（m?一9m+19）工巾-4的圖象不過原點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)m的值為（）

A.0B.3C.6D.3或6

【解題思路】根據(jù)基函數(shù)的定義以及性質(zhì)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)加的等式和不等式，解之即可.

【解答過程】因?yàn)槟缓瘮?shù)y=（病一96+19）婢-4的圖象不過原點(diǎn)，則[病一9,+12=1,解得^=3

Im-4<0

故選：B.

【變式3.1]（24-25高一上?吉林延邊?期末）已知寡函數(shù)丫=（血2一9血+19）%狙-4的圖象不過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

根的值為（）

A.0B.3C.6D.3或6

【解題思路】根據(jù)鼎函數(shù)的定義以及性質(zhì)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的等式和不等式，解之即可.

【解答過程】因?yàn)槿瘮?shù)y=(m2-9m+19)x"-4的圖象不過原點(diǎn)，

Am2—9m+19=1

則1ntm-4<0，

解得m=3.

故選：B.

【變式3.2](24-25高一上?廣東廣州?階段練習(xí))已知點(diǎn)M(2,b)在幕函數(shù)f(%)=(b-l)”的圖象上,則b+

2n=()

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】根據(jù)第函數(shù)的概念求解?.

【解答過程】由題意得b-1=1且(b-1)2〃=b,解得力=2tn=1,

則b+2n=4,

故選：C.

【變式3.3](24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù)/(》)=--2而的圖象過點(diǎn)e)，則實(shí)數(shù)m=()

A.iB.日C.三或/D.挫三

【解題思路】運(yùn)用鼎函數(shù)經(jīng)過的定點(diǎn)，代入計(jì)算即可.

【解答過程】/(%)=/一2后的圖象過點(diǎn)。,企),則八2)=V2,即21而二企，

解得TH='或一去

故選：D.

》知識(shí)梳理

奇偶性直:函數(shù)假函數(shù)僉函數(shù)非奇非偶函數(shù)僉函數(shù)

單調(diào)性在R上為增函xt[0,十oc),在R上為增函在［0,十8)上工亡(0,+oc),增函數(shù)

數(shù)增函數(shù)數(shù)為增函數(shù)%￡(-8,0),減函數(shù)

(-OO,0],

減函數(shù)

定點(diǎn)(1,1)

溫馨提示：幕函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上，當(dāng)〃>0時(shí)，)，=尸是增函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)，y=尸是減函數(shù).

2.一般尋函數(shù)的圖象與性質(zhì)

(1)一般基函數(shù)的圖象：

①當(dāng)1時(shí)，產(chǎn)x的圖象是一條直線.

②當(dāng)?=0時(shí)，)=x"=1(.#0)的圖象是一條不包括點(diǎn)(0,1)的直線.

(2)一般基函數(shù)的性質(zhì)：

通過分析導(dǎo)函數(shù)的圖象特征，可以得到累函數(shù)的以下性質(zhì)：

①所有的哥函數(shù)在(0,+8)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1.1).

②a>0時(shí)，幕函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).

③Q<0時(shí)，轅函數(shù)在區(qū)間(0,+oo)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在)，軸右方

無(wú)限地逼近)，軸正半軸，當(dāng)x趨于+8時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸.

④任何事函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸僅相交于原點(diǎn)，或不相交，任何事函數(shù)的圖象都不過第四象限.

⑤任何兩個(gè)幕函數(shù)的圖象最多有三個(gè)公共點(diǎn).除(1,1)，(0,0)，(-1,1),(-1,-1)外，其他任何一點(diǎn)都不是兩

個(gè)

鼎函數(shù)的公共點(diǎn).

3.比較嘉值的大小

在比較基值的大小時(shí)，必須結(jié)合呆值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各

個(gè)品函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.對(duì)勾函數(shù)^=.丫+《的圖象與性質(zhì)

參考某函數(shù)的性質(zhì)，探究函數(shù)/(x)=x+3的性質(zhì).

