一元二次方程（25個高頻易錯考點，50題）

目D易錯考點目錄指引_____________________________________________________________

易錯考點01：由一元二次方程的定義求參數..............................................2

易錯考點02：判斷是否是一元二次方程的解..............................................2

易錯考點03：由一元二次方程的解求參數................................................4

易錯考點04：一元二次方程的解的估算..................................................5

易錯考點05：解一元二次方程-直接開平方法.............................................6

易錯考點06：解一元二次方程-配方法..................................................10

易錯考點07：配方法的應用...........................................................14

易錯考點08：公式法解一元二次方程...................................................15

易錯考點09：因式分解法解一元二次方程...............................................19

易錯考點10：換元法解一元二次方程...................................................21

易錯考點11：根據判別式判斷一元二次方程根的情況....................................23

易錯考點12：根據一元二次方程根的情況求參數.........................................27

易錯考點13：一元二次方程的根與系數的關系..........................................31

易錯考點14：傳播問題（一元二次方程的應用）.........................................33

易錯考點15：增長率問題（一元二次方程的應用）.......................................34

易錯考點16：與圖形有關的問題（一元二次方程的應用）.................................36

易錯考點17：數字問題（一元二次方程的應用）.........................................40

易錯考點18：營銷問題（一元二次方程的應用）.........................................42

易錯考點19：動態(tài)幾何問題（一元二次方程的應用）....................................44

易錯考點20：工程問題（一元二次方程的應用）.........................................48

易錯考點21：行程問題（一元二次方程的應用）.........................................50

易錯考點22：圖表信息題（一元二次方程的應用）.......................................52

易錯考點23：其他問題（一元二次方程的應用）........................................55

易錯考點24：握手、循環(huán)賽問題（一元二次方程的應用）................................57

易錯考點25：解分式方程（化為一元二次方程）.........................................58

用易錯題型培優(yōu)訓練____________________________________________________________

易錯考點01：由一元二次方程的定義求參數

1..（24-25九年級上?河南洛陽?期中）若關于X的一元二次方程3x2+X—2=ax（x—2）化成一般形式后,

其二次項系數為1,常數項為-2,則該方程中的一次項系數為.

【答案】5

【思路引導】本題考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程進行化簡整理，從而可得（3—a）/+（1+2a）

x-2-O,然后根據題意可得3-a-1,從而可得：a-2,再把a的值代入1十2a中，進行“算即可解答.

【規(guī)范解答】解：3x2+x-2=ax（x-2）,

3x2+x—2=ax2—2ax,

3x2—ax2+x+2ax—2=0,

（3-a）x2+（l+2a）x-2=0,

由題意得：3-a=1,

解得：a=2,

???該方程中的一次項系數=l+2a=l+2x2=5,

故答案為：5.

易錯考點02：判斷是否是一元二次方程的解

2.（24-25八年級下?浙江溫州?期中）已知關于x的兩條一元二次方程①ax2+bx+c=0；②ex2

+bx+a=0（aHc工0）.甲、乙兩同學分別樨出了以下兩種不同的觀點：

甲同學，若方程①有一個解為x=m（m*0）,則方程②一定有一個解為x='

乙同學：若方程①②有公共解，則公共解為X]=l,x2=-1,

正確的結論為（）

A.甲同學的觀點正確，乙同學的觀點錯誤

B.甲同學的觀點錯誤，乙同學的觀點正確

C.甲、乙同學的觀點均正確

D.甲、乙同學的觀點均錯誤

【答案】C

【思路引導】本題考查了一元二次方程的解，根據方程的解的定義可知x=m（mH0）是ax2+bx+c=0的

解，則有am2+bm+c=0,因為m工0,方程兩邊同時乘以/可得：a+bl+c^=0,所以方程②一定

有一個解為x=3所以可知甲同學的觀點正確：如果方程①②有公共解，則有ad+bx+cucd+bx+a,

可得解為：X=1或一1,即這兩個方程的公共解是X=1或X=-1中的一個.

【規(guī)范解答】解：X=m（mH0）是ax?+bx+c=0的解，

???am2+bm4-c=0

方程兩邊同時乘以七，

可得:a+*+*=0,

???方程②一定有一個解為x=A，

故甲同學的觀點正確；

???方程①②有公共解，

:.ax2+bx+c=ex2+bx+a,

整理得：（a-c）x2=a-c,

???方程的公共解為：x=1或一1.

故乙同學的觀點正確.

故選：C.

3.（24-25九年級上?河南駐馬店?期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情況

下，它可以作為一種可視化的工具來幫助我們理解方程的解，如下表，根據表格可知方程：x2—ax-6=0

的解是（）

X-2-10123???

x2-ax620026???

A.x=—2B.x=3C.x=2D.x=—2或x=3

【答案】D

【思路引導】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，解決此題的關鍵是正確的理解方程解的定義.

由方程x2—ax-6=0可以轉化為x2—ax=6,從表格中我們可以找到當x=—2或乂=3時，x?—ax的值為

6,即可求出答案.

