第22講萬有引力的綜合應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)

明確目標(biāo)確定方向

i.雙星問題

2.赤道上物體，近地衛(wèi)星同步衛(wèi)星的比較

3.天體的追及相遇問題

4.信號傳播和遮擋問題

【知識回歸】回歸課本夯實(shí)基礎(chǔ)

一雙星問題

1.向心力大小相等：兩顆恒星做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力是由它們之間的萬有引力提供的，故兩恒星做勻

速圓周運(yùn)動的向心力大小相等。

2.周期和角速度相等：兩顆恒星均繞它們連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，因此它們的運(yùn)行周期和角速度是相

等的。

3半徑關(guān)系：（1）兩顆恒星做勻速圓周運(yùn)動的半徑門和「2與兩行星間距L的大小關(guān)系：〃+r?=心

（2）半徑與質(zhì)量成反比

二.三星模型

1.直線型：如圖所示，三顆質(zhì)量相等的行星，一顆行星位于中心位置不動，另外兩顆行星圍繞它做圓周運(yùn)動。

這三顆行星始終位于同一直線上，中心行星受力平衡。運(yùn)轉(zhuǎn)的行星由其余兩顆行星的引力提供向心力：誓

?Gm2

十〒-="?〃

k------

/\

m[m

\\rr/

兩行星轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。

2正三角形：如圖所示，三顆質(zhì)量相等的行星位于一正三角形的頂點(diǎn)處，都繞三角形的中心做圓周運(yùn)動。每

顆行星運(yùn)行所需向心力都由其余兩顆行星對其萬

有引力的合力來提供。

x2xcos30°=，〃a

其中L=2rcos30%

三顆行星轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。

【典例分析】精選例題提高索養(yǎng)

【例1】.印度尼西亞一中學(xué)生特別喜歡用天文望遠(yuǎn)鏡仰望星空，有一次他對準(zhǔn)某一方向觀察了很長時間，

發(fā)現(xiàn)一顆人造衛(wèi)星A始終"靜止不動”，另一顆人造衛(wèi)星8從視野中的西方而來，“越過”衛(wèi)星4,最終消失于

視野中的東方。設(shè)該中學(xué)生、衛(wèi)星4、衛(wèi)星B的加速度分別為。小外、在，下列關(guān)系式正確的是（）

A.ax>aA>anB.4K<。八<。8C.aA<ax>aBD.a/^>aA<aB

【答案】B

【詳解】通過情景分析可知，該中學(xué)生觀察星空時位于赤道上衛(wèi)星A是同步衛(wèi)星，衛(wèi)星B比衛(wèi)星A運(yùn)動更

快，就中學(xué)生和同步衛(wèi)星面言，做圓周運(yùn)動的角速度相同，根據(jù)

可知

就兩衛(wèi)星而言，均是地球施加給它們的萬有引力提供向心力，由

可知衛(wèi)星A的運(yùn)行半徑大于衛(wèi)星B,再由

即有

所以

故

故B正確，ACD錯誤。

故選Bo

【例2】某載人宇宙飛船繞地球做圓周運(yùn)動的周期為T,由于地球遮擋，宇航員發(fā)現(xiàn)有1T時間會經(jīng)歷“日全

食”過程，如圖所示。已知地球的半徑為R,引力常量為G,地球自轉(zhuǎn)周期為TO,太陽光可看做平行光，則

下列說法正確的是（）

A.宇宙飛船離地球表面的高度為2R

7

B.一天內(nèi)飛船經(jīng)歷"日全食"的次數(shù)為€

C.宇航員觀察地球的最大張角為120。

MR

D.地球的平均密度為。;百7

【答案】D

【解析】

A.由幾何關(guān)系，飛船每次“日全食〃過程的時間內(nèi)飛船轉(zhuǎn)過Q角，所需的時間為

由于字航員發(fā)現(xiàn)有4時間會經(jīng)歷"日全食''過程，則:

所以

n

Q=一

3

設(shè)宇宙飛船離地球表面的高度h,由幾何關(guān)系可得

可得

選項(xiàng)A錯誤；

B.飛船繞地球一圈時間為T,飛船繞一圈會有一次日全食，所以每過時間T就有一次日全食，而地球自轉(zhuǎn)

一圈時間為TO,得一天內(nèi)飛船經(jīng)歷"日全食"的次數(shù)為

選項(xiàng)B借誤；

C.設(shè)宇航員觀察地球的最大張角為6,則由幾何關(guān)系可得

可得

8=60’