(1)圖象如圖：與直線Y軸無(wú)限接近.

sUZEEs

(2)函數(shù)/(.v)=x+-的定義域?yàn)椋鹸|xK()｝；

X

(3)函數(shù)/(x)=x+-的值域?yàn)?-8「2]U[2,+oo).

X

(4)奇偶性：???/(-x)=-x-5=-9+目=-〃x),???函數(shù)/(x)=x+：為奇函數(shù).

(5)單調(diào)性：由函數(shù)/(%)=]+’的圖象可知,函數(shù)/(x)=x+，在(?8打)，(1,+8)上單調(diào)遞增，在

XX

(-1.0),(0J)上單調(diào)遞減.

題型歸納

【題型4求幕函數(shù)的定義域、值域】

【例4】(24-25高一上.上海寶山?期中)幕函數(shù)f(x)=總的定義域是()

A.x>0B.[0,4-oc)C.x>0D.(0,+oo)

【解題思路】利用尋函數(shù)的定義直接求出定義域.

【解答過程】函數(shù)/■(')=￡的定義域?yàn)閇0,+8).

故選：B.

【變式4」】(24?25高三上?福建?階段練習(xí))已知/?(%)=”是曷函數(shù)，則“a是正偶數(shù)''是'/⑺的值域?yàn)閇0,+8)”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】利用寢函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件的定義判定即可.

【解答過程】當(dāng)a是正偶數(shù)時(shí)，顯然/(0二:^之。，即其值域?yàn)椋?,+8).

當(dāng)f(x)=近時(shí)，f(x)的值域?yàn)椋?,+8),但a不是正偶數(shù).

故“。是正偶數(shù)”是“/(幻的值域?yàn)椋?,+8)”的充分不必要條件.

故選：A.

【變式4.2］(24-25高一上?江蘇南京?期中)已知哥函數(shù)"%)二廠/+2巾的定義域?yàn)镽,且mwz,則m的值

為()

A.-1B.0C.1D.2

【解題思路】根據(jù)基函數(shù)定義域得到不等式，結(jié)合m￡Z求出m=l,檢驗(yàn)后得到答案.

【解答過程】因?yàn)闂壓瘮?shù)的定義域?yàn)镽,故一m2+26>o,

解得0<m<2,

又m6Z,所以m=1,

檢驗(yàn)，m=1時(shí)，一根？+2m=1,即/(%)=x,滿足題意.

故選：C.

【變式4.3］(24-25高一上?遼寧盤錦?階段練習(xí))下列四組函數(shù)中，同組兩個(gè)函數(shù)的值域相同的是()

A.f(%)=與g(x)=B./(%)=與g(%)=

C./(%)=a與g(x)=%3D./(x)=%一1與g(x)=x3

【解題思路】根據(jù)寡函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.

【解答過程】對(duì)于A,/?(均=/的定義域?yàn)??,???/20,.??/'(幻=/的值域?yàn)椋?),+8),

。(切=短的定義域和值域均為R,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,f(%)="T的定義域?yàn)閧r|xW0},其值域?yàn)?一8,0)u(0,+8),

g(x)=%-2=卷的定義域?yàn)閧萬(wàn)xW0},其值域?yàn)?0.+8),故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,/'(%)=￡的定義域?yàn)椋?,+8),其值域?yàn)椋?,+8),

90)=藍(lán)=織的定義域?yàn)镽,其值域?yàn)椋?,+8),故C正確；

對(duì)于D,fa)=xT的定義域?yàn)椴穦%/0},其值域?yàn)?一8,0)U(O,+8),

g(x)=/的定義域和值域均為R,故D錯(cuò)誤，

故選：C

【題型5森函數(shù)的圖象】

【例5】（24-25高一上?四川?期末）下列圖象可能為靠函數(shù)圖象的是（）

【解題思路】利用爆函數(shù)必過的點(diǎn)來判斷即可.

【解答過程】塞函數(shù)y=（a為常數(shù)）的性質(zhì)有：

若自變量工=0有意義，則必過原點(diǎn)，根據(jù)這條性質(zhì)，排除A、R、C,

故D正確；

故選：D.