【規(guī)范解答】解.：?.”2—2*—6=0,

/.x2—ax=6

由表格可知，當x=-2或x=3時，x2—ax的值為6,

.*.x=—2或x=3,

故選：D

易錯考點03：由一元二次方程的解求參數

4.(2023九年級上?湖南郴州?競賽)已知a是方程x2—2004x+l=0的一個根，試求a?一2003a+裝期的

值.

【答案】2003

【思路引導】本題主要考查了一元二次方程解的定義，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右兩邊

相等的未知數的值，據此可得a2-2004a+l=0,則a2+1=2004a,a2-2003a=a-1,則原式可變形

為"1+盛，進一步變形得到;3一a+1)，Bp1(2004a-a),據此可得答案?

【規(guī)范解答】解：??F是方程*2-2004*+1=0一個根，

/.a2—2004a+1=0,

Aa2+1=2004a,a2—2003a=a—1,

,\a2-2003aI

a2+l

2004

=a-1+2004^

1

=a-1+-

a

1.

=-(a2-a+l)

1

=-(2004a-a)

1

=--2003a

a

=2003.

故答案為：2003.

6.(2024九年級上?湖南懷化?競賽)若p、q為整數,方程X?-px+q=0有一個根為%一2,則p—

q=.

【答案】-3

【思路引導】本題考查了一元二次方程的解，把x=遙一2代入方程，得到一西x(4+p)+(2p+q+9)=0,

根據P、q為整數，得到求出p，q即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵.

【規(guī)范解答】解：???方程x2—px+q=0有一個根為次一2,

A(\/5-2)2-p(V5-2)+q=0,

-4^<5-V5P+2p+q=0,

-V5x(44-p)+(2p+q+9)=0,

TP、q為整數，

.[4+p=0

,?l2p+q+9=0'

?1P=-4

,?lq=-l)

p-q=-4—(—1)=—3,

故答案為：一3.

易錯考點04：一元二次方程的解的估算

7.（24-25九年級上?寧夏銀川?期末）觀察下列表格，可知一元二次方程x2-x=1.2的一個近似解是

()

X1.11.21.31.41.51.61.71.8

X2—X0.110.240.390.560.750.961.191.44

A.x?0.11B.x?1.69C.x?1.71D.x?1.19

【答案】C

【思路引導】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是:

給出一些未知數的值，計算方程兩邊結果，當兩邊結果愈接近時，說明未知數的值愈接近方程的解.

利用表格中的數據得到x=1.7時，X2-X=1.19,*=1.8時-，X2-X=1.44；于是可判斷一元二次方程x?—

x=1.2的一個解在1.7與1.8之間，更接近1.7,故可得解.

【規(guī)范解答】解：???x=L7時，x2-x=1.19,x=1.8時,x2-x=1.44；

???一元二次方程x2—x=1.2的一個解為1.7<xV1.8,更接近1.7,

，方程x2—x=1.2的一個近似解是1.71.

故選：C.

8.（24-25九年級上-山東青島?期中）觀察下列表格，一元二次方程x2-3x-4.6=0的一個近似解為（）

X-1.13-1.12-1.11-1.10-1.09-1.08-1.07

x2-3x4.674.614.564.514.464.414.35

A.-1.088B.-1.073C.-1.124D.-1.118

【答案】I）

【思路引導】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是:

給出一些未知數的值，計算方程兩邊結果，當兩邊結果愈接近時，說明未知數的值愈接近方程的根.利用

表中數據可判斷方程解的范圍為-1.12<x<-1.11,然后對各選項進行判斷即可得出答案.

【規(guī)范解答】解：vx=-1.12時，X2-3X=4.61,

:.x2—3x—4.6=0.01,

vx=—1.11時，x2—3x=4.56,

:.x2—3x—4.6=—0.04,

所以方程解的范圍為-1.12vx<-1.11.

只有選項D符合要求，

故選：D.

易錯考點05：解一元二次方程-直接開平方法

9.(25-26九年級上-黑龍江綏化-開學考試)解方程：

(l)x2-4x+3=0

⑵(2X+1)2=3(2X+1)

(3)X2-5X+1=0

(4)(X-2)2-4=0

【答案】(l)xi=3,x2=1

(2)X]=x2=1

⑶X[=呼，X2=￥

(4)X[=4,x2=0

【思路引導】本題考查解一元二次方程，掌握解法是解決問題的關鍵.

(1)用因式分解法求解即可；

(2)用因式分解法求解即可；

(3)用求根公式法求解即可；

(4)用直接開方法求解即可.

【規(guī)范解答】(1)解：X2-4X+3=0,

(x-3)(x-1)=0,

Xi=3,x2=1；

(2)解：(2X+1)2=3(2X+1),

(2x+l)2-3(2X+1)=0,

(2x+l)(2x+l-3)=0,

Xi=-x2=1；

(3)解：x2-5x+1=0,

X=一-5/-4x1x1

2

_5±V25^4

X----2-'

Y-5±歷

x―^~，

_5+V21_5-V21

X1---X2........-；

(4)解：(X-2)2-4=0,

(x-2)2=4,

x—2=2,x—2=—2,

X]=4,X2=。.