選項(xiàng)c錯誤；

D.根據(jù)萬有引力提供向心力，有

Mm4M

G*,?■

r2T-

解得

又

r=R+A=2R

所以地球的平均密度

選項(xiàng)D正確。

故選D。

【例3】.西漢時期，《史記?天官書》作者司馬遷在實(shí)際觀測中發(fā)現(xiàn)歲星呈青色，與“五行〃學(xué)說聯(lián)系在一起，

正式把它命名為木星。如圖甲所示，兩衛(wèi)星團(tuán)、團(tuán)環(huán)繞木星在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，繞行方向相反，衛(wèi)星回

繞木星做橢圓運(yùn)動，某時刻開始L時，衛(wèi)星團(tuán)、回間距離隨時間變化的關(guān)系圖象如圖乙所示，其中凡丁為己

知量，下列說法正確的是（）

A.衛(wèi)星阿在M點(diǎn)的速度小于衛(wèi)星13的速度

B.衛(wèi)星團(tuán)、團(tuán)的軌道半徑之比為1:2

C.衛(wèi)星（3的運(yùn)動周期為7

D.繞行方向相同時，衛(wèi)星團(tuán)、團(tuán)連續(xù)兩次相距最近的時間間隔為:7

O

【答案】C

【詳解】A.過M點(diǎn)構(gòu)建一?繞木星的圓軌道，該軌道上的衛(wèi)星在M點(diǎn)時需加速才能進(jìn)入橢圓軌道，根據(jù)萬

有引力定律有

可得

則在構(gòu)建的圓軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星的線速度大于衛(wèi)星13的線速度，根據(jù)以上分析可知，衛(wèi)星團(tuán)在M點(diǎn)的速度一

定大于衛(wèi)星13的速度，A錯誤；

BC.根據(jù)題圖乙可知，衛(wèi)星回、13間的距離呈周期性變化，最近為3R,最遠(yuǎn)為5R,則有

可得

又根據(jù)兩衛(wèi)星從相距最遠(yuǎn)到相距最近有

聯(lián)立解得

B錯誤，C正確；

D.運(yùn)動方向相同時衛(wèi)星團(tuán)、囹連續(xù)兩次相距最近，有

解得

D錯誤。

故選C。

【例4】如圖所示，質(zhì)量分別為5和M的兩個星球A和4在引力作用卜.都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，星球A

和R兩者中心之間的距離為心已知人、"的中心和O點(diǎn)始終共線，A和A分別在。點(diǎn)的兩側(cè).引力常量

為Go

?Z、、

//、、

\、0'/

\、//

'、、

(1)求兩星球做圓周運(yùn)動的周期。

(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運(yùn)

行的周期記為力。但在近似處理問題時，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動的，這樣算得的運(yùn)行周期為72o

已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98X1024kg和7.35x|O22kg。求取與式兩者的平方之比。(結(jié)果保留3位小

數(shù))

【答案】(1)2nGM+m(2)L°12

【解析】(1)A和8繞0點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和8的向心力相等，且

A、8的中心和。點(diǎn)始終共線，說明A和8組成雙星系統(tǒng)且有相同的角速度和周期。設(shè)A、8做圓周運(yùn)動的

半徑分別為八R,則有

mafr=Ma）1R,r-\-R=L

聯(lián)立解得~=瑞/—懸入

對A,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得

等一腔）號乙

解得丁=2兀y際。

（2）由題意，可以將地月系統(tǒng)看成雙星系統(tǒng)，由⑴得

71=2711GM+m

若認(rèn)為月球繞地心做圓周運(yùn)動，則根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得

警f管）V解得及-2K、島

所以72與力的平方之比為

F?5.98X1024+7.35X1022

7V="M-=5.98x1024=1。⑵

【鞏固練習(xí)】舉一反三提高能力

1.2023年1月9日天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)有史以來距離最近的兩個黑洞，相距750光年，設(shè)質(zhì)量大的為A,質(zhì)量小

的為B,它們在彼此之間的引力作用下互相環(huán)繞，周期相等，如圖所示，不考慮其它星體對它們的作用，下

列說法正確的是（）

A.4、B組成的系統(tǒng)能量守恒，動量不守恒

B.A、8的速度之比等于它們質(zhì)量之比

C.若A、8的間距增大，則周期減小

D.若4、8因吞噬物質(zhì)質(zhì)量都增大而其中心間距不變，則它們的角速度增大

【答案】D

【詳解】A.A、B組成的系統(tǒng)不受外力，能量和動量都守恒，故A錯誤；

B.周期相等則角速度相等，相互作用的萬有引力充當(dāng)向心力，則

所以

即速度之比等于質(zhì)量之反比，故B錯誤；

C.對A黑洞，有

對B黑洞,有

聯(lián)立可得

若A、B的間距L增大，則周期T一定增大，故C錯誤；

D.當(dāng)A、B因吞噬物質(zhì)質(zhì)量都增大時，則周期T減小，根據(jù)周期與角速度的關(guān)系

可知，角速度增大，故D正確。

故選Do

2.科學(xué)家通過研究雙中子星合并的引力波，發(fā)現(xiàn)：兩顆中子星在合并前相距為L時，兩者繞連線上的某點(diǎn)