【變式5.1］（24-25高一上?湖北武漢?階段練習(xí)）圖中G、Q、Q為三個(gè)尋函數(shù)y=”在第一象限內(nèi)的圖象,

則指數(shù)a的值依次可以是（）

C.-1,3O.-1,53

［解題思路】結(jié)合圖象及尋函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【解答過程】由圖可知，G：在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，則指數(shù)Q的值滿足a<0：

C2：在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，且圖象呈現(xiàn)上凸趨勢(shì)，則指數(shù)a的值滿足Ova<1：

：在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，且圖象呈現(xiàn)下凸趨勢(shì)，則指數(shù)的值滿足

C3aa>1.

故選：D.

【變式3.2］（24-23高一上?云南昆明?階段練習(xí)）函數(shù)>=小的大致圖象是（）

【解題思路】根據(jù)呆函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性和增長(zhǎng)速度判斷圖象可得結(jié)論.

【解答過程】易知y=A滿足(一4二:，即函數(shù)丫二藍(lán)為偶函數(shù)；

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可排除D,

易知當(dāng)x6(0,+8)時(shí)，函數(shù)y=l單調(diào)遞增,可排除C,

且當(dāng)%>1時(shí)，函數(shù)y=藍(lán)的增長(zhǎng)速度越來越慢，其圖象在y=z圖象下方，排除A；

故選：B.

【變式5.3](24-25高一上?北京?階段練習(xí))如圖所示的曲線是察函數(shù)/Ix)=/在第一象限內(nèi)的圖象.已

知”分別取一1,1,右2四個(gè)值，則與曲線CI，Q,Q，C4相應(yīng)的〃依次為()

O\x

A.B.2,-1,1』C.D.-1,1,2,1

【解題思路】由嘉函數(shù)的圖象性質(zhì)，觀察得答案.

【解答過程】根據(jù)基函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)Q>0時(shí)，/(%)=產(chǎn)在[0,+8)上遞增，且在(1,+8)上a越大，增

長(zhǎng)速度越快，

當(dāng)Q<0時(shí)，/(%)=”在(0,+8)上遞減，從而可知，曲線對(duì)應(yīng)的。二一1,

曲線CI，Q，GJ對(duì)應(yīng)的Q依次為Q=2,a=l,a=

故選：A.

【題型6由暴函數(shù)的圖象與性質(zhì)求參數(shù)】

【例6】(24-25高一上?浙江衢州?階段練習(xí))已知幕函數(shù)/?(刈=爐-《1(血￡可?)為奇函數(shù)，且在區(qū)間

(0,+8)上單調(diào)遞增，則m等于()

A.1B.2C.1或3D.3

【解題思路】根據(jù)寒函數(shù)/i(%)為奇函數(shù)，旦在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增可得答案.

【解答過程】因?yàn)閒(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，所以4一機(jī)>0,解得m<4,

又因?yàn)閙wN，所以m=l,2,3,且f(x)為奇函數(shù)，所以m=l,3,

故選：C.

【變式6.1](24-25高一上?天津北辰?階段練習(xí))若函數(shù)f3=-巾-5)婢2-恤+1為基函數(shù)，且在區(qū)

間[0,+8)上單調(diào)遞增，則皿=()

A.-2B.3C.-2或3D.2或一3

【解題思路】由曷函數(shù)及單調(diào)性列出滿足的條件求解即可.

【解答過程】函數(shù)/'(、)=(血2-根一5)工療-4血+1為塞函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,

2

所以m-m-5=1解得m=-2,

?n2-4m4-1>0

故選：A.

【變式6.2](24-25高一上?四川成都?期中)暴函數(shù)y二”"-2m-3(mwz)的圖象關(guān)于、軸對(duì)稱，且在(0,+8)

上是減函數(shù)，則m的值是()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】首先根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性，確定m得到取值，再回代函數(shù)確定函數(shù)的奇偶性，即U求解.