10.(25-26九年級上-山東青島-開學考試)用適當的方法解式列方程.

(l)(6x—I)2-25=0

(2)(3x-2)2=x2

(3)X2+1=^X

(4)(x+l)(x-l)+2(x+3)=8

(5)3X2+8X-3=0(配方法)

(6)|x2-x-l=0(配方法)

(7)5X2=4X-1(公式法)

(8)4X(X-1)=8(公式法)

2

【答案】(l)x1二1,x2=一號；

(2)X]=1,x2=5；

(3)X[=X2=-y；

(4)xi=-3,x2=1；

(5)xi=x=—3；

J2

(6)X[=1+V3,x2=1—V3；

⑺無實數解；

【思路引導】此題考查了解一元二次方程，根據方程特點選擇合適的方法是關鍵.

（1）整理后，利用直接開平方法解方程即可；

（2）利用直接開平方法解方程即可；

（3）整理后，利用因式分解方法解方程即可；

（4）整理后，利用因式分解方法解方程即可；

（5）利用配方法解方程即可；

（6）利用配方法解方程即可；

（7）整理后，利用公式法解方程即可：

（8）整理后，利用公式法解方程即口J.

【規(guī)范解答】（1）解：（6X-1）2-25=0,

整理得（6x-1）2=25,

/.6x—1=+5,

6x—1=5或6x—1=—5,

解得Xi=1,x2=-1；

（2）解：（3X-2）2=X2,

/.3x-2=±x,

/.3x—2=x或3x—2=—x,

解得Xi=1,x2=I；

(3)解：x2+|=^x,

整理得8x2-4近x+1=0,即(2&x—1)2=0,

/?2-\/2^—1=0,

解得Xi=x2=^；

(4)解：(X+1)(X-1)+2(X+3)=8,

整理得x?+2x-3=0,即(x+3)(x—1)=0,

x+3=0或x—1=0,

解得Xi=-3,x2=1；

(5)解：3x2+8x-3=0,

整理得X2+*=1,

配方得X?+*+G)=1+G)，即(x+3=y.

開方得X+[=±|,

解得Xi=gx2=-3；

(6)解：|x2-x-1=0,

整理得x2-2x=2,

配方得x2-2x+l=2+1,即(x-1)2=3,

開方得x-1=±V3,

解得Xi=1+百，x2=1—V3：

(7)解：5x2=4x—1,

整理得5x2—4x+l=0,

則a=5,b=—4,c=1,

=(-4)2_4x5x1=-4<0,

???原方程無實數解；

(8)解：4x(x-1)=8,

整理得4x2-10x-8=0,

則a=4,b=—10,c=-8,

???△=(-10)2-4x4x(-8)=228>0,

2

?v--b±Vb-4ac_10±V228_5±V57

2a2x44

5-西7

解得Xi=空亙，X2=

4-4-

易錯考點06：解一元二次方程-配方法

11.（25-26九年級上?遼寧丹東?開學考試）解方程.

（l）x2+4x-l=0（配方法）.

（2）2x2+4x-3=0（公式法）.

（3）x（x+4）=2x4-8（因式分解法）.

【答案】（l）xi=-2+VS,x2=-2-V5

(2)xi=三誓，X2=^22

(3)xi=-4,x2=2

【思路引導】本題主要考查了一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法.熟練掌握配方法、

公式法和囚式分解法的步驟和適用情況是解題的關鍵.

(1)使用配方法求解，配方法的關鍵是將一元二次方程轉化為完全平方式的形式.

(2)采用公式法，公式法適用于任意一元二次方程，需要明確公式中的各項系數，然后代入求根公式求解.

(3)使用因式分解法，先將方程化為一般形式，再通過因式分解將其轉化為兩個因式乘積等于0的形式,

進而求解方程.

2

【規(guī)范解答】(1)解:x+4x-l=0

X24-4x=1

x24-4x4-4=14-4

(x+2尸=5

x+2=±V5

x=-2±V5,

**?x?=—2+yfStx2=—2—V5；

(2)解：2x2+4x-3=0,

其中a=2,b=4,c=—3,

△=b2—4ac=42—4x2x(—3)=40

_-4±V40_-2±V1O

X---------—,

2x22

?Y--2+\<l0_

■?X]--------，x2-----2---；

(3)解：x(x4-4)=2x+8

x(x+4)—2(X+4)=0

(x+4)(x—2)=0

x+4=0或x—2=0

AXj=—4,x2=2.

12.(24-25八年級下?重慶長壽?期末)如圖，宜線ky=一x+5交x軸于點B,交y軸于點A.直線k過

點A交x軸于點C(一2.5,0).

(備用圖)

⑴求直線12的解析式；

(2)x軸上存在點〃使得NADB=22.5。，求點〃的坐標；

⑶在第一象限內是否存在一點P(m,m—1)使得NBAP=NCAO,若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，

請說明理由.