每秒轉(zhuǎn)〃圈；經(jīng)過緩慢演化一段時間后，兩者的距離變?yōu)槊棵朕D(zhuǎn)外圈，則演化前后（）

A.兩中子星運(yùn)動周期為之前幼倍B.兩中子星運(yùn)動的角速度為之前勺倍

P

【答案】C

【詳解】A.合并前相距為L時，周期

緩慢演化一段時間后，周期

故A錯誤；

B.角速度之比即轉(zhuǎn)速之比，兩中子星運(yùn)動的角速度為之前〃倍，故B錯誤；

---------L-------?；

C.對加，根據(jù)萬有引力提供向心力

對M,根據(jù)萬有引力提供向心力

得

可得

轉(zhuǎn)速之比為P且距離變?yōu)樗钥傎|(zhì)量

故C正確；

D.根據(jù)

可得

只有當(dāng)M=m時

兩者的距離變?yōu)?。時，線速度平方之和為之前1倍，但現(xiàn)在質(zhì)量關(guān)系不確定，則線速度平方之和不一定為

之前二倍，故D錯誤。

故選C。

3.如圖所示為一三星系統(tǒng)和一四星系統(tǒng)。三星系統(tǒng)為質(zhì)量均為，川的三個天體，三個天體位于邊長為L的

等邊三角形的三個頂點(diǎn)上。四星系統(tǒng)為質(zhì)量均為〃?2的四個天體，其中三個天體位于邊長為乙的等邊三角形

的三個頂點(diǎn)卜第四個天體位干等動三角形的中心。若兩系統(tǒng)圓周運(yùn)動的周期相同，則?等干（）

【答案】C

【詳解】對三星系統(tǒng)分析，任意兩個天體之間的萬有引力

對任意一個天體，受力分析?，可得合力為

由幾何關(guān)系可得運(yùn)動的半徑為

解得

根據(jù)合力提供向心力，則有

解得

對四星系統(tǒng)，處在三個頂角上的任意兩個天體之間的萬有引力

處于等邊三角形的中心天體會對頂角上的任一個天體有萬有引力作用，則有

故頂角上的任一個天體的合力為

則對頂角上的任一個天體，其所受的合力提供向心力，軌道半徑仍為r，則有

解得

故

故選Co

4.環(huán)顧太陽系，目前科學(xué)家認(rèn)為“土衛(wèi)六''可能是人類最宜居的地外天體，生命會得以存活?！巴列l(wèi)六”可看

成半徑為R的質(zhì)量均勻球體，其質(zhì)量為M,它的自轉(zhuǎn)周期為八。設(shè)想人造飛船貼近“土衛(wèi)六”做勻速圓周運(yùn)

動一周的時間為。引力常量為G,下列說法正確的是（）

A.“土衛(wèi)六〃自轉(zhuǎn)周期”等于人造飛船貼近“土衛(wèi)六〃做勻速圓周運(yùn)動的周期T

B.”土衛(wèi)六〃赤道上靜止物體的加速度大F人造飛船貼近“土衛(wèi)六〃做勻速圓周運(yùn)動的加速度

【答案】C

【詳解】A.設(shè)人造飛船的質(zhì)量為m,根據(jù)牛頓第二定律得

解得

設(shè)“土衛(wèi)六〃赤道上靜止物體的質(zhì)量為小，表面加速度為g,根據(jù)牛頓第二定律得

解得

所以

故A錯誤；

B.對人造飛船分析，由牛頓第二定律得

解得

對“土衛(wèi)六〃赤道上靜止的物體分析，表面加速度為g,由牛頓第二定律得

解得

所以

故B錯誤；

CD.對人造飛船分析，由牛頓第二定律得

解得

"土衛(wèi)六”的體積

“土衛(wèi)六”的密度

故C正確，D錯誤。

故選C。

多選5.近年來，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)茫茫宇宙中，有雙星系統(tǒng)，三星系統(tǒng)。設(shè)想有兩個相距力、質(zhì)量均為如的

星球在相互引力作用下，繞其中心做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動速度大小為I”,角速度為①/;另有三個分別相距

上、質(zhì)量均為加2的星球構(gòu)成等邊三角形，三個星球在相互引力作用下，繞其中心做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動速