【解答過程】因?yàn)榛瘮?shù)y=%m2-2m-3(7nWZ),在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，

所以m?-2m-3V0,解得：—lvmv3,

因?yàn)閙WZ,得m=0,1,2,

當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=x-3是奇函數(shù)，不關(guān)于y軸對(duì)稱，故舍去，

當(dāng)m=l時(shí)，函數(shù)y=%T是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，符合題意，

當(dāng)？n=2時(shí)，函數(shù)〉=%-3是奇函數(shù)，不關(guān)于y軸對(duì)稱，故舍去，

所以m=1.

故選:A.

【變式6.3](24-25高一上?上海?期中)已知尋函數(shù)y=(7n3一比+2m2是奇函數(shù)，且在(o,+8)上

是增函數(shù)，則滿足條件的不同m有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解題思路】根據(jù)塞函數(shù)定義確定根3-機(jī)+1=1,確定m=0或m=±1,再根據(jù)條件：函數(shù)在(0,+8)上

是增函數(shù)，確定2+3皿一2血2>0,確定血=1或根=0,再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)驗(yàn)證m的值即可求解.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)V=伽13-加+1)H2+3m-2m2帚函數(shù)，

所以m3-機(jī)+1=1,解得m=0或m=±1,

因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+8)上是增函數(shù)，

所以2+3機(jī)一2巾2>o,解得所以m=-1(舍去)，

因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)m=0時(shí)，寤指數(shù)2+3m-2m2=2,不合題意；

當(dāng)m=1時(shí)，幕指數(shù)2+3m-27n2=3,y="為奇函數(shù)，符合題意；

所以滿足條件的m為1.

故選：A.

【題型7比較幕值的大小】

zo\0.3/1\0.3/[、—0?3

【例7】(24-25高一上?天津?期中)已知Q=(|),b=(3,c=Q)，則m從c的大小關(guān)系

為()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.b<a<c

【解題思路】利用制函數(shù)f(X)=/3的單調(diào)性比較大小即可.

【解答過程】C=G)H3=403,

幕函數(shù)/(%)=%03在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?<^<4,

45

所以/?)</◎<”4),

配)。y產(chǎn)婢，

所以b<a<c,

故選：D.

2,211

【變式7.1](24-25高一上?甘肅白銀?階段練習(xí))設(shè)為=73?3,y2=9,y3=125-,則()

'?乃>乃>月B.丫3>%>y2

c.yi>y3>D.y3>yz>%

【解題思路】將月,外，為換算成基函數(shù)y=%]」的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

332221111

【解答過程】由題意可知，%=7=(73)14=34311，y2=9=(9)=81,

因?yàn)閥=爐?】在(0,+8)上是增函數(shù),且343>125>81,

所以yi>y3>y2-

故選：c.

【變式7.2](24-25高一上?山東?期中)下列比較大小中正確的是()

A?(濟(jì)〈(yB.(-r<(-r

C.(-2.1)?<(-2.2)4D.

【解題思路】根據(jù)寤函數(shù)單調(diào)性分別判斷各選項(xiàng).

【解答過程】A選項(xiàng)：由函數(shù)y=”7在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以《廣乂/二A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：由函數(shù)y=》一】在(―％0)上單調(diào)遞減，則(―|)一,>(一§一二B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：(-2.1京=(一§彳(-2.2)4=(-^y,

33

又藥數(shù)y=」在R上單調(diào)遞增,所以(一意丫<(一苣丫，即(-2.“(-2.2#C選項(xiàng)正確;

44

D選項(xiàng)：(一斤=(斤，函數(shù)丫=/在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則宿便即(-濟(jì)G)iD選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：C.

【變式7.3](24-25高一上?全國(guó)探后作業(yè))若幕函數(shù)/(%)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減,

若a=/"(-L5),b=f(-1.4),c=/(0.6),則Q,瓦。的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

【解題思路】運(yùn)用箱函數(shù)知識(shí)，結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性性質(zhì)，轉(zhuǎn)化比較大小即可.

【解答過程】f(x)為偶函數(shù)，所以c=/(0.6)=/(-0.6),又因?yàn)楸┖瘮?shù)/(%)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

所以/'(-1.5)>>/(-0.6)=/(0.6),即a>b>c.