【答案】(l)y=2x+5

⑵〃的坐標為(5十5或，0)或(一5—5四，0)

⑶存在，〃的坐標為(|3)或(J])

【思路引導】(1)根據直線h求得點4利用待定系數法即可求得直線12；

(2)在A?軸正半軸取一點D],使得BDI=AB,由于OA=OB,則2ABO=45。，結合4D]AB=々AD3,則

有《AD】B=22.5。，根據AB即可求得點D],同理可求得與點D1對稱點D?；

(3)設直線AP]與x軸交于點0,過點。作QTJ.CA于點7；則有NCAP】二45。，得到AQ=?AT,進一步有

CA=(V5,設點Q(t,O),利用等面積法得TQ=隹y,利用勾股定理得52+t2=2[匹箸],解得t,可

求得直線AQ解析式，由題意得點P在直線y=x-l上，即可求得點Pi；因為另一個點與點P]關于點不對稱,

利用中點坐標即可求得.

【規(guī)范解答】⑴解:直線h：y=-X+5交y軸于點A,當x=0,則y=5,則點A(0,5),

設直線12的解析式y=kx+b(k*0),

f-2.5k+b=0

Ib=5,

解砒：:，

則直線12的解析式y=2x+5；

(2)解：在x軸正半軸取一點Dp使得BD]=AB,如圖，

AOA=OB,

zOAB=zABO=45°,

???BDi=AB,

.?./DIAB=/AD〔B,

?.?/ABO=4DiAB+4AD[B,

AZADJB=22.5°,

TAB=VOA24-OB2=5VL

.?.0Di=OB+BD[=OB+AB=5+5技

同理，在才軸負半軸也存在?？?=—5—56，

故點〃的坐標為（5+5衣，0）或（一5—5四,0）；

（3）解：設直線AP]與x軸交于點。，過點Q作QT1CA于點7；如圖,

,-.zCAP1=45°,

則AQ=V2AT,

V0C=2.5,OB=5,

CA=-\/5,

設點Q（t,O）,WJAQ2=52+t2,

那么，TQ=*=瞥步，

2v55

2

即52+t2=2［瞥也］,

解得t=，u=-15(舍去)，

則直線AQ解析式為丫=-3x4-5,

???第一象限內的點

???點〃在直線y=x-l上，

(y=x-i

ly=-3x+5'

3

解得If'=?，

ly-

則點Pi(D

fy=x-i

ly=—x4-5,

則點N（3,2）,

???點PI與點P2關于直線AB對稱，

《+x=2x3

???？,

l-+y=2x2

解得『二A，

（y=2

則點P2（H），

故滿足條件的點夕的坐標為：G，;）或（］；）?

【考點剖析】本題主要考查一次函數的性質，涉及待定系數法求一次函數、等腰三角形的性質、三角形等

面積法、勾股定理、中點公式和解一元二次方程，解題的關鍵是理解一次函數的性質和等面積法.

易錯考點07：配方法的應用

13.(25-26九年級上?黑龍江大慶?開學考試)(1)^x2+2x-4=(x-a)2+b.a=,b=

(2)當*=時，代數式x2-2x-4有最小值，最小值是

(3)如圖，△ABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=8cm,點機N分別是線段AC和BC上的動點，點.獷從A點

出發(fā)以lcm/s的速度向6?點運動；同時點網從。點出發(fā)以2cm/s的速度向8點運動,當其中一點到達終點時,

兩點同時停止運動.設運動的時間為人則當￡的值為多少時，^MCN的面積最大，最大值為多少？

A

CNB

【答案】(1)-1,-5；(2)1,-5；(3)當￡的值為2時，AMCN的面積最大，最大值為4cm2

【思路引導】本題考查配方法的應用：

(1)利用配方法求解；

(2)利用配方法得出x2—2x-4=(x—l)2—5,即可求解；

(3)用含f的式子表示出aMCN的面積，再利用配方法求解.

【規(guī)范解答】解：(1)x2+2x-4=x2+2x+1-5=(x+I)2-5,

:.a=—1,b=—5；

故答案為：一1,—5；

(2)x2-2x-4=(x-l)2-5,

當x=l時，代數式x2-2x-4有最小值，最小值是一5：

故答案為：1,—5；

(3)解：由題意得：AM=tcm,CN=2tcm,則CM=(4—t)cm,

**?SAMCN=2x2tx(4—t)=-t24-4t=—(t—2)2+4,

V(t-2)2>0,

???-(t-2)2<0,

???-(t-2)2+4<4,

??.當t=2時，一。一2產+4有最大值，最大值為4.

即：當￡的值為2時，4MCN的面積最大，最大值為4cm2.

14.(24-25九年級下?全國?假期作業(yè))若關于X的一元二次方程：21(乂一171)2+11=0與22。-01)2

+n=0,稱為“同族二次方程”.如2(x—3)2+4=0與3(x—3)2+4=0是“同族二次方程”.現有關于x的

一元二次方程；2(x-1)2+1=0與(a+2)x2+(b—4)x+8=0是“同族二次方程”.那么代數式ax?