度大小為V2，角速度為①2，則（）

【答案】AC

【詳解】對雙星系統(tǒng)，若星球質(zhì)量相等，則運(yùn)動的軌道半徑相等，角速度相等，相速度相等，如圖所示

根據(jù)萬有引力提供向心力，有

解得角速度為

線速度為

對三星系統(tǒng)，三星的質(zhì)量相等，軌道半徑相等，角速度相等，線速度相等，如圖所示

根據(jù)幾何關(guān)系有

解得

根據(jù)萬有引力提供向心力，有

解得角速度為

所以線速度為

所以角速度之比為

線速度之比為

故選AC。

二'O

B

A.A,B兩顆星的軌道半徑之比為1:4

B.若兩顆星均按圖中順時針方向轉(zhuǎn)動，則至少經(jīng)過,7兩星相距最遠(yuǎn)

C.若兩顆星均按圖中逆時針方向轉(zhuǎn)動，則再經(jīng)過17,兩星相距最近

D.若兩顆星均按圖中逆時針方向轉(zhuǎn)動，則再經(jīng)過2r兩星相距最近

【答案】BD

【詳解】A.根據(jù)幾何關(guān)系有

解得

A錯誤：

B.若兩顆星均按圖中順時針方向轉(zhuǎn)動，令則至少經(jīng)過M兩星相距最遠(yuǎn)，則有

根據(jù)開普勒第三定律有

結(jié)合上述解得

B正確；

CD.若兩顆星均按圖中逆時針方向轉(zhuǎn)動，令則至少經(jīng)過“2兩星相距最近，則有

結(jié)合上述解得

符合題意，C錯誤，D正確。

故選BDo

A.從初始時刻起，B運(yùn)行的5個冏期內(nèi)，A、B、地心三者再次共線12次

B.從初始時刻起，B運(yùn)行的5個周期內(nèi)，A、B、地心三者再次共線13次

C.從初始時刻起，A運(yùn)行的1個周期內(nèi)，A、B間不能通訊的時間約為60min

D.從初始時刻起，A運(yùn)行的1個周期內(nèi)，A、B間不能通訊的時間約為55min

【答案】AD

【詳解】AB.設(shè)從圖示時刻到A、B下次共線所需的時間為t,則有

解得

t=93min

則從初始時刻起，B運(yùn)行的5個周期內(nèi)，即1125min內(nèi)，A、B、地心三者再次共線12次。故A正確，B錯

誤；

CD.將B作為參考系，則A相對B的角速度為

畫出A、B不能通訊的示意圖，如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知

可得

故選ADo

多選8.2021年10月，中國發(fā)射了首顆太陽探測科學(xué)技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星一一羲和號，用于實(shí)現(xiàn)太陽H波段光譜

成像的空間探測，該衛(wèi)星軌道為圓軌道，通過地球南北兩極上方，離地高度約為517km。如圖所示，。為羲

和號，〃為地球同步衛(wèi)星，c為赤道上隨地球一起轉(zhuǎn)動的物體。已知地球半徑約為6400km,下列說法正確的

C.〃的向心加速度大于c的向心加速度D.。的運(yùn)行周期小于24h

【答案】CD

【詳解】A.a沒有擺脫地球的萬有引力作用，所以發(fā)射速度小于第二宇宙速度，故A錯誤；

BCD.設(shè)地球質(zhì)量為M,質(zhì)量為m的11星繞地球做半徑為八線速度為V、周期為T、向心加速度為a的勻

速圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律有

解得

根據(jù)②式可知

根據(jù)③式可知

根據(jù)④式可知

b和c的周期相同，所以角速度相同，根據(jù)

可知

根據(jù)

可知

則a、b、c的線速度大小關(guān)系為

向心加速度大小關(guān)系為

故B錯誤，CD正確。

故選CDo

9、宇宙飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動，飛船與地心的距離為地球半徑的2倍，飛船圓形軌道平面與地球赤

道平面重合。由于地球遮擋陽光，會經(jīng)歷“日全食〃過程。如圖所示。已知地球表面重力加速度為g,近似認(rèn)

為太陽光是平行光，試估算：

⑴飛船做勻速圓周運(yùn)動的周期：

⑵飛船繞地球一周，“日全食”的時間。

【解析】試題分析：（1）根據(jù)萬有引力等于向心力和在地球表面重力等于萬有引力列式可求解出衛(wèi)星周期;

（2）根據(jù)幾何關(guān)系，確定不能接受太陽光的角度，即可求出〃日全食"的時間。

（D飛船做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓笫二定律：°品=刖（半產(chǎn)20

-Mm.

Gyr=mg

乂有無

T=4環(huán)

由以上兩式可得

（2）如圖

..、

“B

當(dāng)飛船在陰影區(qū)時不能接受陽光，據(jù)幾何關(guān)系：飛船轉(zhuǎn)過圓心角&=60；

t

可得

解得:，=第

10.在科幻題材的電影或動畫中，經(jīng)常提到太空電梯，建造太空電梯需要高強(qiáng)度的材料，目前納米材料的

抗拉強(qiáng)度幾