故選：B.

【題型8利用幕函數(shù)的性質(zhì)解不等式】

【例8】(24-25高一上?湖北?階段練習(xí))已知幕函數(shù)/(%)=(3M2一加一1)/血-1是定義域上的奇函

數(shù)，則滿足/(a+2)Vf(4-2a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(|+8)B.(-8,-2)U(-2,2)

C.(-oo,-2)U(|,2)D.(-oo,2)

【解題思路】根據(jù)基函數(shù)的定義求出m的值，再代入解析式中檢驗(yàn)，即可得到/(%),從而得到函數(shù)的單調(diào)性，

根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【解答過程】因?yàn)??(切=(3/一血一為基函數(shù)，所以37n2一機(jī)一i=i,解得血=1或瓶=一寺

?5

當(dāng)m=l時(shí)，fM=x2,此時(shí)/■?為偶函數(shù)，不符合題意；

當(dāng)m=一：時(shí)，/(%)=%-3,此時(shí)/'(X)為奇函數(shù)，符合題意;

所以/a)=x-3,則/(%)的定義域?yàn)橐詢?yōu)o},且函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

則f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,

所以不等式/(a+2)</(4-2a),

即口+2>4—2a>0或0>a+2>4—2a回

4-2a>0

解得:<a<2或無(wú)解或Q<-2,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一8,-2)U(|,2),

故選：C.

【變式8.1](24-25高一上?江蘇南京?階段練習(xí))已知某函數(shù)y=Nn2-2m-3(mez)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且

mm

在[0,+8)上單調(diào)遞減，則滿足(Q+1)->(3-2a)T的實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-oo,-l)u(p1)B.(-8,|)

C.T)U《,+8)D.(0,|)

【解題思路】結(jié)合呆函數(shù)性質(zhì)由條件求m,結(jié)合函數(shù)丫二工^的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，解不等式可得結(jié)論.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=”3-2.-3在(o,+8)上單調(diào)遞減，

所以m?-2m—3<0,又mGZ.

所以m=0,1,2,

因?yàn)楹瘮?shù)y=xm2-2m-\rnEZ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以?。恳?機(jī)一3=(m-3)(m+1)為偶數(shù)，

所以m=1,

函數(shù)y二不二的定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8),

且函數(shù)y="飛在(一8,0)和(0,+s)上單調(diào)遞減，

當(dāng)XV0時(shí)，y<0,當(dāng)x>0時(shí)，y>0,

mm

所以不等式(Q+1)~>(3-2Q)T可化為

(a+1>0a+1<0

或HP<-2a<0^

la+1<3—2ala+1V3—/a

所以-1VaVg或a>p

所以a的取值范圍為(—1,9U(|,4-oo).

故選：C.

【變式8.2](24-25高一上?吉林長(zhǎng)春?期中)已知某函數(shù)f(x)=x~i—(mGZ)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/■(幻

的匆象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(1)求m的值及函數(shù)/'(%)的解析式；

(2)若/'(Q—2)</(1+2Q),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)條件，由索函數(shù)的性質(zhì)，可得m=2,即可求解；

(2)由(1)知/(%)=/,結(jié)合條件，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得3a2+8。-3>0,即可求解.

【解答過程】(1)由哥函數(shù)/(外在(0,+8)上單調(diào)遞增知，個(gè)包>0,解得0cm<4,

又meZ,則m=1或zn=2或m=3,

當(dāng)m=l或m=3時(shí)，f(x)=X2,此時(shí)工w[0,+8),不符合/(%)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故舍去.

當(dāng)m=2時(shí)，/(x)=x2,定義域?yàn)镽,且/?(-%)=(-%)2=/=/(%),所以/?(%)=/圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

符合題意.

綜上所述，f(x)=X2.