+bx+2025能取的最小值是()

A.2018B.2020C.2025D.2030

【答案】B

【思路引導】根據新定義，把方程化成定義型方程，利用恒等式性質，確定a,。的值，后代入，配方，利

用非負性求最值即可.

本題考查了一元二次方程新定義問題，配方法求最值是解題的關鍵.

【規(guī)范解答】解：根據題意,得(a+2Hx2+(翳卜］+8=0,

故(a+2)(x+磊)+8-黯j=0,

又2(x-I)24-1=。與(a+2)x2+(b—4)x+8=0是“同族二次方程”.

.I1^TA1

??亞=-L8-^J=1，

.\8-a-2=1,

.\a=5,b=-10,

ax2+bx+2025=5x2—lOx4-2025=5(x—l)2+2020,

.?.當x=l時，取得最小值,且為2020,

故選：B.

易錯考點08：公式法解一元二次方程

15.(25-26九年級上-吉林長春?開學考試)用適當的方法解方程

(1)(3X-2)2=16；

(2)3X(X-3)=3(X-3)：

(3)X2-4X+1=0；

(4)6x2-7x+1=0.

【答案】⑴X]=2,x=

2J

(2)xi=3,x2=1；

(3)xj=2+V3,x2=2-V3：

(4)xi=1,x2=

【思路引導】(1)利用平方根的定義，將方程轉化為兩個一元一次方程來求解.

(2)方程3x(x-3)=3(x-3),通過移項，然后提取公因式(x-3),將方程轉化為兩個因式相乘等于0

的形式，再根據“若兩個數的乘積為。，則至少其中一個數為?！眮砬蠼?

（3）利用公式法求解即可.

（4）利用公式法求解即嘰

本題主要考查了一元二次方程的解法，包括直接開平方法、因式分解法、公式法.熟練掌握一元二次方程

的不同解法及其適用條件是解題的關鍵.

【規(guī)范解答】3）解：（3x-2）2=16

3x-2=±4

3x-2=4或3x-2=-4,

92

Xi=2,x2=--

(2)解：3x(x-3)=3(X-3),

3x(x-3)-3(x-3)=0,

(x-3)(3x-3)=0,

.??x-3=。或3x-3=0

Xi=3,x2=1；

(3)解：x2-4x+1=0

x=犍色型匕勺業(yè).=2±V3,

2x1

必=2+V3?x2=2—x/3；

(4)解：6x2-7x+1=0,

X_7±J(-7)2-4x6xl_坐

2x612

1=1,x2=

16.（24-25九年級上?寧夏中衛(wèi)?期末）定義：在四邊形中，如果有兩個相鄰的內角是直角，并且有兩條

相鄰的邊相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形.其中，兩條相等鄰邊的夾角稱為鄰等角.例如，如圖1，在四

邊形ABCD中，已知4A=ZB=90°,AD=DC,則四邊形ABCD是一個鄰等四邊形，其中4ADC是鄰等角.

：Bl-A\

C

圖1圖2圖3圖4

⑴下列圖形一定是鄰等四邊形的是（填序號）

①平行四邊形②菱形③矩形④正方形

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，ADHBC,ZA=90°,對角線BD平分NADC.求證：四邊形ABCD為鄰等四邊

形.

(3)如圖3,在6x5的方格紙中，/B,C三點均在格點上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合

條件的格點〃.

⑷如圖4,四邊形ABCD是鄰等四邊形，ZDAB=4ABC=90。，々BCD為鄰等角，連接AC,過8作BE||AC交DA

的延長線于點笈若AC=8,DE=10,求四邊形EBCD的周長.

【答案】(1)④

(2)見詳解

(3)見詳解

(4)38-672

【思路引導】(1)根據“鄰等四邊形的定義：有兩個相鄰的內角是直角，并且有兩條相鄰的邊相等，”即可

解答.

(2)先證明4ABe=180。一4A=9(T/ADB=ABD,再證明CD=CB,即可得到結論：

(3)根據新定義分兩種情況進行討論即可；①4B=ZC=90°,結合圖形再確定滿足CB=CD=3或

AD=CD="32+42=5的格點D],D2；②4B=4A=90。，結合圖形再確定滿足AB=AD=1的格點D3；

(4)如圖，過C作CQ1AD于Q,可得四邊形ABCQ是矩形，AQ=BC,AD||BC,證明四邊形ACBE為平行四邊

形，可得BE=AC=8,AE=BC,設BC=AE=x,而DE=10,AD=10-x,DQ=x-(10-x)=2x-10,由

新定義可得CD=CB=x,由勾股定理可得：X2-(2X-10)2=-82-X2,再解方程可得答案.

【規(guī)范解答】(1)解：根據題意可得一定是鄰等四邊形的是正方形，

故答案為：④.

(2)解：VAD||BC,ZA=90°,

zABC=180°-ZA=90°,zADB=ZCBD,

???對角線BD平分NADC,

Z.ADD-Z.CDD,

zCBD=Z.CDB,

CD=CB,

???四邊形ABCD為鄰等四邊形.

(3)解：DI，D〃D3即為所求；

(4)解:如圖,過C作CQ1AD于Q,

圖3vzDAB=乙ABC=90°,

???四邊形ABCQ是矩形，

AQ=BC,AB=CQ,AD||BC,

vBEHAC.

??.四邊形ACBE為平行四邊形，

:.BE=AC=8,AE=BC,

設BC=AE=x,而DE=10,

???AD=10—x,DQ=x—(10—x)=2x—10,

由新定義可得CD=CB=x,

由勾股定理可得：X2-(2X-10)2=82-X2,

整理得：X2-20X+82=0,

解得：X1=10-3V2,X2=10+3^2>8(不符合題意舍去)，

CB=CD=10—35/2>

???四邊形EBCD的周長為10+8+2(10-3近)=38-6VL

【考點剖析】本題考查的是新定義的含義，平行線的性質，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質,

矩形的判定與性質，勾股定理的應用，一元二次方程的解法，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關

鍵.

易錯考點09：因式分解法解一元二次方程

17.(25-26九年級上-云南昆明?開學考試)解方程

(1)x2+x—12=0；

(2)(2x-l)2=(3-x)2.

【答案】計算（1）0；（2）4+2V7；解方程：（1）Xi=-4,X2=3；（2）X1=￡x2=-2

【思路引導】本題主要考查了二次根式的混合運算，解一元二次方程.

計算：（1）先利用二次根式的性質化簡，計算乘除法，最后再計算加減法.

（2）利用完全平方公式以及平方差公式展開，最后再計算二次根式的加減法.

解方程：（1）利用因式分解解方程即可.

（2）先進行方程的整理，再利用十字相乘法解方程即可.

【規(guī)范解答】解：

（1）x2+X-12=0,

（x+4）（x-3）=0,

x+4=0或x-3=0,

??X]-―-4,x2=3,

（2）（2x-l）2=（3-x）2,

整理得：3X2+2X-8=0,

（3x-4）（x+2）=0,

A3x-4=?；騲+2=0,

4

???X1=1，x=-n2.

J2

18.（24-25八年級下?浙江寧波?期末）如圖（1）以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小

的兩個正方形按圖（2）的方式放入較大的正方形內（A、J分別是它們的頂點），若已知圖（2）中兩塊陰影

部分的面積和與周長和分別為16和36,則可知圖（1）中的正方形ACJH的面積為（）

圖1圖2

A.25B.64C.100D.169

【答案】D

【思路引導】本題主要考查完全平方公式，解一元二次方程，勾股定理與圖形面積，靈活運用勾股定理處

理圖形面積之間的轉化是解題關鍵.

設AB=c,BC=a,AC=b,根據兩塊陰影的面積和與周長和分別為16和36,分別得出2(b-c)[b-a)=16

和4(b-c+b—a)=36,通過設b—a=x,b—c=y,并借助完全平方式求出x,y的值，即可求出a,b,c的關系,

并根據b2=a2+c2,即可求解.

【規(guī)范解答】解：設AB=c,BC=a,AC=b(b>a>c),

由胭意及對稱性知，圖(2)中兩部分陰影全等，

???由兩塊陰影部分的面積和與周長和分別為16和36,知

.r2(b-c)(b-a)=16

??14(b-c+b-a)=36

設b—a=x,b—c=y,則y—x=a—c,

則晨時^6，即眸

又由完全平方式知(y-x)2=(x+y)2-4xy=49,

???由a>c知，y-x=a-c=V49=7,

ry-x=7

,,lx+y=9*

解瞰誓，端二:：:，

|a：￡-??

又在Rt^ABC中，b2=a2+c2②

將①代入②，得b2=(b-l)2+(b-8)2,

解得比=13力2=5(舍)

???正方形ACJH的面積為：b2=169.

故選:D.

易錯考點10：換元法解一元二次方程

19.(24-25九年級上-江蘇泰州-階段練習)對于問題：關于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x〔=1,x2=

—2(a、m、b均為常數，a00),求方程a(x+m+2/+b=0的解.

(1)小明的思路如圖所示，請你按照他的思路解決這個問題：

小明的思路

第1步把1,一2代入到第1個方程中求出m的值；

第2步把m的值代入到第1個方程中求出一;的值：

第3步解第2個方程.

(2)小紅仔細觀察兩個方程，她把第2個方程a(x+m+2尸+b=0中的“x+2”看作第1個方程中的“x”,

則“x+2”的值為,從而更簡單地解決了問題.

【答案】(l)xi=-1,x2=-4

(2)1或一2

【思路引導】本題考查一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵.

2

(1)把xi=l,x2=-2分別代入原方程求得m=f于是得到原方程為：a(x+1)+b=0,求得一：=

P將m=；和一?弋入第2個方程得于是得到結論；

T-4d十

(2)把第二個方程中的“x+2”看作第一個方程中的“x”，即可得到答案.