(2)由(1)得/(%)=/,易知“盼=》2為偶函數(shù),且在[0,+8)上單調(diào)遞增,

因?yàn)?1(Q-2)</(I+2a),所以|a-2|<|1+2a|,

兩邊平方，得小—4a+4<4a2+4Q+1,

化筒得3a2+8a-3>0,解得aV-3或a>

3

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(―8,-3)U

【變式8.3](24-25高一上?北京?期中)已知塞函數(shù)/Xx)=(3m2-eR)在定義域上不單調(diào).

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)函數(shù)/(%)是否具有奇偶性？請(qǐng)說明理由；

(3)若/(Q+1)4-/(2a-3)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)由尋函數(shù)的定義可得m=或爪=1,結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性驗(yàn)證得解.

(2)結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，判斷函數(shù)的奇偶性；

(3)利用奇函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性通過討論化簡(jiǎn)不等式求其解.

【解答過程】⑴由基函數(shù)/(x)=(3療-2m)%7r\得3m2-27n=1,解得/n=l或m=

若771=1,則/(%)=%在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意：

若血=一；，則/'(%)=%-3=￡=在定義域(一8,0),(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

JVx

但/(%)在定義域(一8,0)u(0,+8)內(nèi)不單調(diào)，符合題意;

所以函數(shù)/?(%)的解析式為/(%)=4

(2)函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，理由如下：

函數(shù)/'(X)的定義域(一8,0)u(0,+8)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且/(—%)=臺(tái)=一表=-f(x),所以函數(shù)/(%)為奇函數(shù).

(3)由“。+1)+/(2。-3)〈0及/(%)為奇函數(shù)，

得f(Q+1)<-/(2a-3)=f(3-2a),

即S+l)T<(3-2a)T,

而/?(%)在(-8,0)上遞減且恒負(fù)，在(0,+8)上遞減且恒正,

ci+1>0a+1<0

所以3—2。>0或3-2a<0或O黑解得Q<-1或,<a<|?

a+1>3—2aa+1>3—2a

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍(一8,-1)u

課后作業(yè)(19題)

一、單選題

1.(24-25高一上?重慶?期末)已知轅函數(shù)丫="切的圖象過點(diǎn)(9,3),則/"(4)=()

A.2B.8C.V2D.16

【解題思路】由點(diǎn)求得函數(shù)解析式即可求解；

【解答過程】設(shè)y=/?(%)=”，

則3=9%解得：n=1,

所以f(4)=4：=2,

故選：A.

2.(24-25高一上?重慶?階段練習(xí))密函數(shù)f(x)=(十一3)%。，在(0,+8)上單調(diào)遞減，則a=()

A.2B.V3C.-2D.-V3

【解題思路】利用基函數(shù)的定義及單調(diào)性列式求解即得.

【解答過程】由第函數(shù)/'(無(wú))=(。2一3)/,在(0,+8)上單調(diào)遞減，得卜2-371,所以Q=-2.

故選：C.

3.(24-25高一上?重慶?期中)已知函數(shù)/'(%)=(m2-m-1)"標(biāo)-2血-2是寤函數(shù)，且為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)加=

()

A.2或一1B.-1

C.4D.2

【解題思路】利用寢函數(shù)的定義及奇函數(shù)的概念即可求解.

【解答過程】由題意得一m-1=1,所以m2-m-2=0,所以(m-2)(m+1)=0,

解得m=2或m=-1,

當(dāng)m=2時(shí)，/(%)=/2-2X2-2=%-2,為偶函數(shù)，故m=2不符合題意，

當(dāng)？n=—l時(shí)，/(%)=X(T)2-2X(-I)-2=%,為奇函數(shù)，故m=-1符合題意.

綜上所述：7M=-1.

故選：B.

4.(24-25高一上?上海寶山?期中)索函數(shù)y=M027的圖象一定經(jīng)過()

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、三象限和原點(diǎn)D.第二、四象限和原點(diǎn)

【解題思路】根據(jù)寡函數(shù)的解析式確定圖象特征即可判斷得解.

【解答過程】幕函數(shù)y二/。27是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象經(jīng)過第一、三象限和原點(diǎn).

故選：C.