【規(guī)范解答】(I)解：把必=1,x2=一2分別代入原方程得，匕:日：瞽*：!怒，

①一②得：3a(2m-1)=0,

Va*0,

A2m—1=0,

解得：m=i,

二原方程為：a(x+3+b=0,

b_9

-a_4>

將門=如一標"弋入第2個方程得，&+丁=:

解得：Xi=-1,x2=—4；

(2)解：把笫二個方程中的“x-2”看作第一個方程中的“x”，

???力的值為1或一2,

則“x+2”的值為1或一2；

故答案為：1或一2；

20.(24-25九年級上?貴州銅仁?期末)閱讀下列材料：

解方程(X?—I)2—5(x2—1)+6=0,

解：設x2-l=y,則原方程化為y2-5y+6=0,

解得yi=2,y2=3.

當y=2時，x2-1=2,解得：x=+V3：

當y=3時，x2-l=3,解得x=±2.

原方程的解為：X1=百，x2=-V3,x3=2,x4=—2.

以上解?元二次方程的方法叫做換元法，通過換元法達到了降次或者簡化方程的目的，這體現了數學中的

轉化思想.

⑴請用上述方法解下列方程：(2x-5)2-4(2X-5)+3=0；

(2)已知實數x,丫滿足02+丫2+3)2-7*2—7丫2-21=8,求x?+y2的值.

【答案】(Dxi=3,x2=4；

⑵5.

【思路引導】本題主要考查了運用換元法解方程.解決本題的關鍵是讀懂閱讀材料中的解題思路，通過換

元的方法降低方程的次數，從而達到簡化方程的目的，使解方程更容易.

(1)設2x—5=a，則原方程可化為a?—4a+3=0,利用因式分解法求出未知數a的值，從而把一元二次

方程轉化為兩個一元一次中程，通過解一元一次方程求出原方程的解：

(2)設x2+y2=b,則原方程化為(b+3)2-7b-21=8,通過解一元二次方程求出b的值，即可得到x?+

y2的值，根據平方的非負性把不符合條件的解舍去.

【規(guī)范解答】(1)解：(2X-5)2-4(2X-5)+3=0

設2x—5=a,

則原方程可化為a2-4a+3=0,

分解因式可得：(a-l)(a-3)=0,

解得：a1=1,a2=3,

當a=l時，可得：2x-5=l,

解得:x=3,

當a=3時，可得：2x—5=3,

解得:x=4,

二原方程的解為X]=3,X2=4；

(2)解：(x2+y2+3)2-7x2-7y2-21=8,

22222

整理得:(x4-y+3)—7(x+y)-21=8,

設*2+y2=b,

則原方程化為(b+3)2-7b-21=8,

整理得：b2-b-20=0,

分解因式可得:(b-5)(b+4)=0,

解得：bi=5,b2=-4,

當b=5時，x2+y2=5,

當b二一4時，x2+y2=-4(不符合題意，舍去)，

...x2+y2=5.

易錯考點11：根據判別式判斷一元二次方程根的情況

21.(25-26九年級上-黑龍江綏化-開學考試)解方程

(l)x2—4x+1=0；

(2)(2x-1)2-9=0；

(3)X(2X+3)=5(2x4-3);

(4)8x2+5=0.

【答案】⑴X]=2+技X2=2-V3

(2)X[=2,x2=—1

3

(3)X[=—x2=5

(4)方程無解.

【思路引導】本題考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程的

解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等.

(1)利用配方法解一元一次方程即可：

(2)移項，然后利用直接開方法解一元二次方程即可；

(3)利用因式分解法解一元二次方程即可：

(4)利用根的判別式判斷即可.

【規(guī)范解答】(1)x2-4x+1=0

x2—4x=—1

x2—4x+4=—1+4

(x-2)2=3

x-2=±V3

解得Xi=2+百，x2=2-V3；

(2)(2x-l)2-9=0

(2x-l)2=9

2x—1=+3

解得Xi=2,x2=-1；

(3)x(2x+3)=5(2X+3)

x(2x+3)—S(2x+3)=0

(2x+3)(x-5)=0

2x+3=0或x—5=0

a

解得X]=―亍x2=5；

(4)8x2+5=0

a=8,b=0,c=5

△=02-4x8x5=-160<0

???方程無解.

22.(23-24九年級上?山東青島?階段練習)如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=6cm.點夕從點〃

出發(fā)向點力運動，運動到點力即停止；同時，點0從點8出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止，點入。的

速度都是lcm/s.連接PQ、AQ、CP.設點只。運動的時間為ts.

(1)當1=時，四邊形ABQP是矩形；

(2)當1=時，四邊形AQCP是菱形：

(3)是否存在某一時刻￡使得PQ_LPC,如果存在，請求出￡的值，如果不存在，請說明理由；

⑷在運動過程中，沿著AQ把aABQ翻折，當f為何值時，翻折后點6的對應點B'恰好落在PQ邊上.

【答案】(1)3

⑵3

(3)不存在；理由見解析

(4)當t等于1或3時，翻折后點B的對應點B’恰好落在PQ邊上

【思路引導】(1)當四邊形ABQP是矩形時，BQ=AP,據此求得？的值；

(2)當四邊形AQCP是菱形時，AQ=QC,列方程求得運動的時間E；

(3)過。作QM_LAD,交AD于也zQMD=zQMA=90%得出四邊形ABQM是矩形，列方程得2t2—

6t+9=0,根據根的判別式得出方程無實數根，即可得出結論：

(4)根據折疊的性質得出乙AQB=ZAQB',AB'=AB=3cm,BQ=BQ=tcm,zABQ=Z.B=90°,進而

在Rt^AB'P中，AB'2+B'P2=PA2,勾股定理建立方程，解方程，即可求解.

【規(guī)范解答】(1)解：由已知可得，BQ=DP=tcm,AP=CQ=(6-t)cm,

在矩形ABCD中，ZB=90°,AD||BC,AD=BC,

當BQ=AP時，四邊形ABQP為矩形，

At=6-t,

解得：t=3,

故當t=3時，四邊形ABQP為矩形；

(2)解：VBQ=DP=tcm,AD=BC,

AAD-DP=BC-BQ,

即AP=CQ,

VAD||BC.

???四邊形AQCP為平行四邊形，

:.當AQ=CQ時，四邊形AQCP為菱形，

根據勾股定理得：AQ2=AB2+BQ2=32+t2,CQ2=(6-t)2,

???此時3?+t2=(6-t)2,

解得t=I，

故當t=；時，四邊形AQCP為菱形；

(3)解：不存在某一時刻［使得PQ_LPC：理由如下：

過0作QM1AD,交AD于必，如圖所示：

VZQMA=ZBAM=ZB=90°,

???四邊形ABQM是矩形，

/.AM=BQ=tcm,QM=AB=3cm,

/.MP=(6-2t)cm,

???PQ2=PM2+QM2=(6-2t)2+32,

?矩形ABCD中ND=90°,

???△PDC為直角三角形，

.-.PC2=PD2+CD2=t2+32,

VPQ1PC,

AZQPC=90°,

APQ2+PC2=CQ2,

/.(6-2t)2+32+t2+32=(6-t)2,

.\2t2-6t+9=0,

=b2—4ac=36—72=—36<0,

???此方程無實數根，

???不存在某一時刻，使得PQ_LPC：

(4)解：如圖2,

圖2

根據折疊可知：^AQB=Z.AQB',AB'=AB=3cm,BQ=BQ=tcm,Z.ABQ=zB=90°,

在矩形ABCD中，AD||BC,

zAQB=zPAQ,

AZAQB'=ZPAQ,

/.PA=PQ=(6-t)cm,

.■.BP—6—t—t=(6—2t)cm,

VZABP=180°-90°=90°,

在Rt4AB'P中，由勾股定理得：AB12+BP2=PA2,

A32+(6-2t)2=(6-t)2,即：t2-4t+3=0,

解得：、=

1,t2=3,

即當「等于1或3時，翻折后點8的對應點B’恰好落在PQ邊上.

【考點剖析】本題主要考查了菱形的判定和性質、矩形的判定與性質，勾股定理，解一元二次方程.折疊

的性質，解決此題注意結合方程的思想解題.

易錯考點12：根據一元二次方程根的情況求參數

23.(25-26九年級上?河南信陽?階段練習)我們規(guī)定：對于任意實數a、b、c、"有[a,b]*[c,d]=ac—

bd,其中等式右邊是通常的乘法和減法運算，如：[3,2]*[5,1]=3x5—2x1=13.

⑴求[-4,3]*[1,—6]的值；

(2)已知關于x的方程[x,2x-1]*[mx-l,m]=。有兩個實數根，求m的取值范圍.

【答案】(1)14

(2)m>-i,且m工0

【思路引導】本題主要考查了新定義下的實數運算，一元二次方程根的判別式，解一元一次不等式，解題

的關鍵是掌握新定義下的實數運算.

(1)根據新定義進行實數的運算即可：

(2)根據新定義列出?元二次方程，根據根的判別式列出不等式，然后進行求解即可.

【規(guī)范解答】(1)解：[-4,3]*口,-6]=-4xl-3x(-6)=-4+18=14；

(2)解：[x,2x—1]?[mx—l,m]=mx2—x—2mx4-m=mx2-(2m+l)x+m=0,

?，?△=(2m+l)2-4m2>0,

解得mN-3，旦mk0.

24.(24-25八年級下-浙江杭州?階段練習)若關于x的一元二次方程ax?+bx+c=0(a。0)的根均為整數，

則稱方程為“快樂方程”.通過計算發(fā)現，任何一個“快樂方程”的判別式A=b2-4ac一定為完全平方

數.現規(guī)定F(a,b,c)二"券為該“快樂方程”的“快樂數”，例如“快樂方程”x2-3x-4=0的兩根均為

整數，其“快樂數”FQ,_3,—4)=i(；：,(-3)2=

(1)“快樂方程”x2—2x—3=0的“快樂數”為________；

(2)若關于*的一元