5.(24-25高一上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí))“累函數(shù)/(幻=(m2-m-1)/-1在(o,+8)單調(diào)遞減，是“m=2”

的()

A.既不充分也不必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.充要條件

【解題思路】根據(jù)暴函數(shù)的定義求出加的值，再根據(jù)充分、必要條件的定義判斷即可.

【解答過程】若f(%)為轉(zhuǎn)函數(shù)，貝!機(jī)2一機(jī)一1=1,解得m=-1或m=2,

因?yàn)楫?dāng)m=-1時(shí)，/(x)=%-2在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)?n=2時(shí)，/(x)=%在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故由“幕函數(shù)/(X)=(m2-m-l)%mT在(0,+8)單調(diào)遞減”當(dāng)且僅當(dāng)"TH=-1”成立，

即“幕函數(shù)/(%)=(m2-m-l)x"i在(0,+8)單調(diào)遞減”是“m=2”的既不充分也不必要條件.

故選：A.

6.(24-25高一上?安徽安慶?階段練習(xí))己知。=2。4b=O.402,c=0.15°,，則a,6c的大小關(guān)系是

()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【解題思路】根據(jù)幕函數(shù)單調(diào)性分析判斷即可.

【解答過程】因?yàn)閥=”2在R上單調(diào)遞增，所以2。2>0.4。-2,即。>人

又因?yàn)?.4°2=(0.42)。,=o.l601,乂且y=在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以0.16°，>0.15°,,b>c,所以a>b>c.

故選：A.

7.(24-25高一上?甘肅蘭州?階段練習(xí))己知函數(shù)/(%)=%三，則下列說法正確的是()

A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)的圖象恒在%軸上方

C./(%)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)D.f(x)是R上的減函數(shù)

【解題思路】化簡(jiǎn)/(%)的解析式，結(jié)合函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性及圖象性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得結(jié)果.

【解答過程】由題意得，fW=定義域?yàn)?0,+8).

由函數(shù)/(%)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得/(%)為非奇非偶函數(shù)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

rtix>oW/(x)>o,故/?(%)的圖象恒在%軸上方，選項(xiàng)B正確.

由函數(shù)定義域?yàn)?0,+8)可知外幻的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

因?yàn)?：V0,所以根據(jù)塞函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B.

8.(24-25高一上?重慶?階段練習(xí))已知嘉函數(shù)/(%)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(8,2),若/'(2Q+7)+f(1-Q2)30,則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[-4,2]B.[-2,4]

C.(-8,-2]U[4,+8)D.(—co,-4]U\2,4-oo)

【解題思路】由暴函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性即可求解；

【解答過程】設(shè)f(x)=%%則8。=2,得a=%

則/V)=藍(lán)為增函數(shù)，且/(%)為奇函數(shù)，

222

則由/'(2。+7)<-/(I-a)=/(a-1),得2a+7<a-l,解得a<一2或Q>4.

故選：C.

二、多選題

9.(24-25高一上?河南鄭州?階段練習(xí))下列函數(shù)中是零函數(shù)的足()

A.y=yjxB.y=xsC.y=3xD.y=x-1

【解題思路】根據(jù)基函數(shù)的定義直接得出結(jié)果.

【解答過程】根據(jù)基函數(shù)的定義，知道y=G,y=x3,y=都是暴函數(shù).y=3x不是幕函數(shù)，是正比例

函數(shù).

故選：ABD.

10.(24-25高一上?吉林長(zhǎng)春?期末)基函數(shù)/(%)=(m2+m-1)L注1MG則下列結(jié)論正確的是()

A.m=1B./(-2)</(3)

C.函數(shù)/'(%)是偶函數(shù)D.函數(shù)/Xx)的值域?yàn)?0,+8)

【解題思路】根據(jù)塞函數(shù)的定義求出zn判斷A,根據(jù)單調(diào)性比較大小判斷B,根據(jù)偶函數(shù)定義判斷C,根據(jù)

塞函數(shù)的性質(zhì)求出值域判斷D.

【解答過程】對(duì)于A,因?yàn)閒(x)=(m2+m-1)%-加-1,租￡N*是基函數(shù)，

所以巾2+m-1=1,可得帆=1或巾=一2(舍去)，則/(%)=%-2,正確；

對(duì)干B,/(-2)=i,/(3)=所以/'(一？)〉/。)，錯(cuò)誤：

對(duì)于C,7'(%)=點(diǎn)定義域?yàn)?一8,0)u(0,+8),且f(r)=/(x),所以函數(shù)/'(X)是偶函數(shù)，正確；

對(duì)于D,由/"(%)=12=*>0,得函數(shù)/(%)的值域?yàn)?0,+8),正確.

故選：ACD.

II.(24-25高一上?浙江金華?期末)已知/(幻=X。9￡/?),則下列說法正確的是()

A.當(dāng)。二一1時(shí)，f(x)的值域?yàn)镽B.當(dāng)a=3時(shí)，/(n)>/(3)

C.當(dāng)a=g時(shí)，/(/)是偶函數(shù)D.當(dāng)a=：時(shí)，產(chǎn)⑺是奇函數(shù)

【解題思路】根據(jù)第指數(shù)a的取值，結(jié)合尋函數(shù)的性質(zhì)一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.

【解答過程】當(dāng)戊=一1時(shí)，/(X)=p此時(shí)/(》)的值域?yàn)閧y|yH0},故A錯(cuò)誤；

當(dāng)a=3時(shí)，/'(%)=/在R上單調(diào)遞增，所以/"(兀)>/(3),故B正確：

當(dāng)叱=卜寸，f(x)=石，/(x2)=yfx^=\x\,定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

Vxe/?J((-x)2)=|-x|=/'(x2),所以/(/)是偶函數(shù),故C正確;

當(dāng)a=：時(shí)，/(x)=X2,(z>0),ffl/2(x)=x,(X>0),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)

誤.

故選：BC.

三、填空題

12.(24-25高一上?上海?期末)已知幕函數(shù)/⑺=/圖象經(jīng)過點(diǎn)3),則fQ)二色.

【解題思路】代入(9,3)求解鬲函數(shù)的解析式，即可代入求解.

【解答過程】將(9,3)代入/(%)=產(chǎn)中可得9a=3,故a=5故f(x)=標(biāo)=而

因此途)=4=爭(zhēng)

故答案為:V-

13.(24-25高一上?安徽宣城?階段練習(xí))已知暴函數(shù)/"(%)=(m2-3m-3)/濃+F3在(0,十8)上是減函數(shù)，

則m的值為一1.

【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合塞函數(shù)的定義與性質(zhì)，即可求解.

【解答過程】幕函數(shù)f(x)=(m2-3m-3)》向+時(shí)3在(o,+8)上是減函數(shù)，

hill)2—3nl—3=1

'''m2+m-3<0'

解得m=-1.

故答案為：—1.

14.(24-25高一上.上海奉賢?階段練習(xí))如圖是鼎函數(shù)y=Xa的部分圖像，已知a分別取;,4,-4,-：這四

【解題思路】根據(jù)某函數(shù)的圖象和性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【解答過程】當(dāng)QV0時(shí)，突函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)口>0時(shí)，’幕函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

并且在直線％=1的右側(cè)，圖象自下而上所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的基指數(shù)a依次增大

故與曲線G、。2、。3、相應(yīng)的Q依次為4,；,一；，一4.

44

故答案為：4,：,一：,一4.

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四、解答題

15.(24-25高一上?河南鄭州?期中)已知鼎函數(shù)/(無(wú))=(m2-4m+4)?/mT在(_8,0)上單調(diào)遞減.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)若“1-2x)<f(x+2),求％的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)是基函數(shù)，單調(diào)性計(jì)算求參即可.

(2)根據(jù)單調(diào)性求不等式.

【解答過程】(1)由鼎函數(shù)/(%)=(Tn?-4m+4)?/HIT在—go)上單調(diào)遞減，

可得嚴(yán);.+4：1,解得租=3,

2m-4>0

所以f(x)=x